2023-2024學年上海市高二上冊期末數學模擬試題

一、填空題

I.若排列數4"=6x5x4,貝IJm=

【正確答案】3

【詳解】由/f=6X5X(6-∕H+1)=6X5X4,所以6-a+1=4,解得m=3.

2.一個球的體積為36π,則該球的表面積為.

【正確答案】36π

【分析】設球的半徑為r,由球的體積求出廠的值，再由球的表面積公式即可求解.

4

【詳解】設球的半徑為r,由題意可得：-π√=36π,所以r=27

解得：r=3,

所以該球的表面積為4π∕=4τrχ32=36π,

故答案為.36兀

3.在空間直角坐標系中，點A(I,-2,3)關于yθz平面的對稱點的坐標是.

【正確答案】(T,一2,3)

【分析】根據關于yθz平面的對稱點橫坐標變為相反數，縱坐標和豎坐標保持不變即可求解.

【詳解】關于yθz平面的對稱點橫坐標變為相反數，縱坐標和豎坐標保持不變，

所以點A(l,-2,3)關于yθz平面的對稱點的坐標是(T,-2,3),

故答案為：(-1,-2,3).

4.從某公司生產的產品中，任意抽取12件，得到它們的質量(單位：kg)如下：

7.87.98.08.38.48.58.58.58.68.99.09.9,則這組數據的95百分位數是.

【正確答案】9.9

【分析】根據P百分位數的概念，即可得出答案.

【詳解】因為12x0.95=11.4,根據。百分位數的概念可知，

這組數據的95百分位數是9.9.

故答案為.9.9

5.從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共

有種.(用數字填寫答案)

【正確答案】16

【分析】方法一：反面考慮，先求出所選的人中沒有女生的選法種數，再根據從6人中任選

3人的選法種數減去沒有女生的選法種數，即可解出.

【詳解】［方法一］:反面考慮

沒有女生入選有C：=4種選法，從6名學生中任意選3人有C：=20種選法，

故至少有1位女生入選，則不同的選法共有20-4=16種.

故答案為.16

［方法二］：正面考慮

若有1位女生入選，則另2位是男生，于是選法有C；?C；=12種；

若有2位女生入選，則另有1位是男生，于是選法有C，C；=4種，則不同的選法共有

12+4=16種.

故答案為.16

【整體點評】方法一：根據“正難則反”，先考慮"至少有1位女生入選”的反面種數，再利用

沒有限制的選法種數減去反面種數即可求出，對于正面分類較多的問題是不錯的方法；

方法二：正面分類較少，直接根據女生的人數分類討論求出.

6.已知隨機變量X服從正態分布N(2,/)，且P(2<X≤2.5)=0.36,則

P(X>2.5)=.

7

【正確答案】014##0.

【分析】根據正態分布曲線的性質即可解出.

【詳解】因為XN(2,〃)，所以P(X<2)=P(X>2)=0.5,因此

P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X≤2.5)=0.5-0.36=0.14.

故0.14.

52345

7.(1+2x)=α0+a1X÷O2X+a3x+?x+a5x,則q+%+%=.

【正確答案】122

【詳解】試題分析：令X=InaO+6+生+/+出工+%=3>令

x=-l=>a{)-ax-a2-a3-a4x-a5=-1,

二項式展開式.

8.事件A、B互斥，它們都不發生的概率為∣?,且P(A)=2P(3),則P(A)=.

2

【正確答案】二##0.4

【分析】根據互斥事件概率的運算性質求解.

【詳解】因為事件A、8都不發生的概率為∣2?,

23

所以P(A)+P(B)=l-g=j,

13

又因為P(A)=2尸(8)代入上式可得P(A)+-P(A)=j,

2

所以P(A)=《，

故答案為：∣2.

9.如圖，在棱長為1的正方體A88-ABCR中，P為底面ABC。內(包括邊界)的動點,

TT

滿足DtP與直線CG所成角的大小為J，則線段OP掃過的面積為.

O

【正確答案】?

