第一章三雉歐氏空^中的張量

目錄:

習(xí)題1.1正交坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動(dòng)....................................2

習(xí)題1.2物理量在空間轉(zhuǎn)動(dòng)變換下的分類(lèi).......................9

習(xí)題1.3物理量在空間反演變換下的進(jìn)一步分類(lèi)...............10

習(xí)題1.4張量代數(shù)............................................15

習(xí)題L5張量分析...........................................21

習(xí)題1.6Helmholtz定理...................................35

習(xí)題1.7正交曲線坐標(biāo)系.....................................38

習(xí)題1.8正交曲線坐標(biāo)系中的微分運(yùn)算.......................42

習(xí)題1.1

1、設(shè)三個(gè)矢量a,b,c形成右（左）旋系，證明，當(dāng)循環(huán)置換矢量a,b,c的次序，即當(dāng)考察

矢量"c,a（c,a,））時(shí)，右（左）旋系仍保持為右（左）旋系。

證明：V=（axb）-c,

對(duì)于右旋系有V>0.

當(dāng)循環(huán)置換矢量a,4c次序時(shí)，

V'=（bxc）-a^（cxa）-b=V）Q.（*）

所以，右旋系仍然保持為右旋系

同理可知左旋系情況也成立。

附：（*）證明。由于張量方程成立與否與坐標(biāo)無(wú)關(guān)，故可以選取直角坐標(biāo)系，則結(jié)

論是明顯的。

2、寫(xiě)出矢量諸分量在下列情況下的變換矩陣：當(dāng)Cartesian坐標(biāo)系繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)角度。時(shí)。

解：變換矩陣元表達(dá)式為%=4?號(hào)

3、設(shè)坐標(biāo)系繞z軸轉(zhuǎn)a角，再繞新的y軸（即原來(lái)的y軸在第一次轉(zhuǎn)動(dòng)后所處的位置）轉(zhuǎn)

夕角，最后繞新的z軸（即原來(lái)的z軸經(jīng)第一、二次轉(zhuǎn)動(dòng)后所處的位置）轉(zhuǎn)7角；這三

個(gè)角稱為Euler角。試用三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣相乘的辦法求矢量諸分量的在坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的變

換矩陣。

解：我們將每次變換的坐標(biāo)分別寫(xiě)成列向量X,X',X",X"，

則X'=&(a)X,X"=&(⑶X,,Xm=電(/)X"

:⑺肉⑼&⑷X

繞y'-軸轉(zhuǎn)夕角相當(dāng)于“先將坐標(biāo)系的y'-軸轉(zhuǎn)回至原來(lái)位置，再繞原來(lái)的y-

軸(固定軸)轉(zhuǎn)￡角，最后將y-軸轉(zhuǎn)至y'-軸的位置”。因而

0(尸)=凡3)鳥(niǎo)(廣)&13)

同理有&.。)=R,劭&⑺咫(0

R，(7)%(0R(a)=號(hào)。)凡⑺咫(￡)號(hào)。)凡(a)

???=&.(/?)凡⑺優(yōu)⑻=R人a)R、(/3)R1(c)凡⑺凡⑻

=凡(a)Rv(夕/「⑷旦(a)60)=R=(a)R，0)R:⑺

易1:

'cosasina0、'cos/siny0、

凡(a)=-sinacosa0，&⑺=-sin/cos/0

<ooL<oob

'cos10一sin/、

Ry(g=010

^sinp0cosp)

??R(a,仇y)=&(a)R、⑻&⑺=

cosycospcosa-sin/sinasinycosPcosa+cos/sina一sin"cosa、

-cosycos戶sina—sinycosa-sinycossina+cosycosasin/?sina

cos/sin(3sin/sin(3cos13,

〃上面的解答讓人疑惑。就結(jié)論/?（&，△7）=6（0）&（⑶凡。）本身讓人覺(jué)得沒(méi)有什么

物理意義，分別繞原來(lái)的z軸，y軸，z軸轉(zhuǎn)動(dòng)怎么可能呢？且繞y，軸轉(zhuǎn)夕角等

效于繞原來(lái)y軸轉(zhuǎn)夕角，怎么說(shuō)?

