第6章IIR數(shù)字濾波器的原理及設(shè)計(jì)6.1概述6.1.1IIR數(shù)字濾波器的差分方程和系統(tǒng)函數(shù)我們已經(jīng)知道IIR數(shù)字濾波器是一類遞歸型的線性時(shí)不變因果系統(tǒng)，其差分方程可以寫為：

（6.1）

2020/12/271第6章IIR數(shù)字濾波器的原理及設(shè)計(jì)2020/12/2進(jìn)行z變換，可得：

于是得到IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：(6.2)2020/12/272進(jìn)行z變換，可得： 2020/12/272精品資料3精品資料3你怎么稱呼老師？如果老師最后沒有總結(jié)一節(jié)課的重點(diǎn)的難點(diǎn)，你是否會(huì)認(rèn)為老師的教學(xué)方法需要改進(jìn)？你所經(jīng)歷的課堂，是講座式還是討論式？教師的教鞭“不怕太陽(yáng)曬，也不怕那風(fēng)雨狂，只怕先生罵我笨，沒有學(xué)問(wèn)無(wú)顏見爹娘……”“太陽(yáng)當(dāng)空照，花兒對(duì)我笑，小鳥說(shuō)早早早……”44精品資料5精品資料5你怎么稱呼老師？如果老師最后沒有總結(jié)一節(jié)課的重點(diǎn)的難點(diǎn)，你是否會(huì)認(rèn)為老師的教學(xué)方法需要改進(jìn)？你所經(jīng)歷的課堂，是講座式還是討論式？教師的教鞭“不怕太陽(yáng)曬，也不怕那風(fēng)雨狂，只怕先生罵我笨，沒有學(xué)問(wèn)無(wú)顏見爹娘……”“太陽(yáng)當(dāng)空照，花兒對(duì)我笑，小鳥說(shuō)早早早……”666.1.2IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法對(duì)(6.2)式的有理函數(shù)的分子、分母多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，可以得到：(6.3)其中ci為零點(diǎn)而di為極點(diǎn)。H(z)的設(shè)計(jì)就是要確定系數(shù)、或者零極點(diǎn)、，以使濾波器滿足給定的性能指標(biāo)。一般有三種方法。2020/12/2776.1.2IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法2020/12/1.零極點(diǎn)位置累試法

IIR系統(tǒng)函數(shù)在單位圓內(nèi)的極點(diǎn)處出現(xiàn)峰值、在零點(diǎn)處出現(xiàn)谷值,因此可以根據(jù)此特點(diǎn)來(lái)設(shè)置H(z)的零極點(diǎn)以達(dá)到簡(jiǎn)單的性能要求。所謂累試，就是當(dāng)特性尚未達(dá)到要求時(shí)，通過(guò)多次改變零極點(diǎn)的位置來(lái)達(dá)到要求。當(dāng)然這種方法只適用于簡(jiǎn)單的、對(duì)性能要求不高的濾波器的設(shè)計(jì)。

2020/12/2781.零極點(diǎn)位置累試法2020/12/2782.借助于模擬濾波器的理論和設(shè)計(jì)方法來(lái)設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器模擬濾波器的逼近和綜合理論已經(jīng)發(fā)展得相當(dāng)成熟，產(chǎn)生了許多效率很高的設(shè)計(jì)方法，很多常用濾波器不僅有簡(jiǎn)單而嚴(yán)格的設(shè)計(jì)公式，而且設(shè)計(jì)參數(shù)已圖表化，設(shè)計(jì)起來(lái)方便準(zhǔn)確。2020/12/2792.借助于模擬濾波器的理論和設(shè)計(jì)方法來(lái)設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器20而數(shù)字濾波器就其濾波功能而言與模擬濾波器是相同的,因此，完全可以借助于模擬濾波器的理論和設(shè)計(jì)方法來(lái)設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器。在IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)中，較多地采用了這種方法。

2020/12/2710而數(shù)字濾波器就其濾波功能而言與模擬濾波器是相同的,因此，完3.用優(yōu)化技術(shù)設(shè)計(jì)系統(tǒng)函數(shù)H(z)的系數(shù)、或者零極點(diǎn)、等參數(shù)，可以采用最優(yōu)化設(shè)計(jì)方法來(lái)確定。最優(yōu)化設(shè)計(jì)法的第一步是要選擇一種誤差判別準(zhǔn)則，用來(lái)計(jì)算誤差和誤差梯度等。

