專題10數據的集中趨勢與離散程度

e經典泉做題?

選擇題（共4小題）

1.（2021秋?沐陽縣期末）已知一組數據2,3,5,X,5,3有唯一的眾數3,則X的值是（）

A.3B.5C.2D.無法確定

【分析】根據眾數的定義，結合這組數據的具體情況進行判斷即可.

【解答】解：在這組已知的數據中，“3”出現2次，“5”出現2次，“2”出現1次，

要使這組數據有唯一的眾數3,因此X所表示的數一定是3,

故選：A.

【點評】本題考查眾數的定義，掌握一組數據中出現次數最多的數據是這這組數據的眾

數是正確判斷的關鍵.

2.（2022春?崇川區期末）某校準備選派甲、乙、丙、丁中的一名隊員代表學校參加市宜跳

繩比賽，表中是這四名隊員選拔賽成績的平均數和方差，你覺得最適合的隊員是（）

甲乙丙T

平均數（個/分）201180201180

方差2.45.5132.4

A.甲B.乙C.丙D.T

【分析】首先比較平均數，平均數相同時選擇方差較小的運動員參加即可.

【解答】解：：甲、丙成績的平均數大于乙、丁成績的平均數，

.?.從甲和丙中選擇一人參加比賽，

VSφ2<S丙2,

.?.最適合的隊員是甲；

故選：A.

【點評】此題考查了平均數和方差，正確理解方差與平均數的意義是解題關鍵.

3.（2021秋?灌云縣期末）小明統計了15天同一時段通過某路口的汽車流量如表：（單位:

輛）

汽車流量142145157156

天數2256

則這15天在這個時段通過該路口的汽車平均流量是（）

A.153B.154C.155D.156

【分析】根據加權平均數的定義列式求解即可.

【解答】解：這15天在這個時段通過該路口的汽車平均流量是

142×2+145×2+157×5+156×6

=153

故選：A.

【點評】本題主要考查加權平均數，解題的關鍵是掌握加權平均數的定義.

4.（2021秋?鎮江期末）王老師為了了解本班學生每周課外閱讀時間，抽取了10名同學進

行調查，調查結果統計如下：

時間/小時4567

人數24ab

那么這組數據的中位數和眾數分別是（）

A.4,4B.5,4C.5,5D.都無法確定

【分析】先根據數據的總個數得出行6=3,再利用眾數和中位數的定義求解即可.

【解答】解：???一共抽取10名同學，

.*.a+b=10-2-4-1=3,

這組數據中5出現次數最多，有4次，

二眾數為5,

中位數是第5、6個數據的平均數，而第5、6個數據均為5,

,這組數據的中位數為等=5,

故選：C.

【點評】此題考查了眾數和中位數，一組數據中出現次數最多的數據叫做眾數；將一組

數據按照從小到大（或從大到小）的順序排列，如果數據的個數是奇數，則處于中間位

置的數就是這組數據的中位數.如果這組數據的個數是偶數，則中間兩個數據的平均數

就是這組數據的中位數.

二.填空題（共4小題）

5.（2022春?海安市期末）現有甲、乙兩支排球隊，每支球隊隊員身高的平均數均為1.82

米，方差分別為S2=3.7,S2=4.2,則身高較整齊的球隊是甲隊.

fr,乙

【分析】根據方差的意義解答.

【解答】解：?.?s甲2<s乙2,

.?.身高較整齊的球隊是甲隊.

故答案為：甲.

【點評】本題考查了方差的意義.方差是用來衡量一組數據波動大小的量，方差越大，

表明這組數據偏離平均數越大，即波動越大，數據越不穩定；反之，方差越小，表明這

組數據分布比較集中，各數據偏離平均數越小，即波動越小，數據越穩定.

