第二十二章二次函數(shù)二次函數(shù)與一元二次方程教學(xué)設(shè)計(jì)一、教學(xué)目標(biāo)1．通過(guò)探索，使學(xué)生理解二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式之間的聯(lián)系．2．進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力，滲透數(shù)形結(jié)合思想．3．讓學(xué)生通過(guò)實(shí)際問(wèn)題，體會(huì)一元二次方程解的實(shí)際意義，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，求解過(guò)程中，學(xué)會(huì)合作、交流．二、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)重點(diǎn)：1．體會(huì)方程與函數(shù)之間的聯(lián)系；2．能夠利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解．難點(diǎn)：二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)與一元二次方程的根的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系．三、教學(xué)用具多媒體課件。四、相關(guān)資源《畫(huà)一次函數(shù)y=x+1的圖象》動(dòng)畫(huà)，《打小球》動(dòng)畫(huà)，《三個(gè)函數(shù)圖象》圖片，《函數(shù)y=x2-2x-2的圖象》圖片。五、教學(xué)過(guò)程【復(fù)習(xí)提問(wèn)】1．解一元一次方程x+1=0；2．畫(huà)一次函數(shù)y=x+1的圖象，并指出函數(shù)y=x+1的圖象與x軸有幾個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是什么？此圖片是動(dòng)畫(huà)縮略圖，此處插入交互動(dòng)畫(huà)《【數(shù)學(xué)探究】探究一次函數(shù)的性質(zhì)》，可以通過(guò)改變參數(shù)值，改變函數(shù)圖象,進(jìn)而觀察k和b對(duì)一次函數(shù)圖象的影響。問(wèn)題1一元一次方程ax+b=0與一次函數(shù)y=ax+b有什么關(guān)系？師生活動(dòng)：學(xué)生解方程和畫(huà)圖象，回顧一元一次方程與其對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)的關(guān)系，明確關(guān)于x的一元一次方程ax+b=0的解就是一次函數(shù)y=ax+b的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；反之也成立．設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)回顧一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系，為后面用類(lèi)比的方法繼續(xù)探索二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系作鋪墊，使學(xué)生掌握解決這類(lèi)問(wèn)題的通用方法．【自主探究】問(wèn)題1如圖所示，以40m/s的速度將小球沿與地面成30°角的方向擊出時(shí)，小球的飛行路線將是一條拋物線．如果不考慮空氣阻力，小球的飛行高度h（單位：m）與飛行時(shí)間t（單位：s）之間具有函數(shù)關(guān)系h=20t-5t2．考慮以下問(wèn)題：（1）小球的飛行高度能否達(dá)到15m？如果能，需要多少飛行時(shí)間？（2）小球的飛行高度能否達(dá)到20m？如果能，需要多少飛行時(shí)間？（3）小球的飛行高度能否達(dá)到20.5m？為什么？（4）小球從飛出到落地要用多少時(shí)間？分析：由于小球的飛行高度h與飛行時(shí)間t有函數(shù)關(guān)系h=20t-5t2，所以可以將問(wèn)題中h的值代入函數(shù)解析式，得到關(guān)于t的一元二次方程．如果方程有合乎實(shí)際的解，則說(shuō)明小球的飛行高度可以達(dá)到問(wèn)題中h的值；否則，說(shuō)明小球的飛行高度不能達(dá)到問(wèn)題中h的值．解：（1）解方程15=20t-5t2，t2-4t+3=0，t1=1，t2=3．當(dāng)小球飛行1s和3s時(shí)，它的飛行高度為15m．（2）解方程20=20t-5t2，t2-4t+4=0，t1=t2=2．當(dāng)小球飛行2s時(shí)，它的飛行高度為20m．（3）解方程20.5=20t-5t2，t2-4t+4.1=0．因?yàn)?-4)2-4×4.1＜0，所以方程無(wú)實(shí)數(shù)根．這就是說(shuō)，小球的飛行高度達(dá)不到20.5m．（4）小球飛出時(shí)和落地時(shí)的高度都為0m，解方程0=20t-5t2，t2-4t=0，t1=0，t2=4．當(dāng)小球飛行0s和4s時(shí)，它的高度為0m，即0s時(shí)小球從地面飛出，4s時(shí)小球落回地面．設(shè)計(jì)意圖：為學(xué)生提供參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的時(shí)間和空間，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的習(xí)慣，激發(fā)好奇心，激發(fā)求知欲．問(wèn)題2從上面你能看出，二次函數(shù)與一元二次方程有怎樣的關(guān)系？試著用自己的語(yǔ)言來(lái)表達(dá)．解：從上面可以看出，二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系密切．例如，已知二次函數(shù)y=-x2+4x的值為3，求自變量x的值，可以看作解一元二次方程-x2+4x=3（即x2-4x+3=0）．反過(guò)來(lái)，解方程x2-4x+3=0又可以看作已知二次函數(shù)y=x2-4x+3的值為0，求自變量x的值．結(jié)論：一般地，我們可以利用二次函數(shù)y=ax2+bx+c深入討論一元二次方程ax2+bx+c=0．圖片是動(dòng)畫(huà)縮略圖，此處插入交互動(dòng)畫(huà)《【數(shù)學(xué)探究】探究二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)》，可以通過(guò)改變參數(shù)值，改變函數(shù)圖象位置,觀察圖象與x軸的交點(diǎn)情況。設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生初步感受到二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系．問(wèn)題3下列二次函數(shù)的圖象與x軸有公共點(diǎn)嗎？如果有，公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)是多少？當(dāng)x取公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí)，函數(shù)值是多少？由此，你能得出相應(yīng)的一元二次方程的根嗎？