廣東省梅州市壢陂中學高三數學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設a∈[0,10]，則函數g(x)＝在區間(0，＋∞)內為增函數的概率為__________．參考答案：略2.如圖所示是計算某年級500名學生期末考試（滿分為100分）及格率q的程序框圖，則圖中空白框內應填入（） A．q= B． q= C． q= D． q=參考答案：D3.若函數有兩個不同的零點，且，那么在兩個函數值中

(

)

Ａ.只有一個小于1

Ｂ.至少有一個小于1Ｃ.都小于1

Ｄ.可能都大于1參考答案：B略4.如果點位于第二象限，那么所在的象限是(

)

A．第一象限

B．第二象限

C.第三象限

D，第四象限參考答案：D略5.某四面體三視圖如圖所示，則該四面體的四個面中，直角三角形的面積和是(A)2

(B)4

(C)

(D)參考答案：C略6.對于函數，使成立的所有常數中，我們把的最大值叫做函數的下確界.則函數的下確界是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略7.已知是函數的兩個零點，則A.

B.

C.

D.參考答案：A略8.在區間[]上隨機取一個數,則的概率是(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：B略9.設實數x、y滿足約束條件，已知z=2x+y的最大值是8，最小值是﹣5，則實數a的值為（）A．6 B．﹣6 C．﹣ D．參考答案：B考點：簡單線性規劃．專題：不等式的解法及應用．分析：作出不等式組對應的平面區域，利用目標函數的幾何意義，作出直線2x+y=8和2x+y=﹣5，得到直線x+ay﹣4=0經過點A，B，進行求解即可取出a的值．解答：解：作出不等式組對應的平面區域如圖：（陰影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直線y=﹣2x+z，∵z=2x+y的最大值是8，最小值是﹣5，∴作出直線2x+y=8，則目標函數與直線x+y﹣4=0交于A，作出直線2x+y=﹣5，則目標函數與直線3x﹣2y+4=0交于B，則直線x+ay﹣4=0經過點A，B，由，解得，即B（﹣2，﹣1），代入直線x+ay﹣4=0，得﹣2﹣a﹣4=0．解得a=﹣6．即AB：x﹣6﹣4=0，由圖象進行檢驗可得，滿足條件，故選：B．點評：本題主要考查線性規劃的應用，利用目標函數的幾何意義，結合數形結合的數學思想是解決此類問題的基本方法．10.若函數的圖象如右圖，其中a，b為常數，則函數的大致圖象是(

）

參考答案：D

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（坐標系與參數方程選做題）在極坐標系中，圓p=4sin的圓心到直線的距離是______。參考答案：12.若（1+）5=a+b（a，b為有理數），則b=．參考答案：44【考點】二項式定理的應用．【分析】由題意（1+）5=a+b（a，b為有理數），利用二項式定理求得b的值．【解答】解：由題意（1+）5=a+b（a，b為有理數），由二項式定理可得，a=C50+C52×3+C54×9=76，b=C51+C53×3+C55×9=44，故答案為：44．【點評】本題考查二項式定理的應用，熟練掌握二項式定理，理解方程若（1+）5=a+b（a，b為有理數）的意義是解題的關鍵，理解a，b的意義是本題的難點，也是求解本題的切入點，解題時能把這樣的切入點找出來，解題就成功了一半，屬于中檔題．13.任意冪函數都經過定

點，則函數經過定點 ．參考答案：（2,1）14.記的展開式中含項的系數，則

▲

．參考答案：2

略15.已知=（2，m），=（1，1），?=|+|則實數m的值為．參考答案：3【考點】平面向量的坐標運算．【分析】根據向量的數量積公式和向量的模得到關于m的方程，解得即可．【解答】解：∵=（2，m），=（1，1），?=|+|，∴?=2+m，|+|=，∴2+m=，解得m=3，故答案為：3．16.復數在復平面內所對應的點在虛軸上，那么實數=

