第三章線性方程組第一節線性方程組的一般解法第三節齊次線性方程組第二節線性方程組解的判別第四節投入產出問題12本章知識思維導圖引導案例---投入產出模型3假設一個經濟系統由煤炭、電力和鋼鐵三個部門組成，每個部門的年度總產出已知，并且每個部門的總產出在各部門之間分配已知如下表3-1：

因所有產出都必須分配，求出平衡價格使得每個部門的收支平衡。分析：為使每個部門的收支都平衡，就是各部門的總收入等于它的總支出，就是本章要學習的齊次線性方程組的求解問題。

第一節線性方程組的一般解法4本節主要學習目標：[知識目標] 了解線性方程組的同解變換。 熟練掌握線性方程組的初等行變換解法。[能力目標] 能用矩陣的初等行變換確定線性方程組解的結構及求出方程組的解。5考慮由m個線性方程式構成的n元線性方程組

由未知量系數構成的m行n列矩陣稱為系數矩陣,記作A,即矩陣

6由未知量構成的矩陣稱為未知量矩陣,記作X由常數項構成的矩陣稱為常數項矩陣,記作B

7這時此線性方程組可以表示為矩陣形式AX=B顯然,線性方程組解的情況取決于未知量系數與常數項增廣矩陣8定義3.1已知由m個線性方程式構成的n元線性方程組AX=B,由未知量系數與常數項構成的m行n+1列矩陣稱為增廣矩陣,記作

解線性方程組最常用的方法是消元法,即對線性方程組作同解變換.線性方程組的同解變換9定義3.2對線性方程組施以下列三種變換:(1)交換線性方程組的任意兩個線性方程式(2)線性方程組的任意一個線性方程式乘以非零常數k(3)線性方程組任意一個線性方程式的常數k倍加到另外一個線性方程式上去稱為線性方程組的同解變換.例110解線性方程組

解:首先交換第1個線性方程式與第2個線性方程式,得到

例111再將第1個線性方程式的-3倍加到第2個線性方程式上去,得到

至此第2個線性方程式不含未知量x1,只含未知量x2,可以解出未知量x2的值,由于系數行列式

例112

最后將第2個線性方程式的-2倍加到第1個線性方程式上去,得到

即為此線性方程組的唯一解例113對線性方程組作同解變換,只是使得未知量系數與常數項改變,而未知量記號不會改變因此在求解過程中,不必寫出未知量記號,而只需寫出由未知量系數與常數項構成的增廣矩陣,它代表線性方程組這時上面的求解過程可以表示為矩陣形式:

例114交換第1行與第2行

第1行的-3倍加到第2行上去

至此化為階梯形矩陣,根據§1.4克萊姆法則,此線性方程組有唯一解例115

第2行的-2倍加到第1行上去

例116

所以此線性方程組的唯一解為

線性方程組的同解變換17交換線性方程組的任意兩個線性方程式意味著交換增廣矩陣的相應兩行;線性方程組的任意一個線性方程式乘以非零常數k增廣矩陣的相應一行乘以非零常數k意味著線性方程組的同解變換18線性方程組任意一個線性方程式的常數k倍加到另外一個線性方程式上去增廣矩陣相應一行的常數k倍加到另外相應一行上去意味著結論：對線性方程組作同解變換,相當于對增廣矩陣作初等行變換.線性方程組的一般解法19上面的求解過程可以推廣到一般情況,得到線性方程組AX=B的一般解法:

線性方程組的一般解法20如何將階梯形矩陣經若干次初等行變換化為簡化階梯形矩陣？這時應該從右到左依次將非零行首非零元素所在列其余元素全化為零,只需將此非零行的適當若干倍分別加到其他各行上去線性方程組的一般解法21在上述步驟中,可根據需要,穿插將非零行首非零元素適時化為1,只需非零行乘以其首非零元素的倒數,或者另外一行的適當若干倍加到此行上去值得注意的是:由于此題所給線性方程組有唯一解,從而也可以應用行列式求解,如§1.4例1當然,還可以應用逆矩陣求解,如§2.4例7,都得到同樣的結果.例222

