葫蘆島市義務教育階段2024—2025學年度第一學期期末學業水平測試九年級數學試卷（本試卷共23小題試卷滿分120分考試時間120分鐘）考生注意：所有試題必須在答題卡指定區域內作答，在本試卷上作答無效．參考公式：拋物線（）頂點坐標為第一部分選擇題（共30分）一、選擇題（本大題共10個小題；每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．下列方程是關于的一元二次方程的是（）A． B． C． D．2．下列汽車標志中既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（）A． B．C． D．3．關于拋物線，下列結論正確的是（）A．拋物線的頂點坐標為 B．拋物線可由經過平移得到C．拋物線與軸有兩個交點 D．當時，隨的增大而增大4．有7張除數字外都相同的卡片，上面分別寫著1，2，3，4，5，6，7．隨機抽取1張，取出的數字是偶數的概率是（）A． B． C． D．5．如圖，是的直徑，點，在上，若，則的度數為（）A．24° B．34° C．56° D．68°6．關于的方程實數根的情況，下列判斷正確的是（）A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根C．沒有實數根 D．無法判斷7．如圖，我市龍灣公園內有一座圓弧形拱橋，橋頂到水面的距離為，它的跨度也為，則橋拱半徑為（）A． B． C． D．8．充滿氣體的氣球能夠用腳踩爆，這里涉及氣體壓強與體積的關系．在溫度恒定的情況下，氣體的壓強與氣體體積是反比例函數關系，其圖象如圖所示．則下列說法中錯誤的是（）A．這個反比例函數解析式為B．當溫度不變時，氣球內氣體的壓強隨著氣體體積的增大而減小C．若壓強由減壓到，則氣體體積增加了D．若氣球內的氣壓大于時，氣球將爆炸，為了安全起見，氣體的體積應小于9．如圖，在中，，，，將繞點旋轉得到，當點恰好落在直線上時，的長為（）A． B． C． D．610．如圖，二次函數（）的圖象過點，對稱軸為直線．有以下結論：①；②；③若，是拋物線上的兩點，當時，；④若方程的兩根為，，且，則．其中結論正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個第二部分非選擇題（共90分）二、填空題（本題共5小題，每小題3分，共15分）11．一元二次方程的一個根是2，則______．12．若點，，都在反比例函數的圖象上，則，，的大小關系為______．13．如圖，拋物線與軸相交于點，點，與軸相交于點，點在拋物線上，當軸時，______．14．如圖，，分別與相切于，兩點，點為上異于，的一點，連接，，若，則的度數為______．15．如圖，在中，，，，點，分別是邊，的中點，連接，將繞點按順時針方向旋轉（），點，的對應點分別為點，，直線與交于點，當與的一邊平行時，的長為______．三、解答題（本題共8小題，共75分，解答應寫出文字說明、演算步驟或推理過程）16．（本題10分）解方程：（1）；（2）．17．（本題8分）如圖，在正方形網格中，每個小正方形的邊長都是1個單位長度，的頂點均在格點（網格線的交點）上，建立平面直角坐標系后，點的坐標為．（1）畫出，使與關于原點成中心對稱，并寫出點的坐標；（2）將繞點逆時針旋轉90°，得到，①畫出，并寫出點的坐標：②在旋轉到的過程中，線段掃過的面積是_____．18．（本題8分）美術課上，小明和小亮用質地均勻的材料做了兩個可以自由轉動的轉盤，用來做“配紫色”游戲：每個轉盤都被分成面積相等的幾個扇形，并涂上圖中所示的顏色．游戲者同時轉動兩個轉盤，如果轉盤指針指向紅色，轉盤指針指向藍色，或者轉盤指針指向藍色，轉盤指針指向紅色，那么紅色和藍色涂在一起就可以配成紫色，如果指針恰好指在分割線上，那么重轉一次，直到指針指向一個顏色為止．（1）利用列表或畫樹狀圖的方法表示所有可能出現的結果；（2）游戲規定若配成紫色，則小明勝，否則小亮勝；請問這個游戲對雙方公平嗎？說明理由．19．