2020/12/27113.用優(yōu)化技術(shù)設(shè)計(jì)2020/12/2711第二步是最優(yōu)化過(guò)程，這個(gè)過(guò)程的開始是賦予所設(shè)計(jì)的參數(shù)一組初值，以后就是一次次地改變這組參數(shù)，并一次次計(jì)算H(z)的特性與所要求的濾波器的特性之間的誤差，當(dāng)此誤差達(dá)到最小值時(shí)，所得到的這組參數(shù)即為最優(yōu)參數(shù)，設(shè)計(jì)過(guò)程也就到此完成。

2020/12/2712第二步是最優(yōu)化過(guò)程，這個(gè)過(guò)程的開始是賦予所設(shè)計(jì)的參數(shù)一組初值這種方法能夠精確地設(shè)計(jì)許多復(fù)雜的濾波器，但是往往計(jì)算很復(fù)雜，需要進(jìn)行大量的迭代運(yùn)算，故必須借助于計(jì)算機(jī)，因而優(yōu)化設(shè)計(jì)又叫做IIR濾波器的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)(CAD)。第一種方法的算法簡(jiǎn)單、設(shè)計(jì)粗糙，在這里不具體討論了；第三種方法所涉及的內(nèi)容很多，并且需要最優(yōu)化理論作為基礎(chǔ)，因此在本章中只能作簡(jiǎn)要介紹；本章將著重討論用得最多的第二種方法。

2020/12/2713這種方法能夠精確地設(shè)計(jì)許多復(fù)雜的濾波器，但是往往計(jì)算很復(fù)雜，6.1.3借助于模擬濾波器的理論和方法的設(shè)計(jì)原理利用模擬濾波器來(lái)設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，要先根據(jù)濾波器的性能指標(biāo)設(shè)計(jì)出相應(yīng)的模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)，然后由Ha(s)經(jīng)變換而得到所需要的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。常用的變換方法有沖激響應(yīng)不變法和雙線性變換法。

2020/12/27146.1.3借助于模擬濾波器的理論和方法的設(shè)計(jì)原理2026.2模擬低通濾波特性的逼近

模擬濾波器的設(shè)計(jì)包括逼近和綜合兩大部分，其中逼近部分是與數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)有關(guān)的。本節(jié)要討論的是，在已知模擬低通濾波器技術(shù)指標(biāo)的情況下，如何設(shè)計(jì)其系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)，使其逼近所要求的技術(shù)指標(biāo)。

2020/12/27156.2模擬低通濾波特性的逼近2020/12/2715模擬系統(tǒng)的頻率響應(yīng)Ha(jΩ)是沖激響應(yīng)ha(t)的傅里葉變換，Ha(jΩ)的模表征系統(tǒng)的幅頻特性，下面要討論如何根據(jù)幅頻特性指標(biāo)來(lái)設(shè)計(jì)系統(tǒng)函數(shù)。圖6.1中用虛線畫出的矩形表示一個(gè)理想的模擬低通濾波器的指標(biāo)，是以平方幅度特性|Ha(jΩ)|2來(lái)給出的。

2020/12/2716模擬系統(tǒng)的頻率響應(yīng)Ha(jΩ)是沖激響應(yīng)ha(t)的傅里葉變?chǔ)竎是截止頻率，當(dāng)0≤Ω<Ωc時(shí)，|Ha(jΩ)|2=1，是通帶；當(dāng)Ω>Ωc時(shí)，|Ha(jΩ)|2=0，是阻帶。圖6.1中的實(shí)的曲線表示一個(gè)實(shí)際的模擬低通濾波器的平方幅度特性，我們的設(shè)計(jì)工作就是要用近似特性來(lái)盡可能地逼近理想特性。

通常采用的典型逼近有Butterworth逼近、

Chebyshev逼近和Cauer逼近（也叫橢圓逼近〕。

2020/12/2717Ωc是截止頻率，當(dāng)0≤Ω<Ωc時(shí)，|Ha(jΩ)|2=16.2.1Butterworth低通濾波特性的逼近對(duì)于Butterworth濾波器有：

