浙江省溫州市溪口鄉中學高三數學文上學期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.下列函數中，與函數的奇偶性、單調性均相同的是（

）A． B．C．

D．參考答案：A略2.若不等式的解集為,則實數的取值范圍是

A

B

C

D[來源:/]參考答案：B略3.已知某幾何體的俯視圖是如圖所示的邊長為l的正方形，正視圖與側視圖都是邊長為1的正三角形，則此幾何體的體積是（

）A B. C. D.參考答案：A【分析】根據幾何體的三視圖，得出該幾何體是底面為正方形的正四棱錐，結合圖中數據求出它的體積．【詳解】解：根據幾何體的三視圖，得；該幾何體是底面邊長為1正方形，斜高為1四棱錐，且四棱錐的高為的正四棱錐．它的體積為．故選：A．【點睛】本題考查了利用空間幾何體的三視圖求體積的問題，也考查了空間想象能力的應用問題，屬于基礎題．4.函數的圖象（

）A．關于原點對稱

B．關于直線對稱

C．關于軸對稱

D．關于軸對稱參考答案：D略5.下列函數與相等的是(

)A．

B．

C． D．參考答案：A略6.給定函數①，②，③y=|x﹣1|，④y=2x+1，其中在區間（0，1）上單調遞減的函數序號是（）A．①② B．②③ C．③④ D．①④參考答案：B【考點】函數單調性的判斷與證明．【分析】本題所給的四個函數分別是冪函數型，對數函數型，指數函數型，含絕對值函數型，在解答時需要熟悉這些函數類型的圖象和性質；①為增函數，②為定義域上的減函數，③y=|x﹣1|有兩個單調區間，一增區間一個減區間，④y=2x+1為增函數．【解答】解：①是冪函數，其在（0，+∞）上即第一象限內為增函數，故此項不符合要求；②中的函數是由函數向左平移1個單位長度得到的，因為原函數在（0，+∞）內為減函數，故此項符合要求；③中的函數圖象是由函數y=x﹣1的圖象保留x軸上方，下方圖象翻折到x軸上方而得到的，故由其圖象可知該項符合要求；④中的函數圖象為指數函數，因其底數大于1，故其在R上單調遞增，不合題意．故選B．7.已知一個空間幾何體的三視圖如圖所示，根據圖中標出的尺寸，可得這個幾何體的體積是（

）A．

B．

C.

1

D．參考答案：B根據題中三視圖，知該幾何體為三棱錐，則該三棱錐的體積為，故正確答案為B.

8.已知命題p：x∈[1,2]，使ex-a≥0.若p是假命題，則實數a的取值范圍為（

）A.（-∞，e2]

B.（-∞，e]

C.[e，+∞）

D.[e2，+∞）參考答案：B9.若定義在實數集上的偶函數滿足,,對任意恒成立,則（

） A.4

B.3

C.2

D.1參考答案：D略10.已知，則（

）A. B. C.－3 D.3參考答案：B【分析】根據二倍角公式和同角三角函數的平方關系可得，分子分母同時除以可構成關于的式子，代入可求得結果.【詳解】由題意得：本題正確選項：B【點睛】本題考查根據正切值，求解正弦、余弦的齊次式的值的問題，關鍵是能夠通過二倍角公式和同角三角函數平方關系構造出齊次式，從而配湊出正切的形式.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設點為的焦點，、、為該拋物線上三點，若，則

