方法必備06一網打盡11類函數中的存在性問題（23年中考真題+模擬50題專練）題型一面積存在性問題題型二線段存在性問題題型五直角三角形存在性問題題型六平行四邊形存在性問題題型七正方形存在性問題題型八菱形存在性問題題型九矩形存在性問題題型十相似三角形存在性問題題型十一角的存在性問題題型一面積存在性問題1．（2023?牡丹區二模）已知拋物線的對稱軸是直線，與軸相交于，兩點（點在點右側），與軸交于點．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖，若點是拋物線上、兩點之間的一個動點（不與、重合），是否存在點，使四邊形的面積最大？若存在，求點的坐標及四邊形面積的最大值；若不存在，請說明理由．2．（2023?蓮湖區模擬）現有一個三角形廣場，如圖所示，經測量，的長度為100米，點到線段的距離為50米，，均為銳角．點為邊上的一動點（點不與點，重合），點為邊上一動點（點不與點，重合），且．（1）當的長為50米時，的面積為平方米；（2）設點關于的對稱點為，△與四邊形的重疊部分的面積記為平方米，現準備在該重疊部分內種花．請問重疊部分的面積是否存在最大值？若存在，請求出的最大值及此時的長；若不存在，請說明理由．3．（2023?黑龍江）如圖，拋物線與軸交于，兩點．交軸于點．（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線上是否存在一點，使得，若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．4．（2023?湖州）如圖1，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象與軸的交點坐標為，圖象的頂點為．矩形的頂點與原點重合，頂點，分別在軸，軸上，頂點的坐標為．（1）求的值及頂點的坐標．（2）如圖2，將矩形沿軸正方向平移個單位得到對應的矩形．已知邊，分別與函數的圖象交于點，，連接，過點作于點．①當時，求的長；②當點與點不重合時，是否存在這樣的，使得的面積為1？若存在，求出此時的值；若不存在，請說明理由．5．（2023?安徽）在平面直角坐標系中，點是坐標原點，拋物線經過點，對稱軸為直線．（1）求，的值；（2）已知點，在拋物線上，點的橫坐標為，點的橫坐標為．過點作軸的垂線交直線于點，過點作軸的垂線交直線于點．當時，求與的面積之和；在拋物線對稱軸右側，是否存在點，使得以，，，為頂點的四邊形的面積為？若存在，請求出點的橫坐標的值；若不存在，請說明理由．6．（2023?南山區三模）在平面直角坐標系中，由兩條與軸有著相同的交點，并且開口方向相同的拋物線所圍成的封閉曲線稱為“月牙線”．如圖所示，拋物線與拋物線的部分圖象組成一個“月牙線”，相同的交點分別為，（點在點的左側），與軸的交點分別為，，且點的坐標為．（1）求，兩點的坐標及拋物線的解析式；（2）若拋物線的頂點為，當時，試判斷三角形的形狀，并說明理由；（3）在（2）的條件下，點是拋物線上一點，拋物線第三象限上是否存在一點，使得，若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，說明理由．7．（2023?西陵區模擬）如圖，開口向下的拋物線經過點，頂點為，和直線交于另一點，動點從點出發，沿著拋物線向點運動，到達點后立即停止．過點作軸的垂線，與線段或者上方的拋物線交于另一點，過作軸垂線交于，以和為邊作矩形，該矩形被分成上、下兩部分，其面積分別記為和，設點的橫坐標是，已知當點運動時，由0逐漸增大到后又逐漸減小到0．（1）填空：；（2）當時，求的范圍；（3）若，點在運動過程中能否使得，若能，請求出此時點的坐標；若不能，請說明理由．題型二線段存在性問題8．（2023?濟寧）如圖，直線交軸于點，交軸于點，對稱軸為的拋物線經過，兩點，交軸負半軸于點，為拋物線上一動點，點的橫坐標為，過點作軸的平行線交拋物線于另一點，作軸的垂線，垂足為，直線交軸于點．（1）求拋物線的解析式；（2）若，當為何值時，四邊形是平行四邊形？（3）若，設直線交直線于點，是否存在這樣的值，使？若存在，求出此時的值；若不存在，請說明理由．9．（2023?徐州）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象與軸分別交于點、，頂點為．連接、，將線段繞點按順時針方向旋轉得到線段，連接．點、分別在線段、上，連接、、，與交于點，．（1）求點、的坐標；（2）隨著點在線段上運動．①的大小是否發生變化？請說明理由；②線段的長度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由；（3）當線段的中點在該二次函數的圖象的對稱軸上時，的面積為．10．（2023?山西模擬）綜合與探究如圖1，已知拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，且，．點是拋物線上的一個動點；（1）求拋物線的函數表達式，并直接寫出直線的函數表達式；（2）如圖1，當點在直線上方時，連接交于點，當時，求點的坐標．（3）如圖2，連接，過點作交拋物線的對稱軸于點．試探究：是否存在一點使．若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．題型三等腰三角存在性問題11．（2023?綿陽）如圖，過原點的直線與反比例函數的圖象交于，兩點，一次函數的圖象過點與反比例函數交于另一點．（1）求反比例函數的解析式；當時，根據圖象直接寫出的取值范圍；（2）在軸上是否存在點，使得為等腰三角形？