6.（2022春?通州區期末）在學校舉行的“慶祝建團百年”詩歌朗誦比賽中，評委分別從演

講內容、演講能力、演講效果這三方面打分，小華這三項得分的成績分別為90分，80

分，80分，最后再按5：3：2的得分比例計算最終得分，則小華的最終得分是85分.

【分析】根據題目中的數據和加權平均數的計算方法，可以求出小華的最終得分.

90×5+80×3+80×2

【解答】解:根據題意得:=85（分）,

5+3+2

，小華的最終得分是85分.

故答案為：85.

【點評】本題考查加權平均數，解答本題的關鍵是明確加權平均數的計算方法.

7.（2021秋?灌云縣期末）一組數據：2,3,2,5,3,7,5,x,它們的眾數是5,則這組

數據的中位數是4.

【分析】根據眾數的定義先求出X的值，再根據中位數的定義即可得出答案.

【解答】解：：數據2,3,2,5,3,7,5,X的眾數是5,

Λ5出現的次數是3次，

??x=5,

數據重新排列是：2,2,3,3,5,5,5,7,

3+5

所以這組數據的中位數是一=4,

2

故答案為：4.

【點評】本題考查r眾數、中位數，解題的關鍵是理解眾數、中位數的概念，并根據概

念求出一組數據的眾數、中位數.

8.（2021秋?無錫期末）某電視臺要招聘1名記者，某應聘者參加了3項素質測試，成績如

下:

測試項目采訪寫作計算機操作創意設計

測試成績（分）828580

如果將采訪寫作、計算機操作和創意設計的成績按5：2：3計算，則該應聘者的素質測

試平均成績是82分.

【分析】根據加權平均數的定義計算可得.

82x5+85x2+80x3

【解答】解：該應聘者的素質測試平均成績是-----------------=82（分），

5+2+3

故答案為：82.

【點評】本題主要考查加權平均數，解題的關鍵是掌握加權平均數的定義.

≡.解答題（共4小題）

9.（2022春?海安市期末）某校組織學生參加“防疫衛生知識競賽”（滿分為150分），為了

了解某班學生在這次競賽中的表現，現隨機抽取該班10名同學的競賽成績制表如下：

成績1481219088868581

學生數12Ill31

請根據表中信息，解答下列問題：

(1)這10名學生競賽成績的平均數是99分,中位數是87分:

(2)一名學生的成績是98.5分，他的成績如何？

【分析】(1)求出各個數據之和，再除以數據個數即可得平均數；先把這些數據從小到

大排列，只要找出最中間的兩個數，即可得出中位數；

(2)根據中位數、平均數所反映一組數據的整體情況進行判斷即可.

1

【解答】解：(1)這10名學生競賽成績的平均數是一×(148+121×2+90+88+86+85×3+81)

10

=99(分),

將這10名同學的競賽成績從小到大排列，處在中間位置的兩個數的平均數為(86+88)

+2=87(分)，因此中位數是87分，

故答案為：99,87；

(2)；樣本中位數為87分，平均數是99,

；.一名學生的成績是98.5分，他的成績在班中處于平均水平，名次在中上.

【點評】本題考查中位數、平均數，掌握中位數、平均數的計算方法是解決問題的前提，

理解平均數受極端值的影響是正確判斷的關鍵.

10.(2021秋?儀征市期末)某中學九年級學生共進行了五次體育模擬測試，已知甲、乙兩

位同學五次模擬測試成績的平均分相同，小明根據甲同學的五次測試成績繪制了尚不完

整的統計表，并給出了乙同學五次測試成績的方差的計算過程.