實(shí)際上，X'=&(?)X,X"=R、'(/?)X',X"=R<y)X"

X”=&⑺4,(⑶叫⑷X

'cos/sin0

cosasina0、y、

而&(a)=-sinaCOS<70,凡”。）=-sin/cos/0

.001；、oob

'cos/?0一sin/?、

4,(/?)=010

、sin/70cosP,

就直接可以得到：

R(a,人力=&.⑺勺⑻R人a)

(cos/cospcos-sin/sinfzcosycos尸sina+sin/cosa-cos/sin價(jià)

=-sin/cos(3cosa-cosysina-sin/cos夕sina+cos/cosasin/sin/3

、sinpcosasinpsinacos/?,

這個(gè)結(jié)果與《物理學(xué)中的數(shù)學(xué)方法》F.W.拜倫R.W.福勒著（P12）結(jié)果一致

（上面運(yùn)算結(jié)果由Matlab驗(yàn)算過(guò)）

4設(shè)名、為與%是矢量的Cartesian坐標(biāo)，則

&(4±q),/=生

稱為矢量a的循環(huán)坐標(biāo)。設(shè)坐標(biāo)系作一有限轉(zhuǎn)動(dòng)R（?,/?,/）＞這里%y是相應(yīng)的Euler

角，試寫(xiě)出矢量諸循環(huán)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的變換矩陣。

%

解：由題意得:%=Aa(1)

、a一aJ

'1i\

0

V2

A=00

0

V2V27

11)

一正0

所以A"=

正0正

010

7

坐標(biāo)變換后,(2)

(\

4

乂aaA

a

\-7

/

4

所以aQARA-'(3)

\a-)

所以由(2)、(3)得O=A/MT

1

cos2紇一…sinpe-iY

2正2

11

最后得。COSP於3

siHeS)cos2紇")

I22)

詳細(xì)步驟:

D=ARA-1

11

(10

0

一忑一雙cosacospcosy-sinasinysinacos0cos/+cosasiny-sin0cosy、

00-cosacos/ysin/-sinacosy-sinacos/sin/+cosacosysin/ysin/0

1cosasinpsinasinpcosp)正

000

飛)

11

10

cosacos/3^~i=sina)e~,ynacos°--j=cosa)e~，Y一雙正

cosacospsinasinpcosy?0

1雙正

(-j=cosacosP+負(fù)?sina)，，nacosP--j=cosa)e，Y—-in%”00

v2

2i(a+z,

cos^e--^=sinpe~，Ysin2紇…

22

—sinJ3e-iacosp玄sin加"

sin^e-^--J=sin網(wǎng)■紇…

2v22

cos2^-e-i(a+r)1

22

]1

DCOSB育的

1

sir&Tf-正sin統(tǒng)

22J

(結(jié)果經(jīng)Matlab驗(yàn)算，正確)

因此三四兩題課本給出答案均無(wú)誤。

5、試證坐標(biāo)系作無(wú)限小轉(zhuǎn)動(dòng)的變換矩陣可寫(xiě)成a=I+e,其中￡是反對(duì)稱矩陣，而I是

二階單位張量；并指出％.的幾何意義。

證：

為了清楚起見(jiàn)，我們先用矩陣語(yǔ)言證明￡是反對(duì)稱矩陣：

X，=(/+￡)元=無(wú)"］，=%，(/+￡),(1+￡)X

=>x"x'=/(/+￡+/+xa『(/+￡+/卜(舍去高階小量)

由于長(zhǎng)度是轉(zhuǎn)動(dòng)變換不變量，/r/=xrx

于是工,(e+e^xuO,即￡+￡,=0,故￡是反對(duì)稱矩陣

(上面，A，表示A的轉(zhuǎn)置)

下面用分量語(yǔ)言證明：處理時(shí)，要特別小心行向量和列向量，因?yàn)檫@在分量語(yǔ)言中是看不出

來(lái)的。為了以示區(qū)別，我們用函岳向量，玉表示列向量

由于是做無(wú)限小轉(zhuǎn)動(dòng)，所以可以寫(xiě)成：

Xi=Xi+GikXk⑴

I?

又由于無(wú)(長(zhǎng)度是旋轉(zhuǎn)不變量)(2)

%Xi=xz-

S

-+%+￡ikXk)

=+Xi￡jiXJ+￡jiXj￡ikXk

~x^^^ilixkxi+xiGjiXy

j(%?+%)%

所以加(￡廣十%乂，由于￡的任意性，可得到￡廣+號(hào).=0

^,=0,(/=1,2,3)

即｛「___Z7,-X即弓/=一￡力，為反對(duì)稱矩陣的矩陣元

匕ik~fki，1K產(chǎn)I)

若不加以區(qū)分，很容易得到這樣一個(gè)錯(cuò)誤的結(jié)論：

￡ikXkXt+XiSjiXj+%/￡//=0

=>￡ijXjXi+'=0

n￡jixjxi+xi￡jixj=0

即盯=0,若考慮二階項(xiàng)，就會(huì)得到是一個(gè)對(duì)稱矩陣的錯(cuò)誤結(jié)論

雖然啞指標(biāo)可以任意的換字母，但是那里面的天,弓在兩個(gè)項(xiàng)中是不一樣的(有行向量和列

向量的區(qū)別)