解：

第1行的-3倍加到第2行上去,第1行加到第3行上去

例223第2行的-1倍加到第3行上去

注意到所得階梯形矩陣第3行是零行,它代表第3個線性方程式

例224這是恒等關系式,對線性方程組的求解不起作用,是多余線性方程式這意味著構成此線性方程組的3個線性方程式不是完全有效的,其中1個線性方程式(如第3個線性方程式)可以去掉,而其余2個線性方程式(如第1個線性方程式與第2個線性方程式)是有效線性方程式它們不能完全約束3個未知量的取值,只能完全約束其中2個未知量的取值,而另外1個未知量可以自由取值例225自由取值的未知量稱為自由未知量,非自由取值的未知量稱為非自由未知量選擇非自由未知量所依據的原則是:其系數行列式不為零.當然,這種選擇不唯一,習慣于將腳標較大的未知量選作自由未知量,而將腳標較小的未知量選作非自由未知量例226所得階梯形矩陣第1行與第2行代表2個有效線性方程式構成的線性方程組

將含未知量x3的項都移到等號的右端,有

例227對于未知量x1,x2,其系數行列式

任給未知量x3的一個值,根據§1.4克萊姆法則,得到未知量x1,x2的唯一解,它們構成此線性方程組的一組解,這說明此線性方程組有無窮多解例228對所得階梯形矩陣繼續作初等行變換,化為簡化階梯形矩陣,有

第2行乘以-1

例229第2行的2倍加到第1行上去

所得簡化階梯形矩陣第1行與第2行代表線性方程組

例230選擇未知量x3為自由未知量,未知量x1,x2為非自由未知量,非自由未知量x1,x2用自由未知量x3表示,其表達式為

例231自由未知量x3取任意常數c,所以此線性方程組無窮多解的一般表達式為

當然,解線性方程組的具體過程不是唯一的例332解線性方程組

例333第1行的-2倍加到第2行上去,第1行的-1倍加到第3行上去

第2行加到第3行上去

例334對于全體未知量x1,x2,x3,其系數行列式D=0,根據§1.4克萊姆法則,此線性方程組無唯一解注意到所得階梯形矩陣第3行代表第3個線性方程式0x1+0x2+0x3=1即有0=1例335得到矛盾的結果,這是線性方程組中一些線性方程式相互矛盾的反映說明未知量的任何一組取值都不能同時滿足所有線性方程式,所以此線性方程組無解36本次課程結束第二節線性方程組解的判別37本節主要學習目標：[知識目標]熟練掌握線性方程組的解的判別定理。[能力目標]能利用解的判別定理確定線性方程組解的情況及求出方程組的一般解。例138

解：

第1行的-2倍加到第3行上去

例139第2行的-2倍加到第3行上去

例140又未知量的個數n也為3,有秩

對于全體未知量x1,x2,x3,其系數行列式

根據§1.4克萊姆法則,此線性方程組有唯一解.例141對所得階梯形矩陣繼續作初等行變換,化為簡化階梯形矩陣,有

第3行乘以-1

第3行的-1倍加到第1行上去第3行的-3倍加到第2行上去

例142第2行加到第1行上去

所以此線性方程組的唯一解為

例243解線性方程組

例244

對于未知量x1,x2,其系數行列式

但未知量的個數n為3,有秩

例245任給未知量x3的一個值,根據§1.4克萊姆法則,得到未知量x1,x2的唯一解,它們構成此線性方程組的一組解這說明此線性方程組有無窮多解,且有3-2=1個自由未知量對所得階梯形矩陣繼續作初等行變換,化為簡化階梯形矩陣,有

例246第2行的2倍加到第1行上去

第2行乘以-1

例247所得簡化階梯形矩陣代表線性方程組

選擇未知量x3為自由未知量,未知量x1,x2為非自由未知量,非自由未知量x1,x2用自由未知量x3表示,其表達式為

例248

自由未知量x3取任意常數c,所以此線性方程組無窮多解的一般表達式為例349

解：

第1行的-3倍加到第2行上去第1行的-2倍加到第3行上去

例350第2行的-1倍加到第3行上去

例351所得階梯形矩陣第3行代表第3個線性方程式0=-2得到矛盾的結果,這是線性方程組中一些線性方程式相互矛盾的反映,說明未知量的任何一組取值都不能同時滿足所有線性方程式,所以此線性方程組無解.線性方程組的判別理論52定理3.1

