第4章切割體與疊加體4.1基本體的投影4.2切割體的投影4.3疊加體的投影

根據立體的組成可以把立體分為基本體和組合體。柱、錐、球、圓環等幾何體是基本體。a)棱柱b)棱錐c)圓柱d)圓錐e)圓球f)圓環圖4-1基本體§4.1.1平面立體的投影§4.1.2曲面立體的投影§4.1基本體的投影平面立體----各表面都是平面圖形的實體

工程上常用的平面立體是棱柱（主要是直棱柱）和棱錐（棱臺）。

繪制平面立體的投影，即是繪制平面立體上所有平面的投影，也就是繪制平面立體上各平面間的交線(棱線)和各頂點(棱線的交點)的投影。圖4-2平面立體棱線棱臺棱柱棱錐§4.1.1平面立體的投影作圖:如圖4-3所示。1、棱柱的投影

（1）棱柱的三視圖

分析:正六棱柱由頂面、底面和六個側棱面組成。正六棱柱的頂面、底面為水平面，在俯視圖中反映實形。a)直觀圖b)投影圖圖4-3正六棱柱的投影§4.1.1平面立體的投影

由于棱柱的表面都是平面，所以在棱柱的表面上取點與在平面上取點的方法相同。（2）棱柱表面上點的投影a)直觀圖MABDC圖4-4正六棱柱表面取點§4.1.1平面立體的投影ABd

dd

DAB為鉛垂線AD為水平線a(b)a

b

m

m

mn

n

nMNa

b

【例4-1】

已知六棱柱表面上點M的正面投影m'和N點的水平投影n

，求其另兩面投影，并判別可見性。點的可見性判別：若點所在平面的投影可見，點的投影可見；若平面的投影積聚成直線，點的投影也可見。§4.1.1平面立體的投影圖4-4正六棱柱表面取點步驟：

畫圖——畫出棱線和頂點的投影(1)畫底面△ABC

的三投影;(2)畫頂點S

的三投影;(3)畫左棱面△SAB

的三投影；(4)畫右棱面△SBC

的三投影；(5)畫后棱面△SAC

的三投影。XOYWYHZa

c

b

a'

b'

c'

b”

a”(c”)s

s'

s”A

C

B

S

S

A

C

B

S

A

C

B

S

A

C

B

§4.1.1平面立體的投影2、棱錐的投影

（1）棱錐的三視圖圖4-5三棱錐的三視圖XOYWYHZa

c

b

a'

b'

c'

b”

a”(c”)s

s'

s”（2）投影分析

(1)底面△ABC

：一個三角形、兩條直線。(水平面)

注意：一個粗實線封閉的線框，表示一個面的投影，通常又是兩個表面的重影。

(2)左棱面△SAB

：三個三角形。(一般位置平面)

(3)右棱面△SBC

：三個三角形。(一般位置平面)

(4)后棱面△SAC

：兩個三角形、一條直線。(側垂面)XOYWYHZa

c

b

a'

b'

c'

b”

a”(c”)s

s'

s”XOYWYHZa

c

b

a'

b'

c'

b”

a”(c”)s

s'

s”XOYWYHZa

c

b

a'

b'

c'

b”

a”(c”)s

s'

s”§4.1.1平面立體的投影圖4-5三棱錐的三視圖【例4-2】已知三棱錐表面上兩點M、N的正面投影(m')和n'

，求其水平投影和側面投影，并判別可見性。（3）棱錐表面上點的投影a)直觀圖b)投影圖n

n

Nmn作圖方法1nn

采用什么方法？平面上作輔助線b'a's'c'sabc(c")a"b"s"n

(m)m

圖4-6三棱錐表面取點§4.1.1平面立體的投影b'a's'c'sabc(c")a"b"s"【例4-2】已知三棱錐表面上兩點M、N的正面投影(m')和n'

，求其水平投影和側面投影，并判別可見性。a)直觀圖b)投影圖作圖方法2:圖4-6三棱錐表面取點n

nn

n

n

Nn§4.1.1平面立體的投影（3）棱錐表面上點的投影SABC平面立體表面上的線作圖方法：與立體表面取點相同。注意：

只有在同一表面內的相鄰兩點的同面投影才可以相連！1'