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．12．（2023?潮陽區二模）如圖，拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，拋物線的對稱軸交軸于點，已知，．（1）求拋物線的解析式；（2）點是線段上的一個動點（不與、重合），過點作軸的垂線與拋物線相交于點，當點運動到什么位置時，四邊形的面積最大？求出四邊形的最大面積及此時點的坐標．（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點，使為等腰三角形？如果存在，直接寫出點的坐標；如果不存在，請說明理由．13．（2023?扎蘭屯市三模）如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，拋物線的對稱軸交軸于點．已知，．（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線的對稱軸上有一點，使得的值最小，求此點的坐標；（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點，使是等腰三角形，如果存在，求出點的坐標，如果不存在，請說明理由．題型四等腰直角三角形存在性問題14．（2023?婁底）如圖，拋物線過點、點，交軸于點．（1）求，的值．（2）點，是拋物線上的動點．①當取何值時，的面積最大？并求出面積的最大值；②過點作軸，交于點，再過點作軸，交拋物線于點，連接，問：是否存在點，使為等腰直角三角形？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．15．（2023?南寧三模）如圖1，拋物線的圖象與軸的交點為和，與軸交點為，與直線交點為和，且．（1）求拋物線的解析式和值；（2）在直線上是否存在一點，使得是等腰直角三角形，如果存在，求出點的坐標，如果不存在，請說明理由；（3）將拋物線圖象軸上方的部分沿軸翻折得一個“”形狀的新圖象（如圖，若直線與該新圖象恰好有四個公共點，請求出此時的取值范圍．16．（2023?城區二模）綜合與探究：如圖1，已知拋物線與軸相交于，兩點（點在點的左側），與軸相交于點，直線與軸相交于點，交線段于點且．（1）求，，三點的坐標；（2）求直線的函數表達式；（3）如圖2，已知點在該拋物線的對稱軸上，且縱坐標為，點是該拋物線上位于第四象限的動點，且在直線右側，點是直線上的動點，試探究是否存在以點為直角頂點的等腰直角三角形，若存在請直接寫出點的坐標，若不存在，請說明理由．題型五直角三角形存在性問題17．（2023?眉山）如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸交于點，與軸交于點，與反比例函數在第四象限內的圖象交于點．（1）求反比例函數的表達式；（2）當時，直接寫出的取值范圍；（3）在雙曲線上是否存在點，使是以點為直角頂點的直角三角形？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．18．（2023?利川市模擬）拋物線與軸交于點和，與軸交于點，連接．點是線段下方拋物線上的一個動點（不與點，重合），過點作軸的平行線交于，交軸于，設點的橫坐標為．（1）求該拋物線的解析式；（2）用關于的代數式表示線段，求的最大值及此時點的坐標；（3）過點作于點，，①求點的坐標；②連接，在軸上是否存在點，使得為直角三角形，若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．19．（2023?霍林郭勒市二模）如圖所示，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，連接，若．（1）求拋物線對應的二次函數的解析式；（2）如圖所示，連接，是線段上（不與、重合）的一個動點，過點作直線，交拋物線于點，連接、，設點的橫坐標為．當為何值時，的面積最大？最大面積為多少？（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點，使為直角三角形？若存在，直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．題型六平行四邊形存在性問題20．（2023?牡丹區一模）如圖，直線與軸交于點，與軸交于點，拋物線經過，兩點．（1）求拋物線的解析式；（2）是直線上方拋物線上的一動點，當點到直線的距離最大時，求點的坐標；（3）是拋物線對稱軸上的動點，在拋物線上是否存在點，使得以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．21．（2023?棗莊）如圖，拋物線經過，兩點，并交軸于另一點，點是拋物線的頂點，直線與軸交于點．（1）求該拋物線的表達式；（2）若點是軸上一動點，分別連接，，求的最小值；（3）若點是拋物線上一動點，問在對稱軸上是否存在點，使得以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．22．（2023?昔陽縣模擬）在平面直角坐標系中，二次函數的圖象與軸交于，兩點，與軸交于點．（1）求這個二次函數的解析式；（2）點是直線上方的拋物線上一動點，設三角形的面積為，求的最大值及取得最大值時點的坐標；（3）點為拋物線上一動點，在軸上是否存在點，使以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點的坐標；若不存在，說明理由．23．（2023?