學期綜合測評

時間：120分鐘滿分：150分

一、單項選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，

只有一項是符合題目要求的)

1.已知全集—{0,1,2,3,4},集合/={1,2,3},8={2,4},則一M18為()

A.{1,2,4}B.{2,3,4)

C.{0,2,4}D.{0,2,3,4}

答案C

解析?.?全集/{0,1,2,3,4},集合/={1,2,3},.?.[〃={0,4},又4{2,4},.'(『「)

U6={0,2,4}.故選C.

2.已知條件夕：|才一1|<2,條件(7：/—5jr—6<0,則夕是1的()

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

答案B

解析命題。—l<^r<3,記4={x|—1VxV3},命題q：—l<^r<6,記8={x]-1

VxV6},,?38,?是。的充分不必要條件.

3.幕函數y=f(x)的圖象經過點(一2,—3,則滿足/>5)=27的x的值是()

11

A.-B.——C.3D.—3

答案A

解析設塞函數為Ax)=/,因為圖象過點(一2,一3,所以有一1=(—2)、解得a

=一3,所以幕函數的解析式為廣(x)=尸，由_f(x)=27,得尸=27,所以x=1.

4.函數f(x)=2x—l+log2X的零點所在的區間是()

1fC.1,1

B.

A.于4?2D.(1,2)

答案C

解析函數廣(x)=2x—l+log2X,1,F⑴=1,???故連續函數

2r(D<o,

f(x)的零點所在的區間是&，1),故選C.

1。m。2tanl3°1—cos50°

5.設a=]cos6-sin6,仁一tan^。，°=,則有()

22

A.a>b>cB.C.a〈c〈bD.Z?<c<ia

答案c

?（1r?o?r?o?o/Aor*o?rto?c/。

解析?5―-coso—^-smo—sm30coso—cos30sino—sin24,b—

2tanl3°小八。1—cos50°.,

'210°~~=tan26，---------------=sin25o,a<.c<b.

1—tan13

6.函數f(x)=cos(ox+0)的部分圖象如圖所示，則f(x)的單調遞減區間為(）

A.（左兀一（，4兀+J,kRZ

B.\2k^—I，2A兀+"!）,keZ

<1

cA--A+力，kGZ

<4

D.(24一；,2A+§,AeZ

答案D

G)J[5G3兀

解析由圖象可知/+0=萬+2〃兀，-j—+0=飛一+2/兀，廬2,所以G=3T,0=

亍+2/兀，勿WZ,所以函數F(x)=cos(兀x+j~+2%JT)=COS(兀x+高的單調遞減區間為

JT13

2女兀〈兀X十1〈24兀+兀，kez,BP2k~^<x<2k+-fkRZ,故選D.

7.當x>0時，若不等式磔+9〉0恒成立，則實數〃的取值范圍是()

A.(―0°,6)B.(―°°,6]

C.[6,+8)D.(6,+8)

答案A

,Q9

解析由題意，得當x>0時，mx<x+9,即水x+一恒成立.設函數f(x)=才+-(王>0),

xx

9/Q9

則有x+-22\/x--=6,當且僅當即x=3時，等號成立.故實數1的取值范圍是

X\1XX

力<6.

8.銳角三角形的內角46滿足tan-4rtan6,則有()

A.sin2/—cos6=0B.sin24+cos6=0

C.sin20—sin8=0D.sin24+sin8=0

答案A

sin4+cos2tan4+1tanA~1

解析由已知tanA,、二-----=tan^,tanA--z---------tan8

2sin/cosZ2tanZ2tan/

2tanJ

tan笈tanB,1,tan6tan24=—1.sin咫in2/=—cos反os24

1—tanA

JI

???cos(22—而=0.?.,4夕為銳角,/.2A~B=-f

，sin20=sin[5+^)=cos6,BPsin24——cos8=0.

二、多項選擇題(本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多

項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分)

9.下列四個命題，其中是真命題的是()

A.若x>l,則0.3、>0.3

B.若x=log23,則七

C.若sinx>-^-,貝！Jcos2x(：

,,JI

D.右f(x)=tan—則f(x)=_f(x+3)

o

答案BCD

解析對于A,由y=0.3〃在R上單調遞減，且x>l,可得0.3Y0.3,故A是假命題；對

于B,若x=log23,可得2"=3,住上H=1|x]=',故B是真命題；對于C,若$111王〉乎，可

]]兀，

得cos2x=l—2sin2x〈l—2Xg=『故C是真命題；對于D,若F(x)=taiT]x,可得/'(x)的

最小正周期為3,即有廣(x+3)=f(x),故D是真命題.

