第1頁（共1頁）2024年廣東省廣州市番禺區仲元中學中考數學一模試卷一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（3分）下列各數中，比﹣2小的數是（）A．0 B．﹣1 C．﹣3 D．32．（3分）化簡+的結果是（）A． B． C． D．3．（3分）2024年巴黎奧運會是第三十三屆夏季奧林匹克運動會，將于2024年7月26日至8月11日在法國巴黎舉行．下面2024年巴黎奧運會項目圖標是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．4．（3分）如圖，若數軸上點P表示的數為無理數，則該無理數可能是（）A．2.3 B． C． D．5．（3分）點P（﹣4，3）到直線y＝﹣1的距離為（）A．2 B．3 C．4 D．56．（3分）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，∠BAD，BF分別交CD邊于點E，F．若AD＝3，則AB的長為（）A．4 B．5 C．6 D．77．（3分）關于x的一元二次方程（a+1）x2﹣2x﹣1＝0有兩個不相等的實數根，則實數a的最小整數值為（）A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣28．（3分）如圖，某辦公區東、西兩棟辦公樓的高度均為30m．下午3時，東樓二層離地面3m的陽臺、西樓的樓頂與太陽恰好在一條直線上，則這兩棟辦公樓之間的距離為（）A．m B．m C．m D．m9．（3分）如圖，電路圖上有4個開關S1，S2，S3，S4，電源、小燈泡和線路都能正常工作，若隨機閉合2個開關，則小燈泡發光的概率為（）A． B． C． D．10．（3分）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點M（m，0），N（m+2，0），其中m為常數（）A．a B． C． D．﹣a二、填空題：本大題5小題，每小題3分，共15分．11．（3分）單項式mn2的次數是．12．（3分）如圖，△ABC與△DEF是以點O為位似中心的位似圖形，且，若△ABC的面積為5．13．（3分）已知點A（a，y1），B（2a+1，y2）在雙曲線上，若y2＜y1＜0，則a的取值范圍是．14．（3分）公元前6世紀，古希臘的畢達哥拉斯學派研究數的概念時，常常把數描繪成沙灘上的小石子，叫做“形數”．如圖為正方形數，根據圖中點的數量規律．15．（3分）如圖是相同的邊長為1的菱形組成的網格，已知α＝60°，點A，B（網格線的交點）上，且點B在上，則的長為．三、解答題（一）：本大題共4小題，第16，17題各5分，第18，19題各7分，共24分．16．（5分）計算：．17．（5分）解不等式組：18．（7分）2024年3月12日，某校組織九年級300名學生開展植樹活動，活動結束后，將統計結果分成四種類型：A．3棵，B．4棵，D．6棵，并繪制了如下兩幅不完整的統計圖．根據以上信息，回答下列問題：（1）請補全條形統計圖；（2）被抽查學生每人植樹數量的中位數是棵；（3）估計九年級300名學生共植樹多少棵．19．（7分）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC（1）尺規作圖：在菱形ABCD的邊AD上方找一點E，使得△AED≌△BOC；（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）判斷四邊形AODE的形狀，并給出證明．四、解答題（二）：本大題共3小題，每小題9分，共27分．20．（9分）研學旅行繼承和發展了我國傳統游學“讀萬卷書，行萬里路”的教育理念和人文精神，成為素質教育的新內容和新方式．某中學組織學生赴某研學基地參加研學活動，甲旅行社一次最多只能接待m人（即額定數量），超過額定數量的人，再額外收取每人150元；乙旅行社收費標準：每人收取180元．該中學第一批組織了35名學生參加（1）求甲旅行社一次最多能接待的人數；（2）該中學為節約開支，要控制人均費用不超過165元，試求每批組織人數x的合理范圍．21．（9分）如圖，⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，點P為劣弧AB上一點，PB，PC（1）求證：PC平分∠APB；（2）求證：BD是⊙O的切線．22．（9分）綜合與實踐主題：裝飾錐形草帽．素材：母線長為25cm、高為20cm的錐形草帽（如圖（1））和五張顏色不同（紅、橙、黃、藍、紫）、足夠大的卡紙．