【分析】根據題設描述易知戶的軌跡是以。為圓心，也為半徑的四分之一圓，即可求DP掃

3

過的面積.

【詳解】由題設，DDJICCi,要使。聲與直線CG所成角的大小為g,只需。P與直線。。

6

所成角的大小為E,

0

W-

AB

.?.RP繞以m夾角旋轉為錐體的一部分，如上圖示：P的軌跡是以。為圓心，立為半

63

徑的四分之一圓，

.?.OP在ABa)上掃過的面積為:x(3)2X"=A.

故答案為

10.某種電子玩具按下按鈕后，會出現紅球或綠球.已知按鈕第一次按下后，出現紅球與綠

球的概率都是從按鈕第二次按下起，若前一次出現紅球，則下一次出現紅球、綠球的概

率分別為鼻1，7若前一次出現綠球，則下一次出現紅球、綠球的概3率分2別為W記第

????

“("≥1,〃CN)次按下按鈕后出現紅球的概率為心，則化,｝的通項公式為K=.

【正確答案】匕=LXf-色］+—,∕ι∈N,n≥l

38115J19

【分析】根據條件概率分別求出第n-1次出現紅球、綠球情況下第"次出現紅球的概率，利

用全概率公式計算數列｛匕｝的遞推公式，再根據遞推公式求通項公式.

【詳解】設G="第n-1次出現紅球"，Q="第n-1次出現綠球"，Z)="第"次出現紅球”，

1O

則P(G)=%，P(G)=l-2τ,P(DlG)=TP(Z)C)=《，

由全概率公式得C=P(Q)=P(CM(αcJ+P(C2)P(n∣C2)

1343

=ElX3+(1-El)XB=-百匕τ+g("eN,"≥l).

43

即弋=一百匕τ+g,"wN∕≥l,

所以小歷9=F4W(L歷9、｝"歷9=51一9面=透1

所以數列是首項為白，公比為的等比數列,

[I力381J

o19

所以K-Z=Lx4--/?∈N,π≥1,

"193819

π∈N√ι≥l

11.定義“規范Ol數列”｛4｝如下：｛4｝共有2%項,其中m項為0,加項為I,且對任意k^2m,

4,%,S中0的個數不少于1的個數.若加=4,則不同的“規范01數列”共有一個.

【正確答案】14

【詳解】由題意，得必有4=0,?='則具體的排法列表如下:

_0__1__1__1_

011_

0

10]

1

1_0

001]

00]

1

10

01

"δ~]

10

]0

0]1

001_

1

1010

01_

10

0

由圖可知，不同的“規范01數列'’共有14個.

故答案為14.

二、雙空題

12.某商場為提高服務質量，隨機調查了50名男顧客和50名女顧客，每位顧客對該商場的

服務給出滿意或不滿意的評價，得到下面列聯表：

滿意不滿意

男顧客4010

女顧客3020

則有%的把握認為男、女顧客對該商場服務的評價(有或無)差異

n^ad-bc?

(a+?)(c+t∕)(<7+c)(?+<∕)

P(κ2≥k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【正確答案】95有

【分析】完善列聯表，利用公式求得觀測值并與臨界值比較分析.

【詳解】由題意可得:

滿意不滿意總計

男顧客401050

女顧客302050

總計7030100

100(40x20-30x10)；=IQQa4762,

50×50×70×3021

?.?4.762>3,841,,

，能有95%的把握認為男、女顧客對該商場服務的評價有差異.

故95；有.

三、單選題

13.設α,僅為兩個平面，則e//夕的充要條件是

A.α內有無數條直線與萬平行

B.α內有兩條相交直線與￡平行

C.a,夕平行于同一條直線

D.a,夕垂直于同一平面

【正確答案】B

【分析】本題考查了空間兩個平面的判定與性質及充要條件，滲透直觀想象、邏輯推理素養,

利用面面平行的判定定理與性質定理即可作出判斷.

【詳解】由面面平行的判定定理知：ɑ內兩條相交直線都與夕平行是ɑ//月的充分條件，由

面面平行性質定理知，若a"β,則α內任意一條直線都與夕平行，所以ɑ內兩條相交直線

都與尸平行是ɑ//尸的必要條件，故選B.