2'

空間為一折線Ⅰ

Ⅱ

組成折線的兩條線段的共有點（轉折點）在兩個面的交線（棱線）上。轉折點s'

a'

b'(d')c'

adcbs

§4.1.1平面立體的投影（3）棱錐表面上點的投影圖4-7四棱錐表面取線s'

a'

b'(d')c'

adcbs

【例4-3】已知四棱錐表面上線段的正面投影，求其水平投影。1'

2'

3'

3f'

fh'

g'gh12作圖：

(1)求取過Ⅲ的直線ⅢF

的投影

;

(2)延長1’2’，分別交s’a’、s’c’于g’、h’;

(3)作GⅢ與ⅢH

的水平投影；

(4)求點Ⅰ和點Ⅱ的水平投影；

(5)判斷可見性并連線。§4.1.1平面立體的投影圖4-7四棱錐表面取線（3）棱錐表面上點的投影§4.1.1平面立體的投影§4.1.2曲面立體的投影§4.1基本體的投影曲面立體——表面是平面與曲面或曲面的實體曲面---

一動線（直線、圓弧或其他曲線）在空間連續運動所形成的軌跡。母線----形成曲面的動線素線----母線在曲面上的任一位置回轉面---母線繞固定軸線作回轉運動形成的曲面回轉體——表面有回轉面的立體a)軸線母線圖4-8回轉體和回轉面的形成b)§4.1.2曲面立體的投影工程上常見的回轉體有圓柱、圓錐、球、圓環等。a)圓柱b)圓錐c)圓球d)圓環圖4-9

常見的回轉體

繪制回轉體的投影，即是繪制回轉體的回轉面和平面的投影，也就是繪制回轉體的輪廓線、尖頂的投影以及轉向輪廓線的投影。轉向輪廓線——曲面上可見面與不可見面的分界線。§4.1.2曲面立體的投影1.圓柱——由圓柱面、頂面、底面圍成圓柱面——一直線繞與它平行的軸線回轉而成。圓柱立體分析:當圓柱的軸線是鉛垂線時,圓柱面上的所有素線都是鉛垂線,頂面和底面為水平面。圖4-10圓柱的形成§4.1.2曲面立體的投影(1)圓柱的投影

圓柱的投影分析:

頂面、底面的水平投影重合為一圓，正面投影和側面投影分別重影為兩直線；圓柱面的水平投影積聚為一圓，正面投影和側面投影分別為轉向輪廓線的投影。轉向輪廓線圖4-11圓柱的投影§4.1.2曲面立體的投影作圓柱投影圖圓柱的投影特性:回轉軸線用點畫線表示；水平投影積聚為一圓；正面投影和側面投影均為矩形。圖4-11圓柱的投影四條轉向輪廓線最左、最右最前、最后§4.1.2曲面立體的投影

(2)圓柱面上取點

【例4-4】已知圓柱表面上點A、B、C、D的一面投影，求出點的另兩面投影，并判別可見性。aa"(a')分析：點在圓柱面上，利用水平投影積聚性，可以求出點的水平投影。bb'(b")圖4-12圓柱面上取點作圖：如圖4-12所示。c"(d)(c')cd'd"§4.1.2曲面立體的投影【例4-5】已知圓柱面上線段的水平投影，求其余兩面投影。a”a'

c'

c”b”(b')d”f”dd'

ACB的側面投影acbf(f‘)分析：線段的側面投影隨圓柱面積聚為一段圓弧，可利用積聚性作圖。作圖：(1)取特殊點;(2)取一般點；(3)判斷可見性，光滑連線。§4.1.2曲面立體的投影

(3)圓柱面上取線圖4-13圓柱面上取線2.圓錐——由圓錐面、底面圍成圓錐面----

一直線繞與它相交的軸線回轉而成。圓錐立體分析:當圓錐的軸線是鉛垂線時,底面為水平面，圓錐面上的所有素線都是通過錐頂的直線。圖4-14圓錐的形成§4.1.2曲面立體的投影(1)圓錐的投影轉向輪廓線