（6.4）滿足此平方幅度特性的濾波器又叫做B型濾波器。這里N為正整數(shù)，為B型濾波器的階次，為截止頻率。2020/12/27186.2.1Butterworth低通濾波特性的逼近206.2.1.1B型濾波特性1.最平坦函數(shù)

B型濾波器的幅頻特性是隨

增大而單調(diào)下降的。在

=0附近以及

很大時(shí)幅頻特性都接近理想情況，而且在這兩處曲線趨于平坦，因此B型特性又叫做最平坦特性。

2020/12/27196.2.1.1B型濾波特性2020/12/27192.3db帶寬

由(6.4)式可知，當(dāng)Ω=Ωc

時(shí)，=，而

因此截止頻率又叫做3db帶寬或者半功率點(diǎn)。

2020/12/27202.3db帶寬2020/12/2720

圖6.1Butterworth低通濾波器的平方幅度特性2020/12/2721圖6.1Butterworth低通濾波3.N的影響在通帶內(nèi)，0<(Ω/Ωc)<1，故N越大，隨

增大而下降越慢；在阻帶內(nèi)，(Ω/Ωc)>1，故N越大，隨

增大而下降越快。2020/12/27223.N的影響因此，N越大，B型濾波器的幅頻特性越接近理想的矩形形狀；而不同的N所對(duì)應(yīng)的特性曲線都經(jīng)過(guò)Ωc處的半功率點(diǎn)。離Ωc越近，幅頻特性與理想特性相差越大。

2020/12/2723因此，N越大，B型濾波器的幅頻特性越接近理想的矩形形狀；而不6.2.1.2由得到Ha(s),B型濾波器的極點(diǎn)由于Ha(s)是s的實(shí)系數(shù)有理函數(shù)，故有：，令s=jΩ,則有：，而(6.5)由(6.4)式和(6.5)式有：用s代替上式中的j

:(6.6)2020/12/27246.2.1.2由得到Ha(s),B型濾波器的極點(diǎn)

圖6.2階次N對(duì)B型特性的影響2020/12/2725圖6.2階次N對(duì)B型特性(6.6)式的極點(diǎn)為：p=0,1,…,2N-1

作為–1的2N次方根，αp均勻地分布在單位圓上，幅角間隔為π/N；它們關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，卻沒有一個(gè)在實(shí)軸上。顯然，將的模乘上，再將其按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，就得到sp。因此，sp均勻地分布在半徑為的圓周上，其位置關(guān)于虛軸對(duì)稱，卻沒有一個(gè)在虛軸上，這就是說(shuō)，2N個(gè)極點(diǎn)sp在s平面的左、右兩半平面各有N個(gè)。2020/12/2726(6.6)式的極點(diǎn)為：這2N個(gè)極點(diǎn)是Ha(s)Ha(-s)的極點(diǎn)，考慮到系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)的極點(diǎn)必須在左半平面系統(tǒng)才是穩(wěn)定的，因而將左半s平面的N個(gè)極點(diǎn)sk（k=0,1,…,N-1)分給Ha(s)，這樣，右半平面的N個(gè)極點(diǎn)-sk就正好是Ha(s)的極點(diǎn)。因此有：(6.8)2020/12/2727這2N個(gè)極點(diǎn)是Ha(s)Ha(-s)的極點(diǎn)，考慮到系統(tǒng)函數(shù)這個(gè)式子中的常數(shù)是為了使(6.5)式滿足而加入的。這N個(gè)極點(diǎn)s0、s1、…、sN-1在s平面的左半平面而且以共軛形式成對(duì)出現(xiàn)，當(dāng)N為奇數(shù)時(shí),有一個(gè)在實(shí)軸上(為-)。2020/12/2728這個(gè)式子中的常數(shù)是為了使(6.5)式滿足而加入的。這6.2.1.3一般情況下的B型低通濾波器圖6.3一般情況下低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)2020/12/27296.2.1.3一般情況下的B型低通濾波器此時(shí)，應(yīng)該將角頻率

標(biāo)稱化，通常以Ω1為基準(zhǔn)頻率，則標(biāo)稱化角頻率為：Ω’=Ω/Ω1。于是通帶邊界的標(biāo)稱化角頻率為Ω1’=1，并且在通帶有0≤Ω’≤1，在過(guò)渡帶和阻帶則有

