天津市部分區（薊州區）重點達標名校2023-2024學年十校聯考最后數學試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．如圖，邊長為2a的等邊△ABC中，M是高CH所在直線上的一個動點，連接MB，將線段BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN，連接HN．則在點M運動過程中，線段HN長度的最小值是（）A． B．a C． D．2．x=1是關于x的方程2x﹣a=0的解，則a的值是（）A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．13．若圓錐的軸截面為等邊三角形，則稱此圓錐為正圓錐，則正圓錐側面展開圖的圓心角是（）A．90°B．120°C．150°D．180°4．如圖所示的幾何體，上下部分均為圓柱體，其左視圖是（）A． B． C． D．5．已知關于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0有兩個相等的實數根，下列判斷正確的是（）A．1一定不是關于x的方程x2+bx+a=0的根B．0一定不是關于x的方程x2+bx+a=0的根C．1和﹣1都是關于x的方程x2+bx+a=0的根D．1和﹣1不都是關于x的方程x2+bx+a=0的根6．如圖，?ABCD的對角線AC，BD相交于點O，E是AB中點，且AE+EO=4，則?ABCD的周長為（）A．20B．16C．12D．87．如圖，將△ABC繞點C順時針旋轉，使點B落在AB邊上點B′處，此時，點A的對應點A′恰好落在BC邊的延長線上，下列結論錯誤的是（）A．∠BCB′=∠ACA′ B．∠ACB=2∠BC．∠B′CA=∠B′AC D．B′C平分∠BB′A′8．如圖，點從矩形的頂點出發，沿以的速度勻速運動到點，圖是點運動時，的面積隨運動時間變化而變化的函數關系圖象，則矩形的面積為（）A． B． C． D．9．下列多邊形中，內角和是一個三角形內角和的4倍的是（）A．四邊形B．五邊形C．六邊形D．八邊形10．地球上的陸地面積約為149000000千米2，用科學記數法表示為()A．149×106千米2B．14.9×107千米2C．1.49×108千米2D．0.149×109千211．如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A（-1，0），頂點坐標（1，n）與y軸的交點在（0，2），（0，3）之間（包含端點），則下列結論：①3a+b<0；②-1≤a≤-23；③對于任意實數m，a+b≥am2+bm總成立；④關于x的方程ax2A．1個B．2個C．3個D．4個12．下列運算正確的是（）A．2a+3a=5a2B．（a3）3=a9C．a2?a4=a8D．a6÷a3=a2二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分．）13．如圖，已知AB∥CD，F為CD上一點，∠EFD=60°，∠AEC=2∠CEF，若6°＜∠BAE＜15°，∠C的度數為整數，則∠C的度數為_____．14．如圖，數軸上點A表示的數為a，化簡：a_____．15．若|a|=2016，則a=___________.16．已知甲、乙兩組數據的折線圖如圖，設甲、乙兩組數據的方差分別為S甲2、S乙2，則S甲2__S乙2（填“＞”、“=”、“＜”）17．如圖，在矩形ABCD中，AD=3，將矩形ABCD繞點A逆時針旋轉，得到矩形AEFG，點B的對應點E落在CD上，且DE=EF，則AB的長為_____．18．我國自主研發的某型號手機處理器采用10nm工藝，已知1nm=0.000000001m，則10nm用科學記數法可表示為_____m．三、解答題：（本大題共9個小題，共78分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．19．（6分）如圖，已知在梯形ABCD中，，P是線段BC上一點，以P為圓心，PA為半徑的與射線AD的另一個交點為Q，射線PQ與射線CD相交于點E，設.（1）求證：；（2）如果點Q在線段AD上（與點A、D不重合），設的面積為y，求y關于x的函數關系式，并寫出定義域；（3）如果與相似，求BP的長.20．（6分）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點，過點A作BC的平行線交BE的延長線于點F，連接CF，（1）求證：AF=DC；（2）若AB⊥AC，試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結論．21．（6分）如圖1，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，點D是BC的中點．作正方形DEFG，使點A、C分別在DG和DE上，連接AE，BG．試猜想線段BG和AE的數量關系是_____；將正方形DEFG繞點D逆時針方向旋轉α(0°＜α≤360°)，①判斷(1)中的結論是否仍然成立？請利用圖2證明你的結論；②若BC＝DE＝4，當AE取最大值時，求AF的值．22．（8分）如圖，AB是⊙O的直徑，點F，C是⊙O上兩點，且，連接AC，AF，過點C作CD⊥AF交AF延長線于點D，垂足為D．(1)求證：CD是⊙O的切線；(2)若CD=2，求⊙O的半徑．