圓錐的投影分析:

底面的水平投影反映實形為一個圓，正面投影和側面投影分別重影為一直線；圓錐面的水平投影為一個圓，正面投影和側面投影分別為轉向輪廓線的投影。圖4-15圓錐的投影§4.1.2曲面立體的投影(2)圓錐面上取點圖4-16圓錐面上取點a)b)a'作圖方法1：輔助素線法a"sAbab"b'輔助素線【例4-6】已知圓錐表面上點A的一面投影，求出點的另兩面投影，并判別可見性。§4.1.2曲面立體的投影a'sa"aA圖4-16圓錐面上取點c)d)作圖方法2：輔助緯圓法輔助緯圓

用輔助直線進行取點作圖的方法只適用于母線為直線的曲面，而利用垂直于軸線的輔助圓進行作圖的方法，可適用于各種回轉曲面。§4.1.2曲面立體的投影【例4-7】已知圓錐面上曲線的側面投影，求其余兩面投影。abc(d)a'b'c'd'e'ss's”(e)km”n”n'k”b”d”k'm'a”c”e”分析：可用緯圓法或直素線法求解;水平投影ac可見,ce不可見；線段正面投影全可見。作圖：(1)特殊點；(2)一般點；(3)判斷可見性，連線。§4.1.2曲面立體的投影(2)圓錐面上取線圖4-17圓錐面上取線3.圓球——由球面圍成球面——半圓繞其直徑為軸線回轉一周而成。圖4-18圓球的形成§4.1.2曲面立體的投影(1)球的投影圖4-19圓球的投影a)b)c)d)最大水平圓最大正平圓最大側平圓§4.1.2曲面立體的投影作球的投影圖球的投影特性三個投影均為平行于投影面的最大圓的投影（轉向輪廓線的投影）；圓的直徑=球的直徑；三個圓均無積聚性。圖4-19圓球的投影§4.1.2曲面立體的投影a'(2)球面上取點

【例4-8】已知圓球表面上點A的正面投影，求水平投影和側面投影。a"Aa圖4-20球面上取點a)b)輔助緯圓用輔助緯圓法作圖§4.1.2曲面立體的投影【例4-9】已知圓球面上曲線的正面投影，求其余兩面投影。b'c'a'c(c”)aa”bb”e'e(e”)d'dd”分析：只能用緯圓法作圖；線段在上半圓球面上，則其水平投影可見；點A在與W面平行的圓素線上，它將線段的側面投影分為可見和不可見的兩部分。作圖：(1)求特殊點A、B、C

；(2)求線段上的一般點D、E；(3)判斷可見性，連線。(3)球面上取線§4.1.2曲面立體的投影圖4-21球面上取線

一圓母線繞其所在平面內的一條軸線作回轉而成。4、

圓環*§4.1.2曲面立體的投影圖4-22圓環的形成（1）圓環的投影§4.1.2曲面立體的投影圖4-23圓環的投影（2）.圓環的投影特點

主視圖是極限位置素線和內、外環分圓的投影；俯視圖是上、下環面的投影；左視圖與主視圖相同。§4.1.2曲面立體的投影圖4-23圓環的投影m1'2（3）、圓環表面上取點m'（n'）12'