.參考答案：6略12.函數f（x）若f（x）的兩個零點分別為x1，x2，則|x1﹣x2|=．參考答案：3【考點】函數零點的判定定理．【分析】作出函數y=log4x和y=3﹣x的圖象交點A，作出y=（）x與y=x+3的交點B，y=4x與y=3﹣x的交點C，根據A，B，C之間的對稱關系得出x1，x2的關系．【解答】解：當x＞0時，令f（x）=0得log4x=3﹣x，作出函數y=log4x和y=3﹣x的函數圖象，設交點為A（x1，y1），當x＜0時，令f（x）=0得（）x=x+3，作出函數y=（）x和y=x+3的函數圖象，設交點為B（x2，y2），顯然x1＞x2．作函數y=4x的函數圖象，與y=3﹣x的圖象交于C（x0，y0）點．∵y=（）x與y=4x的函數圖象關于y軸對稱，y=x+3與y=3﹣x的圖象關于y軸對稱，∴B，C關于y軸對稱，∴x0=﹣x2，y0=y2，∵y=4x與y=log4x互為反函數，∴y=4x與y=log4x的函數圖象關于直線y=x對稱，又y=3﹣x關于y=x對稱，∴A，C關于直線y=x對稱．∴x0=y1，y0=x1．∴x2=﹣y1，∴|x1﹣x2|=x1﹣x2=x1+y1，又A（x1，y1）在直線y=3﹣x上，∴x1+y1=3．故答案為：3．13.已知向量=（1，2n），=（m+n，m）（m＞0，n＞0），若，則m+n的最小值為

．參考答案：﹣1考點：平面向量數量積的運算．專題：平面向量及應用；不等式．分析：進行數量積的坐標運算得到m+n+2mn=1，根據基本不等式便有，從而便得到不等式（m+n）2+2（m+n）﹣2≥0，根據m＞0，n＞0，從而解該關于m+n的一元二次不等式便可得到，從而m+n的最小值便為．解答： 解：；∵m＞0，n＞0；∴；∴；即（m+n）2+2（m+n）﹣2≥0；解關于m+n的一元二次不等式得，，或m（舍去）；∴m+n的最小值為，當m=n時取“=”．故答案為：．點評：考查向量數量積的坐標運算，基本不等式：a+b，a＞0，b＞0，以及解一元二次不等式．14.把正方形沿對角線折成直二面角，則與平面所成角為

，參考答案：略15.等差數列的前項和為，若，，，則

．參考答案：2116.已知sinα+cosα=，則sin2α=

．參考答案：﹣【考點】二倍角的正弦；同角三角函數基本關系的運用．【專題】計算題；轉化思想；三角函數的求值．【分析】把已知等式兩邊平方，利用完全平方公式及同角三角函數間基本關系化簡，再利用二倍角的正弦函數公式變形，即可求出sin2α的值．【解答】解：把已知等式兩邊平方得：（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=，即2sinαcosα=﹣，則sin2α=2sinαcosα=﹣，故答案為：﹣【點評】此題考查了二倍角的正弦函數公式，以及同角三角函數間的基本關系，熟練掌握公式及基本關系是解本題的關鍵．17.設為虛數單位，則=___．參考答案：1三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．E為棱AD的中點，異面直線PA與CD所成的角為90°．（Ⅰ）在平面PAB內找一點M，使得直線CM∥平面PBE，并說明理由；（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A的大小為45°，求直線PA與平面PCE所成角的正弦值．參考答案：【考點】直線與平面所成的角；直線與平面平行的判定．【分析】（I）延長AB交直線CD于點M，由點E為AD的中點，可得AE=ED=AD，由BC=CD=AD，可得ED=BC，已知ED∥BC．可得四邊形BCDE為平行四邊形，即EB∥CD．利用線面平行的判定定理證明得直線CM∥平面PBE即可．（II）如圖所示，由∠ADC=∠PAB=90°，異面直線PA與CD所成的角為90°AB∩CD=M，可得AP⊥平面ABCD．由CD⊥PD，PA⊥AD．因此∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角，大小為45°．PA=AD．不妨設AD=2，則BC=CD=AD=1．可得P（0，0，2），E（0，1，0），C（﹣1，2，0），利用法向量的性質、向量夾角公式、線面角計算公式即可得出．【解答】解：（I）延長AB交直線CD于點M，∵點E為AD的中點，∴AE=ED=AD，∵BC=CD=AD，∴ED=BC，∵AD∥BC，即ED∥BC．∴四邊形BCDE為平行四邊形，即EB∥CD．∵AB∩CD=M，∴M∈CD，∴CM∥BE，∵BE?平面PBE，∴CM∥平面PBE，∵M∈AB，AB?平面PAB，∴M∈平面PAB，故在平面PAB內可以找到一點M（M=AB∩CD），使得直線CM∥平面PBE．（II）如圖所示，∵∠ADC=∠PAB=90°，異面直線PA與CD所成的角為90°，AB∩CD=M，∴AP⊥平面ABCD．∴CD⊥PD，PA⊥AD．因此∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角，大小為45°．∴PA=AD．不妨設AD=2，則BC=CD=AD=1．∴P（0，0，2），E（0，1，0），C（﹣1，2，0），∴=（﹣1，1，0），=（0，1，﹣2），=（0，0，2），設平面PCE的法向量為=（x，y，z），則，可得：．令y=2，則x=2，z=1，∴=（2，2，1）．設直線PA與平面PCE所成角為θ，則sinθ====．【點評】本題考查了空間位置關系、空間角計算公式、法向量的性質，考查了空間想象能力、推理能力與計算能力，屬于中檔題．19.已知數列滿足（為常數），成等差數列.（Ⅰ）求p的值及數列的通項公式；（Ⅱ）設數列滿足，證明：.