10.如圖，四個容器高度都相同，將水從容器頂部一個孔中以相同的速度注入其中，注

滿為止.用下面對應的圖象表示該容器中水面的高度力和時間力之間的關系，其中正確的是

()

BCD

答案BCD

解析對于A,水面的高度人隨時間力的增大勻速增大，A錯誤；對于B,水面的高度力

隨時間力的增大而增大，其增大速度越來越慢，B正確；對于C,水面的高度人隨時間方的增

大而增大，其增大速度先是越來越慢，后是越來越快，C正確；對于D,水面的高度人隨時間

右的增大而增大，其增大速度先是越來越快，后是越來越慢，D正確.故選BCD.

JI

11.已知函數Ax)=2sin(2x+°)(。〈°〈”)，若將函數f(x)的圖象向右平移至個單位

長度后,所得圖象關于y軸對稱，則下列結論中正確的是()

5兀

A.

B.管，0)是f(x)圖象的一個對稱中心

C.f(0)=—2

JI

D.是/'(x)圖象的一條對稱軸

答案AD

解析由題意得，平移后的函數g(x)={x—S)=2sin(2x一事+0)的圖象關于y軸對

JIJI5n

稱，則一丁+0=7r+A兀，kRZ,因為0〈0〈兀，所以故A正確；因為廣(x)=

326

(5兀、5兀5兀左兀(\

2sin2x+—\,由2x+-^-=4n,MZ,得對稱中心的橫坐標為一不7+丁,MZ,故0

\O70Izz\O)

./5兀5兀、5兀

不是廣(x)圖象的一個對稱中心，故B不正確；因為f(O)=2sin］—“+Tj=2sirr/-=2,

,,5兀兀.nk八n

故C不正確；由2入+-^-=丁+4兀，kRZ,得XFkRZ,所以萬=-7■是_f(x)

6262=—7~+6-,

圖象的一條對稱軸，故D正確.故選AD.

12.已知函數尸f(x)是R上的偶函數，對于任意x￡R,都有f(x+6)=f(x)+F(3)成

立，當XI,也e［o,3］,且不力劉時，都有/X'—‘〉0,下列命題正確的是()

不一至

A.F(x)的周期為6

B.直線x=-6是函數尸f(x)的圖象的一條對稱軸

C.函數尸Hx)在［―9,—6］上單調遞增

D.函數尸F(x)在［—9,9］上有四個零點

答案ABD

解析對于任意x￡R,都有F(x+6)=f(x)+f(3)成立，令牙=-3,則f(—3+6)=f(~

3)+/(3),又因為F(x)是R上的偶函數，所以F(3)=0,所以_f(x+6)=f(￡),所以_f(x)的

周期為6,A正確；因為F(x)是R上的偶函數，所以F(x+6)=f(—x),而廣(x)的周期為6,

所以_f(x+6)=F(—6+x),f{—x)=f(—x—6),所以_f(—6—入)=F(—6+x),所以直線x

=一6是函數尸_f(x)的圖象的一條對稱軸，B正確；當矛1,x2^［0,3］,且矛iW*2時，都有

/E>0,所以函數尸/<x)在［0,3］上單調遞增，因為/<x)是R上的偶函數，所

Xi一也

以函數y=/(x)在［―3,0］上單調遞減，而/1(x)的周期為6,所以函數尸/1(x)在［—9,—6］

上單調遞減，C錯誤；『(3)=0,f(x)的周期為6,所以/"(—9)=F(—3)=F(3)=f(9)=0,

所以函數了=1'(入)在［—9,9］上有四個零點，D正確.故選ABD.

三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中的橫線上)

13.已知命題0：VxWR,/—\+^>0,則rp為.

答案3xdR,/—A+^^0

解析全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，注意：一是要改變相應的量詞；二是要否

定結論.

14.定義在R上的偶函數f(x)在［0,+8)上單調遞減，且O=o,則f(log(x)〈0的

解集為.

答案(0,1ju(2,+8)

解析因為定義在R上的偶函數f(x)在［0,+8)上單調遞減，所以在(—8,0］上單調

遞增.又右)=0,所以(V。，由Alog^x)<0可得log|x<—；或logjx〉］,解得

U(2,+8).

15.函數廣(x)=sin(x+2。)—2sin6cos(x+@)的最大值為.

答案1

解析函數f{x)=sin(x+2。)-2sin0cos(x+。)=sin［(T+0)+0］—

2sin0cos(x+O)=sin(x+0)cos6+cos(x+0)sin0-2sin0cos(x+0)=sin(x+

0)cos0—cos(x+sin0=sin(x+@—6)=sinx,故函數f(x)的最大值為1.