甲同學五次體育模擬測試成績統計表：

次數第一次第二次第三次第四次第五次

成績(分)252927a30

小明將乙同學五次模擬測試成績直接代入方差公式，計算過程如下：

Sz.2=1[(26-28)2+(28-28)2+(27-28)2+(29-28)2+(30-28)2]=2(分2)

根據上述信息，完成下列問題：

(1)a的值是29；

(2)根據甲、乙兩位同學這五次模擬測試成績,你認為誰的體育成績更好？并說明理由；

(3)如果甲再測試1次，第六次模擬測試成績為28分，與前5次相比，甲6次模擬測

試成績的方差將變小.(填“變大”“變小”或“不變”)

【分析】(1)根據乙同學的方差計算過程可以確定五次測試成績的平均分，根據甲、乙

兩位同學五次模擬測試成績的總分相同列方程可得a的值：

(2)利用方差作比較可得結論;

(3)根據方差的意義可得.

【解答】解：(1)由題意得:25+29+27+a+30=28X5,

解得：a=29,

故答案為：29：

(2)乙的體育成績更好，理由是:

222222

ΛSll.=I×[(25-28)+(29-28)+(27-28)+(29-28)+(30-28)]=3.2

(分2),

ΛS乙2VS甲2,

Y兩人的平均成績相同，但乙的方差較小，說明乙的成績更穩定，

二乙的體育成績更好.

(3)因為第六次模擬測試成績為28分，前5次測試成績的平均數為28分，所以甲6次

模擬測試成績的方差變小.

故答案為：變小.

【點評】本題考查了平均數、方差的知識.解題的關鍵是牢記方差和平均數定義及計算

公式.

11.(2022春?崇川區期末)新冠肺炎疫情初期，我市教育局積極響應國家“停課不停學”

的號召，推出了“線上課堂”.為了解直屬中學八年級學生每天參加“線上課堂”的時間，

隨機調查了市直屬中學的八年級學生.根據調查結果，繪制出如圖統計圖、表(不完整)，

請根據相關信息，解答下列問題.

時間/力3.544.555.56

人數329696m35264

(1)本次調查的八年級學生共為800,表格日3In=160；

(2)本次統計的這組數據中，市直屬中學八年級學生每天參加“線上課堂”時間的眾數

是5.55；

(3)若市直屬中學八年級學生約有IoOOO名，請估計學生每天參加“線上課堂”的忖間

為5/7及其以上的人數.

【分析】（1）根據3.54的人數和所占的百分比，可以計算出本次共調查的學生人數，然

后即可計算出川的值；

（2）根據表格中的數據，可以寫出相應的眾數：

（3）根據表格中的數據，可以計算出該校八年級學生每天聽“空中課堂”的時間為5A

的人數.

【解答】解：（1）本次共調查的學生人數為：32÷4%=800,

/77=800X20%=160.

故答案為：800,160；

（2）由統計表可知，本次統計的這組數據中，市直屬中學八年級學生每天參加“線上課

堂”時間的眾數是5.5萬.

故答案為：5.5A；

（3）10000×2W?=2000（人）.

估計學生每天參加“線上課堂”的時間為5A及其以上的人數為2000人.

【點評】本題考查眾數、中位數、用樣本估計總體，解答本題的關鍵是明確題意，利用

數形結合的思想解答.

12.（2022春?如皋市期末）為增強學生的防疫意識，學校擬選拔一支代表隊參加市級防疫

知識競賽，甲、乙兩支預選隊（每隊各10人）參加了學校舉行的選拔賽，選拔賽滿分為

100分.現對甲、乙兩支預選隊的競賽成績進行整理、描述和分析，下面給出了部分信息：

a.甲隊10名學生的競賽成績是：92,84,92,92,96,84,92,100,82,96

b.甲、乙兩隊學生競賽成績統計表：

組另IJ甲隊乙隊

平均分9187

中位數m85

眾數n93

方差31.430

（1）在甲、乙兩隊學生競賽成績統計表中，m=92,〃=92；

（2）學校準備從甲，乙兩支預選隊中選取成績前10名（包括第10名）的學生組成代表

隊參加市級比賽，小聰的成績正好是甲乙兩隊中某一隊成績的中位數，但他卻落選了，

請判斷小聰所屬的隊伍，并說明理由.