由此可將(1)(2)兩式寫(xiě)成矩陣形式，

t

r=ar,a=I+￡

(，為二階單位矩陣，￡的元為之前的”，即是反對(duì)稱矩陣)

引入矢量麗，使坳="廬/，其中8ijk為三階全反對(duì)稱張量,

則因?yàn)楹愕仁?k（^^）=-向心-%為玲=-%

得能地=一￡欣則與弘麗//=%々⑶

結(jié)合（1）式右邊，得出

I

r二廠+麗x廠

由此可知說(shuō)為坐標(biāo)系所做的無(wú)限小角轉(zhuǎn)動(dòng)的角位移。

同時(shí)，由4國(guó)jXk=￡ikXk,及￡..k=（eX3）4=（維X令）.ej

可知，（axg）?麗=的

所以Qi本身是矢量（/X令）與麗的標(biāo)積，￡ki=9?麗二麗/,其大小就是無(wú)窮小

角位移澗在j方向上的分量的他大小

應(yīng)該說(shuō)，這個(gè)題目的另一意義在于對(duì)叉積可以變成點(diǎn)積運(yùn)算：聞xr=￡〃，可惜的這只能

在三維空間中成立，關(guān)鍵是砌=**'%只在三維空間中成立。不過(guò)也沒(méi)什么，叉

積本身只在三維空間中有通常意義。

6、試證三維空間的轉(zhuǎn)動(dòng)變換（1.1.4）矩陣的矩陣元滿足關(guān)系式（1.1.20）與（1.1.22）

證：由表達(dá)式（1.1.4）得

f

坐標(biāo)的轉(zhuǎn)動(dòng)變換：xi=aijxj（1）

_dx.

則"/二不"，此即（1」-20）式

將（1）式兩邊同時(shí)乘以4%,并對(duì)指標(biāo)i求和

1

陶。正巧,（2）

由％12/=廣2得X12=^ij^ikXjXk=XiXi

可得正交關(guān)系%%=3jk（3）

代入（2）式可得

七4%=\

,_的

即XJ=aijXi，從而％=菽'

此即（1.1.22）式。

習(xí)題1.2

在空間轉(zhuǎn)動(dòng)變換下

1若號(hào)是一個(gè)二階張量，4是一個(gè)矢量，則弓=%與也是一個(gè)矢量。

證：

因?yàn)椋?/p>

方二。洶?渦〃泊=%?也

所以

%=Tijb'j=%巴渦必四=%%/.也也=3消”瓦

=4?芯”黑仇=*也=。洶

故4為一矢量

2若%是一個(gè)矢量，證明Sq/SXj是一個(gè)二階張量。

證：因?yàn)?/p>

da：dg；/）da,dx,.da,da,

~=au~~=an----=aiia；k--

dXjdXjdXjox.oxkoxk

da.

所以，丁為二階張量

ox,

3若邑是一個(gè)二階對(duì)稱張量，4是一個(gè)二階反對(duì)稱張量，則品4=0。

解：Sy4=+22與4+2與4

i<ji>Ji=j

A--Ay,「.，=/時(shí)，4=。

又=S"

SgAj=ZMAZ+Zs4A=工5￡廠￡1sa戶

i<ji>ji<ji<j

-ZSu%-XSAj=。

i<ji<j

故原題得證。

4.證明二階張量的對(duì)角分量之和是一個(gè)標(biāo)量。

解：設(shè)二階張量的對(duì)角量之和為：6=L

經(jīng)過(guò)一轉(zhuǎn)動(dòng)變換后：。=%?

而：Tu==3j3k=Tjj，所以：。=4/=。

上式表明。是一個(gè)標(biāo)量。

5.▽2（°〃）=處2〃+2Vo.▽〃+四2。

證明：

▽?zhuān)?〃）=獷〃+四0

〃）二口？（加）

習(xí)題L3

1.證明：構(gòu)成右（左）旋系三個(gè)矢量。、b、。在空間反演變換后成為左（右）旋系。

證明：對(duì)于右旋系來(lái)說(shuō)，

V=(ax〃)?c>0

空間反演變換后，

V，=(a'xZ/)?c'=((-a)x(-Z?))?(一c)=-(axZ?)?c<0,變?yōu)樽笮怠?/p>

同理可證左旋系變?yōu)橛倚档那闆r。

2.若4是一個(gè)二階張量，弓是一個(gè)二階震張量，則7；尾是一個(gè)震標(biāo)量。

證明：在空間反演變換下，

T黑=丁卜瑞=他

而z霜只有一個(gè)值,故7；尾是一個(gè)震標(biāo)量。

3.證明：當(dāng)坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)或偶數(shù)個(gè)坐標(biāo)軸反向時(shí)，變換行列式等于1；當(dāng)奇數(shù)個(gè)坐標(biāo)軸反向

