第二章矩陣與向量第一節矩陣的概念與基本運算第二節矩陣的秩第三節方陣的冪與伴隨矩陣第四節方陣的逆矩陣1本章思維導圖2引導案例---生產成本計算問題3

分析：總的成本的計算涉及向量的數乘運算、加法運算等。本章將從矩陣的概念、向量的概念與基本運算出發，講解矩陣的相關知識和應用。第一節矩陣的概念與基本運算4本節主要學習目標：[知識目標]

理解矩陣的概念。

熟練掌握矩陣的加減、數乘、矩陣相乘的運算。[能力目標]

能進行矩陣的加、減、數乘及矩陣的乘法運算。矩陣的概念5第一節矩陣的概念與基本運算考慮由兩個線性方程式構成的二元線性方程組

其解的情況取決于未知量系數與常數項,因此將它們按照順序組成一個矩形表進行研究

矩陣的概念6第一節矩陣的概念與基本運算定義2.1

行數列數第m行第1列元素矩陣的概念7第一節矩陣的概念與基本運算

只有一列的矩陣稱為列矩陣,也稱為列向量只有一行的矩陣稱為行矩陣,也稱為行向量列向量與行向量統稱為向量,通常用小寫黑體希臘字母表示向量.所有元素皆為零的矩陣稱為零矩陣,記作O或Om×n;至少有一個元素不為零的矩陣稱為非零矩陣,非零矩陣A記作A≠O.矩陣的概念8第一節矩陣的概念與基本運算定義2.2已知矩陣A,B,它們的行數相同且列數也相同,若對應元素皆相等,則稱矩陣A等于矩陣B,記作A=B

則稱它為n階方陣或n階矩陣主對角線次對角線矩陣的概念9第一節矩陣的概念與基本運算注意:n階方陣與n階行列式是兩個不同的概念n階方陣是由n2個元素組成的n行n列的正方形表n階行列式是代表由n2個元素根據行列式運算法則計算得到的一個數值舉例：三階方陣三階方陣的9個元素按照原來的順序作一個三階行列式則為

矩陣的概念10第一節矩陣的概念與基本運算單位矩陣在n階方陣中,若主對角線上元素皆為1,其余元素皆為零

矩陣的基本運算包括下列四種運算1.矩陣與矩陣的加、減法11第一節矩陣的概念與基本運算定義2.3

值得注意的是:只有行數相同且列數也相同的兩個矩陣才能相加、減矩陣與矩陣的加、減法同數與數的加、減法在運算規律上是完全一致的例112第一節矩陣的概念與基本運算

解：A+B

2.數與矩陣的乘法13第一節矩陣的概念與基本運算定義2.4

容易知道,數與矩陣的乘法同數與數的乘法在運算規律上是完全一致的例214第一節矩陣的概念與基本運算

解:2A

注意：

對于行列式則有

例315第一節矩陣的概念與基本運算

若矩陣X滿足關系式2X-A=4B，求矩陣X解:從關系式2X-A=4B得到矩陣

3.矩陣與矩陣乘法16第一節矩陣的概念與基本運算定義2.5

3.矩陣與矩陣乘法17第一節矩陣的概念與基本運算注意：只有矩陣A的列數等于矩陣B的行數,積AB才有意義積AB第i行第j列的元素等于矩陣A的第i行元素與矩陣B的第j列對應元素乘積之和積AB的行數等于矩陣A的行數,積AB的列數等于矩陣B的列數，即

Am×lBl×n=(AB)m×n例418第一節矩陣的概念與基本運算

(1)積AB有無意義?(2)若有意義,積C=AB為幾行幾列矩陣?積C=AB第1行第2列的元素c12等于多少?例419第一節矩陣的概念與基本運算解:容易看出,矩陣A為2行3列矩陣,矩陣B為3行4列矩陣由于矩陣A的列數等于矩陣B的行數,所以積AB有意義.(1)(2)根據積AB的行數等于矩陣A的行數,積AB的列數等于矩陣B的列數于是積C=AB為2行4列矩陣.例420第一節矩陣的概念與基本運算解:積C=AB第1行第2列的元素c12等于矩陣A的第1行元素與矩陣B的第2列對應元素乘積之和,即c12=1×2+2×3+0×4=8應該注意的是:由于矩陣B的列數不等于矩陣A的行數,因而積BA無意義例521第一節矩陣的概念與基本運算