23．（8分）已知a，b，c為△ABC的三邊，且滿足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，試判定△ABC的形狀．24．（10分）撫順某中學為了解八年級學生的體能狀況，從八年級學生中隨機抽取部分學生進行體能測試，測試結果分為A，B，C，D四個等級．請根據兩幅統計圖中的信息回答下列問題：（1）本次抽樣調查共抽取了多少名學生？（2）求測試結果為C等級的學生數，并補全條形圖；（3）若該中學八年級共有700名學生，請你估計該中學八年級學生中體能測試結果為D等級的學生有多少名？（4）若從體能為A等級的2名男生2名女生中隨機的抽取2名學生，做為該校培養運動員的重點對象，請用列表法或畫樹狀圖的方法求所抽取的兩人恰好都是男生的概率．25．（10分）計算：﹣16+（﹣）﹣2﹣|﹣2|+2tan60°26．（12分）解不等式組請結合題意填空，完成本題的解答（1）解不等式①，得_______.（2）解不等式②，得_______.（3）把不等式①和②的解集在數軸上表示出來：（4）原不等式組的解集為_______________.27．（12分）如圖①是一副創意卡通圓規，圖②是其平面示意圖，OA是支撐臂，OB是旋轉臂．使用時，以點A為支撐點，鉛筆芯端點B可繞點A旋轉作出圓．已知OA＝OB＝10cm.(1)當∠AOB＝18°時，求所作圓的半徑(結果精確到0.01cm)；(2)保持∠AOB＝18°不變，在旋轉臂OB末端的鉛筆芯折斷了一截的情況下，作出的圓與(1)中所作圓的大小相等，求鉛筆芯折斷部分的長度(結果精確到0.01cm，參考數據：sin9°≈0.1564，cos9°≈0.9877，sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511，可使用科學計算器)．

參考答案一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1、A【解析】

取CB的中點G，連接MG，根據等邊三角形的性質可得BH=BG，再求出∠HBN=∠MBG，根據旋轉的性質可得MB=NB，然后利用“邊角邊”證明∴△MBG≌△NBH，再根據全等三角形對應邊相等可得HN=MG，然后根據垂線段最短可得MG⊥CH時最短，再根據∠BCH=30°求解即可．【詳解】如圖，取BC的中點G，連接MG，∵旋轉角為60°，∴∠MBH+∠HBN=60°，又∵∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°，∴∠HBN=∠GBM，∵CH是等邊△ABC的對稱軸，∴HB=AB，∴HB=BG，又∵MB旋轉到BN，∴BM=BN，在△MBG和△NBH中，，∴△MBG≌△NBH（SAS），∴MG=NH，根據垂線段最短，MG⊥CH時，MG最短，即HN最短，此時∵∠BCH=×60°=30°，CG=AB=×2a=a，∴MG=CG=×a=，∴HN=，故選A．【點睛】本題考查了旋轉的性質，等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質，垂線段最短的性質，作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵，也是本題的難點．2、B【解析】試題解析：把x=1代入方程1x-a=0得1-a=0，解得a=1．故選B.考點：一元一次方程的解.3、D【解析】試題分析：設正圓錐的底面半徑是r，則母線長是2r，底面周長是2πr，設正圓錐的側面展開圖的圓心角是n°，則2r·πr180考點：圓錐的計算．4、C【解析】試題分析：∵該幾何體上下部分均為圓柱體，∴其左視圖為矩形，故選C．考點：簡單組合體的三視圖．5、D【解析】

根據方程有兩個相等的實數根可得出b=a+1或b=-（a+1），當b=a+1時，-1是方程x2+bx+a=0的根；當b=-（a+1）時，1是方程x2+bx+a=0的根．再結合a+1≠-（a+1），可得出1和-1不都是關于x的方程x2+bx+a=0的根．【詳解】∵關于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0有兩個相等的實數根，∴，∴b=a+1或b=-（a+1）．當b=a+1時，有a-b+1=0，此時-1是方程x2+bx+a=0的根；當b=-（a+1）時，有a+b+1=0，此時1是方程x2+bx+a=0的根．∵a+1≠0，∴a+1≠-（a+1），∴1和-1不都是關于x的方程x2+bx+a=0的根．故選D．【點睛】本題考查了根的判別式以及一元二次方程的定義，牢記“當△=0時，方程有兩個相等的實數根”是解題的關鍵．6、B【解析】