面面平行的判定問題要緊扣面面平行判定定理,最容易犯的錯誤為定理記不住，憑主觀臆斷,

如：“若aua,bu仇a"b,則α〃尸”此類的錯誤.

14.某社區通過公益講座以普及社區居民的垃圾分類知識.為了解講座效果，隨機抽取10

位社區居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區居民在

講座前和講座后問卷答題的正確率如下圖：

100%

95%

90%

拗85%

國80%*講座前

田75%?講座后

70%

65%**

60%**

0

12345678910

居民編號

則（）

A.講座前問卷答題的正確率的中位數小于70%

B.講座后問卷答題的正確率的平均數大于85%

C.講座前問卷答題的正確率的標準差小于講座后正確率的標準差

D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差

【正確答案】B

【分析】由圖表信息，結合中位數、平均數、標準差、極差的概念，逐項判斷即可得解.

【詳解】講座前中位數為四%1型＞70%,所以A錯；

講座后問卷答題的正確率只有一個是80%,4個85%,剩下全部大于等于90%,所以講座后問

卷答題的正確率的平均數大于85%,所以B對；

講座前問卷答題的正確率更加分散,所以講座前問卷答題的正確率的標準差大于講座后正確

率的標準差,所以C錯；

講座后問卷答題的正確率的極差為100%-80%=20%,

講座前問卷答題的正確率的極差為95%-60%=35%>20%,所以D錯.

故選:B.

15.設0<"l,隨機變量專的分布列如圖，則當"在((U)內增大時,

4012

I-Pj_P_

P

^v22

A.Dq)減小B.Dq)增大

C.。(/先減小后增大D.先增大后減小

【正確答案】D

【分析】先求數學期望，再求方差，最后根據方差函數確定單調性.

【詳解】QEe)=OXY+lxg+2x5=p+g,

D(ξ)=?(0-p-?)2+?ɑ-p-?)2+y(2-p-?)2=-p2+〃+；,

Qge(0,1),.?.OG)先增后減，因此選D.

2

Ec)=∑xipi,D(ξ)=X(xi-EC)-P,=∑xipi-E?ξ).

/=1/=1I=I

16.中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正方體

或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”(圖1).半正多面體是由

兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現了數學的對稱美.圖2是一個棱數

為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1,

則該半正多面體共有面的個數及棱長分別為()

.

圖1圖2

A.26,√2-lB.24,2-√2C.26,2-√2D.24,√2-l

【正確答案】A

【分析】將該多面體分為三層，分別數出每一層的面數，求和即可得正多面體的面數；設正

多面體的棱長為“，作出該幾何體的截面，為正八邊形，利用多面體棱長與正方體的棱長的

關系列方程即可求解

【詳解】可以將該多面體分為三層，上層8個面，中層8個面，下層8個面，上下底各1個面,

所以共有8+8+8+1+1=26個面,

設正多面體的棱長為“，作出該幾何體的截面如圖，截面圖為正八邊形,

由圖可得CD==，CE=a,

2

因為CDE為等腰直角三角形，所以CE=亞CO,即a=&x9,

解得：4=sττ=應一1'所以該多面體的棱長為&7,

故選：A.

四、解答題

17.如圖，。為圓錐的頂點，。是圓錐底面的圓心，ABC是底面的內接正三角形，P為DO

上一點，NAPC=90。.

D

(1)證明：平面以8J_平面∕?C;

(2)設。O=正，圓錐的側面積為石兀，求三棱錐尸-ABC的體積.

【正確答案】(1)證明見解析；(2)叵

8

【分析】(1)根據已知可得RA=PB=PC,進而有4R4C會.PBC,可得

NAPC=NBPC=90,即P8_LPC,從而證得尸CI平面∕?8,即可證得結論；

(2)將已知條件轉化為母線/和底面半徑廠的關系，進而求出底面半徑，由正弦定理，求出

正三角形ABC邊長，在等腰直角三角形APC中求出AP,在用一APo中，求出P0,即可求

出結論.