’>1。以下為了方便起見，仍用不帶撇的

表示標(biāo)稱化的角頻率。頻率標(biāo)稱化后，B型濾波器的平方幅度特性仍如(6.2)式所示，只是式中的參數(shù)和N都需要由圖6.3給出的指標(biāo)來(lái)確定。

2020/12/2730此時(shí)，應(yīng)該將角頻率標(biāo)稱化，通常以Ω1為基準(zhǔn)頻率，則標(biāo)稱（6.4）式可以寫成：(6.10)當(dāng)Ω=Ω1=1時(shí)，上式為：(6.11)令(6.12)則由(6.11)式可得：2020/12/2731（6.4）式可以寫成：2020/12/2731當(dāng)時(shí)有：(6.13)故(6.14)由(6.14)式可求出N，再將其代入(6.12)式，即可求得。2020/12/2732當(dāng)時(shí)有：6.4沖激響應(yīng)不變法本節(jié)和下一節(jié)所討論的問(wèn)題是，在已知模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)的情況下，如何求相應(yīng)的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。s是模擬復(fù)頻率，Ha(s)也是模擬濾波器的沖激響應(yīng)ha(t)的拉氏變換。

2020/12/27336.4沖激響應(yīng)不變法2020/12/27336.4.1沖激響應(yīng)不變法的變換方法模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)通常可以表示為：(6.62)2020/12/27346.4.1沖激響應(yīng)不變法的變換方法2020/12/27而且一般都滿足M<N，因此，可以將上式化為部分分式之和的形式，即：(6.63)對(duì)(6.63)式兩邊進(jìn)行拉氏反變換，可得：(6.64)

2020/12/2735而且一般都滿足M<N，因此，可以將上式化為部分分式之和的形式令數(shù)字濾波器的單位抽樣響應(yīng)：(6.65)對(duì)上式進(jìn)行z變換，便得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：2020/12/2736令數(shù)字濾波器的單位抽樣響應(yīng)：2020/12/2736上式中的冪級(jí)數(shù)收斂應(yīng)該滿足條件：即

實(shí)際上，只要將模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)分解為(6.63)式所示的部分分式之和的形式，立即就可以寫出相應(yīng)的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。

2020/12/2737上式中的冪級(jí)數(shù)收斂應(yīng)該滿足條件：即2這一變換方法的關(guān)鍵是：h(n)=Tsha(nTs)，此關(guān)系稱為沖激響應(yīng)不變準(zhǔn)則，由此準(zhǔn)則出發(fā)所得到的變換方法就叫做沖激響應(yīng)不變法。沖激響應(yīng)不變法所得到的數(shù)字濾波器保持了模擬濾波器的時(shí)域瞬態(tài)特性，這是這種變換方法的一大優(yōu)點(diǎn)。

2020/12/2738這一變換方法的關(guān)鍵是：h(n)=Tsha(nTs)，此關(guān)系6.4.2模擬濾波器與數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)之間的關(guān)系已經(jīng)知道，抽樣信號(hào)的頻譜是原模擬信號(hào)的頻譜的周期延拓，即(6.67)而(6.68)2020/12/27396.4.2模擬濾波器與數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)之間的關(guān)系2其中，

和分別為數(shù)字角頻率和模擬角頻率。也就是說(shuō)，離散信號(hào)的頻譜既可表示為數(shù)字頻率的函數(shù)也可表示為模擬頻率的函數(shù)。又知道，對(duì)于離散信號(hào)的傅里葉變換，有：或：(6.69)由(6.67)、(6.68)、(6.69)式有：(6.70)2020/12/2740其中，和分別為數(shù)字角頻率和模擬角(6.70)式左邊表示離散信號(hào)Tsx(n)的頻譜，而Tsx(n)是對(duì)模擬信號(hào)Ts的抽樣。模擬濾波器的沖激響應(yīng)ha(t)的頻譜Ha()(即前面的Ha(jΩ))就是模擬濾波器的頻率響應(yīng)。如果對(duì)ha(t)抽樣，則由(6.70)式可知，有：(6.71)2020/12/2741(6.70)式左邊表示離散信號(hào)Tsx(n)的頻譜，而Tsx令h(n)=Tsha(nTs)，并以表示h(n)的頻譜，也就是以h(n)為沖激響應(yīng)的數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)，于是由(6.71)式可得：(6.72）