巴中）在平面直角坐標系中，拋物線經過點和，其頂點的橫坐標為1．（1）求拋物線的表達式．（2）若直線與軸交于點，在第一象限內與拋物線交于點，當取何值時，使得有最大值，并求出最大值．（3）若點為拋物線的對稱軸上一動點，將拋物線向左平移1個單位長度后，為平移后拋物線上一動點．在（2）的條件下求得的點，是否能與、、構成平行四邊形？若能構成，求出點坐標；若不能構成，請說明理由．題型七正方形存在性問題24．（2023?西安校級三模）如圖，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，點坐標為，點坐標為，點是拋物線的頂點．（1）求拋物線的解析式及點的坐標；（2）點是拋物線上的動點，過點作軸與拋物線交于點，點在軸上，在坐標平面內是否存在點，使得以線段為對角線的四邊形為正方形，若存在，請求出點的坐標，若不存在，請說明理由．25．（2023?長沙）我們約定：若關于的二次函數與同時滿足，，則稱函數與函數互為“美美與共”函數．根據該約定，解答下列問題：（1）若關于的二次函數與互為“美美與共”函數，求，，的值；（2）對于任意非零實數，，點與點，始終在關于的函數的圖象上運動，函數與互為“美美與共”函數．①求函數的圖象的對稱軸；②函數的圖象是否經過某兩個定點？若經過某兩個定點，求出這兩個定點的坐標；否則，請說明理由；（3）在同一平面直角坐標系中，若關于的二次函數與它的“美美與共”函數的圖象頂點分別為點，點，函數的圖象與軸交于不同兩點，，函數的圖象與軸交于不同兩點，．當時，以，，，為頂點的四邊形能否為正方形？若能，求出該正方形面積的取值范圍；若不請說明理由．題型八菱形存在性問題26．（2023?孝義市三模）綜合與探究：如圖，已知拋物線與軸交于，兩點（點在點的左邊），與軸交于點．直線與拋物線的對稱軸交于點．將直線沿射線方向向下平移個單位，平移后的直線與直線交于點，與拋物線的對稱軸交于點．（1）求出點，，的坐標，并直接寫出直線，的解析式；（2）當是以為斜邊的直角三角形時，求出的值；（3）直線上是否存在一點，使以點，，，為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．27．（2023?錦州）如圖，拋物線交軸于點和，交軸于點，，頂點為．（1）求拋物線的表達式；（2）若點在第一象限內對稱軸右側的拋物線上，四邊形的面積為，求點的坐標；（3）在（2）的條件下，若點是對稱軸上一點，點是坐標平面內一點，在對稱軸右側的拋物線上是否存在點，使以點，，，為頂點的四邊形是菱形，且，如果存在，請直接寫出點的坐標；如果不存在，請說明理由．28．（2023?青島二模）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C（0，3），點A在原點的左側，點B的坐標為（3，0），點P是拋物線上一個動點，且在直線BC的上方．（1）求這個二次函數的解析式；（2）當點P運動到什么位置時，△BPC的面積最大？請求出點P的坐標和△BPC面積的最大值．（3）連接PO，PC，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POP'C，那么是否存在點P，使四邊形POP'C為菱形？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．29．（2023?清原縣三模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，點為直線上方拋物線上一動點．（1）求拋物線的解析式；（2）過點作交拋物線于點，點為直線上一動點，連接，，，，求四邊形面積的最大值及此時點的坐標；（3）將拋物線沿射線方向平移個單位，為平移后的拋物線的對稱軸上一動點，在平面直角坐標系中是否存在點，使以點，，，為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點的坐標，若不存在，請說明理由．30．（2023?金臺區模擬）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線L：y＝ax2+bx+3與x軸相交于點A（﹣3，0）、B（﹣1，0），與y軸相交于點C．（1）求拋物線L的函數表達式；（2）將拋物線L向右平移3個單位長度得到新的拋物線L′，點Q為坐標平面內一點，試判斷在拋物線L′的對稱軸上是否存在點P，使得以點B、C、P、Q為頂點的四邊形是以BC為邊的菱形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．31．（2023?武昌區模擬）如圖，直線分別交軸，軸于點，，拋物線過，兩點，其頂點為，對稱軸與直線交于點．（1）直接寫出拋物線的解析式；（2）如圖1，點是線段上一動點，過點作軸于點，交拋物線于點，問：是否存在點，使四邊形為菱形？并說明理由；（3）如圖2，點為軸負半軸上的一動點，過點作，直線與拋物線交于點，，與直線交于點，若，求點的坐標．題型九矩形存在性問題32．（2023?陜西模擬）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線交軸于、兩點，交軸于點．（1）求點、、的坐標；（2）將拋物線向右平移1個單位，得到新拋物線，點在坐標平面內，在新拋物線的對稱軸上是否存在點，使得以、、、為頂點的四邊形是矩形？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．33．（2023?泰山區校級二模）如圖所示，在平面直角坐標系中，直線交坐標軸于、兩點，拋物線經過、兩點，且交軸于另一點．