→?題型突破←→?專題訓練←題型一拋物線型問題

1．（2021·貴州中考真題）甲秀樓是貴陽市一張靚麗的名片．如圖①，甲秀樓的橋拱截面可視為拋物線的一部分，在某一時刻，橋拱內的水面寬，橋拱頂點到水面的距離是．

（1）按如圖②所示建立平面直角坐標系，求橋拱部分拋物線的函數表達式；（2）一只寬為的打撈船徑直向橋駛來，當船駛到橋拱下方且距點時，橋下水位剛好在處．有一名身高的工人站立在打撈船正中間清理垃圾，他的頭頂是否會觸碰到橋拱，請說明理由（假設船底與水面齊平）；（3）如圖③，橋拱所在的函數圖象是拋物線，該拋物線在軸下方部分與橋拱在平靜水面中的倒影組成一個新函數圖象．將新函數圖象向右平移個單位長度，平移后的函數圖象在時，的值隨值的增大而減小，結合函數圖象，求的取值范圍．【答案】（1）y=x2+2x（0≤x≤8）；（2）他的頭頂不會觸碰到橋拱，理由見詳解；（3）5≤m≤8【分析】（1）設二次函數的解析式為：y=a(x-8)x，根據待定系數法，即可求解；（2）把：x=1，代入y=x2+2x，得到對應的y值，進而即可得到結論；（3）根據題意得到新函數解析式，并畫出函數圖像，進而即可得到m的范圍．【詳解】（1）根據題意得：A(8，0)，B(4，4)，設二次函數的解析式為：y=a(x-8)x，把(4，4)代入上式，得：4=a×(4-8)×4，解得：，∴二次函數的解析式為：y=(x-8)x=x2+2x（0≤x≤8）；（2）由題意得：x=0.4+1.2÷2=1，代入y=x2+2x，得y=×12+2×1=＞1.68，答：他的頭頂不會觸碰到橋拱；（3）由題意得：當0≤x≤8時，新函數表達式為：y=x2-2x，當x＜0或x＞8時，新函數表達式為：y=-x2+2x，∴新函數表達式為：，∵將新函數圖象向右平移個單位長度，∴（m，0），（m+8，0），（m+4，-4），如圖所示，根據圖像可知：當m+4≥9且m≤8時，即：5≤m≤8時，平移后的函數圖象在時，的值隨值的增大而減小．【點睛】本題主要考查二次函數的實際應用，掌握二次函數的待定系數法，二次函數的圖像和性質，二次函數圖像平移和軸對稱變換規律，是解題的關鍵．2．（2021·浙江）如圖1是一座拋物線型拱橋側面示意圖．水面寬AB與橋長CD均為24m，在距離D點6米的E處，測得橋面到橋拱的距離EF為1.5m，以橋拱頂點O為原點，橋面為x軸建立平面直角坐標系．（1）求橋拱項部O離水面的距離．（2）如圖2，橋面上方有3根高度均為4m的支柱CG，OH，DI，過相鄰兩根支柱頂端的鋼纜呈形狀相同的拋物線，其最低點到橋面距離為1m．①求出其中一條鋼纜拋物線的函數表達式．②為慶祝節日，在鋼纜和橋拱之間豎直裝飾若干條彩帶，求彩帶長度的最小值．