步驟1：將紅、橙、黃、藍、紫卡紙依次按照圓心角1：2：1：2：3的比例剪成半徑為25cm的扇形．步驟2：將剪下的扇形卡紙依次粘貼在草帽外表面，彩色卡紙恰好覆蓋草帽外表而且卡紙連接處均無縫隙、不重疊，便可得到五彩草帽．計算與探究：（1）計算紅色扇形卡紙的圓心角的度數；（2）如圖（2），根據（1）的計算過程．五、解答題（三）：本大題共2小題，每小題12分，共24分．23．（12分）課本再現我們在小學就已經知道，任意一個三角形的內角和等于180°．我們是通過度量或剪拼得出這一結論的，圖（1）、（2）分別是兩位同學拼合的圖形．定理證明（1）請你證明“三角形的內角和是180°”．已知：△ABC（如圖（3））．求證：∠A+∠B+∠C＝180°．深入探究（2）三角形的內角和是180°，那么四邊形（如圖（4））的內角和是多少度呢？請你證明你的結論．結論應用（3）如圖（5），在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，D為AC的中點，且∠CDE+∠B＝180°，求AE的長．24．（12分）綜合應用如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點A，B（1，0），與y軸交于點C（0，3）．（1）求拋物線的解析式；（2）直線y＝﹣x與拋物線在第二象限交于點M，若動點N在OM上運動，線段CN繞點N順時針旋轉，在點N運動過程中，判斷∠CND的大小是否發生變化？并說明理由．（3）在（2）的條件下，連接CD1，記△CND的外接圓的最大面積為S2，試求S2﹣S1的值（結果保留π）．

2024年廣東省廣州市番禺區仲元中學中考數學一模試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（3分）下列各數中，比﹣2小的數是（）A．0 B．﹣1 C．﹣3 D．3【解答】解：將這些數在數軸上表示出來：∴﹣3＜﹣2＜﹣7＜0＜3，∴比﹣2小的數是﹣3，故選：C．2．（3分）化簡+的結果是（）A． B． C． D．【解答】解：+＝＝．故選：D．3．（3分）2024年巴黎奧運會是第三十三屆夏季奧林匹克運動會，將于2024年7月26日至8月11日在法國巴黎舉行．下面2024年巴黎奧運會項目圖標是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、該圖不能找到這樣的一個點，所以不是中心對稱圖形；B、該圖能找到這樣的一個點，所以是中心對稱圖形；C、該圖不能找到這樣的一個點，所以不是中心對稱圖形；D、該圖不能找到這樣的一個點，所以不是中心對稱圖形．故選：B．4．（3分）如圖，若數軸上點P表示的數為無理數，則該無理數可能是（）A．2.3 B． C． D．【解答】解：∵2.3是有理數，≈1.414，，≈2.236，由圖可知，點P表示的數為無理數，∴點P表示的無理數可能是，故選：D．5．（3分）點P（﹣4，3）到直線y＝﹣1的距離為（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：因為點P坐標為（﹣4，3），所以點P到直線y＝﹣3的距離為：3﹣（﹣1）＝8．故選：C．6．（3分）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，∠BAD，BF分別交CD邊于點E，F．若AD＝3，則AB的長為（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD∥AB，AD＝BC＝3，∴∠DEA＝∠BAE，∠CFB＝∠ABF，∵AE，BF分別是∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE，∠CBF＝∠ABF，∴∠DEA＝∠DAE，∠CFB＝∠CBF，∴ED＝AD＝3，FC＝BC＝5，∴EF+DF+FC＝ED+FC＝3+3＝8，∵EF＝1，DF+FC＝CD＝AB，∴1+AB＝7，∴AB＝5，故選：B．7．（3分）關于x的一元二次方程（a+1）x2﹣2x﹣1＝0有兩個不相等的實數根，則實數a的最小整數值為（）A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2【解答】解：∵關于x的一元二次方程（a+1）x2﹣4x﹣1＝0有兩個不相等的實數根，∴Δ＝（﹣6）2﹣4（a+2）×（﹣1）＞0，且a+3≠0，4+8（a+1）＞0，且a≠﹣8，4（a+1）＞﹣7，a+1＞﹣1，a＞﹣2，∴實數a的最小整數值0，故選：B．