2020/12/2742令h(n)=Tsha(nTs)，并以表示h(n)的頻譜，

圖6.13模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓2020/12/2743圖6.13模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期因此，用沖激響應(yīng)不變法所得到的數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是原來(lái)的模擬濾波器的頻率響應(yīng)的周期延拓。由圖6.13可以看出，如果被限制在-與之間，則在此區(qū)間內(nèi)與完全一致。

2020/12/2744因此，用沖激響應(yīng)不變法所得到的數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)相反，如果不被足夠地限帶，則將產(chǎn)生混疊失真。采用沖激響應(yīng)不變法得到的數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)都會(huì)有程度不同的混疊失真，而且，這種方法不能用于高通濾波器和帶阻濾波器等需要保留高頻成分的變換，這是沖激響應(yīng)不變法的一大缺點(diǎn)。2020/12/2745相反，如果不被足夠地限帶，則將6.4.3z平面與s平面的映射關(guān)系對(duì)照(6.63)式和(6.66)式可知，s平面的極點(diǎn)sk與z平面的極點(diǎn)互相映射。將極點(diǎn)的映射關(guān)系推廣，可以得到?jīng)_激響應(yīng)不變法模擬s平面與數(shù)字z平面的映射關(guān)系，即：(6.73)2020/12/27466.4.3z平面與s平面的映射關(guān)系2020/12/27令z=rejω，s=

+j

，代入上式，得：，故有：（6.74）

=

Ts(6.75)(6.74)式表示了z平面的模r與s平面的實(shí)部σ之間的關(guān)系,顯然有：當(dāng)

=0,r=1；當(dāng)

>0,r>1；當(dāng)

<0,r<1。2020/12/2747令z=rejω，s=+j，代入上式，得：(6.75)式既表示了數(shù)字角頻率與模擬角頻率之間的關(guān)系，也表示了z平面的幅角ω與s平面的虛部Ω之間的關(guān)系。由(6.75)式還可以知道，s平面上

由-π/Ts到π/Ts這一條狀區(qū)域映射到z平面上

由-到的區(qū)域，即整個(gè)z平面；s平面上的水平線Ω=-π/Ts映射到z平面上的射線ω=-π，而當(dāng)這條射線按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)的s平面上的水平線就向上平移。2020/12/2748(6.75)式既表示了數(shù)字角頻率與模擬角頻率之間的關(guān)系，也上面所闡述的不僅是模擬域s平面與數(shù)字域z平面之間的映射關(guān)系，而且也是模擬濾波器的頻率與用沖激響應(yīng)不變法所得到的數(shù)字濾波器的頻率之間的關(guān)系。s平面與z平面的映射關(guān)系保證了將穩(wěn)定的模擬濾波器變換為穩(wěn)定的數(shù)字濾波器。2020/12/2749上面所闡述的不僅是模擬域s平面與數(shù)字域z平面之間的映射關(guān)系圖6.14模擬復(fù)頻率s與數(shù)字復(fù)頻率z之間的映射關(guān)系

2020/12/2750圖6.14模擬復(fù)頻率s與數(shù)字復(fù)頻率z之例6.6用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)一個(gè)三階Butteworth數(shù)字低通濾波器，抽樣頻率為fs=1.2kHz,截止頻率為=400Hz。解：此數(shù)字濾波器的截止頻率：Ωc=2πfc=2π×400=800π弧度/s這也是模擬濾波器的截止頻率，于是可以寫出模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù):2020/12/2751例6.6用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)一個(gè)三階Buttewor其中，，現(xiàn)在進(jìn)行部分分式分解，令(*2)2020/12/27522020/12/2752可以得到：

根據(jù)(*1)式和(*2)式，再將A、B、C代入，便得到：

2020/12/2753可以得到：2020/12/2753上式中Ts=1/fs=1/1200（秒）。2020/12/27542020/12/27546.5雙線性變換法6.5.1雙線性變換關(guān)系的導(dǎo)出模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)可以變換為：這里為了方便說(shuō)明，已令M=N。2020/12/27556.5雙線性變換法2020/12/2755由此式可以看出，模擬濾波器的基本單元是積分器，因此，只要設(shè)法用某種數(shù)字網(wǎng)絡(luò)來(lái)代替此基本單元，就能夠?qū)⒛M濾波器轉(zhuǎn)變成相應(yīng)的數(shù)字濾波器。模擬濾波器基本單元的系統(tǒng)函數(shù)為：則其沖激響應(yīng)為：2020/12/2756由此式可以看出，模擬濾波器的基本單元是積分器，因此，只設(shè)有一信號(hào)(t≥0）輸入到該積分器系統(tǒng)，則其輸出也即對(duì)的響應(yīng)為：