.參考答案：217.設正三棱錐A﹣BCD的所有頂點都在球O的球面上，BC=1，E，F分別是AB，BC的中點，EF⊥DE，則球O的半徑為．參考答案：【考點】球內接多面體．【專題】綜合題；方程思想；綜合法；球．【分析】根據EF與DE的垂直關系，結合正棱錐的性質，判斷三條側棱互相垂直，再求得側棱長，根據體積公式計算即可．【解答】解：∵E、F分別是AB、BC的中點，∴EF∥AC，又∵EF⊥DE，∴AC⊥DE，取BD的中點O，連接AO、CO，∵三棱錐A﹣BCD為正三棱錐，∴AO⊥BD，CO⊥BD，∴BD⊥平面AOC，又AC?平面AOC，∴AC⊥BD，又DE∩BD=D，∴AC⊥平面ABD；∴AC⊥AB，設AC=AB=AD=x，則x2+x2=1?x=；所以三棱錐對應的長方體的對角線為=，所以它的外接球半徑為．7810529故答案為：．【點評】本題考查了正三棱錐的外接球半徑求法，關鍵是求出三棱錐的三條側棱長度，得到對應的長方體對角線，即外接球的直徑．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分12分)某大學開設甲、乙、丙三門選修課，學生是否選修哪門課互不影響．已知學生小張只選甲的概率為，只選修甲和乙的概率是，至少選修一門的概率是，用表示小張選修的課程門數和沒有選修的課程門數的乘積．（Ⅰ）求學生小張選修甲的概率；（Ⅱ）記“函數

為上的偶函數”為事件，求事件的概率；（Ⅲ）求的分布列和數學期望；參考答案：解：（Ⅰ）設學生小張選修甲、乙、丙的概率分別為、、；依題意得，所以學生小張選修甲的概率為0.4……5分（Ⅱ）若函數為上的偶函數，則=0

…………

6分

∴事件的概率為……9分

（Ⅲ）依題意知，…………10分，則的分布列為02P

∴的數學期望為

………………12分略19.（本小題滿分12分）

某地一天的溫度（單位：）隨時間（單位：小時）的變化近似滿足函數關系：，且早上8時的溫度為，．（1）求函數的解析式，并判斷這一天的最高溫度是多少？出現在何時？（2）當地有一通宵營業的超市，我節省開支，跪在在環境溫度超過時，開啟中央空調降溫，否則關閉中央空調，問中央空調應在何時開啟？何時關閉？參考答案：【知識點】函數模型的選擇與應用．B10【答案解析】（1）這一天在時也就是下午時出現最高溫度，最高溫度是.（2）央空調應在上午時開啟，下午時（即下午時）關閉解析：（1）依題意……2分因為早上時的溫度為，即，……3分

，故取，，所求函數解析式為.

…………………5分由，，可知，即這一天在時也就是下午時出現最高溫度，最高溫度是.…………7分（2）依題意：令，可得……………9分，或，即或，………………11分故中央空調應在上午時開啟，下午時（即下午時）關閉…………12分【思路點撥】（1）利用兩角和與差的三角函數化簡函數的表達式，利用已知條件求出參數值，即可得到解析式．（2）利用函數的解析式直接求出時間t，即可得到所求結果．20.已知二次函數的二次項系數為，滿足不等式的解集為（1，3），且方程有兩個相等的實根，求的解析式.參考答案：設所以即的解集為（1，3），所以方程的兩根為，所以………①

…………②

又方程，即有兩個相等的實根，所以………③

解由①②③構成的方程組得，（舍）或所以.

(也可設求解）

21.已知函數定義域為，若對于任意的，，都有，且>0時，有>0.⑴證明:為奇函數;⑵證明:在上為單調遞增函數;⑶設=1,若<,對所有恒成立,求實數的取值范圍.參考答案：（1）令，令，，為奇函數

(2）在上為單調遞增函數;

(3）在上為單調遞增函數，，使對所有恒成立,只要>1,即>0令22.（本小題滿分12分）某城市有東西南北四個進入城區主干道的入口，在早高峰時間段，時常發生交通擁堵現象，交警部門統計11月份30