采用輔助圓法求圓環面上的點或線§4.1.2曲面立體的投影圖4-24圓環表面上取點§4.2.1平面立體切割§4.2.2曲面立體切割§4.2切割體的投影

在零件表面上常會遇到平面與立體和立體與立體相交的情況，如圖4-23所示為帶交線的零件。在畫圖時為了準確地表達它們的形狀，必須畫出它們所產生交線的投影。

圖4-25帶交線的零件實例

a)頂尖（截交線）

b)撥叉軸（截交線）c)管接頭（相貫線）截平面:截切立體的平面截交線:截平面與立體表面的交線截斷面:立體被截切后的斷面截交線的基本概念：切割體:基本體被平面截切后的部分圖4-26截交線的基本概念§4.2.1平面立體切割【例4-10】完成棱柱體被截切后的水平投影和側面投影。5″4″3″2″1″12453676″7″1′2′(3′)4′(5′)6′(7′)截平面和棱柱表面均有積聚性，利用積聚投影法來求。整理圖線：畫出棱柱的投影；畫出截交線的投影；截交線的正面投影——落在截平面的積聚性投影上；截交線的水平投影——落在六棱柱棱面的積聚性投影上，另一條邊為截平面與棱柱頂面交線，交于一條正垂線。截交線的側面投影——截交線的兩個投影已知，求出截交點的第三投影來連得§4.2.1平面立體切割1'6"61538"785"(4')2'(3')(5')8'(6')7'(4)(2)7"2"1"4"3"【例4-11】完成棱柱體被截切后的水平投影和側面投影。§4.2.1平面立體切割23541

11

6

6

5

4

3

2

6ⅠⅤⅣⅢⅡⅥ4

（5

）2

（3

）【例4-12】補齊四棱錐截切后的水平與側面投影§4.2.1平面立體切割【例4-13】求正四棱錐被截切后的水平和側面投影。1、空間分析立體表面交線的形狀？

——空間10邊形2、投影分析

截交線的正面投影落在截平面的積聚性投影上；1′2′(10′)3′(9′)4′(8′)5′(7′)6′1210391″2″10″9″3″8″4″847″5″6″675——水平截平面截切的交線平行于四棱錐對應底邊；——側平截平面截切的交線平行于四棱錐前后棱線。3、投影作圖4、整理圖線§4.2.1平面立體切割§4.2.1平面立體切割§4.2.2曲面立體切割§4.2切割體的投影截交線是截平面與回轉體表面的共有線。截交線的形狀取決于回轉體表面的形狀及截平面與回轉體軸線的相對位置。截交線一般是封閉的平面曲線或平面曲線與直線組成。求截交線的方法：求截平面與回轉體表面的共有點。截交線的性質：§4.2.2曲面立體切割

畫出截交線的投影當截交線的投影為非圓曲線時，其作圖步驟為：☆將各點光滑地連接起來，并判斷截交線的可見性。

☆先找特殊點，再補充中間點。求截交線的步驟：

空間及投影分析☆分析回轉體的形狀以及截平面與回轉體軸線的相對位置，以確定截交線的形狀。☆分析截平面投影面的相對位置，明確截交線的投影特性，如積聚性、類似性等。找出截交線的已知投影，預見未知投影。§4.2.2曲面立體切割1、平面與圓柱相交圓柱被截后截交線的形狀,取決于截平面與圓柱軸線的相對位置。垂直圓橢圓平行兩直線傾斜與圓柱面相交截交線的形狀與軸線截交線投影§4.2.2曲面立體切割圖4-27平面截切圓柱面【例4-14】求平面與圓柱相交的三面投影。分析：形體分析與投影分析；②找特殊點作圖步驟：

①補全圓柱的投影

ⅠⅡⅢⅣ12341'2'(4')3'1"2"3"4"§4.2.2曲面立體切割【例4-14】求平面與圓柱相交的三面投影。分析：形體分析與投影分析；②找特殊點作圖步驟：

①補全圓柱的投影ⅠⅡⅢⅣ5678(6')5'7'(8')6"5"7"8"③作一般點ⅥⅤⅦⅧ④光滑連線⑤完成截斷體的輪廓§4.2.2曲面立體切割

在沒有積聚性的投影面上，截交線的投影一般仍為橢圓。

1)當α＝45°時，截交線的投影是圓；

2)當α＞45°時或α＜45°時，截交線的投影是橢圓。PVαα＜45°QVαα＝45°RVαα＞45°§4.2.2曲面立體切割★空間及投影分析★求截交線★完善圓柱輪廓截平面與體的相對位置截平面與投影面的相對位置解題步驟：

同一立體被多個平面截切，要逐個截平面進行截交線的分析和作圖。

【例4-15】:求作圓柱切口開槽后的視圖●1′(2′)3′(4′)1″●2″●●●4(2)●3(1)●3″4″●4●2●13●§4.2.2曲面立體切割【例4-16】：求水平投影§4.2.2曲面立體切割【例4-17】求水平投影§4.2.2曲面立體切割【例4-18】