【答案】（1）6m；（2）①；②2m【分析】（1）設，由題意得，求出拋物線圖像解析式，求當x=12或x=-12時y1的值即可；（2）①由題意得右邊的拋物線頂點為，設，將點H代入求值即可；②設彩帶長度為h，則，代入求值即可．【詳解】解（1）設，由題意得，，，，當時，，橋拱頂部離水面高度為6m．（2）①由題意得右邊的拋物線頂點為，設，，，，，(左邊拋物線表達式：)②設彩帶長度為h，則，當時，，答：彩帶長度的最小值是2m．【點睛】本題主要考查待定系數法求二次函數的解析式，以及二次函數最值得求解方法，結合題意根據數形結合的思想設出二次函數的頂點式方程是解題的關鍵．3.（2022·陜西）現要修建一條隧道，其截面為拋物線型，如圖所示，線段表示水平的路面，以O為坐標原點，以所在直線為x軸，以過點O垂直于x軸的直線為y軸，建立平面直角坐標系．根據設計要求：，該拋物線的頂點P到的距離為．(1)求滿足設計要求的拋物線的函數表達式；(2)現需在這一隧道內壁上安裝照明燈，如圖所示，即在該拋物線上的點A、B處分別安裝照明燈．已知點A、B到的距離均為，求點A、B的坐標．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據題意，設拋物線的函數表達式為，再代入（0，0），求出a的值即可；（2）根據題意知，A，B兩點的縱坐標為6，代入函數解析式可求出兩點的橫坐標，從而可解決問題．(1)依題意，頂點，設拋物線的函數表達式為，將代入，得．解之，得．∴拋物線的函數表達式為．(2)令，得．解之，得．∴．【點睛】本題考查了運用待定系數法求二次函數的解析式的運用，由函數值求自變量的值的運用，解答時求出二次函數的解析式是關鍵．4.甲秀樓是貴陽市一張靚麗的名片．如圖①，甲秀樓的橋拱截面可視為拋物線的一部分，在某一時刻，橋拱內的水面寬，橋拱頂點到水面的距離是．

（1）按如圖②所示建立平面直角坐標系，求橋拱部分拋物線的函數表達式；（2）一只寬為的打撈船徑直向橋駛來，當船駛到橋拱下方且距點時，橋下水位剛好在處．有一名身高的工人站立在打撈船正中間清理垃圾，他的頭頂是否會觸碰到橋拱，請說明理由（假設船底與水面齊平）；（3）如圖③，橋拱所在的函數圖象是拋物線，該拋物線在軸下方部分與橋拱在平靜水面中的倒影組成一個新函數圖象．將新函數圖象向右平移個單位長度，平移后的函數圖象在時，的值隨值的增大而減小，結合函數圖象，求的取值范圍．【答案】（1）y=x2+2x（0≤x≤8）；（2）他的頭頂不會觸碰到橋拱，理由見詳解；（3）5≤m≤8【分析】（1）設二次函數的解析式為：y=a(x-8)x，根據待定系數法，即可求解；（2）把：x=1，代入y=x2+2x，得到對應的y值，進而即可得到結論；（3）根據題意得到新函數解析式，并畫出函數圖像，進而即可得到m的范圍．【詳解】（1）根據題意得：A(8，0)，B(4，4)，設二次函數的解析式為：y=a(x-8)x，把(4，4)代入上式，得：4=a×(4-8)×4，解得：，∴二次函數的解析式為：y=(x-8)x=x2+2x（0≤x≤8）；（2）由題意得：x=0.4+1.2÷2=1，代入y=x2+2x，得y=×12+2×1=＞1.68，答：他的頭頂不會觸碰到橋拱；（3）由題意得：當0≤x≤8時，新函數表達式為：y=x2-2x，當x＜0或x＞8時，新函數表達式為：y=-x2+2x，∴新函數表達式為：，∵將新函數圖象向右平移個單位長度，∴（m，0），（m+8，0），（m+4，-4），如圖所示，根據圖像可知：當m+4≥9且m≤8時，即：5≤m≤8時，平移后的函數圖象在時，的值隨值的增大而減小．【點睛】本題主要考查二次函數的實際應用，掌握二次函數的待定系數法，二次函數的圖像和性質，二次函數圖像平移和軸對稱變換規律，是解題的關鍵．5.2022年北京冬奧會即將召開，激起了人們對冰雪運動的極大熱情．如圖是某跳臺滑雪訓練場的橫截面示意圖，取某一位置的水平線為軸，過跳臺終點作水平線的垂線為軸，建立平面直角坐標系．圖中的拋物線近似表示滑雪場地上的一座小山坡，某運動員從點正上方米處的點滑出，滑出后沿一段拋物線運動．