例453

(2)判別線性方程組解的情況,若有解,則求解例454

第1行的-1倍分別加到第2行與第3行上去

例455第2行的-2倍加到第3行上去

例456

對所得階梯形矩陣繼續作初等行變換,化為簡化階梯形矩陣,有

例457第2行加到第1行上去

得到線性方程組

例458選擇未知量x3,x4為自由未知量,未知量x1,x2為非自由未知量,非自由未知量x1,x2用自由未知量x3,x4表示,其表達式為

自由未知量x3取任意常數c1,自由未知量x4取任意常數c2,所以此線性方程組無窮多解的一般表達式為

例459在例4中,也可以選擇未知量x1,x4為自由未知量,相應的無窮多解的一般表達式為

注意:對于線性方程組有無窮多解的情況,由于自由未知量的選擇不是唯一的,因而無窮多解的一般表達式也不是唯一的例560

討論當常數λ為何值時,它有唯一解、有無窮多解或無解.解:

例561

當常數λ≠0且常數λ≠1時,有秩

所以此線性方程組有唯一解例562當常數λ=0時,有秩

所以此線性方程組有無窮多解例563當常數λ=1時,有秩

所以此線性方程組無解.例664

解:

例665第1行的-1倍加到第3行上去

第2行的-1倍加到第3行上去

容易看出,系數矩陣A的秩r(A)=2例666

得到關系式λ-4=0,所以常數λ=467考慮由n個線性方程式構成的n元線性方程組AX=B,其中系數矩陣A顯然是n階方陣注意到方陣經初等行變換后,其行列式是否等于零是不會改變的如果系數行列式不等于零,則系數矩陣A經初等行變換化為階梯形矩陣后,其行列式的值雖然有可能改變,但仍不等于零,這意味著沒有零行68

所以此線性方程組有唯一解69本次課程結束第三節齊次線性方程組70本節主要學習目標：[知識目標] 了解齊次線性方程組的矩陣形式。 熟練掌握齊次線性方程組的解的判別及求解計算。[能力目標] 能用初等行變換法熟練求出齊次線性方程組的解。71考慮由m個齊次線性方程式構成的n元齊次線性方程組

它可以表示為矩陣形式AX=O72其中矩陣A為系數矩陣,矩陣X為未知量矩陣,零矩陣O為常數項矩陣,即矩陣

73當然,增廣矩陣

74齊次線性方程組恒有解,即至少有零解:如果秩r(A)<n,則有無窮多解,意味著除有零解外,還有非零解如果秩r(A)=n,則有唯一解,意味著僅有零解,說明無非零解顯然,如果有非零解,則秩r(A)<n75定理3.2已知由m個齊次線性方程式構成的n元齊次線性方程組AX=O,那么:(1)如果秩r(A)<n,則此齊次線性方程組有非零解;(2)如果此齊次線性方程組有非零解,則秩r(A)<n.推論：當齊次線性方程式的個數少于未知量的個數即m<n時,齊次線性方程組有非零解.76考慮由n個齊次線性方程式構成的n元齊次線性方程組AX=O其中系數矩陣A顯然是n階方陣如果系數行列式等于零,則系數矩陣A經初等行變換化為階梯形矩陣后,其行列式的值仍然等于零這意味著有零行,從而系數矩陣A的秩r(A)<n所以此齊次線性方程組有非零解77如何解齊次線性方程組?對增廣矩陣作若干次初等行變換,化為階梯形矩陣判別有無非零解若有非零解對增廣矩陣繼續作若干次初等行變換,化為簡化階梯形矩陣還原為線性方程組后,從而得到齊次線性方程組的解.例178

(1)判別有無非零解;(2)若有非零解,則求解的一般表達式.例179解:

交換第1行與第3行

例180第1行與第2行皆加到第3行上去第1行的-1倍加到第2行上去

容易看出,系數矩陣A的秩r(A)=2,而未知量的個數n=3,有秩r(A)=2<n=3所以此齊次線性方程組有非零解.例181(2)對所得階梯形矩陣繼續作初等行變換,化為簡化階梯形矩陣,有

例182第2行的-1倍加到第1行上去

得到線性方程組

例183選擇未知量z為自由未知量,未知量x,y為非自由未知量,非自由未知量x,y用自由未知量z表示,其表達式為

自由未知量z取任意常數c,所以此齊次線性方程組無窮多解的一般表達式為

例284

(1)判別有無非零解;(2)若有非零解,則求解的一般表達式.例285解:(1)由于齊次線性方程式的個數m少于未知量的個數n,即m=3<n=4所以此齊次線性方程組有非零解.例286

