專練14

建模思想應用的常見類型歸類人教版九年級數學（下）提分專練

例為解決樓房的采光問題，某地區規定：兩幢樓間的距離至少為40m，中午12時不擋光．如圖，解題秘方：通過構建直角三角形模型求解．類型1建立方程模型求幾何圖形面積1.

將兩張完全相同的矩形紙片ABCD，FBED按如圖所示方式放置，BD為重合的對角線．重疊部分為四邊形DHBG.(1)試判斷四邊形DHBG為何種特殊的四邊形，并說明理由；∴△DAB≌△DEB(SAS)．∴∠ABD＝∠EBD．∵AB∥CD，DF∥BE，∴四邊形DHBG是平行四邊形，∠HDB＝∠EBD．∴∠HDB＝∠HBD．∴DH＝BH.∴四邊形DHBG是菱形．(2)若AB＝8，AD＝4，求四邊形DHBG的面積．【解】由(1)，設DH＝BH＝x，則AH＝8－x，在Rt△ADH中，AD2＋AH2＝DH2，即42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5，即BH＝5，∴菱形DHBG的面積為HB·AD＝5×4＝20.【點方法】建立方程模型，將DH，HB的長設為x，由勾股定理列方程求得HB的長，進而再求面積．類型2建立幾何模型解釋生活中的現象2.如圖，一根長am的木棍(AB)斜靠在與地面(OM)垂直的墻(ON)上，設木棍的中點為P，若木棍A端沿墻下滑，且B端沿地面向右滑行，則木棍滑動的過程中，點P到點O的距離________(填“發生”或“不發生”)變化．理由是__________________________________________.

不發生在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半【點撥】3.如圖，在△ABC中，點O是AC邊上一個動點，過點O作直線MN∥BC，設MN交∠BCA的平分線于點E，交△ABC的外角∠ACD的平分線于點F.類型3建立特殊四邊形模型探尋條件(1)探究OE與OF的數量關系并加以證明．【解】OE＝OF.證明如下：∵MN∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF.又∵CE平分∠BCO，CF平分∠DCO，∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠DCF.∴∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC．∴EO＝CO，FO＝CO.∴OE＝OF.(2)連接BE，當點O在邊AC上運動時，四邊形BCFE能否為菱形？若能，請證明；若不能，請說明理由．【解】不能為菱形．理由如下：如圖，連接BF，交EC于點G.(3)連接AE，AF，當點O在邊AC上運動到什么位置時，四邊形AECF是矩形？請說明理由．【解】當點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形．理由：當點O運動到AC的中點時，AO＝CO.又∵EO＝FO，∴四邊形AECF是平行四邊形．∵FO＝CO，∴AO＝CO＝EO＝FO.∴AO＋CO＝EO＋FO，即AC＝EF.∴四邊形AECF是矩形．(4)在(3)的條件下，△ABC滿足什么條件時，四邊形AECF是正方形？請說明理由．【解】當點O運動到AC的中點，且△ABC是以∠ACB為直角的直角三角形時，四邊形AECF是正方形．理由：由(3)知，當點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形．已知MN∥BC，當∠ACB＝90°時，∠AOE＝∠ACB＝90°，∴AC⊥EF.∴矩形AECF是正方形．【點方法】解決條件探索題，先將結論作為條件去分析此結論成立時應具備的條件，然后補充此條件，推理證明此結論成立．類型4建立方程模型解實際應用4.“雙減”政策倡導學生合理使用電子產品，控制使用時長，防止網絡沉迷，某品牌學習機商店，為了提高學習機的銷量，減少庫存，決定對該品牌學習機進行降價銷售，經市場調查，當學習機的售價為每臺1800元時，每天可售出4臺，在此基礎上，售價每降低50元，每天將多售出1臺．已知每臺學習機的進價為1000元．如果該品牌學習機商店每天要獲利4200元，該商店應將每臺學習機售價定為多少元？類型

5建立函數模型解圖象信息的應用(1)當x＝________m2時，y＝35元/m2；500【點撥】(2)設2023年甲、乙兩種蔬菜總種植成本為W元，如何分配兩種蔬菜的種植面積，使W最小？當600≤x≤700時，W＝40x＋50(1000－x)＝－10x＋50000.∵－10＜0，∴當x＝700時，W有最小值，最小值為－10×700＋50000＝43000，∴42000＜43000，∴當甲種蔬菜的種植面積為400m2，乙種蔬菜的種植面積為600m2時，W最小．【解】由(2)可知，甲、乙兩種蔬菜總種植成本為42000元，且乙種蔬菜的種植成本為50×600＝30000(元)，則甲種蔬菜的種植成本為42000－30000＝12000(元)．由題意，得12000(1－10%)2＋30000(1－a%)2＝28920.設a%＝m，整理，得(1－m)2＝0.64，解得m1＝0.2＝20%，m2＝1.8(不符合題意，舍去)，∴a%＝20%，∴a＝20.答：當a為20時，2025年的總種植成本為28920元．6.[2023·赤峰]乒乓球被譽為中國國球.2023年的世界乒乓球錦標賽中，中國隊包攬了五個項目的冠軍，成績的取得與平時的刻苦訓練和精準的技術分析是分不開的．類型