8．（3分）如圖，某辦公區東、西兩棟辦公樓的高度均為30m．下午3時，東樓二層離地面3m的陽臺、西樓的樓頂與太陽恰好在一條直線上，則這兩棟辦公樓之間的距離為（）A．m B．m C．m D．m【解答】解：如圖：過點B作BC⊥AE，垂足為C，由題意得：BD＝CE＝3m，AE＝30m，∴AC＝AE﹣CE＝30﹣3＝27（m），在Rt△ACB中，∠ABC＝35°，∴BC＝≈（m），∴這兩棟辦公樓之間的距離為m，故選：C．9．（3分）如圖，電路圖上有4個開關S1，S2，S3，S4，電源、小燈泡和線路都能正常工作，若隨機閉合2個開關，則小燈泡發光的概率為（）A． B． C． D．【解答】解：列表如下：S1S2S8S4S1（S7，S2）（S1，S3）（S1，S4）S7（S2，S1）（S6，S3）（S2，S2）S3（S3，S3）（S3，S2）（S2，S4）S4（S4，S1）（S4，S5）（S4，S3）共有12種等可能的結果，其中小燈泡發光的結果有：（S6，S3），（S1，S7），（S2，S3），（S4，S4），（S3，S2），（S3，S2），（S2，S1），（S4，S5）．共8種，∴小燈泡發光的概率為．故選：A．10．（3分）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點M（m，0），N（m+2，0），其中m為常數（）A．a B． C． D．﹣a【解答】解：由題意，∵拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點M（m，6），0），∴拋物線為y＝a（x﹣m）[x﹣（m+2）]＝a[x3﹣（2m+2）x+m（m+6）]＝a[x﹣（m+1）]2﹣a．∴該拋物線頂點的縱坐標為﹣a．故選：D．二、填空題：本大題5小題，每小題3分，共15分．11．（3分）單項式mn2的次數是3．【解答】解：單項式mn2的次數是3．故答案為：8．12．（3分）如圖，△ABC與△DEF是以點O為位似中心的位似圖形，且，若△ABC的面積為520．【解答】解：∵△ABC與△DEF是以點O為位似中心的位似圖形，∴AC∥DF，∴△AOC∽△DOF，∴＝＝2，∴△ABC與△DEF的位似比為1：6，∵△ABC的面積為5，∴△DEF的面積為20，故答案為：20．13．（3分）已知點A（a，y1），B（2a+1，y2）在雙曲線上，若y2＜y1＜0，則a的取值范圍是﹣1＜a＜﹣．【解答】解：∵k＝3＞0，∴雙曲線在一，在每個象限y隨x增大而減小，∵y2＜y1＜2，∴點A（a，y1），B（2a+3，y2）在第三象限，∴，解得﹣1＜a＜﹣，故答案為：﹣1＜a＜﹣．14．（3分）公元前6世紀，古希臘的畢達哥拉斯學派研究數的概念時，常常把數描繪成沙灘上的小石子，叫做“形數”．如圖為正方形數，根據圖中點的數量規律n2．【解答】解：由圖片可知，第1個圖形的點數為：17＝1；第2個圖形的點數為：82＝4；第4個圖形的點數為：32＝8；?第n個圖形的點數為：n2；故答案為：n2．15．（3分）如圖是相同的邊長為1的菱形組成的網格，已知α＝60°，點A，B（網格線的交點）上，且點B在上，則的長為π．【解答】解：∵網格由相同的邊長為1的菱形組成，∴AB和BC的垂直平分線相交于格點O，如圖，∵α＝60°，∵∠AOB＝2∠ACB＝60°，∠BOC＝4∠BAC＝60°，∵△AOC＝120°，∵AC＝3，∴OA＝AC＝，∴的長度為＝π．故答案為：π．三、解答題（一）：本大題共4小題，第16，17題各5分，第18，19題各7分，共24分．16．（5分）計算：．【解答】解：＝﹣5+（2﹣）+8＝﹣2+7﹣+2＝．17．（5分）解不等式組：【解答】解：，解①得，x＜7，解②得，x＞﹣，∴不等式組的解集為﹣＜x＜3．18．（7分）2024年3月12日，某校組織九年級300名學生開展植樹活動，活動結束后，將統計結果分成四種類型：A．3棵，B．4棵，D．6棵，并繪制了如下兩幅不完整的統計圖．根據以上信息，回答下列問題：（1）請補全條形統計圖；（2）被抽查學生每人植樹數量的中位數是4棵；（3）估計九年級300名學生共植樹多少棵．【解答】解：（1）總人數為：9÷36%＝25（人），故C組人數為：25﹣6﹣3﹣3＝7（人），補全條形統計圖如下：（2）被抽查學生每人植樹數量的中位數是8棵．故答案為：4；（3）300××（2×3+9×5+7×5+8×6）＝1284（棵），答：估計九年級300名學生大約共植樹1284棵．19．