解:AB

BA

例622第一節矩陣的概念與基本運算

解:AB

BA

從例4至例6可以看出:盡管積AB有意義,但積BA不一定有意義;即使積AB,BA都有意義,積AB與BA也不一定相等.這說明在一般情況下,矩陣與矩陣的乘法運算不滿足交換律.例723第一節矩陣的概念與基本運算

解:AB

BA

例824第一節矩陣的概念與基本運算

解:AB

AC

發現從例7可以看出:盡管矩陣A,B都不是零矩陣,但積BA卻可以是零矩陣.從例8可以看出:盡管矩陣A不是零矩陣,矩陣B與C不相等,但積AB與AC卻可以相等這說明在一般情況下,矩陣與矩陣的乘法運算不滿足消去律.第一節矩陣的概念與基本運算矩陣之間乘法運算性質26第一節矩陣的概念與基本運算性質1滿足結合律,即(AB)C=A(BC)性質2滿足分配律,即(A+B)C=AC+BCA(B+C)=AB+AC矩陣之間乘法運算性質27第一節矩陣的概念與基本運算矩陣與矩陣的乘法運算不滿足一些數與數的乘法運算規律,主要體現在哪里？不滿足交換律，即在一般情況下,積AB不一定等于積BA不滿足消去律,即在一般情況下,僅從AB=O,不能得到A=O或B=O;僅從A≠O,AB=AC,不能得到B=C28第一節矩陣的概念與基本運算一般地,對于單位矩陣有ImAm×n=Am×nAm×nIn=Am×n說明單位矩陣在矩陣與矩陣乘法中的作用相當于數1在數與數乘法中的作用由于矩陣與矩陣的乘法運算不滿足交換律,因而矩陣與矩陣相乘時必須注意順序積AB稱為用矩陣A左乘矩陣B,或稱為用矩陣B右乘矩陣A例929第一節矩陣的概念與基本運算

(1)差2B-3C;(2)積A(2B-3C).例930第一節矩陣的概念與基本運算解:(1)差2B-3C

例931第一節矩陣的概念與基本運算解:(2)積A(2B-3C)

例1032第一節矩陣的概念與基本運算解:

(a)-2 (b)2(c)-1 (d)1計算積

根據已知關系式,有(6

2+x)=(6

1)從而得到關系式2+x=1,因此元素x=-1c4.矩陣的轉置33第一節矩陣的概念與基本運算定義2.6已知m行n列矩陣

將行列依次互換,所得到的n行m列矩陣稱為矩陣A的轉置矩陣,記作

例1134第一節矩陣的概念與基本運算解:

ABT+4C

矩陣的轉置運算性質35第一節矩陣的概念與基本運算性質1性質2性質3(AT)T=A(A+B)T=AT+BT(kA)T=kAT

(k為數)36本次課程結束第一節矩陣的概念與基本運算第二節矩陣的秩37本節主要學習目標：[知識目標]

理解階梯形矩陣及簡化階梯形矩陣的概念。

熟練掌握矩陣的三種初等行變換。

理解矩陣的秩的概念及性質[能力目標]

能熟練計算矩陣的秩的運算。階梯型矩陣38第二節矩陣的秩在矩陣中,若一行的元素皆為零,則稱這行為零行若一行的元素不全為零,則稱這行為非零行在非零行中,從左往右數,第一個不為零的元素稱為首非零元素階梯型矩陣39第二節矩陣的秩定義2.7已知矩陣A,若它同時滿足:(1)各非零行首非零元素分布在不同列;(2)當有零行時,零行在矩陣的最下端.則稱矩陣A為階梯形矩陣.例140第二節矩陣的秩

階梯型矩陣41第二節矩陣的秩定義2.8已知階梯形矩陣A,若它同時還滿足:(1)各非零行首非零元素皆為1(2)各非零行首非零元素所在列的其他元素全為零則進而稱階梯形矩陣A為簡化階梯形矩陣.例242第二節矩陣的秩

矩陣的初等行變換43第二節矩陣的秩定義2.9對矩陣施以下列三種變換:(1)交換矩陣的任意兩行(2)矩陣的任意一行乘以非零數k(3)矩陣任意一行的數k倍加到另外一行上去稱為矩陣的初等行變換.矩陣的初等行變換44第二節矩陣的秩考慮矩陣