第1行的-3倍加到第2行上去第1行加到第3行上去

例287第2行的2倍加到第3行上去

第2行乘以-1

例288第2行的-1倍加到第1行上去

得到線性方程組

例289

90本次課程結束第四節投入產出問題

91本節主要學習目標：[知識目標] 了解經濟學中投入產出問題。 理解產品分配平衡的線性方程組及其定理。[能力目標] 能用初等行變換法熟練求出產品分配平衡的線性方程組的解。92考慮一個經濟系統,它由n個部門組成,這n個部門之間在產品的生產與分配上有著復雜的經濟與技術聯系,這種聯系可以按實物表現,也可以按價值表現.下面的討論采用價值表現,即所有數值都按價值單位計量.在復雜的聯系中,每一個部門都有雙重身份,一方面作為生產者將自己的產品分配給各部門,并提供最終產品,它們之和即為此部門的總產出;另一方面作為消費者消耗各部門的產品,即接收各部門的投入,同時創造價值,它們之和即為對此部門的總投入.當然,一個部門的總產出應該等于對它的總投入93首先考察各部門作為生產者的情況:第1部門分配給第1部門的產品為x11,分配給第2部門的產品為x12,…,分配給第n部門的產品為x1n,最終產品為y1,總產出為x1;第2部門分配給第1部門的產品為x21,分配給第2部門的產品為x22,…,分配給第n部門的產品為x2n,最終產品為y2,總產出為x2;…

…第n部門分配給第1部門的產品為xn1,分配給第2部門的產品為xn2,…,分配給第n部門的產品為xnn,最終產品為yn,總產出為xn.94其次考察各部門作為消費者的情況:第1部門消耗第1部門的產品為x11,消耗第2部門的產品為x21,…,消耗第n部門的產品為xn1,創造價值為z1,得到的總投入為它的總產出x1第2部門消耗第1部門的產品為x12,消耗第2部門的產品為x22,…,消耗第n部門的產品為xn2,創造價值為z2,得到的總投入為它的總產出x2…

…第n部門消耗第1部門的產品為x1n,消耗第2部門的產品為x2n,…,消耗第n部門的產品為xnn,創造價值為zn,得到的總投入為它的總產出xn95將上面的數據列成一張表,這張表稱為投入產出平衡表部門間流量投入產出消費部門最終產品總產出12…n生產部門1x11x12…x1ny1x12x21x22…x2ny2x2???

???nxn1xn2…xnnynxn創造價值z1z2…zn

總投入x1x2…xn96在表中的前n行中,每一行都反映出該部門作為生產者將自己的產品分配給各部門,這些產品加上該部門的最終產品應該等于它的總產出,即

這個方程組稱為產品分配平衡方程組.97在表中的前n列中,每一列都反映出該部門作為消費者消耗各部門的產品,即接收各部門對它的投入,這些投入加上該部門的創造價值就是對它的總投入,應該等于它的總產出,即

這個方程組稱為產品消耗平衡方程組.98比較兩個方程組,容易看出:在一般情況下,一個部門的最終產品并不恒等于它的創造價值,即等式yi=zi(i=1,2,…,n)非恒成立.但是,所有部門的最終產品之和一定等于它們的創造價值之和,即y1+y2+…+yn=z1+z2+…+zn為了揭示部門間流量與總投入的內在聯系,還要考慮一個部門消耗各部門的產品在對該部門的總投入中占有多大比重,于是引進下面的概念.99定義3.3第j部門消耗第i部門的產品xij在對第j部門的總投入xj中占有的比重,稱為第j部門對第i部門的直接消耗系數,記作

100在表中每個部門間流量除以所在列的總投入,就得到部門間的直接消耗系數,共有n2個,它們構成一個n階方陣,稱為直接消耗系數矩陣,記作A=(aij)n×n,即

101直接消耗系數具有下列性質:性質10≤aij<1

(i=1,2,…,n;j=1,2,…,n)性質2a1j+a2j+…+anj<1

(j=1,2,…,n)102例1已知一個經濟系統包括三個部門,報告期的投入產出平衡表如表所示，求報告期的直接消耗系數矩陣A部門間流量投入產出消費部門最終產品總產出123生產部門13040152153002302030120200330203070150創造價值210