（本題8分）如圖，在平面直角坐標系中，直線與反比例函數（）的圖象相交于，兩點，過點作軸，過點作軸，與相交于點．（1）求反比例函數和一次函數的解析式；（2）若直線與軸相交于點，點是反比例函數（）上一點，連接，，若的面積等于的面積，求點的坐標．20．（本題8分）近年來，用“短視頻+直播”推廣家鄉農副產品的方式日益引發關注，成為推動農業和鄉村發展的新引擎：資料顯示，2022年有近100萬網友分享了助農短視頻，到2024年分享助農短視頻的人數已經達到121萬．（1）求短視頻分享人數的年平均增長率；（2）某短視頻平臺的“新農人”通過平臺銷售家鄉特產“薄皮核桃”，據了解，每斤核桃進價是8元，每斤核桃的利潤中需拿出2元做為平臺管理費，若銷量（斤）與每斤售價（元）滿足函數關系，設直播收益為（元），當每斤售價定為多少元時，每天的直播收益最大？最大收益為多少元？（直播收益＝銷售利潤－平臺管理費）21．（本題8分）如圖，是的內接三角形，是的直徑，點在上，連接并延長，過點作交的延長線于點，交的延長線于點，．（1）求證：是的切線；（2）若，求的長．22．（本題12分）數學活動課上，同學們以等腰直角三角形為背景，探究圖形變化中的數學問題．和均為等腰直角三角形紙板，，先將其如圖1擺放，再將繞點逆時針方向旋轉（），觀察圖形的變化，完成探究活動．【初步探究】（1）問題1：如圖2，連接，，觀察旋轉過程，發現線段與始終存在相等的數量關系，請說明理由：【深入探究】（2）問題2：結合問題1解決下面的問題．如圖3，延長交直線于點，交于點，取線段的中點，連接，，求證：；【嘗試應用】（3）問題3：如圖4，延長交直線于點，連接，若，，當時，求線段的長．圖1圖2圖3圖423．（本題13分）我們約定，在平面直角坐標系中，對于不同的兩點，，如果滿足，那么稱，兩點互為“等差點”．（1）在點，，中，與點互為“等差點”的是______；（2）已知點在雙曲線（）上存在唯一等差點，求出的值；（3）如圖1，拋物線的頂點與點是等差點，且與軸交于，兩點，與軸交于點．①點位于軸下方的拋物線上，設點的橫坐標是，過點作直線軸，垂足為點，交直線于點．當，，三點中一個點平分另外兩點組成的線段時，求線段的長；②拋物線（）圖象記為，將其沿直線翻折后的圖象記為，當，兩部分組成的圖象上恰有點的兩個“等差點”，請直接寫出的取值范圍．圖1備用圖葫蘆島市義務教育階段2024-2025學年度第一學期期末學業水平考試九年級數學參考答案及評分標準1．A2．B3．C4．C5．B6．A7．B8．D9．D10．C11．212．14．114°15．或16．解：（1），，或，；（2），，即，．17．解：（1）如圖所示，即為所求；（2）如圖所示，即為所求；（3）．18．（1）列表如下：紅1藍1紅2黃1紅3（紅1，紅3）（藍1，紅3）（紅2，紅3）（黃1，紅3）藍2（紅1，藍2）（藍1，藍2）（紅2，藍2）（黃1，藍2）黃2（紅1，黃2）（藍1，黃2）（紅2，黃2）（黃1，黃2）（2）根據上述表格可得，共有12種等可能結果，其中可配成紫色的結果有3種，分別為（紅1，藍2），（紅2，藍2），（藍1，紅3），，則，即不能配成紫色的可能性大一些此游戲對雙方不公平．19．（1）反比例函數（）經過點，將點代入中得，反比例函數解析式為（）的圖象經過點，，點坐標為將，兩點代入中得解得，一次函數解析式為（2）對于函數，令，得，解得，，，軸，軸點坐標為，，點是反比例函數（）上一點，可設點坐標為，，解得，點坐標為．20．（1）設短視頻分享人數的年平均增長率為，根據題意可得方程，解得，，（不合題意，舍去）．答：短視頻分享人數的年平均增長率為10%．（2）根據題意可得，拋物線開口向下，有最高點，有最大值，即當時，．答：當售價為15元時，每天的收益最大；最大收益為1250元．-8分21．（1）證明：如圖，連接，，，，，是的半徑，是的切線；（2）解：，設，由（1）可知即，解得：，設半徑為，則，在中，，，即解得：的長為．22．（本題12分）（1）證明：和為等腰直角三角形，，，圖2（2）解：由（1）過程得交于點，在和中，為中點，，圖3（3）證明：過點作于，取中點，連接，圖4在中，，為中點，在中，，，為的垂直平分線，為