若將第1行與第3行交換,有

→

矩陣的初等行變換45第二節矩陣的秩

→

容易看出,積B1A

=A1這說明:交換矩陣A的第1行與第3行相當于用矩陣B1左乘矩陣A矩陣的初等行變換46第二節矩陣的秩若將第2行乘以非零數k,有

→

→矩陣的初等行變換47第二節矩陣的秩容易看出,積B2A

=A2這說明:用非零數k乘矩陣A的第2行相當于用矩陣B2左乘矩陣A.矩陣的初等行變換48第二節矩陣的秩若將第1行的k倍加到第2行上去,有

→

矩陣的初等行變換49第二節矩陣的秩

→

容易看出,積B3A

=A3這說明:矩陣A第1行的k倍加到第2行上去相當于用矩陣B3左乘矩陣A.矩陣的初等行變換50第二節矩陣的秩定理2.1對任何矩陣A作若干次初等行變換得到矩陣C,相當于用單位矩陣I作同樣若干次初等行變換所得到的矩陣B左乘矩陣A,即BA=C矩陣的初等行變換51第二節矩陣的秩

首先觀察第1列元素中有多少個非零行首非零元素,若不超過一個,則已符合要求;

矩陣的初等行變換52第二節矩陣的秩然后再用同樣方法依次觀察和處理其他各列,直至使得非零行首非零元素在不同列為止在對矩陣作初等行變換的過程中,若有零行出現,則適時將零行移至矩陣的最下端.矩陣的秩53第二節矩陣的秩定義2.10已知矩陣A,當矩陣A為階梯形矩陣,或矩陣A雖非階梯形矩陣但可經過若干次初等行變換化為階梯形矩陣.若階梯形矩陣非零行為r行,則稱矩陣A的秩為r,記作r(A)=r例354第二節矩陣的秩已知矩陣

，則秩r(A)=

.

解:容易看出,所給矩陣A中4行都是非零行,第1行首非零元素1在第3列,第2行首非零元素1在第1列,第3行首非零元素1在第2列,第4行首非零元素1在第4列,它們在不同列,因而矩陣A為階梯形矩陣.又由于其非零行為4行,說明秩r(A)=44例455第二節矩陣的秩

解:容易看出,所給矩陣A中3行都是非零行,其中第2行與第3行的首非零元素同在第2列,因而矩陣A不為階梯形矩陣,對矩陣A作初等行變換,化為階梯形矩陣,有例456第二節矩陣的秩

第2行乘以3,第3行乘以2

第2行的-1倍加到第3行上去

由于階梯形矩陣非零行為3行,于是秩r(A)=3例557第二節矩陣的秩

容易看出,所給矩陣A中4行都是非零行,它們的首非零元素同在第1列,因而矩陣A不為階梯形矩陣,對矩陣A作初等行變換,化為階梯形矩陣.有解:例558第二節矩陣的秩

第1行的-2倍加到第2行上去第1行的-3倍加到第3行上去第1行的-1倍加到第4行上去

第2行的-1倍分別加到第3行與第4行上去例559第二節矩陣的秩

由于階梯形矩陣非零行為2行,于是秩r(A)=2.例660第二節矩陣的秩

對矩陣A作初等行變換,化為階梯形矩陣.有解:

例661第二節矩陣的秩第1行的-3倍加到第3行上去第1行的-5倍加到第4行上去

第2行分別加到第3行與第4行上去

注意到第1行與第2行都是非零行,第4行是零行,欲使得秩r(A)=2,第3行必須是零行.所以元素x=0,使得秩r(A)=2.矩陣的秩的性質62第二節矩陣的秩矩陣的秩具有下列性質:性質1

r(A)≤min{m,n}矩陣的秩的性質63第二節矩陣的秩性質2對于m行矩陣A,如果存在m列元素構成m階行列式不為零,則秩r(A)=m矩陣的秩的性質64第二節矩陣的秩性質3轉置矩陣AT的秩等于矩陣A的秩,即秩r(AT)=r(A)例765第二節矩陣的秩

容易看出,矩陣A為階梯形矩陣,由于其非零行為3行,于是秩r(A)=3.又因為r(AT)=r(A),所以秩r(AT)=3.解:66本次課程結束第二節矩陣的秩第三節方陣的冪與逆矩陣67本節主要學習目標：[知識目標]

