第頁(yè)中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)存在性問題及參考答案一,二次函數(shù)中相像三角形的存在性問題1.如圖，把拋物線向左平移1個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位，得到拋物線.所得拋物線及軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），及軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D.（1）寫出的值；（2）推斷△的形態(tài)，并說明理由；（3）在線段上是否存在點(diǎn)M，使△∽△？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.2.如圖，已知拋物線經(jīng)過A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原點(diǎn)O，頂點(diǎn)為C．（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)D在拋物線上，點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱軸上，且A,O,D,E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）P是拋物線上的第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸，垂足為M，是否存在點(diǎn)P，使得以P,M,A為頂點(diǎn)的三角形△相像？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．二,二次函數(shù)中面積的存在性問題3.如圖，拋物線及雙曲線相交于點(diǎn)A，B．已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為（－2，－2），點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，且∠\*＝4．過點(diǎn)A作直線∥軸，交拋物線于另一點(diǎn)C．（1）求雙曲線和拋物線的解析式；（2）計(jì)算△的面積；（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)D，使△的面積等于△的面積．若存在，請(qǐng)你寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)你說明理由．xxyCB_D_AO4.如圖，拋物線y＝2＋c（a＞0）經(jīng)過梯形的四個(gè)頂點(diǎn)，梯形的底在x軸上，其中A（－2,0），B（－1,－3）．（1）求拋物線的解析式；（3分）（2）點(diǎn)M為y軸上隨意一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M到A,B兩點(diǎn)的距離之和為最小時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2分）（3）在第（2）問的結(jié)論下，拋物線上的點(diǎn)P使S△＝4S△成立，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．（4分）(4)在拋物線的段上是否存在點(diǎn)Q使三角形的面積最大，若有，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若沒有，請(qǐng)說明理由。三,二次函數(shù)中直角三角形的存在性問題5.如圖,△是直角三角形,∠901，4，拋物線經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為D．（1）求的值；（2）點(diǎn)E是直角三角形斜邊上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)A,B除外)，過點(diǎn)E作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)F，當(dāng)線段的長(zhǎng)度最大時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下：①求以點(diǎn)Ｅ,Ｂ,Ｆ,Ｄ為頂點(diǎn)的四邊形的面積；②在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使△是以為直角邊的直角三角形若存在，求出全部點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.四,二次函數(shù)中等腰三角形的存在性問題6.如圖，直線交軸于A點(diǎn)，交軸于B點(diǎn)，過A,B兩點(diǎn)的拋物線交軸于另一點(diǎn)C（3,0）.⑴求拋物線的解析式;OCOCBA五,二次函數(shù)中等腰梯形,直角梯形的存在性問題7．如圖，二次函數(shù)x2b的圖像及x軸交于A(，0),B(2，0)兩點(diǎn)，且及y軸交于點(diǎn)C；(1)求該拋物線的解析式，并推斷△的形態(tài)；(2)在x軸上方的拋物線上有一點(diǎn)D，且以A,C,D,B四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形，請(qǐng)直接寫出D點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在此拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得以A,C,B,P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是直角梯形？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。