最短路徑問題黃陂區長軒嶺中學陳國強如圖所示：從A到B有三條路可供選擇，你會選擇哪條路距離最短？你的理由是什么？ABCDEF兩點之間，線段最短。如圖，要在燃氣管道L上修建一個泵站，分別向A.B兩鎮供氣，泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？ABAB●●P●泵站健在點P可使輸氣管線最短。L問題1相傳，古希臘亞歷山大里亞城里面有一位久負盛名的學者，叫做海倫。有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個百思不得其解的問題：從圖中的A地出發，到一條筆直的河邊L飲馬，然后到B地，到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？AB追問1這是一個實際問題，你打算首先做什么？ABL將A，B兩地抽象為兩個點，將河L抽象為一條直線●●追問2你能用自己的語言說明這個問題的意思，并將它抽象為數學問題嗎？ABL●●追問3你能用自己的語言說明這個問題的意思，并將它抽象為數學問題，數學術語表達嗎？現在的問題是怎樣找出使兩條線段之和最短的直線L上的點，設C為直線L上一個動點.上面的問題就轉化為：當點C在L什么位置時，AC和CB的和最小（如圖）ABLC●●●問題2如圖，點A,B在L的同側，點C是直線L上一個動點，當C在L的什么位置時，AC和BC的和最小？追問1對于問題2，如何將B“移”到L的另一側B’處，滿足直線L的任意一點C，都保持CB與CB’的長度相等?問題3你能用軸對稱的有關知識，找到上問中符合條件的B’嗎？ABLCB’作法：（1）作點B關于直線L的對稱點B’(2)連接AB’，與直線L相交于點C，即C點為所求。●●●●問題3你能用所學的知識證明AC+BC最短嗎？ALCB’BC’證明：如圖，在直線L上任取一點C’(與點C不重合)連接AC’,BC’,B’C’由軸對稱的性質知：BC=B’CBC’=B’C’AC+BC=AC+B’C=AB’AC’+BC’=AC’+B’C’你能用所學的知識證明AC+BC最短嗎？證明：在三角形AB’C’中AB’<AC’+B’C’所以AC+BC<AC’+BC’即AC+BC最短●●●●●追問1證明AC+BC最短時，為什么要在直線L上任取一點C’（與點C不重合）證明AC+BC<AC’+BC’?,這里的C’的作用是什么？ACB’BC’若直線L上任意一點（與點C不重合）與A.B兩點的距離之和都大于AC+BC,就說AC+BC最小。追問2回顧前面的探究過程，我們是通過怎樣的過程，借助什么解決問題的？L●●●●●練習：如圖，小河邊有兩個村莊A.B,要在河邊建一自來水廠向A村與B村供水。（1）若要使水廠到A.B村的距離相等，則應選擇在哪建廠？（2）若要使水廠到A.B兩村的水管最短，應建在什么地方？●●如圖，∠AOB=30°,點P為∠

AOB內一點。OP=10.點M,N分別在OA,OB上，求三角形PMN的周長最小值AOBPP1P2MN解：分別作點P關于OA.OB的對稱點P1.P2。連P1P2，交OA于M,交OB于N，△PMN的周長=P1P2。所以P1P2=OP1=OP2=OP=10●●●●●運用新知：1.某中學八（1）班舉行文藝晚會，桌子擺成如下圖a所示的兩直排（圖中AO.BO）.AO桌面上擺