安徽省合肥市第三十一中學高三數學文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.下列說法正確的是

A．合情推理就是歸納推理B．合情推理的結論不一定正確，有待證明C．演繹推理的結論一定正確，不需證明D．類比推理是從特殊到一般的推理參考答案：B2.如圖，在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c．O是△ABC的外心，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，則OD：OE：OF等于（）A．a：b：c B．C．sinA：sinB：sinC D．cosA：cosB：cosC參考答案：【考點】HT：三角形中的幾何計算．【分析】作出△ABC的外接圓，連接OA、OB、OC，由垂徑定理和圓周角定理可得∠B=∠AOC=∠AOE，同理可知∠A=∠BOD、∠C=∠AOF，若設⊙O的半徑為R，可用R分別表示出OD、OE、OF，進而可得到它們的比例關系．【解答】解：如圖，連接OA、OB、OC；∵∠BOC=2∠BAC=2∠BOD，∴∠BAC=∠BOD；同理可得：∠BOF=∠BCA，∠AOE=∠ABC；設⊙O的半徑為R，則：OD=R?cos∠BOD=R?cos∠A，OE=R?cos∠AOE=R?cos∠B，OF=R?cos∠BOF=R?cos∠C，故OD：OE：OF=cos∠A：cos∠B：cos∠C，故選D．3.已知橢圓的右焦點關于直線的對稱點為，點為的對稱中心，直線的斜率為，且的長軸不小于4，則的離心率（

）A．存在最大值，且最大值為

B．存在最大值，且最大值為C.存在最小值，且最小值為

D．存在最小值，且最小值為參考答案：B4.下列函數中，其圖象既是軸對稱圖形又在區間（0，+∞）上單調遞增的是(

)A．y= B．y=﹣x2+1 C．．y=2x D．y=lg|x+1|參考答案：D【考點】函數單調性的判斷與證明；函數奇偶性的判斷；函數的圖象．【專題】函數的性質及應用．【分析】根據題意，結合常見的基本初等函數的圖象與性質，對選項中的函數進行判斷即可．【解答】解：對于A，函數y=的圖象是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，∴不滿足題意；對于B，函數y=﹣x2+1的圖象是軸對稱圖形，在區間（0，+∞）上是單調減函數，∴不滿足題意；對于C，函數y=2x的圖象不是軸對稱圖形，∴不滿足題意；對于D，函數y=lg|x+1|的圖象是關于直線x=﹣1對稱的圖形，且在區間（0，+∞）上是單調增函數，滿足題意．故選：D．【點評】本題考查了基本初等函數的圖象與性質的應用問題，是基礎題目．5.若等差數列的公差，且成等比數列，則（

）A．2 B．

C．

D．參考答案：D6.下列命題中的假命題是（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：D略7.設全集U=,集合A=,集合B=，則=--------------------------------------------------------（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B8.形如的函數因其圖象類似于漢字中的“囧”字，故我們把其生動地稱為“囧函數”．若函數（a＞0，a≠1）有最小值，則當c，b的值分別為方程x2+y2﹣2x﹣2y+2=0中的x，y時的“囧函數”與函數y=loga|x|的圖象交點個數為（）A．1 B．2 C．4 D．6參考答案：C【考點】函數的圖象．【專題】轉化思想；數形結合法；函數的性質及應用．【分析】由題意可得a＞1，c=b=1，這時“囧函數”為，它與函數y=loga|x|在同一坐標系內的圖象如圖所示，數形結合求得它們的圖象交點個數．【解答】解：令u=x2+x+1，則是y=logau與u=x2+x+1復合函數，∵，當y=logau是增函數，時有最小值，所以，a＞1；x2+y2﹣2x﹣2y+2=0，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=0，可得x=y=1，所以，c=b=1，這時“囧函數”為，它與函數y=loga|x|在同一坐標系內的圖象如圖所示，數形結合可得它們的圖象交點個數為4，故選：C．【點評】本題主要考查函數的圖象特征，兩個函數的圖象交點個數，體現了轉化、數形結合的數學思想，屬于中檔題．9.已知函數，則使方程有解的實數的取值范圍是（