yAyABCOx六,二次函數(shù)中菱形的存在性問題8．如圖，已知拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O和x軸上一點(diǎn)A（4，0），拋物線頂點(diǎn)為E，它的對(duì)稱軸及x軸交于點(diǎn)D．直線﹣2x﹣1經(jīng)過拋物線上一點(diǎn)B（﹣2，m）且及y軸交于點(diǎn)C，及拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)F．（1）求m的值及該拋物線對(duì)應(yīng)的解析式；（2）P（x，y）是拋物線上的一點(diǎn)，若S△△，求出全部符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)Q是平面內(nèi)隨意一點(diǎn)，點(diǎn)M從點(diǎn)F動(dòng)身，沿對(duì)稱軸向上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，是否能使以Q,A,E,M四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若能，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值；若不能，請(qǐng)說明理由．1,【答案】解：（1）∵由平移的性質(zhì)知，的頂點(diǎn)坐標(biāo)為Ｄ（－１，－４），（2）由（1）得.當(dāng)時(shí)，．解之，得。又當(dāng)時(shí)，，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，－3）。又拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)D（－1，－4），作拋物線的對(duì)稱軸交軸于點(diǎn)E，⊥軸于點(diǎn)F。易知在△中，2=22+42=20，在△中，2=32+32=18，在△中，2=12+12=2，∴2＋2＝2。∴△是直角三角形。（3）存在．作∥交于M，Ｍ點(diǎn)即為所求點(diǎn)。由（2）知，△為等腰直角三角形，∠＝450，。由△∽△，得。即。過M點(diǎn)作⊥于點(diǎn)G，則，－3－。又點(diǎn)M在第三象限，所以M（－，－）。2,【答案】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為，∵拋物線過A（﹣2，0），B（﹣3，3），O（0，0）可得，解得。∴拋物線的解析式為。（2）①當(dāng)為邊時(shí)，∵A,O,D,E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，∴2，則D在軸下方不可能，∴D在軸上方且2，則D1（1，3），D2（﹣3，3）。②當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，則及相互平分。∵點(diǎn)E在對(duì)稱軸上，且線段的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為﹣1，由對(duì)稱性知，符合條件的點(diǎn)D只有一個(gè)，及點(diǎn)C重合，即C（﹣1，﹣1）。故符合條件的點(diǎn)D有三個(gè)，分別是D1（1，3），D2（﹣3，3），C（﹣1，﹣1）。（3）存在，如圖：∵B（﹣3，3），C（﹣1，﹣1），依據(jù)勾股定理得：2=18，2=2，2=20，∴222．∴△是直角三角形。假設(shè)存在點(diǎn)P，使以P，M，A為頂點(diǎn)的三角形及△相像，設(shè)P（，），由題意知＞0，＞0，且，①若△∽△，則。即+2=3（2+2）得：1=，2=﹣2（舍去）．當(dāng)=時(shí)，=，即P（，）。②若△∽△，則，。即：2+2=3（+2）得：1=3，2=﹣2（舍去）當(dāng)=3時(shí)，=15，即P（3，15）．故符合條件的點(diǎn)P有兩個(gè)，分別是P（，）或（3，15）。3,【答案】解：（1）把點(diǎn)B（－2，－2）的坐標(biāo)代入得，，∴\*＝4。∴雙曲線的解析式為：。設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，n）．∵A點(diǎn)在雙曲線上，∴\*＝4。又∵∠\*＝4，∴\*\*＝4，即m\*＝4n。∴n2\*＝1，∴n\*＝±1。∵A點(diǎn)在第一象限，∴n\*＝1，m\*＝4。∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，4）。把A,B點(diǎn)的坐標(biāo)代入得，，\*解得，\*＝1，\*＝3。∴拋物線的解析式為：。（2）∵∥軸，∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)y\*＝4，代入得方程，，解得1\*＝－4，2\*＝1（舍去）。∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為（－4，4），且\*＝5。又∵△的高為6，∴△的面積\*＝\*×5×6\*＝15。（3）存在D點(diǎn)使△的面積等于△的面積。理由如下：過點(diǎn)C作∥交拋物線于另一點(diǎn)D，此時(shí)△的面積等于△的面積（同底：，等高：和的距離）。∵直線相應(yīng)的一次函數(shù)是：，且∥，∴可設(shè)直線解析式為，把C點(diǎn)的坐標(biāo)（﹣4，4）代入可得，。∴直線相應(yīng)的一次函數(shù)是：。解方程組，解\*得，。\*∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，18）。4.（1）,因?yàn)辄c(diǎn)A,B均在拋物線上，故點(diǎn)A,B的坐標(biāo)適合拋物線方程∴解之得：；故為所求（2）如圖2，連接，交y軸于點(diǎn)M，則點(diǎn)M就是所求作的點(diǎn)設(shè)的解析式為，則有，，故的解析式為；令則，故(3),如圖3，連接，交y軸于點(diǎn)N，由（2）知，2，圖3易知1， 易求圖3；設(shè)，依題意有：，即：解之得：，，故符合條件的P點(diǎn)有三個(gè)：5.