（7分）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC（1）尺規作圖：在菱形ABCD的邊AD上方找一點E，使得△AED≌△BOC；（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）判斷四邊形AODE的形狀，并給出證明．【解答】解：（1）如圖，以點A為圓心，再以點D為圓心，兩弧相交于點E，DE，則點E即為所求．（2）四邊形AODE為矩形．理由：∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO，∴∠AOD＝90°．∵△AED≌△BOC，∴AE＝BO，DE＝OC，∴AE＝DO，DE＝AO，∴四邊形ABCD為平行四邊形，∵∠AOD＝90°，∴四邊形AODE為矩形．四、解答題（二）：本大題共3小題，每小題9分，共27分．20．（9分）研學旅行繼承和發展了我國傳統游學“讀萬卷書，行萬里路”的教育理念和人文精神，成為素質教育的新內容和新方式．某中學組織學生赴某研學基地參加研學活動，甲旅行社一次最多只能接待m人（即額定數量），超過額定數量的人，再額外收取每人150元；乙旅行社收費標準：每人收取180元．該中學第一批組織了35名學生參加（1）求甲旅行社一次最多能接待的人數；（2）該中學為節約開支，要控制人均費用不超過165元，試求每批組織人數x的合理范圍．【解答】解：（1）若m≥35，則35名學生的總費用為：35×150+300＝5550（元）＜5700元，∴m＜35，根據題意得：300+150m+180（35﹣m）＝5700，解得：m＝30，答：甲旅行社一次最多能接待30人；（2）當0＜x≤30時，150x+300≤165x，解得：x≤20，∴20≤x≤30；當x＞30時，300+150×30+180（x﹣30）≤165x，解得：x≤40，∴30＜x≤40；綜上所述，每批組織人數x的合理范圍為20≤x≤40．21．（9分）如圖，⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，點P為劣弧AB上一點，PB，PC（1）求證：PC平分∠APB；（2）求證：BD是⊙O的切線．【解答】證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴BC＝AC＝AB，∴弧BC＝弧AC，∴∠BPC＝∠APC，∴BP平分∠APB．（2）連接OB，OC，∵AB＝BC，OB＝OB，∴△BOA≌△BOC（SSS），∴∠CBO＝∠ABO，∵AB＝BC，∴BO⊥AC，∵BD∥AC，∴半徑BO⊥BD，∴BD是⊙O的切線．22．（9分）綜合與實踐主題：裝飾錐形草帽．素材：母線長為25cm、高為20cm的錐形草帽（如圖（1））和五張顏色不同（紅、橙、黃、藍、紫）、足夠大的卡紙．步驟1：將紅、橙、黃、藍、紫卡紙依次按照圓心角1：2：1：2：3的比例剪成半徑為25cm的扇形．步驟2：將剪下的扇形卡紙依次粘貼在草帽外表面，彩色卡紙恰好覆蓋草帽外表而且卡紙連接處均無縫隙、不重疊，便可得到五彩草帽．計算與探究：（1）計算紅色扇形卡紙的圓心角的度數；（2）如圖（2），根據（1）的計算過程n＝．【解答】解：（1）圓錐的底面半徑為＝15（cm），設側面展開圖的圓心角為n°，則＝2π×15，解得n＝216°，∴216°×＝24°答：紅色扇形卡紙的圓心角的度數為24°；（2）∵圓錐的底面半徑為，∴＝2π，∴n＝．故答案為：n＝．五、解答題（三）：本大題共2小題，每小題12分，共24分．23．（12分）課本再現我們在小學就已經知道，任意一個三角形的內角和等于180°．我們是通過度量或剪拼得出這一結論的，圖（1）、（2）分別是兩位同學拼合的圖形．定理證明（1）請你證明“三角形的內角和是180°”．已知：△ABC（如圖（3））．求證：∠A+∠B+∠C＝180°．深入探究（2）三角形的內角和是180°，那么四邊形（如圖（4））的內角和是多少度呢？請你證明你的結論．結論應用（3）如圖（5），在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，D為AC的中點，且∠CDE+∠B＝180°，求AE的長．【解答】（1）已知：△ABC．求證：∠A+∠B+∠C＝180°．證明：過點A作直線EF∥BC，如圖，∵EF∥BC，∴∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，∵∠EAB+∠BAC+∠FAC＝180°，∴∠A+∠B+∠C＝180°．（2）解：四邊形的內角和是360度，理由：連接AC，如圖，∵三角形