點為拋物線在第一象限內的一點，過點作，交于點，交軸于點．（1）求拋物線的解析式；（2）設點的橫坐標為，在點的移動過程中，存在，求出值；（3）在拋物線上取點，在平面直角坐標系內取點，問是否存在以、、、為頂點且以為邊的矩形？如果存在，請求出點的坐標；如果不存在，請說明理由．題型十相似三角形存在性問題34．（2023?陸豐市二模）如圖，拋物線與軸交于、兩點在的左邊），與軸交于點，頂點為．（1）求該拋物線所對應的函數關系式；（2）如圖，若點是第二象限內拋物線上的一動點，過點作軸于點，交于點，連接，是否存在點，使得與相似？若存在，請求出滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．35．（2023?樂至縣）如圖，直線與軸、軸分別交于、兩點，拋物線經過、兩點．（1）求拋物線的表達式；（2）點是拋物線在第二象限內的點，過點作軸的平行線與直線交于點，求的長的最大值；（3）點是線段上的動點，點是拋物線在第一象限內的動點，連結交軸于點．是否存在點，使與相似，若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由．36．（2023?微山縣三模）已知：如圖，頂點為的拋物線經過原點，且與直線交于，兩點（點在點的右邊）．（1）求拋物線的解析式；（2）猜想以點為圓心，以為半徑的圓與直線的位置關系，并加以證明；（3）若點為軸上的一個動點，過點作軸與拋物線交于點，則是否存在以，，為頂點的三角形與相似？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．37．（2023?隨州）如圖1，平面直角坐標系中，拋物線過點，和，連接，點，為拋物線上一動點，過點作軸交直線于點，交軸于點．（1）直接寫出拋物線和直線的解析式；（2）如圖2，連接，當為等腰三角形時，求的值；（3）當點在運動過程中，在軸上是否存在點，使得以，，為頂點的三角形與以，，為頂點的三角形相似（其中點與點相對應），若存在，直接寫出點和點的坐標；若不存在，請說明理由．38．（2023?建華區三模）如圖，拋物線與軸交于點、點，與軸交于點，連接．拋物線的對稱軸與軸交于點，點是直線上方拋物線上的一個動點（不于、重合），過點作交于點．（1）求拋物線的解析式；（2）點是軸上一動點，當的和最小時，點的坐標為；（3）求四邊形面積的最大值及此時點的坐標；（4）是否存在點，使與相似，若存在請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．題型十一角的存在性問題39．（2023?東莞市校級一模）如圖，已知拋物線的圖象與軸交于點和點，與軸交于點．（1）求二次函數的表達式；（2）如圖，點是直線下方的二次函數圖象上的一個動點，過點作軸于點，交于點，求線段最大時點的坐標；（3）在（2）的條件下，該拋物線上是否存在點，使得．若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．40．（2023?自貢）如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點．（1）求拋物線解析式及，兩點坐標；（2）以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，求點坐標；（3）該拋物線對稱軸上是否存在點，使得，若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．41．（2023?岳陽）已知拋物線與軸交于，兩點，交軸于點．（1）請求出拋物線的表達式．（2）如圖1，在軸上有一點，點在拋物線上，點為坐標平面內一點，是否存在點，使得四邊形為正方形？若存在，請求出點，的坐標；若不存在，請說明理由．（3）如圖2，將拋物線向右平移2個單位，得到拋物線，拋物線的頂點為，與軸正半軸交于點，拋物線上是否存在點，使得？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．42．（2023?衡陽）如圖，已知拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，連接，過、兩點作直線．（1）求的值．（2）將直線向下平移個單位長度，交拋物線于、兩點．在直線上方的拋物線上是否存在定點，無論取何值時，都是點到直線的距離最大．若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．（3）拋物線上是否存在點，使，若存在，請求出直線的解析式；若不存在，請說明理由．43．（2023?肇東市校級二模）如圖，拋物線與軸交于點，點，與軸交于點．拋物線的對稱軸為直線，點坐標為．（1）求拋物線表達式；（2）在拋物線上是否存在點，使，如果存在，求出點坐標；如果不存在，請說明理由；（3）在（2）的條件下，若點在軸上方，點是直線上方拋物線上的一個動點，求點到直線的最大距離．44．（2023?東平縣校級模擬）如圖，已知拋物線交軸于，兩點，交軸于點，點是拋物線上一點，連接、．（1）求拋物線的表達式；（2）連接，，若，求點的坐標；（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點，使得？若存在，直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．45．（2023?原平市模擬）綜合與探究：如圖，拋物線與軸交于，兩點（點在點的左側），與軸交于點，是拋物線上的一個動點，設點的橫坐標為，過點作軸交軸于點，交直線于點，連接，，，與