（1）當運動員運動到離處的水平距離為米時，離水平線的高度為米，求拋物線的函數解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；（2）在（1）的條件下，當運動員運動水平線的水平距離為多少米時，運動員與小山坡的豎直距離為米？（3）當運動員運動到坡頂正上方，且與坡頂距離超過米時，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）12米；（3）．【分析】（1）根據題意可知：點A（0，4）點B（4，8），利用待定系數法代入拋物線即可求解；（2）高度差為1米可得可得方程，由此即可求解；（3）由拋物線可知坡頂坐標為，此時即當時，運動員運動到坡頂正上方，若與坡頂距離超過米，即，由此即可求出b的取值范圍．【詳解】解：（1）根據題意可知：點A（0，4），點B（4，8）代入拋物線得，，解得：，∴拋物線的函數解析式；（2）∵運動員與小山坡的豎直距離為米，∴，解得：（不合題意，舍去），，故當運動員運動水平線的水平距離為12米時，運動員與小山坡的豎直距離為米；（3）∵點A（0，4），∴拋物線，∵拋物線，∴坡頂坐標為，∵當運動員運動到坡頂正上方，且與坡頂距離超過米時，∴，解得：．【點睛】本題屬二次函數應用中的難題.解決函數應用問題的一般步驟為：（1）審題：弄清題意，分清條件和結論，理清數量關系；(2)建模：將文字語言轉化為數學語言，利用數學知識建立相應的數學模型；（3）求模：求解數學模型，得到數學結論；(4)還原：將用數學方法得到的結論還原為實際問題．6．（2020·山東青島?中考真題）某公司生產型活動板房成本是每個425元．圖①表示型活動板房的一面墻，它由長方形和拋物線構成，長方形的長，寬，拋物線的最高點到的距離為．（1）按如圖①所示的直角坐標系，拋物線可以用表示，求該拋物線的函數表達式；（2）現將型活動板房改造為型活動板房．如圖②，在拋物線與之間的區域內加裝一扇長方形窗戶，點，在上，點，在拋物線上，窗戶的成本為50元．已知，求每個型活動板房的成本是多少？（每個型活動板房的成本＝每個型活動板房的成本+一扇窗戶的成本）（3）根據市場調查，以單價650元銷售（2）中的型活動板房，每月能售出100個，而單價每降低10元，每月能多售出20個．公司每月最多能生產160個型活動板房．不考慮其他因素，公司將銷售單價（元）定為多少時，每月銷售型活動板房所獲利潤（元）最大？最大利潤是多少？【答案】（1）（2）500（3）n=620時，w最大=19200元【解析】【分析】（1）根據圖形及直角坐標系可得到D,E的坐標，代入即可求解；（2）根據N點與M點的橫坐標相同，求出N點坐標，再求出矩形FGMN的面積，故可求解；（3）根據題意得到w關于n的二次函數，根據二次函數的性質即可求解．【詳解】（1）由題可知D（2,0），E（0,1）代入到得解得∴拋物線的函數表達式為；（2）由題意可知N點與M點的橫坐標相同，把x=1代入，得y=∴N（1，）∴MN=m，∴S四邊形FGMN=GM×MN=2×=，則一扇窗戶的價格為×50=75元因此每個B型活動板的成本為425+75=500元；（3）根據題意可得w=(n-500)（100+20×）=-2（n-600）2+20000,∵一個月最多生產160個，∴100+20×≤160解得n≥620∵-2＜0∴n≥620時，w隨n的增大而減小∴當n=620時，w最大=19200元．【點睛】此題主要考查二次函數的綜合運用，解題的關鍵是熟知待定系數法、二次函數的圖像與性質．題型二購買、銷售問題