畫全三面投影§4.2.2曲面立體切割2、平面與圓錐相交θ=90°θ＝ααθ＞

＞90°90°

≤θ＜α過錐頂兩相交直線圓橢圓拋物線α

α

θ

α

θ雙曲線α

θ

與圓錐面相交截交線的形狀圓錐被截后截交線的形狀,取決于截平面與圓柱軸線的相對位置。截平面截交線投影§4.2.2曲面立體切割圖4-28平面截切圓錐面

【例4-19】已知一直立圓錐被正垂面截切，求作截交線，完成其水平投影和側面投影。空間分析與投影分析；②找特殊點作圖步驟：

①補全圓錐的投影ⅣⅠⅡⅤⅢ1'2'3'4'12342"4"3"5'5"5③作一般點④光滑連線⑤完成截斷體的輪廓1"§4.2.2曲面立體切割⑥檢查、完成。§4.2.2曲面立體切割

【例4-19】已知一直立圓錐被正垂面截切，求作截交線，完成其水平投影和側面投影。e

●c

●a

●d

●b

●

【例4-20】圓錐被一與其軸線平行的截平面切割，試完成截交線的正面投影。E

D

C

A

B

d′●c′●e′●a′●b′●§4.2.2曲面立體切割【例4-21】求圓臺截交線解題步驟1．分析截平面為正垂面側平面，截交線為部分橢圓和梯形的組合；其水平投影為部分橢圓和直線的組合，側面投影為部分橢圓和梯形的組合；2．求出截交線上的特殊點Ⅰ、

Ⅱ、Ⅲ

；3．出一般點Ⅳ、Ⅴ

；4．光滑且順次地連接各點，作出截交線，并且判別可見性；5．整理輪廓線。a2314"5"1"1'a'2"3"2'3'544'5'§4.2.2曲面立體切割難點：【例4-22】補齊圓錐的水平和側面投影§4.2.2曲面立體切割平面與球面的交線總是圓3、平面與圓球相交圖4-29

平面與球面交線的基本作圖§4.2.2曲面立體切割【例4-23】完成半球切槽的水平投影和側面投影。分析：

切槽由一對側平面和水平面組成，截平面與圓球面的交線都是圓。方法——緯圓法。§4.2.2曲面立體切割分析：

切槽由一對側平面和水平面組成，截平面與圓球面的交線都是圓。方法——緯圓法。【例4-23】完成半球切槽的水平投影和側面投影。§4.2.2曲面立體切割ΔyR=Δy作圖：(1)求截交線的水平投影；(2)求截交線的側面投影；【例4-23】完成半球切槽的水平投影和側面投影。§4.2.2曲面立體切割R=Δy注意：側面投影圖中，水平面以上的球面輪廓線已不存在。Δy(3)完成作圖。作圖：(1)求截交線的水平投影；(2)求截交線的側面投影；【例4-23】完成半球切槽的水平投影和側面投影。§4.2.2曲面立體切割§4.3.1平面立體與曲面立體相貫§4.3.2平面立體與平面立體相貫§4.3.3曲面立體與曲面立體相貫4.3疊加體的投影相貫體及相貫線的概念相貫體—兩個相交的立體相貫線—相交立體表面的交線圖4-30相貫的基本概念平面體與曲面體相貫平面體與平面體相貫曲面立體與曲面立體相貫1.相貫線的性質

相貫線是由若干段平面曲線（或直線）所組成的空間折線，每一段是平面體的棱面與回轉體表面的交線。2.作圖方法

分析各棱面與回轉體表面的相對位置，從而確定交線的形狀。

求出各棱面與回轉體表面的截交線。

連接各段交線，并判斷可見性。

求交線的實質是求各棱面與回轉面的截交線。§4.3.1平面立體與曲面立體相貫*21(2')1'3'33"1"2"4'(5')455"4"解題步驟1、找已知投影。2、確定相貫線的形式。3、根據相貫線的投影特性繪制相貫線。【例4-24】已知四棱臺與圓柱體相交，補畫主視圖和左視圖上相貫線的投影。§4.3.1平面立體與曲面立體相貫*【例4-25】補全正投影