【分析】（I）根據中位數和眾數的定義求解即可；

（2）根據中位數的意義求解即可.

【解答】解：（1）將甲隊IO名學生的競賽成績重新排列為：84,84,82,92,92,92,

92,96,96,100.

所以這組數據的中位數歸專為=92,n=92,

故答案為：92、92；

（2）小聰應該屬于乙隊.

理由：丁甲隊的中位數為92分高于乙隊的中位數85分，

???小聰的成績正好是本隊成績的中位數，卻不是甲、乙兩隊成績的前20名，

小聰應該屬于乙隊.

【點評】此題考查了中位數，眾數以及方差，解題的關鍵是根據圖表得出解題所需數據

及中位數的定義和意義.

Q

一.選擇題（共4小題）

1.（2021秋?漣水縣期末）一組數據1,X,5,7的中位數與眾數相等，則該組的平均數是

（）

A.3.5B.4.5C.5.5D.6

［分析】眾數可能是1或5或7,因此分別對眾數是1或者眾數是5或者眾數是7三種情

況進行討論，再根據平均數公式計算即可求解.

【解答】解：①當眾數是1時，

這組數據為：1,1,5,7,中位數是（1+5）÷2=3,

：中位數與眾數不相等，.?.不符合題意；

②當眾數是5時，

這組數據為：1,5,5,7,中位數是5,

：中位數與眾數相等，

.?.該組的平均數是（1+5+5+7）÷4=4.5;

③當眾數是7時，

這組數據為：1,5,7,7,中位數是（5+7）÷2=6,

???中位數與眾數不相等，???不符合題意；

則該組的平均數是4.5.

故選：B.

【點評】本題結合眾數與中位數考查了確定一組數據的平均數的能力.正確運用分類討

論的思想是解答本題的關鍵.注意找中位數的時候一定要先排好順序，然后再根據奇數

和偶數個來確定中位數，如果數據有奇數個，則正中間的數字即為所求.如果是偶數個

則找中間兩位數的平均數.

2.（2020秋?泰興市期末）若甲、乙兩個樣本的平均數相等，方差分別為1.75、1.96,則下

列說法正確的是（）

A.甲比乙穩定B.甲、乙一樣穩定

C.乙比甲穩定D.無法比較

【分析】根據方差的意義求解即可.

【解答】解：：甲、乙兩個樣本的方差分別為1.75、1.96,

.?.甲比乙穩定，

故選：A.

【點評】本題主要考查方差，方差是反映一組數據的波動大小的一個量.方差越大，則

平均值的離散程度越大，穩定性也越小；反之，則它與其平均值的離散程度越小，穩定

性越好.

3.（2021秋?沐陽縣校級期末）某班有40人，一次體能測試后，老師對測試成績進行了統

計.由于小亮沒有參加本次集體測試，因此計算其他39人的平均分為90分，方差S?=

41.后來小亮進行了補測，成績為90分，關于該班40人的測試成績，下列說法正確的

是（）

A.平均分不變，方差變大B.平均分不變，方差變小

C.平均分和方差都不變D.平均分和方差都改變

【分析】根據平均數，方差的定義計算即可.

【解答】解：???小亮的成績和其他39人的平均數相同，都是90分，

該班40人的測試成績的平均分為90分，方差變小，

故選：B.

【點評】本題考查方差，算術平均數等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知

識解決問題，屬于中考常考題型.

4.（2021?建鄴區二模）某校進行垃圾分類的環保知識競賽，進入決賽的共有15名學生，他

們的決賽成績如表所示：

決賽成績100959085

/分

人數/名2823

則這15名學生決賽成績的中位數和平均數分別是（）

A.95,97B.95,93C.95,86D.90,95

【分析】根據平均數和中位數的定義求解即可.

【解答】解：這15名學生決賽成績的中位數是95分，平均數為

100×2+95×8+90×2+85×3,

-----------------------------------=93（分），

故選：B.