【詳解】(1)連接OAo8,0C,。為圓錐頂點，。為底面圓心，.?.0D1.平面ABC,

尸在。。上，OA=OB=OC,..PA=PB=PC,

j

ABC是圓內接正三角形，??.AC=8C,Δ∕AC^iPBC,

.?.ZAPC=N8PC=90°,BpPBLPC,PAVPC,

PA尸8=尸,.二戶CJL平面PA&PCu平面PAC,.?平面平面PAC；

(2)設圓錐的母線為/,底面半徑為尸，圓錐的側面積為;r/7=6肛力=G,

OD2=l2-r2=2,解得r=l,∕=G,ΛC=2rsin60=√3,

在等腰直角三角形APe中，AP=遮AC=顯,

22

在H.PAO中，PO=y∣AP2-OA2=J--I=—,

V42

,

??三棱錐P-ABC的體積為Vpabc=—PO?S^AHC=?×X3■×3=.

?~ΛOI.3ZΔΛ∕JV3248

D

本題考查空間線、面位置關系，證明平面與平面垂直，求錐體的體積，注意空間垂直間的相

互轉化，考查邏輯推理、直觀想象、數學計算能力，屬于中檔題.

18.若（?+壺］展開式中前三項的系數成等差數列，求:

（1）展開式中X項的系數；

（2）展開式中系數最大的項.

【正確答案】（I）=35

O

?7?5

（2）7戶或7/

【分析】（1）寫出前三項的系數即可得到方程，求出〃，再寫出展開式的通項，即可求出X

項的系數；

（2）設設展開式中刀”項的系數最大，即可得到不等式組，求出廠，即可得解；

C=I,cgq,C>1Yn(n—1)

【詳解】（）解：前三項的系數為:

12)~~~8-

n(n-i),

故有1Q'+1=〃,

O

即〃2-9〃+8=0解得〃=8或九=1(舍去)；

則二項式（五+十）展開式的通式為a=q?x丁?￡?一=~c??x^1.

令4-%=1,解得r=4,所以=故展開式中X項的系數為二

42oo

c

s≥?r+1e

（2）解：不妨設展開式中4“項的系數最大，則

-?r

2r~l

ι>l.^r

-2r+1

即,解得2≤r≤3,即尸=2或r=3,

l(8τ+l)

-----------------------CI

2r

14_3514_9

故展開式中系數最大的項為（=±C?X3=Ixi,T>j?C>χ7

⑼

如圖是我國2016年至2022年生活垃圾無害化處理量（單位：億噸）的折線圖.

W4

W

京

K

W

（1）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與r的關系，請用相關系數加以說明；

（2）建立y關于，的回歸方程（系數精確到0.01）,預測2024年我國生活垃圾無害化處理量.

附注：

77

參考數據：∑K=9?32,=40.17,=0.55，y/l≈2.646.

/=1/=I

參考公式：相關系數，=

22

J∑(^)∑(yi-y)

Vi=lZ=I

/中斜率和截距最小二乘估計公式分別為「*≠

回歸方程夕=4+a=y-bt.

Σ”）-

【正確答案】（1）答案見解析:

（2）y=0.1Or+0.92,預測2024年我國生活垃圾無害化處理量將約1.82億噸.

【分析】（1）根據相關系數的計算公式，直接計算求解即可得到相關系數，根據數據即可說

明線性相關性；

（2）根據最小二乘法計算出回歸方程的系數，進而代入預測值，即可求解.

【詳解】（1）由折線圖中的數據和附注中的參考數據可得：i=4,∑（r.-^=28>

77

ZM=9.32,∑r,.y,.=40.17,=0.55,

/=1/=1

_7_

y-y)=Z4%-7fy=40.17-4X9.32=2.89,

I=I

289

所以r≈.......———≈0.99.

0.55×2×2.646

因為V與f的相關系數近似為0.99,說明y與f的線性相關相當高，從而可以用線性回歸模

型擬合>與f的關系.