空間分析：四棱柱的四個棱面分別與圓柱面相交，前后兩棱面與圓柱軸線平行，截交線為兩段直線；左右兩棱面與圓柱軸線垂直，截交線為兩段圓弧。

投影分析：由于相貫線是兩立體表面的共有線，所以相貫線的側面投影積聚在一段圓弧上，水平投影積聚在矩形上。§4.3.1平面立體與曲面立體相貫*【例4-25】補全正投影§4.3.1平面立體與曲面立體相貫*§4.3.1平面立體與曲面立體相貫§4.3.2平面立體與平面立體相貫§4.3.3曲面立體與曲面立體相貫4.3疊加體的投影

平面立體與平面立體相貫時，由于平面立體是由平面組成的，因此兩平面立體的相貫線由折線組成。折線的每一段都是A形體的一個側面與B形體的一個側面的交線，折線的轉折點就是一個形體的側棱與另一形體的側面的交點。相貫線實質就是平面與平面立體的截交線，整個相貫線是由封閉的若干段平面截交線組成的。§4.3.2平面立體與曲面立體相貫*圖4-31平面體與平面體相貫§4.3.2平面立體與曲面立體相貫*【例4-26】

兩平面立體相貫，完成相貫線的投影

解題步驟1．分析相貫線為一組閉合折線，相貫線的正面投影未知，水平投影已知；相貫線的投影前后、左右對稱。2．求出相貫線上的折點Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ等；3．順次地連接各點，作出相貫線，并且判別可見性；4．整理輪廓線。2'1'1233'§4.3.1平面立體與曲面立體相貫§4.3.2平面立體與平面立體相貫§4.3.3曲面立體與曲面立體相貫4.3疊加體的投影圖4-32兩曲面體相貫線的性質a)相貫線為封閉的空間曲線b)相貫線為不封閉的空間曲線d)相貫線為直線c)相貫線為平面曲線相貫線性質：共有性:相貫線是兩立體表面的共有線。

封閉性:相貫線一般為封閉光滑的空間曲線，特殊情況可能為不封閉的空間曲線,也可能為平面曲線或直線。§4.3.3曲面立體與曲面立體相貫相貫線的求畫方法求畫相貫線的實質就是要求出兩立體表面一系列的共有點。作圖方法：①表面取點法②輔助平面法③輔助球面法作圖步驟：①

分析兩回轉體的形狀、相對位置及相貫線的空間形狀,然后分析相貫線有無積聚性的投影。②

作特殊點的投影。③

作一般點的投影。④

判別可見性。⑤

光滑連接。§4.3.3曲面立體與曲面立體相貫1．表面取點法求相貫線【例4-27】兩圓柱相交，完成正面投影。ⅠⅡⅢⅣ作圖步驟：①找特殊點：Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的投影形體分析與投影分析:找出兩立體的積聚投影3'1'242'(4')13(2")3"4"1"6'5'5ⅤⅥ65"(6")②求一般點Ⅴ

、Ⅵ的投影③判斷可見性，光滑連線,完成作圖。§4.3.3曲面立體與曲面立體相貫【例4-28】

求出其相貫線§4.3.3曲面立體與曲面立體相貫

兩形體相貫時，如果兩形體的形狀、大小和相對位置均相同，則無論相貫形式如何，相貫線的形狀和作圖方法都相同。外外相貫外內相貫內內相貫外外相貫、內內相貫、外內相貫兩圓柱相貫的三種形式§4.3.3曲面立體與曲面立體相貫兩軸線正交圓柱相貫線的趨勢§4.3.3曲面立體與曲面立體相貫【例4-28】畫出兩軸線正交的圓柱孔的相貫線§4.3.3曲面立體與曲面立體相貫【例4-29】已知俯視圖和左視圖，求主視圖。●●●●●●●●●●●●●●●●●