了解方陣的冪的概念。

熟練掌握方陣的行列式的性質。

理解方陣的伴隨矩陣的概念及計算方法[能力目標]

能熟練計算方陣的伴隨矩陣。方陣的冪68第三節方陣的冪與逆矩陣說明：下面討論只針對方陣的有關運算定義2.11已知n階方陣A,將k個n階方陣A連乘,所得到的積仍是n階方陣,稱為n階方陣A的k次冪,記作

例169第三節方陣的冪與逆矩陣

解:代數和A2-5A+3I=AA-5A+3I

=O例270第三節方陣的冪與逆矩陣

解:和A2+AAT=AA+AAT

例271第三節方陣的冪與逆矩陣

方陣的冪72第三節方陣的冪與逆矩陣考慮n階方陣A,B,由于矩陣與矩陣的乘法運算滿足結合律與分配律,于是得到(AB)2=(AB)(AB)=ABAB(A+B)2=(A+B)(A+B)=A(A+B)+B(A+B)=A2+AB+BA+B2(A+B)(A-B)=A(A-B)+B(A-B)=A2-AB+BA-B2方陣的冪73第三節方陣的冪與逆矩陣由于矩陣與矩陣的乘法運算不滿足交換律,即在一般情況下,積BA不一定等于積AB,所以有下列結論:(1)冪(AB)2不一定等于積A2B2(2)冪(A+B)2不一定等于和A2+2AB+B2(3)積(A+B)(A-B)不一定等于差A2-B2上述討論說明:對于數運算成立的積的平方公式、兩項和的平方公式及平方差公式對于方陣運算是不適用的方陣的行列式74第三節方陣的冪與逆矩陣定義2.12

將構成n階方陣A的n2個元素按照原來的順序作一個n階行列式,這個n階行列式稱為n階方陣A的行列式,記作

方陣的行列式性質75第三節方陣的冪與逆矩陣可以證明,方陣的行列式具有下列性質:性質1已知方陣A,則行列式|AT|=|A|性質2如果方陣A為n階方陣,k為數,則行列式|kA|=kn|A|性質3如果方陣A,B為同階方陣,則行列式|AB|=|A||B|例376第三節方陣的冪與逆矩陣已知方陣A為3階方陣,且行列式|A|=3,求下列行列式的值:(1)|3AT|

(2)|-A|解:(1)根據方陣的行列式性質2與性質1,得到行列式|3AT|=33|AT|=33|A|=33×3=81(2)根據方陣的行列式性質2,得到行列式|-A|=(-1)3|A|=(-1)3×3=-3伴隨矩陣77第三節方陣的冪與逆矩陣定義2.13

它的行列式為

伴隨矩陣78第三節方陣的冪與逆矩陣將行列式|A|中元素aij的代數余子式Aij放在第i行第j列位置上(i=1,2,…,n;j=1,2,…,n),組成n階方陣后再轉置所得到的這個n階方陣稱為n階方陣A的伴隨矩陣,記作

伴隨矩陣79第三節方陣的冪與逆矩陣

計算每個元素的代數余子式A11=(-1)1+1d=dA12=(-1)1+2c=-cA21=(-1)2+1b=-bA22=(-1)2+2a=a伴隨矩陣80第三節方陣的冪與逆矩陣于是得到二階方陣A的伴隨矩陣

根據上述結論,容易得到求二階方陣A的伴隨矩陣A*的規律:將二階方陣A中主對角線上兩元素交換,次對角線上兩元素變號,所得到的二階方陣就是二階方陣A的伴隨矩陣A*例481第三節方陣的冪與逆矩陣

解:根據上面的規律,因而伴隨矩陣

例582第三節方陣的冪與逆矩陣

解:三階方陣A的行列式

例583第三節方陣的冪與逆矩陣計算行列式|A|中9個元素的代數余子式

例584第三節方陣的冪與逆矩陣

例585第三節方陣的冪與逆矩陣

例586第三節方陣的冪與逆矩陣于是三階方陣A的伴隨矩陣

87本次課程結束第三節方陣的冪與逆矩陣第四節方陣的逆矩陣88本節主要學習目標：[知識目標]