7

932`∑(,'~,)(-v,-)289

(2)由5=+=1?331及(1)得〃=『-----;—=霽*0.103,

7∑b)28

/=1

a=y-b7≈1.331-0.103×4≈0.92.

所以y關于f的回歸方程為?9=0?10r+0?92

因為2024-2015=9,將2024對應的t=9代入回歸方程得.y=0.10×9+0.92=1.82

所以預測2024年我國生活垃圾無害化處理量將約1.82億噸.

20.如圖，在三棱柱ABC-ABc中，底面ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，側面

AACC為菱形，點A在底面上的投影為AC的中點。，且AB=2.

⑴若M、N分別為棱AB、BC的中點，求證：B幽平面CoV；

⑵求點C到側面AAiBlB的距離；

(3)在線段A4上是否存在點E,使得直線Z)E與側面AAB乃所成角的正弦值為逅？若存在,

7

請求出AE的長；若不存在，請說明理由.

【正確答案】(1)證明見解析

⑵2屈

7

(3)存在,且IAEl=I

【分析】(1)由已知利用中位線性質分別得出MZ)8C且21Mq=IJBC與M。與N且

IMq=I4N∣,證明四邊形片NOM為平行四邊形，即用MND,即可證明結論；

(2)由已知結合投影性質與等腰直角三角形性質，證明直線。B,DC,OA兩兩語直，并

得出需要線段長，再建立空間直角坐標系，求出平面田的一個法向量與AC，即可代入

公式求解答案；

(3)假設存在，并設出關系，得到AE,再由向量運算得到OE，即可由線面角公式結合

已知列式求解.

【詳解】(1)證明：連接

B

M為A3的中點，。為AC的中點，

:.MDBC且2∣Λ∕f>∣=忸。，

QN為qG的中點，

則在三棱柱ABC-AqG中，???B∣N8C且2忸網=忸C∣,

:.MDSN且IMa=忸N∣,

???四邊形為平行四邊形，

B1MND,

NDU平面CDN,且BIM<Z平面CDN,

:.平面CE)N；

(2)點A在底面上的投影為AC的中點。，

AQ，平面ABC,

.?.ASAC且AiDlBD9

底面ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形,

.?BDLAC,

側面AAICC為菱形，且AQLAC,

.,.AC=AA=AC,

AB=2,

..DB=DA=DC=C,?Zλ41=√6,

直線。8,DC,OA兩兩垂直，

故以點。為坐標原點，直線08,DC,OA分別為X,y,z軸，建立如圖所示空間直角坐標

系,

則O(0,0,0),A(0-√2,θ),β(√2,θ,θ),C(θ,√2,θ),A(O,O,√6),

貝∣JAB=(0,√Σ,O),AC=(0,2夜,0),Λ4,=(θ,√2,√6),

設平面ΛΛ,B,B的一個法向量為h=(x,y,z),

AB-n=?∣2x+>∕2y=O[x+y=0

則rr，即ZC

AΛl?n=√2γ+√6z=O[γ+√3z=O

取z=l,貝IJ拉=(百,一6,1),

則點C到側面根田出的距離為:

,IACT2√62√42

a=JIIJ=-7=^=---,

同√77

⑶假設存在滿足條件的點E，并設AE=2?AB∣=2?AB=(√Σl,√Ll,θ),2∈[(),1],

則DE=DA,+ΛlE=(√2Λ,√2Λ√β),

直線DE與側面AAAB所成角的正弦值為旦,

7

?l÷s依小繇j=*x√Γ

解得萬=；,Λ∈[O,1],則a=[,

故存在滿足條件的點￡且∣4E∣=JAB∣=I,

21.某批〃件產品的次品率為2%,現從中任意地依次抽出3件進行檢驗.

(1)當〃=500,n=5000,n=50000,若以取后放回的方式抽取，恰好抽到1件次品的概率

是多少？

(2)當n=500,〃=5000,"=50000,若以取后不放回的方式抽取，恰好抽到1件次品的概

率是多少？

(3)(1)、(2)分別對應哪種分布，并結