參考答案：解：（Ⅰ）由得∵成等差數列，∴即得………（2分）依題意知，當時，…相加得∴∴……………（4分）又適合上式，………（5分）故……………………（6分）（Ⅱ）證明：∵∴∵

…（8分）若則即當時，有…………………（10分）又因為………（11分）故……………………（12分）（Ⅱ）法二：要證

只要證…………（7分）下面用數學歸納法證明：①當時，左邊=12，右邊=9，不等式成立；

當時，左邊=36，右邊=36，不等式成立.…………（8分）②假設當時，成立.…（9分）則當時，左邊=4×3k+1=3×4×3k≥3×9k2，要證3×9k2≥9（k+1）2，只要正3k2≥（k+1）2，即證2k2-2k-1≥0.…………（10分）而當k即且時，上述不等式成立.………………（11分）由①②可知，對任意，所證不等式成立.…………（12分）略20.已知命題p：“?x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命題q：“?x0∈R，x02+2ax0+2﹣a=0”，若命題“p且q”是真命題，求實數a的取值范圍．參考答案：【考點】四種命題的真假關系．【分析】已知p且q是真命題，得到p、q都是真命題，若p為真命題，a≤x2恒成立；若q為真命題，即x2+2ax+2﹣a=0有實根，即△≥0，分別求出a的范圍后，解出a的取值范圍．【解答】解：由“p且q”是真命題，則p為真命題，q也為真命題．若p為真命題，a≤x2恒成立，∵x∈[1，2]，∴a≤1①；若q為真命題，即x2+2ax+2﹣a=0有實根，△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，即a≥1或a≤﹣2②，對①②求交集，可得{a|a≤﹣2或a=1}，綜上所求實數a的取值范圍為a≤﹣2或a=1．【點評】本題是一道綜合題，主要利用命題的真假關系，求解關于a的不等式．21.（本小題滿分13分）設函數。（1）當a=1時，求的單調區間。（2）若在上的最大值為，求a的值。參考答案：解:函數f(x)的定義域為(0,2)，

……2分f′(x)＝－＋a.

……4分(1)當a＝1時，f′(x)＝，

……5分所以f(x)的單調遞增區間為(0，)，單調遞減區間為(，2)．

……7分(2)當x∈(0,1]時，f′(x)＝＋a＞0，

……10分即f(x)在(0,1]上單調遞增，故f(x)在(0,1]上的最大值為f(1)＝a，因此a＝.

……13分22.（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，已知，為線段的中點．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求