理解方陣的逆矩陣的概念。

理解伴隨矩陣法計算矩陣的逆矩陣。

熟練掌握初等行變換方法計算矩陣的逆矩陣。[能力目標]

能熟練計算矩陣的逆矩陣。逆矩陣89第四節方陣的逆矩陣定義2.14已知n階方陣A,若存在n階方陣B,使得AB=BA=I則稱n階方陣A可逆,并稱n階方陣B為n階方陣A的逆矩陣,記作A-1=B逆矩陣90如果n階方陣A可逆,它的逆矩陣是否唯一?設n階方陣B1與B2都是n階方陣A的逆矩陣,則有AB1=B1A=IAB2=B2A=I于是得到n階方陣B1=B1I=B1(AB2)=(B1A)B2=IB2=B2這說明n階方陣A的逆矩陣是唯一的那么,什么樣的方陣可逆?第四節方陣的逆矩陣逆矩陣91定理2.2如果n階方陣A可逆,則n階方陣A的行列式|A|≠0;如果n階方陣A的行列式|A|≠0,則n階方陣A可逆,且逆矩陣

第四節方陣的逆矩陣例192第四節方陣的逆矩陣

(1)判別二階方陣A是否可逆?(2)若二階方陣A可逆,則求逆矩陣A-1例193第四節方陣的逆矩陣解:(1)計算二階方陣A的行列式

所以二階方陣A可逆(2)二階方陣A的逆矩陣

例294第四節方陣的逆矩陣

(1)判別三階方陣A是否可逆?(2)若三階方陣A可逆,則求逆矩陣A-1例295第四節方陣的逆矩陣解:(1)計算三階方陣A的行列式

按第1行展開

所以三階方陣A可逆例296第四節方陣的逆矩陣(2)計算行列式|A|中9個元素的代數余子式

例297第四節方陣的逆矩陣

例298第四節方陣的逆矩陣

例299第四節方陣的逆矩陣從而得到三階方陣A的伴隨矩陣

例2100第四節方陣的逆矩陣所以三階方陣A的逆矩陣

例2101第四節方陣的逆矩陣應該注意的是:在求出逆矩陣表達式后,應該進行驗算,即計算原方陣與所求得逆矩陣的積,只有這個積等于單位矩陣,所求得逆矩陣表達式才是正確的例1與例2中,原方陣與所求得逆矩陣的積等于單位矩陣,說明所求得逆矩陣表達式正確無誤求逆矩陣102考慮n階方陣A可逆,用逆矩陣A-1左乘n階方陣A,有A-1A=I根據定理2.1說明n階方陣A經過若干次初等行變換化為單位矩陣I而乘在n階方陣A左面的逆矩陣A-1就是單位矩陣I作同樣若干次初等行變換所得到的n階方陣第四節方陣的逆矩陣求逆矩陣103于是得到應用矩陣的初等行變換求n階方陣A的逆矩陣A-1的方法:

第四節方陣的逆矩陣求逆矩陣104

步驟1：

第四節方陣的逆矩陣求逆矩陣105步驟2

第四節方陣的逆矩陣求逆矩陣106

第四節方陣的逆矩陣例3107

(1)判別三階方陣A是否可逆?(2)若三階方陣A可逆,則求逆矩陣A-1.第四節方陣的逆矩陣例3108解:(1)計算三階方陣A的行列式

所以三階方陣A可逆.

第四節方陣的逆矩陣例3109第2行的-1倍加到第1行上去

第3行的-1倍加到第2行上去

第四節方陣的逆矩陣例3110所以三階方陣A的逆矩陣

第四節方陣的逆矩陣例4111

(1)判別三階方陣A是否可逆?(2)若三階方陣A可逆,則求逆矩陣A-1.第四節方陣的逆矩陣例4112解:(1)計算三階方陣A的行列式

第1行分別加到第2行與第3行上去

所以三階方陣A可逆.第四節方陣的逆矩陣例4113

第1行分別加到第2行與第3行上去

第四節方陣的逆矩陣例4114第2行的-1倍加到第1行上去

第3行的-1倍加到第1行上去

所以三階方陣A的逆矩陣

第四節方陣的逆矩陣例5115

(1)判別三階方陣A是否可逆?(2)若三階方陣A可逆,則求逆矩陣A-1.第四節方陣的逆矩陣例5116解:(1)計算三階方陣A的行列式

=