4.3.2等比數列的前n項和公式第一課時等比數列的前n項和公式學習目標1.掌握等比數列的前n項和公式,了解推導等比數列前n項和公式的過程與方法,發展邏輯推理的核心素養.2.能夠運用等比數列的前n項和公式進行有關的計算及解決簡單的實際問題,增強數學建模與數學運算的核心素養.3.掌握等比數列的前n項和的性質及其應用,提升邏輯推理與數學運算的核心素養.知識梳理·自主探究師生互動·合作探究知識梳理·自主探究[問題1](1)數列1,3,32,33,…,3n的首項和公比分別是多少?知識探究提示:(1)首項為1,公比為3.(2)把該數列的前n項和Sn=1+3+32+…+3n-1,①兩邊同乘公比3得3Sn=3+32+33+…+3n,②這兩個等式的右邊有何相同點?若用②式減去①式,會有什么結果?(3)對Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1(q≠1)按(2)的方法處理會怎樣呢?1.等比數列的前n項和公式[思考1]等比數列{an}的前n項和公式中涉及a1,an,n,Sn,q五個量,已知幾個量方可以求其他量?提示:三個.B[問題2](1)若數列{an}為等比數列,a1+a2,a3+a4,a5+a6成等比數列嗎?提示:(1)a3+a4=q2(a1+a2),a5+a6=q2(a3+a4),所以a1+a2,a3+a4,a5+a6成等比數列.(2)若數列{an}為等比數列,a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9成等比數列嗎?提示:(2)成等比數列.2.等比數列“片段和”性質等比數列{an}中,公比為q,前n項和為Sn(Sn≠0),則Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…,Skn-S(k-1)n,…構成公比為qn的等比數列.[做一做2]在等比數列{an}中,若a1+a2=20,a3+a4=40,則S6等于(

)A.140 B.120C.210 D.520A解析:因為S2=20,S4-S2=40,且(S4-S2)2=S2×(S6-S4),所以S6-S4=80,S4=40+S2=60,所以S6=140.故選A.[問題3]類比等差數列前n項和性質中的奇數項、偶數項的問題,等比數列是否也有相似的性質?3.等比數列“奇、偶數項和”的性質若{an}是公比為q的等比數列,S偶,S奇分別是數列的偶數項和與奇數項和,則:[問題4]你能從函數角度認識等比數列的前n項和公式嗎?4.等比數列前n項和公式的函數特征(1)若數列{an}為非常數列的等比數列,且其前n項和Sn=A·qn+B(A≠0,B≠0,q≠0,q≠1,n∈N*),則必有A+B=0;反之,若某一非常數列的前n項和Sn=A·qn-A(A≠0,q≠0,q≠1,n∈N*),則該數列必為等比數列.(2)如果公比q≠-1或雖q=-1但n為奇數時,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n構成等比數列.[思考2]若等比數列{an}的公比q不為1,其前n項和為Sn=Aqn+B,則A與B有什么關系?提示:A=-B.[做一做3]若數列{an}是等比數列,且其前n項和Sn=3n+1-3k,則實數k等于

.解析:因為Sn=3n+1-3k=3×3n-3k,所以3=3k,即k=1.答案:1師生互動·合作探究[例1]在等比數列{an}中,探究點一等比數列基本量的計算(2)a1+an=66,a2an-1=128,Sn=126,求q;[例1]在等比數列{an}中,(3)若Sn=189,q=2,an=96,求a1和n.[例1]在等比數列{an}中,方法總結(1)在等比數列{an}的五個量a1,q,an,n,Sn中,已知其中的三個量,通過解方程組,就能求出另外兩個量,這是方程思想與整體思想在數列中的具體應用.(2)在解決與前n項和有關的問題時,首先要對公比q=1或q≠1進行判斷,若兩種情況都有可能,則要分類討論.(3)在解有關的方程(組)時,通常用約分或兩式相除的方法進行消元.[針對訓練](1)已知數列{an}是等比數列,其前n項和為Sn,若a1=1,a6=8a3,則S5等于(

)A.2n-1 B.2-21-nC.2-2n-1 D.21-n-1[例2](1)在等比數列{an}中,Sn為數列{an}的前n項和,S2=3,S4=9,則S6等于(

)A.12 B.18 C.21 D.27探究點二等比數列前n項和的性質解析:(1)法一設數列{an}的公比為q,因為S2=3,S4=9,所以S4-S2=6,q≠-1,所以S2,S4-S2,S6-S4構成以S2為首項,2為公比的等比數列,所以62=3(S6-9),所以S6=12+9=21.故選C.法二設等比數列{an}的公比為q.①若q=1,可得S4=2S2,即9=2×3,顯然不成立;答案:(1)C(2)等比數列{an}共有2n項,其和為-240,且奇數項的和比偶數項的和大80,則公比q=

.