7．（2021·四川中考真題）某藥店選購了一批消毒液，進價為每瓶10元，在銷售過程中發現銷售量y（瓶）與每瓶售價x（元）之間存在一次函數關系（其中，且x為整數），當每瓶消毒液售價為12元時，每天銷售量為90瓶；當每瓶消毒液售價為15元時，每天銷售量為75瓶；（1）求y與x之間的函數關系式；（2）設該藥店銷售該消毒液每天的銷售利潤為w元，當每瓶消毒液售價為多少元時，藥店銷售該消毒液每天銷售利潤最大．【答案】（1）；（2）當每瓶消毒液售價為20元時，藥店銷售該消毒液每天銷售利潤最大，最大為500元．【分析】（1）設y與x之間的函數關系式，根據題意列出方程組，解方程組即可求解；（2）根據題意得出每天的銷售利潤w元與每瓶售價x（元）之間的二次函數解析式，利用二次函數的性質即可求解．【詳解】（1）設y與x之間的函數關系式，由題意可得，，解得，，∴y與x之間的函數關系式；（2）由題意可得，w=（x-10）（-5x+150）=（，且x為整數），當時，，∴當每瓶消毒液售價為20元時，藥店銷售該消毒液每天銷售利潤最大，最大為500元．答：當每瓶消毒液售價為20元時，藥店銷售該消毒液每天銷售利潤最大，最大為500元．【點睛】本題考查了二次函數的應用，正確求得每天的銷售利潤w元與每瓶售價x（元）之間的二次函數解析式是解決問題的關鍵．8.（2020·遼寧朝陽?中考真題）某公司銷售一種商品，成本為每件30元，經過市場調查發現，該商品的日銷售量y（件）與銷售單價x（元）是一次函數關系，其銷售單價、日銷售量的三組對應數值如下表：銷售單價x（元）406080日銷售量y（件）806040（1）直接寫出y與x的關系式_________________；

