第09講動態平衡平衡中的臨界與極值問題目錄復習目標網絡構建考點一動態平衡【夯基·必備基礎知識梳理】知識點1動態平衡及基本思路知識點2處理動態平衡問題的四種方法【提升·必考題型歸納】考向1解析法考向2圖解法考向3相似三角形法考向4拉密定理法（正弦定理法或輔助圓法）考點二平衡中的臨界與極值問題【夯基·必備基礎知識梳理】知識點平衡中的臨界、極值問題的處理方法【提升·必考題型歸納】考向1圖解法考向2數學解析法真題感悟掌握處理動態平衡問題的方法。會利用數學的方法處理臨界極值問題。考點要求考題統計考情分析（1）共點力的動態平衡（2）平衡中的臨界極值問題2022年河北卷第7題2022年湖南卷第3題2022年1月浙江卷第5題高考對共點力的動態平衡考查相對較為頻繁，解決此類問題的主要方法有解析法、圖解法、三角形相似法、拉密定理法等，模型的特點相對明顯。對于平衡中的臨界極值問題考查的頻度不是太高，如果考查，解決的方法主要是圖解法和數學解析法。兩個考點所考查題目的主要出現在選擇題部分，難度不是太大。考點一動態平衡知識點1動態平衡及基本思路1.所謂動態平衡問題，是指通過控制某些物理量，使物體的狀態發生變化，而在這個過程中物體又始終處于一系列的平衡狀態，常利用圖解法解決此類問題。2.基本思路：化“”為“”，“靜”中求“動”。知識點2處理動態平衡問題的四種方法1.解析法：對研究對象進行受力分析，先畫出受力示意圖，再根據物體的平衡條件，得到因變量與自變量的關系表達式(通常要用到三角函數)，最后根據自變量的變化確定因變量的變化。2.圖解法：(1)特點：物體受三個共點力，有一個力是、另有一個力的問題。(2)方法：eq\x(\a\al(受力,分析))eq\o(→,\s\up7(化“動”為“靜”))eq\x(\a\al(畫不同狀態,下的平衡圖))eq\o(→,\s\up7(“靜”中求“動”))eq\x(\a\al(確定力,的變化))3.三角形相似法：(1)特點：在三力平衡問題中，如果有一個力是，另外兩個力方向，且題目給出了空間幾何關系。(2)方法：①對物體在某個位置作受力分析；②以兩個變力為鄰邊，利用平行四邊形定則，作平行四邊形；③找出相似的力的矢量三角形和空間幾何三角形；④利用相似三角形對應邊的比例關系確定力的變化。4.拉密定理法（正弦定理法或輔助圓法）：(1)特點：物體受三個共點力，這三個力其中一個力為，另外兩個力都，且變化兩個力的夾角。(2)拉密定理：（3）輔助圓法：畫出三個力的矢量三角形的外接圓，不便力為一固定弦，因為固定弦所對的圓周角大小始終不變，改變一力的方向，另一大小方向變化情況可得。考向1解析法1．如圖所示，P為光滑定滑輪，O為光滑輕質動滑輪，輕繩跨過滑輪，左端與物體A相連，右端固定在桿Q上，重物B懸掛在動滑輪上。將A置于靜止在粗糙水平面的斜面體上，輕繩段與斜面平行，系統處于靜止狀態。若將桿Q向右移動一小段距離，斜面體與物體A仍保持靜止狀態，待動滑輪靜止后，下列說法正確的是（）

A．輕繩中拉力減小B．物體A與斜面體之間的摩擦力一定增大C．斜面體與地面之間的彈力增大D．斜面體與地面之間的摩擦力增大2．如圖所示，A是圓柱體的橫截面，其弧形表面光滑，與地面接觸的下表面粗糙，在光滑豎直墻壁與柱體之間放置一質量為m的球體，系統處于平衡狀態。若使柱體向左移動少許，球體m仍未與地面接觸，系統仍處于平衡狀態，則（）A．球對墻的壓力變大 B．柱體與球之間的作用力變小C．柱體對地面的壓力大小不變 D．柱體對地面的摩擦力大小變小考向2圖解法3．在沒有起重機的情況下，工人要將油桶搬運上汽車，常常用如圖所示的方法。已知油桶重力大小為G，斜面的傾角為。當工人對油桶施加方向不同的推力F時，油桶始終處于勻速運動狀態。假設斜面與油桶的接觸面光滑。在推力F由水平方向逐漸變為豎直方向的過程中，以下關于油桶受力的說法正確的是（）A．若力F沿水平方向，F的大小為B．若力F沿水平方向，斜面對油桶的支持力大小為C．F由水平方向逐漸變為豎直方向的過程中，斜面對油桶的支持力逐漸變大D．F由水平方向逐漸變為豎直方向的過程中，推力F的最小值為4．質量均勻分布的直導體棒放置于四分之一的光滑圓弧軌道上，其截面如圖所示。導體棒中通有電流強度大小為I的電流，空間存在磁感應強度大小為B的勻強磁場，磁場的方向豎直向上。導體棒平衡時，導體棒與圓心的連線跟豎直方向的夾角為），軌道對導體棒的彈力為。下列說法正確的是（）