時(shí)，變換行列式等于-1。

證明：對(duì)坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)來(lái)說(shuō)，

a，a—|ara|=|nr||a|—同-=1,/.a=±1

由坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)的連續(xù)性，a的值要么保持不變，要么連續(xù)變化

由于開(kāi)始時(shí)，顯然，”=1

所以。始終等于1

或者這樣理解：做兩次轉(zhuǎn)動(dòng)，可以看作一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)變換，所以。始終等于1

對(duì)坐標(biāo)軸反向來(lái)說(shuō)，其變換行列式形式為：

1(-1)00

01(-1)0,1(—1)表示1或一1。

001(-1)

偶數(shù)個(gè)坐標(biāo)軸反向時(shí)，有偶數(shù)個(gè)-1,其值為1:當(dāng)奇數(shù)個(gè)坐標(biāo)軸反向時(shí)，有

奇數(shù)個(gè)-1,其值為-1。得證。

4.設(shè)￡是笛卡兒坐標(biāo)，求當(dāng)空間坐標(biāo)系作旋轉(zhuǎn)與反演變換時(shí)諸體積積分

7；=J的變換規(guī)律，式中/(f)是一個(gè)標(biāo)量函數(shù)

解：

空間坐標(biāo)系做旋轉(zhuǎn)變換時(shí)，有&=卒,

22

V=爾=aijxjajkxl.=XjXj=x

dv-dx[dxydx^=|detj|dx}dx2dx3=|det/du

其中|det1|=deta21a221（磁是轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣）

_ai\%2

所以dM=dv

T

b'=J刎*/(/)=Jdva內(nèi)％/意。2)=aHajmTlm

做反演變換時(shí)，有x'=-x

dv'=dx：dx：dx；=-dx^dx2dxy=-dv

龍".'=(一%)(-%)=%%

2

T；=j-Jv(-x,)(-x7)/(x)=J—d嗎=—l\j

5.使用兩矢量的循環(huán)分量表示它們的標(biāo)積（點(diǎn)乘）與矢積（叉乘）；并用球諧函數(shù)表示矢

徑的諸循環(huán)分量。

解：由ae=擊(a_e_-ae),ae,

xx++y美(a_2_+a+e+),a:e2=*)

久。—22+),么6,=美S_2+b+e+),b:ez=%?

1__i_o

41y/2

4、

Aay,A0

V241

生，001

7

因此，A就是變換矩陣，于是我們可得基坐標(biāo)公式:

（e+,e_,e0）=（ex,ey,ez）A

于是

e+xe_=-iea,e_x/=ie_,e0xe+=ie_

因此:

axb=(a+e++a_e_+4%)x{b+e++b_e_+4/)

=i(aQb+-4%)=-i(aob_-a_b0)e_+i(a_b+-a+b_)eQ

即有(axZ?%=i(aj?+-a+/?_),(ax/?)±=±j(a(優(yōu)一a±%)

注意：

axb=(a_b0-a^>_)2++(aob+-a+bQ)e_+(a+b^-a_b+)e0

是不成立的，因?yàn)樯鲜绞窃谥苯亲鴺?biāo)系中推出的，有賴于直角坐標(biāo)系的一些特殊性

?;a-b=(a+e++a_e_+q)e())?(b+e++b_e_+4/)

預(yù)先如上面，先計(jì)算出方向向量的點(diǎn)積即可

或者：

、、,

a-b=aAbxv+ayby+a.zb.z

-|rr

=(6Z+,<7_,<70)(A)(A"')(6Z+,<2,,6Z0)

求出A’即可得到

a-b=-a_b++a+b_+%%=Z

u=0,±

：.a.b=Z㈠&急

w=0,±

r=rsin^cos^v+rsin0sin^v+rcos^e2

=rsin0cos(p-j=(e_-e+)+—j=rsinsin(p(e_-e+)+rcos^e0

6.證明:對(duì)(1.3.16)

'為%金］

有￡泳￡而*=det%%葭

3km%>

對(duì)啞指標(biāo)求和,此時(shí)有近=3,且有

(；

5il8.im\4“、凡與、

的"與成=3det一%det+§ikdet

d.s

\jl川73”4,

3〃%、%bjm

令det中&=),令/det中々=。合并后有

3JjRk

譏1篇〃)匹^km>

3*5.im}

=2匹-%%

%8.