6建立函數模型解表格信息的應用如圖，是乒乓球臺的截面示意圖，一位運動員從球臺邊緣正上方以擊球高度OA為28.75cm的高度，將乒乓球向正前方擊打到對面球臺，乒乓球的運行路線近似是拋物線的一部分．乒乓球到球臺的豎直高度記為y(單位：cm)，兵乓球運行的水平距離記為x(單位：cm)，測得如下數據：水平距離x/cm0105090130170230豎直高度y/cm28.7533454945330(1)在平面直角坐標系xOy中，描出表格中各組數值所對應的點(x，y)，并畫出表示乒乓球運行軌跡形狀的大致圖象．【解】描出各點，畫出圖象如下：(2)①當乒乓球到達最高點時，與球臺之間的距離是______cm，當乒乓球落在對面球臺上時，到起始點的水平距離是______cm；49230【點撥】②求滿足條件的拋物線解析式．【解】設拋物線解析式為y＝a(x－90)2＋49.將(230，0)代入，得0＝a(230－90)2＋49，解得a＝－0.0025，∴拋物線解析式為y＝－0.0025(x－90)2＋49.(3)技術分析：如果只上下調整擊球高度OA，乒乓球的運行軌跡形狀不變，那么為了確保乒乓球既能過網，又能落在對面球臺上，需要計算出OA的取值范圍，以利于有針對性的訓練．如圖②，乒乓球臺長OB為274cm，球網高CD為15.25cm.現在已經計算出乒乓球恰好過網的擊球高度OA的值約為1.27cm.請你計算出乒乓球恰好落在對面球臺邊緣點B處時，擊球高度OA的值(乒乓球大小忽略不計)．【解】當OA＝28.75時，拋物線的解析式為y＝－0.0025(x－90)2＋49，設乒乓球恰好落在對面球臺邊緣點B處時，擊球高度OA的值為hcm，則平移距離為(h－28.75)cm，∴平移后的拋物線的解析式為y＝－0.0025(x－90)2＋49＋h－28.75，當x＝274時，y＝0，∴－0.0025(274－90)2＋49＋h－28.75＝0，解得h＝64.39.答：乒乓球恰好落在對面球臺邊緣點B處時，擊球高度OA的值為64.39cm.類型

7建立函數模型解實際應用(1)求該二次函數的解析式和k的值；(2)“擁擠狀態”持續的時間是否超過20min？請說明理由．【點方法】運用反比例函數解決問題時常用的兩種思路：(1)通過問題提供的信息，明確變量之間的函數關系，設出相應的函數解析式，再根據題目條件確定函數解析式中的待定系數的值；(2)已知反比例函數模型的解析式，運用反比例函數的圖象及性質解決問題.?????????????????????類型

8建立概率模型解實際應用8.[2023·雅安]某校為了調查本校學生對航空航天知識的知曉情況，開展了航空航天知識競賽，從參賽學生中，隨機抽取若干名學生的成績進行統計，得到如下不完整的統計圖表：成績/分頻數/人頻率60≤x<70100.170≤x<8015b80≤x<90a0.3590≤x≤10040c請根據圖表信息解答下列問題：(1)求a，b，c的值；【解】

調查人數為10÷0.1＝100(人)，b＝15÷100＝0.15，a＝0.35×100＝35，c＝40÷100＝0.4.故a＝35，b＝0.15，c＝0.4.(2)補全頻數分布直方圖；【解】補全頻數分布直方圖如下：(3)某班有2名男生和1名女生的成績都為100分，若從這3名學生中隨機抽取2名學生參加演講，用列表或畫樹狀圖的方法，求抽取的2名學生恰好為1男1女的概率．【解】

用樹狀圖法表示所有等可能出現的結果如下：類型

9建立平行線分線段成比例模型求比值9.如圖，在△ABC中，D，E，F分別是邊AB，AC，BC上的點，DE∥BC，EF∥AB．(2)若AD∶DB＝3∶5，求CF∶CB．【解】∵AD∶DB＝3∶5，∴BD∶AB＝5∶8.∵DE∥BC，∴CE∶AC＝BD∶AB＝5∶8.∵EF∥AB，∴CF∶CB＝CE∶AC＝5∶8.類型

10建立相似三角形模型解實際應用10.如圖①，大風閣是西安漢城湖的標志性建筑，取意于漢高祖劉邦的《大風歌》“大風起兮云飛揚，威加海內兮歸故鄉，安得猛士兮守四方”的意境．小華和曉麗在一個陽光明媚的周末去測量大風閣的高度AB，如圖②，首先在C處放置一