九年級下

滬科版24.2圓的基本性質第3課時

圓心角、弧、弦、弦心距間關系1.了解圓是旋轉對稱圖形和中心對稱圖形；2.理解圓心角的概念；3.探索圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系定理；并會運用這些關系解決相關的證明和計算問題.

學習目標重點難點

小鹿馬上要過生日了！要把蛋糕平均分成四塊，你會分嗎？

新課引入一

圓的對稱性重合，圓是中心對稱圖形.OAB180°問題1將圓繞圓心旋轉180°后，得到的圖形與原圖形重合嗎？由此你得到什么結論呢？探究新知學習問題2把圓繞圓心旋轉任意一個角度呢？仍與原來的圓重合嗎？Oα重合，圓是旋轉對稱圖形，無論繞圓心旋轉多少度，它都能與自身重合，對稱中心即為其圓心.·1.下列說法中正確的有(

)(1)圓是軸對稱圖形；(2)圓是旋轉對稱圖形；(3)圓不是中心對稱圖形；(4)圓是軸對稱圖形但不是旋轉對稱圖形．A．1個B．2個C．3個D．4個針對訓練B二

圓心角的定義·OBA如圖，∠AOB為圓心角，圓心角∠AOB所對的弦為AB，所對的弧為.圓心角：我們把頂點在圓心，角的兩邊與圓相交的角叫做圓心角.針對訓練1.下面四個圖形中的角，是圓心角的是()

D如圖，當∠AOB=∠A'OB'時，你能猜測出兩個圓心角所對的

與

、弦AB與弦A'B'、弦心距OM與弦心距OM'之間有怎樣的關系?三

圓心角、弧、弦、弦心距間關系探究猜想：

，弦AB=弦A'B'、弦心距OM=弦心距OM'在圖中，根據圓的旋轉對稱性，把∠AOB連同

繞圓心О旋轉，使線段OA與OA'重合,設∠A'OA=α.∵∠AOB=∠A'OB'，∴∠B'OB=∠A'OB'+∠A'OB

=∠AOB

+∠A'OB=α∴線段OB與線段OB'重合.證明又∵OA=OA'，OB=OB'，∴旋轉后點A與點A'重合，點B與點B'重合.這樣，AB與A'B'重合，弦AB與弦A'B'重合，弦心距OM與弦心距OM'也重合，即

，AB=A'B'，OM=OM'.歸納定理

在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對弦的弦心距相等.幾何語言：在同圓或等圓中，∵∠AOB=∠A'OB'∴AB=A'B'，OM=OM'，思考圓心角相等弦相等弧相等弦心距相等在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，你能得出什么結論？如果兩條弦相等呢？推論

在同圓或等圓中，如果兩個圓心角以及這兩個角所對的弧、所對的弦、所對弦的弦心距中，有一組量相等，那么其余各組量都分別相等.這個推論可簡記為：在同圓或等圓中，想一想：定理“在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等”中，可否把條件“在同圓或等圓中”去掉？為什么？不可以，如圖，如果丟掉了這個前提，即使圓心角相等，所對的弧、弦也不一定相等.ABODC我們知道，把頂點在圓心的周角等分成

360

份，每一份的圓心角是1°

的角.

因為同圓中相等的圓心角所對的弧相等，所以整個圓周也被等分成

360

份.我們把每份這樣的弧叫做

1°

的弧.一般地，n°

的圓心角對著

n°

的弧，n°

的弧對著

n°

的圓心角.

也就是說，圓心角的度數和它所對的強的度數相等.例1已知：如圖，等邊三角形ABC的三個頂點都在⊙O上.求證：∠AOB=∠BOC=∠COA=120°.ABCO證明：連接OA，OB，OC.∵AB=BC=CA，∴∠AOB=∠BOC=∠COA例2已知，如圖，點O是∠A平分線上的一點，☉O分別交∠A的兩邊于點C，D和點E，F.

求證：CD=EF.證明：過點O作OK⊥CD，OK'⊥EF，垂足分別為K，K'.∵OK=OK'(角平分線性質)，∴CD=EF.OADEFCK'

∟∟K解連接OE.∵

為40°，∴∠COE=40°.∵OC=OE，∴∠C=∵CE∥AB，∴∠AOD=∠C=70°∴∠BOD=180°-70°=110°例3如圖，AB、CD為⊙O的兩條直徑，CE為⊙O的弦，且CE∥AB，

為40°，求∠BOD的度數.OCEABD針對訓練1.下列說法中，正確的是()A．等弦所對的弧相等B．等弧所對的弦相等C．在同圓中，圓心角相等，所對的弦相等D．弦相等，所對的圓心角相等C2.如圖，AB是⊙O的直徑，

∠COD=35°，求∠AOE的度數．·AOBCDE解：∵

∠COD=35°，隨堂練習1.如圖，AB、CD是⊙O的兩條弦．(1)如果AB=CD，那么

，

．(2)如果

，那么

，

．(3)如果∠AOB=∠COD，那么

，

．AB=CDAB=CD∠AOB=∠COD∠AOB=∠COD(4)如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE與OF相等嗎？為什么？（4）解：OE=OF.理由如下：∵OE⊥AB，OF⊥CD，∵AB=CD，∴AE=CF.∵OA=OC，∴Rt△AOE=Rt△COF.∴OE=OF.2.如圖，已知AB、CD為⊙O的兩條弦，

，求證：AB=CD..CABDO證明：連接即3.如圖，AB是⊙O

的直徑，點C是半圓上的一個三等分點，點D是

的中點，點P是直徑AB上一點，若⊙O的半徑為2，則PC＋PD的最小值是___________.思路點撥：可以利用圓的對