得證.

對(duì)(1.3,17)

工

由(1.3.16)有，￡￡=det即

ijktjk=8il8jj-3ij8jl

此時(shí)有%=3,故有sijksljk=36u—6n=2!西

故為廬泳=2。=3!

習(xí)題1.4

1.證明：Ax(8xC)+8x(CxA)+Cx(Ax8)=0

證明：Ax(BxC)=(AC)B-(AB)C

Bx(CxA)=(BA)C-(BC)A

Cx(AxB)=(CB)A-(CA)B

且AB^BA,AC^CA,BC=CA

所以，Ax(8xC)+8x(CxA)+Cx(Ax8)=0

2.將下述量寫(xiě)成矢量表達(dá)式

1)昌陷。也￡

2)%,儂64簿/

解：1)

%聲小3她總=?r譏-3,聲〃)(譏黑一用戶ms)a.a.b“￡

=屹瓦瓦時(shí)-3,/必黑-黑￡&?““十匹黑鬣d,)a“a也￡

=3a2(b-c)-a2-c^-a2-c^+(a-b)(a-c)

=a2(^b-c^+(a-b)(a-c')

2)

%/%〃*.,/也q“4，,/=(41P(4fAe,)力(￡加(%此4)%)

=((/?xe)x"axd)xc)

=(/x(exb))(cx(dxa))

關(guān)鍵一點(diǎn):若是點(diǎn)乘：找腳標(biāo)相同的；

若是叉乘：找%t，按順序，生科工卜ax(bxc)

3.設(shè)I為二階單位張量，試證：

a?僅xc)/二Q僅XC)+〃(CX4)+C(QX〃)

證明：先驗(yàn)證恒等式slmn8..=^￡jinn+8im￡jn,+3in￡jlm(*)

方程兩邊同乘以想得

%,￡lmn^ij=^ij(^n￡jnm+dm%"+^in￡jlm)

即3%=￡lmn+￡mnl+￡nhn,即￡lmn=￡hnn

上式只是證明了當(dāng)i=j時(shí)是成立的

當(dāng)j時(shí)，左邊為0,

對(duì)于右邊：因?yàn)閕wj,所以當(dāng)噩區(qū)0時(shí)，必有￡8=0

(此時(shí)j必與某個(gè)腳標(biāo)相同)

所以右邊也等于0

當(dāng)i=/時(shí)，i必與m,n,1中的某一個(gè)形同，不妨設(shè)為m。而m,n,1互不相同，若

不然2Kx為0;所以右邊等于￡加“

(*)兩邊同乘以a也,￡,得：

砧“4'與海=a"g??盧加”++2后加)

”.僅xc)%=《僅xc).+2(cxd),+q.(axh).

[a.9xc)/%=[a僅xc)+b(cxa)+c(ax0

即a-(bxc)/=a(/?xc)+b(cxa)+c(axA>)證畢。

4.證明：若對(duì)任意矢量B,4月是一個(gè)標(biāo)量(或腰標(biāo)量)；則是A一個(gè)矢量(或軸矢量)。

若對(duì)任意軸矢量B,4月是一個(gè)標(biāo)量(或腰標(biāo)量)，則A是一個(gè)軸(或極)矢量。

證：先證明A是矢量。

在空間轉(zhuǎn)動(dòng)x；=aijXj下，由44是標(biāo)量可知：

(A￡)=48=44

又B是極矢量，

所以，

即AjCijR=AlBj4=a’Aj

所以，A是矢量

當(dāng)空間反演變化時(shí)，8=—耳

由于4耳是標(biāo)量，（4線）'=48=A4

即4=-4

所以，A是極矢量

同理可證，其它三種情形

5.證明：ax(hxc)=(a-c)b—(a-b)c

證明：

axSxc)=x(qx，)=aibjckeix(q1me“)=以也/￡刖%“由

=他.-4A/鳩=(。￡①-%bjC[均=(a-c)b-(a-b)-c

6.證明：a\hxc)=b-(cxci)

(axh).(cxd)=(a?c)(Z??d)—(a-d)(b?c)

(axb)x(cxd)=[a-(bxd)]c—[a-(bxc)]d

曉(《仇一42)=2s(axb),嗎=；￡內(nèi)

證明：1)

a?(Z?xc)=^bjCf.e,.-(ejxq)=a//q為"=。^。人￡海=Z??(cxa)