解答：解：（1）由已知得：A（﹣1，0），B（4，5），∵二次函數(shù)2的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，5），解得：﹣2，﹣3；（2）如圖：∵直線經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，5），∴直線的解析式為：1，∵二次函數(shù)2﹣2x﹣3，∴設(shè)點(diǎn)E（t，1），則F（t，t2﹣2t﹣3），∴（1）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣（t﹣）2+，∴當(dāng)時(shí)，的最大值為，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，）；（3）①如圖：順次連接點(diǎn)E,B,F,D得四邊形．可求出點(diǎn)F的坐標(biāo)（，），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，﹣4）S四邊形△△××（4﹣）+××（﹣1）=；②如圖：ⅰ）過點(diǎn)E作a⊥交拋物線于點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P（m，m2﹣2m﹣3）則有：m2﹣2m﹣2=，解得：m1=，m2=，∴P1（，），P2（，），ⅱ）過點(diǎn)F作b⊥交拋物線于P3，設(shè)P3（n，n2﹣2n﹣3）則有：n2﹣2n﹣2=﹣，解得：n1=，n2=（及點(diǎn)F重合，舍去），∴P3（，），綜上所述：全部點(diǎn)P的坐標(biāo)：P1（，），P2（，），P3（，）能使△組成以為直角邊的直角三角形．6.解：（1）∵當(dāng)=0時(shí)，=3當(dāng)=0時(shí)，=﹣1∴（﹣1，0），（0，3）∵（3，0）··························1分設(shè)拋物線的解析式為（+1）（﹣3）∴3×1×（﹣3）∴﹣1∴此拋物線的解析式為=﹣（+1）（﹣3）EMBEDEquation.3+2+3·····2分（2）存在∵拋物線的對(duì)稱軸為：=\*=1···············4分∴如圖對(duì)稱軸及軸的交點(diǎn)即為Q∴EMBEDEquation.3（1，0）··························6分當(dāng)EMBEDEquation.3=EMBEDEquation.3時(shí)，設(shè)EMBEDEquation.3的坐標(biāo)為（1，m）∴2EMBEDEquation.31+（3﹣m）∴1∴EMBEDEquation.3（1，1）··························8分當(dāng)=時(shí)，設(shè)（1，n）∴21+3∵n＞0∴EMBEDEquation.3（1，\*）∴符合條件的點(diǎn)坐標(biāo)為EMBEDEquation.3（1，0），EMBEDEquation.3（1，1），EMBEDEquation.3（1，\*）·10分7,答案：[解](1)依據(jù)題意，將A(，0)，B(2，0)代入x2b中，得，解這個(gè)方程，得，1，∴該拋物線的解析式為x2x1，當(dāng)0時(shí)，1，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，1)。∴在△中，EMBEDEquation.3。在△中，EMBEDEquation.3。2=，∵22=52，∴△是直角三角形。(2)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(，1)。(3)存在。由(1)知，。yABCyABCOxP的解析式為x1，直線可以看作是由直線平移得到的，所以設(shè)直線的解析式為xb，把點(diǎn)A(，0)代入直線的解析式，求得，∴直線的解析式為x。∵點(diǎn)P既在拋物線上，又在直線上，yABCOPx∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)相等，即x2x1=x，解得x1yABCOPxx2=(舍去)。當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)P(，)。若以為底邊，則，如圖2所示。可求得直線的解析式為2x1。直線可以看作是由直線平移得到的，所以設(shè)直線的解析式為2xb，把點(diǎn)B(2，0)代入直線的解析式，求得4，∴直線的解析式為2x4。∵點(diǎn)P既在拋物線上，又在直線上，∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)相等，即x2x1=2x4，解得x1=，x2=2(舍去)。當(dāng)時(shí)，9，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，9)。綜上所述，滿意題目條件的點(diǎn)P為(，)或(，9)。8．解：（1）∵點(diǎn)B（﹣2，m）在直線﹣2x﹣1上∴3即B（﹣2，3）又∵拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O∴設(shè)拋物線的解析式為2∵點(diǎn)B（﹣2，3），A（4，0）在拋物線上解得：．∴設(shè)拋物線的解析式為．（2）∵P（x，y）是拋物線上的一點(diǎn)，若S△△，又∵點(diǎn)C是直線﹣2x﹣1及y軸交點(diǎn)，∴C（0，1），∴1，∴，即或，解得：．∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為．（3）結(jié)論：存在．∵拋物線的解析式為，∴頂點(diǎn)E（2，﹣1），對(duì)稱軸為2；點(diǎn)F是直線﹣2x﹣1及對(duì)稱軸2的交點(diǎn)，∴F（2，﹣5），5．又∵A（