設(shè)0<t1<t2，有：（6.76）(6.77)2020/12/2757設(shè)有一信號(hào)(t≥0）輸入到該積分器系統(tǒng)，則其輸出也即對(duì)的響應(yīng)由于(6.76)式中t1-

0，故；同理，(6.77)式中。因此有：

當(dāng)t1趨于t2時(shí)，有：令t1=nTs-Ts，t2=nTs，則有:

2020/12/2758由于(6.76)式中t1-0，故令,則得到差分方程：(6.78)這樣，我們就將模擬積分器轉(zhuǎn)變成了數(shù)字網(wǎng)絡(luò)，上式就是此數(shù)字積分器的差分方程。對(duì)它進(jìn)行z變換，得：

2020/12/2759令,于是可得到此數(shù)字積分器的系統(tǒng)函數(shù)：（6.79）用此數(shù)字基本單元來(lái)代替模擬濾波器的基本單元1/s,就可以得到與模擬濾波器性能相近的數(shù)字濾波器。2020/12/2760于是可得到此數(shù)字積分器的系統(tǒng)函數(shù)：2020/12/2760由上面的推導(dǎo)有：即：(6.80)于是有：(6.81)2020/12/2761由上面的推導(dǎo)有：這種變換關(guān)系叫做雙線性變換。如果已知模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)，則相應(yīng)的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：(6.82)2020/12/2762這種變換關(guān)系叫做雙線性變換。如果已知模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha6.5.2s平面與z平面的映射關(guān)系用s=

+j

,z=rejω代入(6.81)式，可以得到：(6.83)(6.84)2020/12/27636.5.2s平面與z平面的映射關(guān)系2020/12/27

s平面z平面

>0，即右半平面r>1,即單位圓外

=0，即虛軸r=1,即單位圓

<0，即左半平面r<1,即單位圓內(nèi)2020/12/2764s平面因此，用雙線性變換法，穩(wěn)定的模擬濾波器導(dǎo)出的數(shù)字濾波器也必定是穩(wěn)定的。但是，與沖激響應(yīng)不變法不同的是，在雙線性變換下，模擬濾波器的復(fù)頻率s與相應(yīng)的數(shù)字濾波器的復(fù)頻率z之間的映射是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。2020/12/2765因此，用雙線性變換法，穩(wěn)定的模擬濾波器導(dǎo)出的數(shù)字濾波器也必定圖6.16雙線性變換法s平面與z平面之間的映射關(guān)系2020/12/2766圖6.16雙線性變換法s平面與z平面之間6.5.3頻率預(yù)畸變下面討論s平面的虛軸與z平面的單位圓的映射關(guān)系，也即模擬濾波器的角頻率

與相應(yīng)的數(shù)字濾波器的角頻率

之間的關(guān)系。在(6.84)式中令

=0，便可得到：或（6.85）

2020/12/27676.5.3頻率預(yù)畸變2020/12/2767圖6.17ω與Ω之間的非線性關(guān)系2020/12/2768圖6.17ω與Ω之間的非線性關(guān)

與

的關(guān)系是非線性的，但是，s平面上的虛軸一一對(duì)應(yīng)地映射到了z平面單位圓的一周之上，因此，采用雙線性變換法，不存在頻域混疊失真的問(wèn)題。由雙線性變換所引起的模擬濾波器頻率

與數(shù)字頻率

之間的非線性關(guān)系，使得所得到的數(shù)字濾波器的相位頻率特性產(chǎn)生失真；

2020/12/2769與的關(guān)系是非線性的，但是，s平面上的虛軸一一對(duì)應(yīng)地映射到但對(duì)于幅度頻率特性，可以通過(guò)頻率預(yù)畸變來(lái)校正。實(shí)際上，只要首先根據(jù)所要求的數(shù)字濾波器的各關(guān)鍵頻率，按照(6