）A．（1，2） B．

C．

D．參考答案：D10.一四面體的三視圖如圖所示，則該四面體四個面中最大的面積是（）A．2 B． C． D．參考答案：D【考點】由三視圖求面積、體積．【分析】根據三視圖，得到四面體的直觀圖，然后判斷四個面中的最大面積即可．【解答】解：將該幾何體放入邊長為2的正方體中，由三視圖可知該四面體為D﹣BD1C1，由直觀圖可知，最大的面為BDC1．在正三角形BDC1中，BD=，所以面積S=．故選：D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝2AB．若E，F分別為線段A1D1，CC1的中點，則直線EF與平面ABB1A1所成角的余弦值為_______．參考答案：12.已知底面是正六邊形的六棱錐的七個頂點均在球的表面上，底面正

六邊形的邊長為1，若該六棱錐體積的最大值為，則球的表面積為參考答案：13.已知函數f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在2個零點x1，x2，且x1，x2都大于0，則a的取值范圍是

．參考答案：（0，2）【分析】通過a與0的大小討論，利用函數f（x）=ax3﹣3x2+1存在兩個正零點，轉化為函數的極值與0的關系，然后得到答案．【解答】解：當a=0時，函數f（x）=﹣3x2+1有且只有兩個零點，一個為正，一個為負不滿足條件；當a＞0時，令f′（x）=3ax2﹣6x=0，解得：x=0，或x=，x=0是極大值點，x=是極小值點，∵f（0）=1≠0，∴f（）=＜0，解得：a∈（0，2），當a＜0時，令f′（x）=3ax2﹣6x=0，解得：x=0，或x=，x=0是極小值點，x=是極大值點，∵f（0）=1＞0，函數只有一個零點，不滿足題意，綜上，a∈（0，2）．給答案為：（0，2）．14.已知為第四象限角，則

.參考答案：．，，因為為第四象限角，，所以．15.袋中有大小相同的3個紅球，2個白球，1個黑球。若不放回摸球，每次1球，摸取3次，則恰有2次紅球的概率為

；若有放回摸球，每次1球，摸取3次，則摸到紅球次數的期望為

．參考答案：,.16.非零向量m,n滿足3|m|=2|n|,且n(2m+n),則m,n夾角的余弦值為

．參考答案：17.從1，2，3，4這四個數中一次隨機取兩個數，則其中一個數是另一個的兩倍的概率為______參考答案：本題考查了古典概型概率的計算，考查了學生解決問題的能力，難度一般。.

從1，2，3，4這四個數中一次隨機取兩個數，有6種結果，其中一個數是另一個的兩倍的結果有1,2和2,4兩個，所以所求概率是.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知曲線C的極坐標方程是.以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，直線l的參數方程是.（Ⅰ）將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程；（Ⅱ）若直線l與曲線C相交于A，B兩點，且，求直線l的傾斜角的值.參考答案：（Ⅰ）由得.

∵

∴曲線C的直角坐標方程為：.

…………5分（Ⅱ）將直線的參數方程代入圓的方程化簡得.

設A,B兩點對應的參數分別為，則是上述方程的兩根，則有.∴∴

∵∴.

………10分19.(本小題滿分10分)在極坐標系中,曲線C1的方程為,直線C2的方程為.以極點O為坐標原點,極軸方向為x軸正方向建立平面直角坐標系xOy.(1)求C1,C2的直角坐標方程；(2)設A,B分別是C1,C2上的動點,求的最小值.