.4

1+一x24,

16.已知函數f(x)=jx則f(廣(少)=,若關于x的方

、log2X0<xV4,

程f(x)=A有兩個不同的實根，則實數A的取值范圍是.

答案1(1,2)

解析/(A4))=《l+；)=_f(2)=log22=l.關于x的方程f{x)=A有兩個不同的實根，

等價于函數f(x)與函數尸"的圖象有兩個不同的交點，作出函數的圖象如圖，由圖可知實

數A的取值范圍是(1,2).

四、解答題(本題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步

驟)

17.(本小題滿分10分)計算下列各式的值：

1

2-

og

(2)(log33

1

2

)2+log0.257+91og5^/5—log^/31=[1f+1+9x1—0=^+1+1=^.

(2)(log33

18.(本小題滿分12分)已知tan^—+

(1)求tana的值；

sin24+2兀—sin15一0)

(2)求1--------丁〃’的值.

1—cos兀-—F2a+Jsi?na

ji

/、tan—+tana

e/、fH)41+tana11

解(1)?.?tan彳+a=------------~~；~~=^斛得tan。=一金.

\4)TI1—tana23

1—tan-tanQ

4

,、百葉sinZa—cos2。2sinacosa—cos2。2tana—l15

2八工l+cos2a+sin2a2cos2a+sin2a2+tan2a19,

19.(本小題滿分12分)已知函數F(x)=loga(2x+l),g(x)=loga(l—2x)(w>0,且

aWl).

(1)求函數F{x)=f(x)—g(x)的定義域；

(2)判斷/(x)=f(x)—g(x)的奇偶性，并說明理由；

(3)確定x為何值時，有f(x)—g(x)>0.

2x+l>0,

解(1)要使函數有意義，則有L八八

[1一2x>0,

11

<<

X-2-X2-

(2)分(x)=f(x)—g{x)=loga(2x+l)—loga(l—2x),

F{-x)=f^~x)—g(-x)=loga(—2x+l)—loga(l+2^)=—F5.

???尸(x)為奇函數.

(3)Vf{x)—g(x)>0,Jloga(2x+l)—loga(l—2x)>0,

即loga(2x+l)>loga(l—2x).

①當0<wVl時，0V2x+lVl—2x,???一；<xV0.

②當3>1時，2x+l>l—2x>0,：.0<x<^,

20.(本小題滿分12分)已知函數f(x)=2cos^—|^j+2sin^-—

⑴求函數Ax)的單調遞減區間；

⑵求函數Ax)的最大值并求f(x)取得最大值時的x的取值集合；

(3)若f(x)=|,求cos|2x-f的值.

解(1)f^x)=2cos^rcos—+2sirursin——2COSJT

2兀5兀,、

：.2kx+—^x^2kn+—(Aez),

2兀5兀

?,?函數廣(x)的單調遞減區間為24兀+—,2A兀+—

(屆Z).

jin2n

(2)當廣(x)取最大值2時，x———2kn+—(AeZ),貝!Jx=2Ar+F-(A￡Z).

623

2兀

???Ax)的最大值是2,取得最大值時的或的取值集合是x牙=2?兀+飛-，kRZ

6，吟6

(3)f(x)=-,即2sinx-—\=-,

5k675

???sinQ-￡|=|.

???cos,一￡|=1—2sin(x—3=1—2xg)=(.

21.(本小題滿分12分)某建筑工地要建造一批簡易房，供群眾臨時居住，房形為長方體,

高2.5米，前后墻用2.5米高的彩色鋼板，兩側用2.5米高的復合鋼板，兩種鋼板的價格都

用長度來計算(即鋼板的高均為2.5米，用長度乘以單價就是這塊鋼板的價格)，每米單價：

彩色鋼板為450元，復合鋼板為200元，房頂用其他材料建造，每平方米材料費為200元，

每套房材料費控制在32000元以內.

(1)設房前面墻的長為x,兩側墻的長為y,一套簡易房所用材料費為0,試用x,y表示

(2)一套簡易房面積S的最大值是多少？當S最大時，前面墻的長度是多少？

解(1)依題意得前后兩面墻的鋼板費用均為450x,兩側墻的鋼板費用均為200y,房頂

面積為xy,房頂材料費用為200盯，.?.一套簡易房所用材料費為p=900x+400y+200x%

(2)S=xy,

：.p=900x+400y+200盯22^/900X4005+200S=200S+12QOy[s,

又PW32000,A200S+1200^5^32000,

化簡，得S+64一160W0,解得一16WgwiO,

又5>0,...(KSWIOO,

900x=400p,

當且僅當

燈=100,

即萬=彳，尸15時S取得最大值.

.??每套簡易房面積S的最大值是100平方米，當