A．若僅將電流強度I緩慢增大，則θ逐漸減小B．若僅將電流強度I緩慢增大，則逐漸減小C．若僅將磁場方向沿逆時針緩慢轉過，則逐漸增大再減小D．若僅將磁場方向沿逆時針緩慢轉過，則θ逐漸增大再減小考向3相似三角形法5．如圖，在豎直平面內固定一光滑的半圓環，圓心為O、半徑為R，OA為半圓環的豎直半徑，AB為與OA在同一直線上的光滑固定桿，半圓環上套有一小球a，桿AB上套有另一小球b。兩小球之間連接一輕彈簧，初始時小球a在距圓環A點右側不遠處的P點，小球b固定于桿AB上的Q點，兩小球間距離為R。現用外力使小球b沿桿AB緩慢向上移動一段距離，但未到達A點。在移動過程中彈簧始終在彈性限度內且在一條直線上，兩小球均可視為質點，則下列說法正確的是（）A．初始時彈簧彈力大于半圓環對小球a的彈力B．初始時彈簧彈力大于小球a的重力C．小球b沿桿緩慢向上移動過程中，環對小球a的支持力先增大后減小D．小球b沿桿緩慢向上移動過程中，彈簧彈力增大6．如圖所示，木板B放置在粗糙水平地面上，O為光滑鉸鏈。輕桿一端與鉸鏈O固定連接，另一端固定連接一質量為m的小球A。現將輕繩一端拴在小球A上，另一端通過光滑的定滑輪由力F牽引，定滑輪位于O的正上方，整個系統處于靜止狀態。現改變力F的大小使小球A和輕桿從圖示位置緩慢運動到正下方，木板始終保持靜止，則在整個過程中（）A．外力F大小不變 B．輕桿對小球的作用力大小變小C．地面對木板的支持力逐漸變小 D．地面對木板的摩擦力逐漸減小考向4拉密定理法（正弦定理法或輔助圓法）7．如圖所示，V型光滑擋板AOB之間放置有一質量均勻的球體，初始時系統處于靜止狀態，現將整個裝置以O點為軸順時針緩慢轉動（∠AOB保持不變），在AO由水平轉動90°到豎直的過程中，下列說法正確的是（）A．擋板AO的彈力逐漸增大 B．擋板AO的彈力先增大后減小C．擋板BO的彈力逐漸減小 D．擋板BO的彈力先增大后減小8．如圖所示為某獨輪車搬運光滑圓柱體的截面圖，兩擋板OA、OB可繞O點轉動，且保持不變，初始時OB與水平方向夾角為60°。保持O點的位置不變，使兩擋板沿逆時針方向緩慢轉動至OA水平。在此過程中關于圓柱體的受力情況，下列說法正確的是（）A．擋板OA對圓柱的作用力一直增大B．擋板OA對圓柱的作用力先增大后減小C．擋板OB對圓柱的作用力一直增大D．小車對圓柱的作用力先減小后增大考點二平衡中的臨界與極值問題知識點平衡中的臨界、極值問題的處理方法1．臨界問題：當某物理量變化時，會引起其他幾個物理量的變化，從而使物體所處的平衡狀態“恰好出現”或“恰好不出現”，在問題的描述中常用“剛好”“恰能”“恰好”等語言敘述。2．極值問題：平衡物體的極值，一般指在力的變化過程中的最大值或最小值。3．解決極值問題和臨界問題的方法(1)圖解法：根據物體的平衡條件，作出力的矢量圖，通過對物理過程的分析，利用平行四邊形定則進行動態分析，確定最大值與最小值。(2)數學解析法：通過對問題的分析，依據物體的平衡條件寫出物理量之間的函數關系(或畫出函數圖像)，用數學方法求極值(如求二次函數極值、三角函數極值等)。考向1圖解法1．一不可伸長的細線套在兩光滑且大小不計的定滑輪上，質量為m的圓環穿過細線，如圖所示。現施加一作用力F使圓環保持靜止狀態，且細線始終有張力作用，若AC段豎直，BC段水平，AC長度等于BC長度，重力加速度為g，則下列說法正確的是（）A．F的大小不可能為mg B．F的最小值為C．大小為2mg的力F對應有兩個方向 D．F的方向可能豎直向下2．如圖所示，將質量為m的球放在和兩個與紙面垂直的光滑板之間，兩板與水平面夾角并保持靜止。板固定，板與板活動連接，板可繞通過點且垂直紙面的軸轉動。在角緩慢地由增大到的過程中（）A．球對板壓力的最大值為 B．球對板壓力的最大值為C．球對板壓力的最大值為 D．球對板壓力的最大值為考向2數學解析法3．一個質量為1kg的物體放在粗糙的水平地面上，現用最小的拉力拉它，使其做勻速運動，已知這個最小拉力為6N，g取10m/s2，滑動摩擦力等于最大靜摩擦力。則物體與地面間的動摩擦因數μ及最小拉力與水平方向的夾角θ的正切值tanθ分別為（）A．μ=，tanθ=0 B．μ=，tanθ=C．μ=，tanθ= D．μ=，tanθ=4．如圖所示，天花板下方通過支架固定一光滑輕滑輪，一足夠長的細繩跨過滑輪，一端懸掛小球b，另一端與套在水平細桿上的小球a連接，小球a與b的質量分別為m和2m。在水平拉力F作用下小球a從圖示虛線（最初是豎直的）位置開始緩慢向右移動至（細繩中張力大小視為不變，b球始終未觸及細桿）。小球a與細桿間的動摩擦因數為。則此過程中拉力F的可能值為（）A．mg B． C． D．1．（2022年河北高考真題）如圖，用兩根等長的細繩將一勻質圓柱體懸掛在豎直木板的點，將木板以底邊為軸向后方緩慢轉動直至水平，繩與木板之間的夾角保持不變，忽略圓柱體與木板之間的摩擦，在轉動過程中（）A．圓柱體對木板的壓力逐漸增大B．圓