參考答案：解：(1).曲線的極坐標方程可化為,兩邊同時乘以,得,則曲線的直角坐標方程為,即,…………………2分直線的極坐標方程可化為,則直線的直角坐標方程為,即.…………………4分

(2).將曲線的直角坐標方程化為,它表示以為圓心,以為半徑的圓.…………………6分

該圓圓心到直線的距離,…………………8分

所以的最小值為.…………………10分

20.在直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，圓C的極坐標方程為，

直線的參數方程為(t為參數)，直線和圓C交于A、B兩點，P是圓C上不同于A、B的任意一點.(1)求圓心的極坐標；(2)求△PAB面積的最大值.參考答案：(1);(2).【詳解】試題分析：（1）由題意可得圓的直角坐標方程，然后即可得圓的圓心及極坐標；（2）根據題意求得直線的方程，即可得圓心到直線的距離，然后求得的值，再根據數形結合可得到直線的最大距離，即可求出面積的最大值.試題解析：∴圓的圓心為又故圓心極坐標為⑵易知直線為，圓心到直線的距離∴∵由幾何圖形可知到直線的最大距離為∴面積的最大值為21.在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a2+b2﹣c2=ab． （Ⅰ）求cos的值； （Ⅱ）若c=2，求△ABC面積的最大值． 參考答案：【考點】余弦定理；正弦定理． 【專題】計算題；轉化思想；分析法；解三角形． 【分析】（Ⅰ）由已知及余弦定理可得cosC的值，利用C為銳角，可求范圍，從而利用二倍角的余弦函數公式可求cos的值； （Ⅱ）利用基本不等式可求ab的最大值，由（Ⅰ）及同角三角函數基本關系式可求sinC的值，利用三角形面積公式即可求△ABC面積的最大值． 【解答】（本小題滿分14分） 解：（Ⅰ）由余弦定理得：，（3分） ∴．（5分） ∴，∵，∴（7分） （Ⅱ）若c=2，則由（Ⅰ）知：8=2（a2+b2）﹣3ab≥4ab﹣3ab=ab，（10分） 又，（12分） ∴， 即△ABC面積的最大值為．

（14分） 【點評】本題主要考查了余弦定理，二倍角的余弦函數公式，基本不等式，同角三角函數基本關系式，三角形面積公式等知識在解三角形中的應用，考查了轉化思想和數形結合思想，屬于中檔題． 22.如圖1，⊙O的直徑AB=4，點C、D為⊙O上兩點，且∠CAB=45°，∠DAB=60°，F為的中點．沿直徑AB折起，使兩個半圓所在平面互相垂直（如圖2）．（1）求證：OF∥平面ACD；（2）求二面角C﹣AD﹣B的余弦值；（3）在上是否存在點G，使得FG∥平面ACD？若存在，試指出點G的位置，并求直線AG與平面ACD所成角的正弦值；若不存在，請說明理由．參考答案：考點：用空間向量求平面間的夾角；直線與平面平行的判定；二面角的平面角及求法．.專題：空間角．分析：（1）以O為坐標原點，以AB所在直線為y軸，以OC所在直線為z軸建立空間直角坐標系，求出向量與的坐標，利用向量共線的坐標表示求證OF∥AC，從而說明線面平行；（2）根據，∠DAB=60°求出D點坐標，然后求出平面ACD的一個法向量，找出平面ADB的一個法向量，利用兩平面法向量所成角的余弦值求解二面角C﹣AD﹣B的余弦值；（3）假設在上存在點G，使得FG∥平面ACD，根據（1）中的結論，利用兩面平行的判定定理得到平面OFG∥平面ACD，從而得到OG∥AD，利用共線向量基本定理得到G的坐標（含有參數），然后由向量的模等于圓的半徑求出G點坐標，最后利用向量與平面ACD的法向量所成角的關系求直線AG與平面ACD所成角的正弦值．解答：（1）證明：如圖，因為∠CAB=45°，連結OC，則OC⊥AB．以AB所在的直線為y軸，以OC所在的直線為z軸，以O為原點，作空間直角坐標系O﹣xyz，則A（0，﹣2，0），C（0，0，2）．，∵點F為的中點，∴點F的坐標為，．∴，即OF∥AC．∵OF?平面ACD，AC?平面ACD，∴OF∥平面ACD．（2）解：∵∠DAB=60°，∴點D的坐標，．設二面角C﹣AD﹣B的大小為θ，為平面ACD的一個法向量．由有即取x=1，解得，．∴=．取平面ADB的一個法向量