2)由第一問(wèn)可得：

(axb)?(cxd)=b?((cxd)xa)

=b?((a?c)d—[a-d)c)=(a?c)(b?d)—(a?d)(b?c)

3)(axh)x(exd)=((axb)?d)?c—((axb)?c)?d

=[a-(hxd)]c—[a?Sxc)]J

4)2co-(axb)=2a)lambn￡limi=2-^￡ljkTjkambn￡lmn

=￡（。也一%々）=，（她一。屹）

7.證明：d^ln=0

4萬(wàn)Jt

一1

n.n=—-[dQ”i=—^a

47rJi)3"

〃，%%=±JdQ〃，〃，%=0

〃,〃"/=?產(chǎn)兇=6（即/++8u8jk）

證明：1）冗為一階不變張量，即不變矢量；.凡為零矢量，即4=0

2）々%是不變二階張量，ninjoc3y

?……令麗=招，取i=j,*JdQ〃,e

..........A.8..=1?.九=-.......原式得證

"...3

3）

4〃產(chǎn)*為三階不變張量〃凸出-4號(hào)*,其中A為一常數(shù)

但是，〃,.%〃*=〃,-%%（因?yàn)閚矩陣內(nèi)容不變，所以可以交換）

而%*是兩兩反對(duì)稱的，所以A只能為零

lJK

4）

〃凸〃則為四階不變張量〃/八"8（丹d+2年+可必）

.....令%%&〃i=〃丹瓦+為%+,

MXi=j,k=l

...........4(5"源+8ik8ik+3ik5ik)=A(3x3+3+3)=152=l..........

.?./L=\..…原式得證

不錯(cuò)的證明！！!

當(dāng)然，也可以實(shí)際計(jì)算：d￡l=sinOd0d(p.〃=(sin，cos0,sin，sin0,cos9),

寫(xiě)出關(guān)于n的各階張量，逐個(gè)檢驗(yàn)分量。工作量很大，也比較煩。

8、

證明：以下假定L42式已證

利用。是常矢量，可以提出平均符號(hào)外

1).a-n=O

a*n=a"j=q4=0

2).(a,7?)2=|a『/3

22

(a?n)=(q〃j)2==a：=aiai/3=|tz|/3

3).a-nh-n=a-h/3

a-nb-n=<2仲“-ajbjn/z?/=/3=a-b/3

4).a?tm=a13

a?=aininjej=q4％/3=弓6/3=〃/3

5).(axH)2=21a『/3

(ax〃>==8lmsijk￡ilmajall3=.與/3

=2!3"CijCiJ3=%尸//3=21a『/3

6).(axn)-(bxn)=2a-b/3

(ax〃)?(〃x〃)=%嗎％%/%=%聞/也況，3=%盧泯。也/3

=2l3Jlaih//3=2a-b/3

7).a?nb?nc?nd?n=(a，be?d+a?cb?d+a?db?c)I\5

a?nb?nc?nd?nn=a"1dm產(chǎn)兒=叫M(學(xué)"4-8u8jm+%%)/15

=(aihicldl++aidihjcj)/l5=(ahc-d+a?cb?d+a?db?c)/15

9、證明：(wxv)x/=vw-wv

證明：

(wxv)xZ=￡ijkujvkelslim{em/)=一馬百加"產(chǎn)兇J=-?3km-勾%)〃產(chǎn)戶戰(zhàn)

二〃產(chǎn)火線與一〃/%=vu-uv

10、證明：(〃x/)■x/)=〃x(ux/)=u"-〃W

證明：

先證：W證明如下：

&X/)靜X/)=〃%，々產(chǎn).分1=-%百?線%=-@7%-Sjm8kl)〃*，分

=UjVkekej-UjVjekek=vu-uvl

再證：ux(vxl)=vu-uvl

"X(VX/)=勺場(chǎng)0椀〃涓6,I=@%“一%%)“*%"