（1）y=x2+x-2；（2）y=x2-6x+9；（3）y=x2-x+1．解：這些函數(shù)的圖象如下圖所示．可以看出：（1）拋物線y=x2+x-2與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)是-2，1．當(dāng)x取公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí)，函數(shù)值是0．由此得出方程x2+x-2=0的根是-2，1．（2）拋物線y=x2-6x+9與x軸有一個(gè)公共點(diǎn)，這點(diǎn)的橫坐標(biāo)是3．當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)值是0．由此得出方程x2-6x+9=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根3．（3）拋物線y=x2-x+1與x軸沒(méi)有公共點(diǎn)．由此可知，方程x2-x+1=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根．設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生觀察圖象的能力，增強(qiáng)理性認(rèn)識(shí)，體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合思想的重要性一般地，從二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象可得如下結(jié)論．（1）如果拋物線y=ax2+bx+c與x軸有公共點(diǎn)，公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x0，那么當(dāng)x=x0時(shí)，函數(shù)值是0，因此x=x0是方程ax2+bx+c=0的一個(gè)根．（2）二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸的位置關(guān)系有三種：沒(méi)有公共點(diǎn)，有一個(gè)公共點(diǎn)，有兩個(gè)公共點(diǎn)．這對(duì)應(yīng)著一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三種情況：沒(méi)有實(shí)數(shù)根，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根．設(shè)計(jì)意圖：增強(qiáng)學(xué)生的歸納概括能力和表達(dá)能力，培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣．【例題分析】例利用函數(shù)圖象求方程x2-2x-2=0的實(shí)數(shù)根（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）．解：畫(huà)出函數(shù)y=x2-2x-2的圖象，如圖所示，它與x軸的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)大約是-0.7，2.7．所以方程x2-2x-2=0的實(shí)數(shù)根為x1≈-0.7，x2≈2.7．圖片是動(dòng)畫(huà)縮略圖，此處插入交互動(dòng)畫(huà)《【數(shù)學(xué)探究】探究二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)》，可以通過(guò)改變參數(shù)值，改變函數(shù)圖象位置,觀察圖象與x軸的交點(diǎn)情況。此外，我們還可以通過(guò)不斷縮小根所在的范圍估計(jì)一元二次方程的根．觀察函數(shù)y=x2-2x-2的圖象可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)自變量為2時(shí)的函數(shù)值小于0，當(dāng)自變量為3時(shí)的函數(shù)值大于0．因?yàn)閽佄锞€y=x2-2x-2是一條連續(xù)不斷的曲線，所以?huà)佄锞€y=x2-2x-2在2＜x＜3這一段經(jīng)過(guò)x軸．也就是說(shuō)，當(dāng)自變量取2，3之間的某個(gè)值時(shí)，函數(shù)值為0，即方程x2-2x-2=0在2，3之間有根．我們可以通過(guò)取平均數(shù)的方法不斷縮小根所在的范圍，逐步得到根所在的范圍．設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)例題的教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．【鞏固練習(xí)】1．二次函數(shù)y=x2-2x+1的圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）．A．0B．1C．2D．32．根據(jù)下列表格的對(duì)應(yīng)值，判斷方程ax2+bx+c=0的一個(gè)解x的取值范圍是()．x2.232.242．252.26－0.06－0．020．030.09A．2＜x＜2.23B．2.23＜x＜2.24C．2.24＜x＜2.25D．2.25＜x＜2.26設(shè)計(jì)意圖：考查將一元二次方程的根轉(zhuǎn)化為拋物線與x軸的交點(diǎn)來(lái)理解．3．已知二次函數(shù)y=kx2+2x+1的圖象與x軸有交點(diǎn)，則k的取值范圍是．設(shè)計(jì)意圖：考查對(duì)一元二次方程根的情況與拋物線與x軸交點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系理解應(yīng)用．4．拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），（3，0），則方程ax2+bx+c=0的解為_(kāi)__________________．5．拋物線y=ax2+bx+c如圖所示，則ax2+bx+c=0的解為_(kāi)____________，ax2+bx+c＞0的解為_(kāi)_________________．6．用函數(shù)的圖象求下列方程的近似解：（1）x2-3x+2=0；（2）-x2-6x-9=0；（3）-x2+2x+10=0（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）參考答案1．B．2．C．3．k≤1．4．x1=1，x2=3．5．x1=-2，x2=3；x＜-2，x＞3．6．畫(huà)圖略，（1）x1=1，x2=2；（2）x1=x2=-3；（3）x1≈-2.3，x2≈4.3．設(shè)計(jì)意圖：及時(shí)鞏固所學(xué)知識(shí)，了解學(xué)生學(xué)習(xí)的效果．六、課堂小結(jié)1．我們可以利用二次函數(shù)y=ax2+bx+c深入討論一元二次方程ax2+bx+c=0．2．從二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象可得如下結(jié)論．（1）如果拋物線y=ax2+bx+c與x軸有公共點(diǎn)，公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x0，那么當(dāng)x=x0時(shí)，函數(shù)值是0，因此x=x0是方程ax2+bx+c=0的一個(gè)根．（2）