首先證明：OE=12【詳解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，∵AE=EB，∴OE=12∵AE+EO=4，∴2AE+2EO=8，∴AB+BC=8，∴平行四邊形ABCD的周長=2×8=16，故選：B．【點睛】本題考查平行四邊形的性質、三角形的中位線定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握三角形的中位線定理，屬于中考?？碱}型．7、C【解析】

根據旋轉的性質求解即可．【詳解】解：根據旋轉的性質，A:∠與∠均為旋轉角，故∠=∠，故A正確；B:,,又,,故B正確；D:,B′C平分∠BB′A′,故D正確.無法得出C中結論，故答案：C.【點睛】本題主要考查三角形旋轉后具有的性質，注意靈活運用各條件8、C【解析】

由函數圖象可知AB=2×2=4,BC=(6-2)×2=8,根據矩形的面積公式可求出．【詳解】由函數圖象可知AB=2×2=4,BC=(6-2)×2=8,∴矩形的面積為4×8=32,故選:C.【點睛】本題考查動點運動問題、矩形面積等知識，根據圖形理解△ABP面積變化情況是解題的關鍵，屬于中考常考題型．9、C【解析】

利用多邊形的內角和公式列方程求解即可【詳解】設這個多邊形的邊數為n．由題意得：（n﹣2）×180°=4×180°．解得：n=1．答：這個多邊形的邊數為1．故選C．【點睛】本題主要考查的是多邊形的內角和公式，掌握多邊形的內角和公式是解題的關鍵．10、C【解析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值大于10時，n是正數；當原數的絕對值小于1時，n是負數．解：149

000

000=1.49×2千米1．故選C．把一個數寫成a×10n的形式，叫做科學記數法，其中1≤|a|＜10，n為整數．因此不能寫成149×106而應寫成1.49×2．11、D【解析】

利用拋物線開口方向得到a＜0，再由拋物線的對稱軸方程得到b=-2a，則3a+b=a，于是可對①進行判斷；利用2≤c≤3和c=-3a可對②進行判斷；利用二次函數的性質可對③進行判斷；根據拋物線y=ax2+bx+c與直線y=n-1有兩個交點可對④進行判斷．【詳解】∵拋物線開口向下，∴a＜0，而拋物線的對稱軸為直線x=-b2a∴3a+b=3a-2a=a＜0，所以①正確；∵2≤c≤3，而c=-3a，∴2≤-3a≤3，∴-1≤a≤-23∵拋物線的頂點坐標（1，n），∴x=1時，二次函數值有最大值n，∴a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥am2+bm，所以③正確；∵拋物線的頂點坐標（1，n），∴拋物線y=ax2+bx+c與直線y=n-1有兩個交點，∴關于x的方程ax2+bx+c=n-1有兩個不相等的實數根，所以④正確．故選D．【點睛】本題考查了二次函數圖象與系數的關系：二次項系數a決定拋物線的開口方向和大?。攁＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置：當a與b同號時，對稱軸在y軸左；當a與b異號時，對稱軸在y軸右．常數項c決定拋物線與y軸交點：拋物線與y軸交于（0，c）．拋物線與x軸交點個數由判別式確定：△=b2-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b2-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．12、B【解析】

直接利用同底數冪的乘除運算法則以及冪的乘方運算法則、合并同類項法則分別化簡得出答案．【詳解】A、2a+3a=5a，故此選項錯誤；B、（a3）3=a9，故此選項正確；C、a2?a4=a6，故此選項錯誤；D、a6÷a3=a3，故此選項錯誤．故選：B．【點睛】此題主要考查了同底數冪的乘除運算以及合并同類項和冪的乘方運算，正確掌握運算法則是解題關鍵．二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分．）13、36°或37°．【解析】分析：先過E作EG∥AB，根據平行線的性質可得∠AEF=∠BAE+∠DFE，再設∠CEF=x，則∠AEC=2x，根據6°＜∠BAE＜15°，即可得到6°＜3x-60°＜15°，解得22°＜x＜25°，進而得到∠C的度數．詳解：如圖，過E作EG∥AB，∵AB∥CD，∴GE∥CD，∴∠BAE=∠AEG，∠DFE=∠GEF，∴∠AEF=∠BAE+∠DFE，設∠CEF=x，則∠AEC=2x，∴x+2x=∠BAE+60°，∴∠BAE=3x-60°，又∵6°＜∠BAE＜15°，∴6°＜3x-60°＜15°，解得22°＜x＜25°，又∵∠DFE是△CEF的外角，∠C的度數為整數，∴∠C=60°-23°=37°或∠C=60°-24°=36°，故答案為：36°或37°．點睛：本題主要考查了平行線的性質以及三角形外角性質的運用，解決問題的關鍵是作平行線，解題時注意：兩直線平行，內錯角相等．14、1．【解析】