答案:(2)2方法總結靈活運用等比數列前n項和的有關性質,處理等比數列前n項和有關問題時的注意事項:(1)等比數列“片段和”性質的成立是有條件的,即Sn≠0.答案:(1)80(2)等比數列{an}的前n項和Sn=48,前2n項和S2n=60,則前3n項和S3n=

;

答案:(2)63(3)一個等比數列的首項是1,項數是偶數,其奇數項的和為85,偶數項的和為170,求此數列的公比和項數.[例3]某人準備購買一臺售價為5000元的電腦,采用分期付款方式,并在一年內將款項全部付清.商場提出的付款方式:購買2個月后第1次付款,再過2個月后第2次付款,…,購買12個月后第6次付款,每次付款金額相同,約定月利率為0.8%,每月利息按復利計算,求此人每期付款金額是多少.探究點三等比數列前n項和公式的實際應用解:法一設此人每期付款x元,第k個月末付款后的欠款本利為Ak,則A2=5000×(1+0.008)2-x=5000×1.0082-x,A4=A2(1+0.008)2-x=5000×1.0084-1.0082x-x,…A12=5000×1.00812-(1.00810+1.0088+…+1.0082+1)x=0,方法總結解數列應用題的具體方法步驟(1)認真審題,準確理解題意,達到如下要求:①明確問題屬于哪類應用問題,即明確是等差數列問題還是等比數列問題,還是含有遞推關系的數列問題,是求an,還是求Sn.特別要注意準確弄清項數是多少.②弄清題目中主要的已知事項.(2)抓住數量關系,聯想數學知識和數學方法,恰當引入參數變量,將文字語言翻譯成數學語言,將數量關系用數學式子表達.(3)將實際問題抽象為數學問題,將已知與所求聯系起來,列出滿足題意的數學關系式.[針對訓練]一個熱氣球在第一分鐘上升了25m的高度,在以后的每一分鐘里,它上升的高度都是它在前一分鐘里上升高度的80%,這個熱氣球上升的高度能超過125m嗎?備用例題[例1](2021·廣東高州高二期末)已知{an}是等差數列,{bn}是等比數列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.(1)求{an}的通項公式;[例1](2021·廣東高州高二期末)已知{an}是等差數列,{bn}是等比數列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.(2)設cn=an+bn,求數列{cn}的前n項和.(1)求a1,a2;(2)設bn=an+2,求證:數列{bn}是等比數列;(3)求數列{an}的前n項和Sn.學海拾貝等比數列的判定與證明判斷給定的數列{an}是等比數列的方法(3)通項公式法:若數列的通項公式可寫成an=c·qn(c,q均是不為0的常數,n∈N*),則{an}是等比數列.(4)前n項和法:數列{an}的前n項和為Sn=A-Aqn(常數A≠0,公比q≠1).提醒:通過等比數列的判定與證明,可培養邏輯推理,數學運算的核心素養.需要注意的是前兩種方法常用于解答題中,而后兩種方法常用于選擇、填空題中.典例探究:數列{an}滿足a1=-1,且an=3an-1-2n+3(n∈N*,且n≥2).(1)求a2,a3,并證明數列{an-n}是等比數列;(2)求數列{an}的通項公式.思路點撥:利用等比數列的定義及通項公式求解.(2)由(1)知an-n=-2·3n-1,所以an=n-2·3n-1.(1)證明:{an+1}為等比數列;(2)求數列{cn}的前n項和Sn.當堂檢測1.已知等比數列{an}的首項a1=3,公比q=2,則S5等于(

)A.93B.-93 C.45D.-45AA.3 B.2 C.-2 D.-3D3.(2022·山東臨沂高二期末)中國古代數學名著《算法統宗》中有這樣一個問題:“三百七十八里關,初行健步不為難