（2）求公司銷售該商品獲得的最大日利潤；（3）銷售一段時間以后，由于某種原因，該商品每件成本增加了10元，若物價部門規定該商品銷售單價不能超過a元，在日銷售量y（件）與銷售單價x（元）保持（1）中函數關系不變的情況下，該商品的日銷售最大利潤是1500元，求a的值．【答案】（1）；（2）當銷售單價是75元時，最大日利潤是2025元；（3）70【解析】【分析】（1）根據題中所給的表格中的數據，可以直接寫出其關系式；（2）根據利潤等于每件的利潤乘以件數，再利用配方法求得其最值；（3）根據題意，列出關系式，再分類討論求最值，比較得到結果.【詳解】（1）設解析式為，將和代入，可得，解得，所以y與x的關系式為，所以答案為；（2），∴拋物線開口向下，函數有最大值∴當時，答：當銷售單價是75元時，最大日利潤是2025元．（3）當時，解得，∴有兩種情況①時，在對稱軸左側，w隨x的增大而增大，∴當時，②時，在范圍內，∴這種情況不成立，．【點睛】該題考查的是有關函數的問題，涉及到的知識點有一次函數解析式的求解，二次函數應用題，在解題的過程中，注意正確找出等量關系是解題的關鍵，屬于簡單題目.9．（2020·遼寧鐵嶺?中考真題）小紅經營的網店以銷售文具為主，其中一款筆記本進價為每本10元，該網店在試銷售期間發現，每周銷售數量（本）與銷售單價（元）之間滿足一次函數關系，三對對應值如下表：銷售單價（元）121416每周的銷售量（本）500400300（1）求與之間的函數關系式；（2）通過與其他網店對比，小紅將這款筆記本的單價定為元（，且為整數），設每周銷售該款筆記本所獲利潤為元，當銷售單價定為多少元時每周所獲利潤最大，最大利潤是多少元？【答案】（1）；（2）銷售單價為15元時，每周所獲利潤最大，最大利潤是1750元．【解析】【分析】（1）根據待定系數法解答即可；（2）根據每周銷售利潤=每本筆記本的利潤×每周銷售數量可得w與x的二次函數關系式，再根據二次函數的性質即可求出結果．【詳解】解：（1）設與之間的函數關系式是，把，和，代入，得，解得：，；（2）根據題意，得；，有最大值，且當時，隨的增大而增大，為整數，時，有最大值，且w最大（元）．答：銷售單價為15元時，每周所獲利潤最大，最大利潤是1750元．【點睛】本題考查了二次函數的應用，屬于常考題型，正確理解題意、熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．10.（2021·湖北中考真題）在“鄉村振興”行動中，某村辦企業以，兩種農作物為原料開發了一種有機產品，原料的單價是原料單價的1.5倍，若用900元收購原料會比用900元收購原料少．生產該產品每盒需要原料和原料，每盒還需其他成本9元．市場調查發現：該產品每盒的售價是60元時，每天可以銷售500盒；每漲價1元，每天少銷售10盒．（1）求每盒產品的成本（成本＝原料費＋其他成本）；（2）設每盒產品的售價是元（是整數），每天的利潤是元，求關于的函數解析式（不需要寫出自變量的取值范圍）；（3）若每盒產品的售價不超過元（是大于60的常數，且是整數），直接寫出每天的最大利潤．【答案】（1）每盒產品的成本為30元．（2）；（3）當時，每天的最大利潤為16000元；當時，每天的最大利潤為元．【分析】（1）設原料單價為元，則原料單價為元．然后再根據“用900元收購原料會比用900元收購原料少”列分式方程求解即可；（2）直接根據“總利潤=單件利潤×銷售數量”列出解析式即可；（3）先確定的對稱軸和開口方向，然后再根據二次函數的性質求最值即可．【詳解】解：（1）設原料單價為元，則原料單價為元．依題意，得．解得，，．經檢驗，是原方程的根．∴每盒產品的成本為：（元）．答：每盒產品的成本為30元．（2）；（3）∵拋物線的對稱軸為=70，開口向下∴當時，a=70時有最大利潤，此時w=16000，即每天的最大利潤為16000元；當時，每天的最大利潤為元．【點睛】本題主要考查了分式方程的應用、二次函數的應用等知識點，正確理解題意、列出分式方程和函數解析式成為解答本題的關鍵．11．（2021·湖北中考真題）紅星公司銷售一種成本為40元/件的產品，若月銷售單價不高于50元/件．一個月可售出5萬件；月銷售單價每漲價1元，月銷售量就減少萬件．其中月銷售單價不低于成本．設月銷售單價為x（單位：元/件），月銷售量為y（單位：萬件）．（1）直接寫出y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）當月銷售單價是多少元/件時，月銷售利潤最大，最大利潤是多少萬元？（3）為響應國家“鄉村振興”政策，該公司決定在某月每銷售1件產品便向大別山區捐款a元．已知該公司捐款當月的月銷售單價不高于70元/件，月銷售最大利潤是78萬元，求a的值．【答案】（1）；（2）當月銷售單價是70元/件時，月銷售利潤最大，最大利潤是90萬元；（3）4．【分析】（1）分和兩種情況，根據“月銷售單價每漲價1元，月銷售量就減少萬件”即可得函數關系式，再根據求出的取值范圍；（2）在（1）的基礎上，根據“月利潤（月銷售單價成本價）月銷售量”建立函數關系式，分別利用一次函數和二次函數的性質求解即可得；（3）設該產品的捐款當月的月銷售利潤為萬元，先根據捐款當月的月銷售單價、月銷售最大利潤可得，再根據“月利潤（月銷售單價成本價）月銷售量”建立函數關系式，然后利用二次函數的性質即可得．【詳解】解：（1）由題意，當時，，當時，，，，解得，綜上，；（2）設該產品的月銷售利潤為萬元，①當時，，由一次函數的性質可知，在內，隨的增大而增大，則當時，取得最大值，最大值為；②當時，，由二次函數的性質可知，當時，取得最大值，最大值為90，因為，所以當月銷售單價是70元/件時，月銷售利潤最大，最大利潤是90萬元；（3）捐款當月的月銷售單價不高于70元/件，月銷售最大利潤是78萬元（大于50萬元），，設該產品捐款當月的月銷售利潤為萬元，由題意得：，整理得：，，在內，隨的增大而增大，則當時，取得最大值，最大值為，因此有，解得．【點睛】本題考查了二次函數與一次函數的實際應用，正確建立函數關系式是解題關鍵．12．（2021·山東中考真題）某商場購進甲、乙兩種商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元．（1）求甲、乙兩種商品每箱各盈利多少元？（2）甲、乙兩種商品全部售完后，該商場又購進一批甲商品，在原每箱盈利不變的前提下，平均每天可賣出100箱．如調整價格，每降價1元，平均每天可以多賣出20箱，那么當降價多少元時，該商場利潤最大？最大利潤是多少？【答案】（1）甲種商品每箱盈利15元，則乙種商品每箱盈利10元；（2）當降價5元時，該商場利潤最大，最大利潤是2000元．【分析】（1）設甲種商品每箱盈利x元，則乙種商品每箱盈利（x-5）元，根據題意列出方程，解方程即可得出結論；