直接利用二次根式的性質以及結合數軸得出a的取值范圍進而化簡即可．【詳解】由數軸可得：0＜a＜1，則a+=a+=a+（1﹣a）=1．故答案為1．【點睛】本題主要考查了二次根式的性質與化簡，正確得出a的取值范圍是解題的關鍵．15、±1【解析】試題分析：根據零指數冪的性質（），可知|a|=1，座椅可知a=±1.16、＞【解析】

要比較甲、乙方差的大小，就需要求出甲、乙的方差；首先根據折線統計圖結合根據平均數的計算公式求出這兩組數據的平均數；接下來根據方差的公式求出甲、乙兩個樣本的方差，然后比較即可解答題目.【詳解】甲組的平均數為：=4，S甲2=×[(3-4)2+(6-4)2+(2-4)2+(6-4)2+(4-4)2+(3-4)2]=，乙組的平均數為：=4，S乙2=×[(4-4)2+(3-4)2+(5-4)2+(3-4)2+(4-4)2+(5-4)2]=，∵＞，∴S甲2＞S乙2.故答案為：>.【點睛】本題考查的知識點是方差,算術平均數,折線統計圖，解題的關鍵是熟練的掌握方差,算術平均數,折線統計圖.17、3【解析】【分析】根據旋轉的性質知AB=AE，在直角三角形ADE中根據勾股定理求得AE長即可得.【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D=90°，BC=AD=3，∵將矩形ABCD繞點A逆時針旋轉得到矩形AEFG，∴EF=BC=3，AE=AB，∵DE=EF，∴AD=DE=3，∴AE==3，∴AB=3，故答案為3.【點睛】本題考查矩形的性質和旋轉的性質，熟知旋轉前后哪些線段是相等的是解題的關鍵.18、1×10﹣1【解析】

絕對值小于1的正數也可以利用科學記數法表示，一般形式為a×10-n，與較大數的科學記數法不同的是其所使用的是負指數冪，指數由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．【詳解】解：10nm用科學記數法可表示為1×10-1m，

故答案為1×10-1．【點睛】本題考查用科學記數法表示較小的數，一般形式為a×10-n，其中1≤|a|＜10，n為由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．三、解答題：（本大題共9個小題，共78分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．19、（1）見解析；（2）；（3）當或8時，與相似.【解析】

（1）想辦法證明即可解決問題；（2）作A于M，于N.則四邊形AMPN是矩形.想辦法求出AQ、PN的長即可解決問題；（3）因為，所以，又，推出，推出相似時，與相似，分兩種情形討論即可解決問題；【詳解】（1）證明：四邊形ABCD是等腰梯形，，，，，，，.（2）解：作于M，于N.則四邊形是矩形.在中，，，，，，.（3）解：，，，相似時，與相似，，當時，，此時，當時，，此時，綜上所述，當PB=5或8時，與△相似.【點睛】本題考查幾何綜合題、圓的有關性質、等腰梯形的性質，銳角三角函數、相似三角形的判定和性質、平行線的性質等知識，解題的關鍵是正確尋找相似三角形解決問題，學會添加常用輔助線，構造直角三角形和特殊四邊形解決問題，屬于中考壓軸題.20、（1）見解析（2）見解析【解析】

（1）根據AAS證△AFE≌△DBE，推出AF=BD，即可得出答案．（2）得出四邊形ADCF是平行四邊形，根據直角三角形斜邊上中線性質得出CD=AD，根據菱形的判定推出即可．【詳解】解：（1）證明：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE．∵E是AD的中點，AD是BC邊上的中線，∴AE=DE，BD=CD．在△AFE和△DBE中，∵∠AFE=∠DBE，∠FEA=∠BED，AE=DE，∴△AFE≌△DBE（AAS）∴AF=BD．∴AF=DC．（2）四邊形ADCF是菱形，證明如下：∵AF∥BC，AF=DC，∴四邊形ADCF是平行四邊形．∵AC⊥AB，AD是斜邊BC的中線，∴AD=DC．∴平行四邊形ADCF是菱形21、（1）BG=AE．（2）①成立BG=AE．證明見解析.②AF=．【解析】