=UjVjejej-UjVjejej=vu-uvl

所以有(〃x/).x/)=〃x(ux/)=vl

上面普遍處理了一個(gè)基本式：

〃x/=(a1u)眄*(a?/)=%/汽線

與一般的兩向量的矢量積比較，就是k分量由標(biāo)量變?yōu)槭噶俊Ｋ灾灰幚砗米晕恢镁涂梢?/p>

了。

并且我們可以得到一個(gè)更強(qiáng)的結(jié)論：axT=Txa,T是對(duì)稱的二階張量

這其實(shí)是很顯然的，因?yàn)椴娉酥簧婕耙粋€(gè)指標(biāo)，對(duì)左邊，只涉及第一個(gè)指標(biāo)，對(duì)右邊只涉及

第二個(gè)指標(biāo)，而由于T的對(duì)稱性，行向量等于列向量，即第一個(gè)指標(biāo)和第二個(gè)指標(biāo)等同，因

此結(jié)論成立。

可想而知，對(duì)點(diǎn)乘也應(yīng)成立，但是這里有一個(gè)細(xì)節(jié)，是一個(gè)行向量，是一個(gè)列向

量，但是根據(jù)上面分析，他們的元素必然是相等的。

這從矩陣語(yǔ)言中可以清楚看到：(Tap=aT=優(yōu)7(點(diǎn)乘就是普通的矩陣乘法，對(duì)向量

加一個(gè)轉(zhuǎn)置)

下面根據(jù)上面的討論，給出一個(gè)形式化的證明：

(wxv)x/=/x(?xv)=(/-v)w-(/-w)v=vu-uv

(交換原因在于后面是通常給出的叉積形式)

=(/XM)(VX/)=1(MX(VX/))=/(V(W-/)—(?-V)/)=VW—Mvl

第二步交換原因是二階張量是不可以隨便與其他張量交換位置的，故將其移到兩端，處理起

來(lái)時(shí)就方便很多。

習(xí)題1.5.

VT=Y(a,7),V.T=V,.(e,-T)VxT=V,.(e,xT),

利用以上三式可以不必逐項(xiàng)展開(kāi)，以第一題為例:

1.證明：

Ax(\7xA)=gvA2—A.(\M

解：

Ax(VxA)=Ax￡..kq鼠線.A)=巧"?e"

不逐項(xiàng)展開(kāi)解法：

Ax(VxA)=Ax匕(eixA)=Ax(自xV,A)

=(A-V,.A)e,-(A.e,)V,.A

=1VA2-A-(VA)

即把原來(lái)的微分算符分離為微分和方向向量?jī)刹糠帧?/p>

2.證明：

1)CV(AB)=A(CV)5+B(CV)A

解：

C.▽(A.3)=C.V(4紇)=C?c缶&e,.

dx1

_C洱,r阻_SBdAk

-G-T—Dk+C,三一Ak-A￡――+—

oxioxjdXjdXj

=A-(CV)B+B-(CV)A

2)(C-V)(Ax^)=Ax(C-V)B-Bx(C-V)A

解：

CV)(AxB)=(C-V^AjB^=C品jk豪聲)

a3a3

一GBRjkA,+CjAjEgk8卜=AjgijkG-^—Bk-Bk￡ilijCjAj

=Ax(C.V)B-8x(CV)A

3)V-(AB)=(A-V)B+BV-A

點(diǎn)乘是方向之間的作用，所以點(diǎn)乘始終要在A與▽之間

微分分別作用到A與B上

4)(AxB).(VxC)=Z?(A-V)C-A-(B-V)C

a

(AxB)?(▽xC)=%⑼Bke」e,￡lmn三(e.?C)

叫〃

解:=旦％5G=g2-A也±Cj

GXm°KjGXk

=B(AV)C-A(BV)C

5)(AxV)xB=(4V)6+Ax(yx6)-WB

解:運(yùn)用演義法

(A-V)8+AX(VX8)—AV?8=(4—)B.ey.+Ax(e^e,.)-(—Bk)Aiei

dXjdXjdxi

,.ddBkdBk5

=(A-—)Bjjej-+c-A,--------------(—Bk)Ajj.

%dx：」人dXj-dXjdXj"

A弭,a..

=---(—BDJAe

dXjdXjjj

另一方面，

(Ax▽)x6=(%e,A—^B=skAslhl二B“e,

dxkdxk

sa

=Aj——Be—A,——Be

JJkJkJ

dxkdxk

所以，

(AxV)xB=(A-V)B+Ax(VxB)-AVB

3.證明:

1)VxfvT^UO

解：

因?yàn)?*e,-卷產(chǎn)=-%4春評(píng)

dxjdxkdxkdxj

所以\7x（\7T（"））=O

其實(shí)想法很簡(jiǎn)單：

理解一點(diǎn)V的方向就是無(wú)▽xr=O,V>=%

所以，▽x（VT（"））=O（同方向的兩個(gè)向量的矢量積為0）

2）▽?（▽xT（">°））=0

解：

▽.（…“*1”副iff/（乃巧

因“金（卅刈）

所以V-（VxT（"刈）=0

同樣可以認(rèn)為VxT（"刈是與可垂直的，所以點(diǎn)乘為零

2

3)Vx(▽xT("刈)=▽(▽.7(">。))-\7Tgo)