（2）設甲種商品降價a元，則每天可多賣出20a箱，利潤為w元，根據題意列出函數解析式，根據二次函數的性質求出函數的最值．【詳解】解：（1）設甲種商品每箱盈利x元，則乙種商品每箱盈利（x-5）元，根據題意得：，

整理得：x2-18x+45=0，

解得：x=15或x=3（舍去），

經檢驗，x=15是原分式方程的解，符合實際，

∴x-5=15-5=10（元），

答：甲種商品每箱盈利15元，則乙種商品每箱盈利10元；

（2）設甲種商品降價a元，則每天可多賣出20a箱，利潤為w元，由題意得：w=（15-a）（100+20a）=-20a2+200a+1500=-20（a-5）2+2000，

∵a=-20，

當a=5時，函數有最大值，最大值是2000元，

答：當降價5元時，該商場利潤最大，最大利潤是2000元．【點睛】本題考查了分式方程及二次函數的應用，解題的關鍵是理解題意，找出等量關系，準確列出分式方程及函數關系式．13．（2021·遼寧）某網店銷售一款市場上暢銷的蒸蛋器，進價為每個40元，在銷售過程中發現，這款蒸蛋器銷售單價為60元時，每星期賣出100個．如果調整銷售單價，每漲價1元，每星期少賣出2個，現網店決定提價銷售，設銷售單價為x元，每星期銷售量為y個．（1）請直接寫出y（個）與x（元）之間的函數關系式；（2）當銷售單價是多少元時，該網店每星期的銷售利潤是2400元？（3）當銷售單價是多少元時，該網店每星期的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？【答案】（1）y=-2x+220；（2）當銷售單價是70元或80元時，該網店每星期的銷售利潤是2400元；（3）當銷售單價是75元時，該網店每星期的銷售利潤最大，最大利潤是2450元．【分析】（1）根據題意中銷售量y（個）與售價x（元）之間的關系即可得到結論；（2）根據題意列出方程（-2x+220）（x-40）=2400，解方程即可求解；（3）設每星期利潤為w元，構建二次函數模型，利用二次函數性質即可解決問題．【詳解】（1）由題意可得，y=100-2（x-60）=-2x+220；（2）由題意可得，（-2x+220）（x-40）=2400，解得，，，∴當銷售單價是70元或80元時，該網店每星期的銷售利潤是2400元．答：當銷售單價是70元或80元時，該網店每星期的銷售利潤是2400元．（3）設該網店每星期的銷售利潤為w元，由題意可得w=（-2x+220）（x-40）=，當時，w有最大值，最大值為2450，∴當銷售單價是75元時，該網店每星期的銷售利潤最大，最大利潤是2450元．答：當銷售單價是75元時，該網店每星期的銷售利潤最大，最大利潤是2450元．【點睛】本題考查了二次函數的應用，解題的關鍵是構建二次函數模型，利用二次函數的性