（1）由等腰直角三角形的性質及正方形的性質就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出結論；

（2）①如圖2，連接AD，由等腰直角三角形的性質及正方形的性質就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出結論；

②由①可知BG=AE，當BG取得最大值時，AE取得最大值，由勾股定理就可以得出結論．【詳解】(1)BG=AE.理由：如圖1,∵△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°，點D是BC的中點，∴AD⊥BC，BD=CD，∴∠ADB=∠ADC=90°.∵四邊形DEFG是正方形，∴DE=DG.在△BDG和△ADE中，BD=AD,∠BDG=∠ADE,GD=ED，∴△ADE≌△BDG(SAS)，∴BG=AE.故答案為BG=AE；(2)①成立BG=AE.理由：如圖2，連接AD，∵在Rt△BAC中，D為斜邊BC中點，∴AD=BD,AD⊥BC,∴∠ADG+∠GDB=90°.

∵四邊形EFGD為正方形，∴DE=DG,且∠GDE=90°，∴∠ADG+∠ADE=90°，∴∠BDG=∠ADE.在△BDG和△ADE中，BD=AD,∠BDG=∠ADE,GD=ED，∴△BDG≌△ADE(SAS)，∴BG=AE；

②∵BG=AE，∴當BG取得最大值時，AE取得最大值．如圖3,當旋轉角為270°時，BG=AE.∵BC=DE=4，∴BG=2+4=6.∴AE=6.在Rt△AEF中，由勾股定理，得AF==，∴AF=2.【點睛】本題考查的知識點是全等三角形的判定與性質及勾股定理及正方形的性質和等腰直角三角形，解題的關鍵是熟練的掌握全等三角形的判定與性質及勾股定理以及正方形的性質和等腰直角三角形.22、(2)1【解析】試題分析：（1）連結OC，由=，根據圓周角定理得∠FAC=∠BAC，而∠OAC=∠OCA，則∠FAC=∠OCA，可判斷OC∥AF，由于CD⊥AF，所以OC⊥CD，然后根據切線的判定定理得到CD是⊙O的切線；（2）連結BC，由AB為直徑得∠ACB=90°，由==,得∠BOC=60°，則∠BAC=30°，所以∠DAC=30°，在Rt△ADC中，利用含30°的直角三角形三邊的關系得AC=2CD=1，在Rt△ACB中，利用含30°的直角三角形三邊的關系得BC=AC=1，AB=2BC=8，所以⊙O的半徑為1．試題解析：（1）證明：連結OC，如圖，∵=∴∠FAC=∠BAC∵OA=OC∴∠OAC=∠OCA∴∠FAC=∠OCA∴OC∥AF∵CD⊥AF∴OC⊥CD∴CD是⊙O的切線（2）解：連結BC，如圖∵AB為直徑∴∠ACB=90°∵==∴∠BOC=×180°=60°∴∠BAC=30°∴∠DAC=30°在Rt△ADC中，CD=2∴AC=2CD=1在Rt△ACB中，BC=AC=×1=1∴AB=2BC=8∴⊙O的半徑為1.考點：圓周角定理,切線的判定定理，30°的直角三角形三邊的關系23、等腰直角三角形【解析】

首先把等式的左右兩邊分解因式，再考慮等式成立的條件，從而判斷△ABC的形狀．【詳解】解：∵a2c2－b2c2=a4－b4，∴a4－b4－a2c2+b2c2=0，∴（a4－b4）－（a2c2－b2c2）=0，∴（a2+b2）（a2－b2）－c2（a2－b2）=0，∴（a2+b2－c2）（a2－b2）=0得：a2+b2=c2或a=b，或者a2+b2=c2且a=b，即△ABC為直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．考點：勾股定理的逆定理．24、（1）50；（2）16；（3）56（4）見解析【解析】

（1）用A等級的頻數除以它所占的百分比即可得到樣本容量；

（2）用總人數分別減去A、B、D等級的人數得到C等級的人數，然后補全條形圖；（3）用700乘以D等級的百分比可估計該中學八年級學生中體能測試結果為D等級的學生數；

（4）畫樹狀圖展示12種等可能的結果數，再找出抽取的兩人恰好都是男生的結果數，然后根據概率公式求解．【詳解】（1）10÷20%=50（名）答：本次抽樣調查共抽取了50名學生.（2）50-10-20-4=16（名）答：測試結果為C等級的學生有16名.圖形統計圖補充完整如下圖所示：（3）700×=56（名）答：估計該中學八年級學生中體能測試結果為D等級的學生有56名.（4）畫樹狀圖為：

共有12種等可能的結果