［，，>0］\aaT(“>O)_aa

VxfVxT)5最卜8bnnei--，?T=Gijkei-Ck.8hnnCk7-Cn

編))弭［Idxm

d彳T（〃>o）

e.--------)=▽(▽.7(〃>。))_v2T(〃>o)

dxjdxi

4.▽(")=獷0+

證明:V（刎=自U（刎=自。詈+*F=取（P'啖0

▽網(wǎng)=%+(▽0/

證明:▽(4/)=3M⑼=噎的")=2泉處)令

=%"+M，(")&=嗯+母=阿+(▽")，

▽x(4)=四x/_/x\7°，

證明:Vx(")=*#.")=H啜+/用

=帆M"+%Mfk?

dXjdXj

=師乂止￡皓于黑

證明：▽?(")=自告(")=自，("(妨號(hào))=/(")=((")

=*”*(")=*(3)+△*(")

=丹,f+f7?

(▽g>/=.fx(Vxg)+5g)

證明：fx（Vxg）=fj眄端?/（?.g）］

￡￡1S￡

fj^ijkl?ln^kl普=fj^ijkh?n誓

'^^g)-f=ei-^-(gjej)-fkek

CzA/；

cbgi八dg：

f-^f.e.-e-Skek

所以/x(Vxg)=(Vg)"—/.(Vg)

即(、)?/=fx(Vxg)+/.(Vg)

YfM]=(

▽礙exp

證明：w[M=e￡/w=e?%=(v。)與

dxidxio(/)o(/)

o（p

證明：”同/后加）=誓=智^

管新箸（吁皿置

▽x/M]=(▽協(xié)X組

證明：▽乂/㈤,法.色力列卜.自駕處

—F3以㈣即2期

匕：“一匕:謝匕；；I.匕;

的如'dxj卻

義

”

X加

=(▽0吃)自以[4.至J

絲

(V

自

陰一"八

=￡,.d^)8f-ek

,巧彳積線=￡收—TT

o(pdxjo(p

對(duì)比有Vx/M]=(▽⑸

5、

Prob.lProvethat▽|x|=￡三x/|x|

1

5

證：IX|=(x,.x(.),

(Q.2(%)=￡=-

v|X|=4—曙為3

(陰)2(x,x戶I尤I

下面先證Prob。4

Prob.4ProvethatV(a")=na"'a,ibramx—x'l

證:

V(/(0))R0^^且Va=?

/\b(a)

~"a=na"''a

、)Sa

Prob.2ProvethatVa2=2a,fora^x—V|

Prob.3ProvethatV(l/a)=-a/a2,foramx—x'|

Prob.4的推論

Prob.5ProvethatV/(x)isavector,if/(x)isascalar

function.

可（刈=自空/（x）為標(biāo)量也為標(biāo)量

oxiCzA.^

.?.w（x）=a,0⑷為矢量

dxi

另證:

[V/⑴卜*(小)).自

=因裊/（對(duì)）

=%［可（現(xiàn)

Prob.6Provethat\7x=I

證：V%=e.—=e,d(e'"Xm)-5(x)

(=e,e,“m=%謁=I

dx{dxidXj

Prob.7ProvethatVi=(7-x￡)/r

證：Vi=V(%/r)=Vx—+xvf--1/r——\-xx=\/r——xx-(l-x￡)/r

Prob.8ProvethatV-x=3

、-a(e.-x)dx.

證：V-x=---------=--="=3

dxidX]

先證Prob。10因?yàn)镻rob。9(V.x=2/?-)是Prob。10的特殊情況

Prob.10Provethat▽?(/'￡)=(〃+2)/,

證：▽?(r"9=vG"Tx)=Vd?x+r"(V?x)=(〃—l+3)r"T

特殊的，n=0時(shí)，V.x=2/r

Prob.10ProvethatVxx=o

證：Vxx=沁k/值-x)=自，察=耳入Qkj=0盧湫=°；

x

Prob.11ProvethatVx—=0

r

證：Vx|^-|=^-Vxx+V^r-xx=0+(-3)r4rxx=0

[尸Jrr

Prob.12ProvethatVx(r,,x)=0

證：Vx^rnx)=rrt(Vxi)+Vrnxx=0+nrn~[xxx=0;

Prob.15Provethat

V2-=—4芯3(x)

r

證明：假設(shè)

^2G=-4^\X)

那么只要證明G=」即可

r

采用球坐標(biāo)，由于坐標(biāo)原點(diǎn)在(0,0,0),點(diǎn)源產(chǎn)生的場(chǎng)在無(wú)界空間

中應(yīng)只與r有關(guān)，于是

V2G=-V—