【點評】本題主要考查平均數和中位數，解題的關鍵是掌握中位數和加權平均數的定義.

二.填空題（共4小題）

5.（2022?揚州模擬）某次數學測試，某班一個學習小組的六位同學的成績如下：84、75、

75、92、86、99,則這六位同學成績的中位數是85.

【分析】直接根據中位數的定義求解.

【解答】解：將這6位同學的成績重新排列為75、75、84、86、92、99,

84+86

所以這六位同學成績的中位數是一y-=85,

故答案為：85.

【點評】本題考查」'中位數的概念.找中位數時需要對這一組數據按照從大到小或從小

到大的順序進行排序.

6.（2022?淮陰區校級開學）在一次射擊訓練中，甲、乙兩人各射擊10次，兩人10次射擊

成績的平均數均是9.1環，方差分別是S邛2=ι.2,S乙2=ι.6,則關于甲、乙兩人在這

次射擊訓練中成績穩定的甲.（填“甲或乙”）

【分析】根據方差的意義解答即可.

【解答】解：入單2=1.2,S乙2=ι.6,

22

ΛSI∣I<SZ,.

則甲、乙兩人在這次射擊訓練中成績穩定的是甲.

故答案為：甲.

【點評】本題考查了方差的意義，方差越小，越穩定.

7.（2016春?江陰市期中）有一組數據如下：1,3,a,5,7,它們的平均數是4,則這組數

據的方差是4.

【分析】先由平均數的公式計算出。的值，再根據方差的公式計算即可.

【解答】解：；數據1,3,a,5,7的平均數是4,

Λα=4×5-1-3-5-7=4,

.?.這組數據的方差是SI=(1-4)2+(3-4)2+(4-4)2+(5-4)2+(7-4)2]=4.

故答案為4.

【點評】本題考查方差的定義與意義：一般地設"個數據，Xi,%2,…我的平均數為a

貝IJ方差S2=?[(Λ∣-X)2+(X2-X)2+???+(xn-x)2],它反映了一組數據的波動大小，

方差越大，波動性越大，反之也成立.

8.(2022?揚州)某射擊運動隊進行了五次射擊測試，甲、乙兩名選手的測試成績如圖所示，

甲、乙兩選手成績的方差分別記為S甲2、S乙2,則s申2>s乙2.(填”或

【分析】直接根據圖表數據的波動大小進行判斷即可.

【解答】解：圖表數據可知，

甲數據偏離平均數數據較大，乙數據偏離平均數數據較小，

即甲的波動性較大，即方差大，

故答案為：>.

【點評】本題考查方差的意義.方差是用來衡量一組數據波動大小的量，方差越大，表

明這組數據偏離平均數越大，即波動越大，數據越不穩定；反之，方差越小，表明這組

數據分布比較集中，各數據偏離平均數越小，即波動越小，數據越穩定.

三.解答題(共4小題)

9.(2022秋?海陵區校級期中)甲、乙兩名隊員參加射擊訓練，每人射擊10次，成績分別

如下:

甲隊員射擊WE東成績乙隊員射擊MR東成績

平均成績/環中位數/環眾數/環方差

甲a771.2

乙7b8c

(1)a=7,b=7.5,C=4.2.

(1)填空：(填“甲"或"乙”).

從中位數的角度來比較，成績較好的是乙；從眾數的角度來比較，成績較好的是

乙；成績相對較穩定的是甲.

(3)從甲、乙兩名隊員中選一名隊員參加比賽，選誰更合適，為什么？

【分析】(1)根據平均數、中位數、方差的定義分別計算即可解決問題；

(2)由表中數據可知，甲，乙平均成績相等，根據中位數即可解答；甲，乙平均成績相

等，根據眾數即可解答；根據方差的意義即可解答；

(3)根據表格中的數據可以得到應選派哪一名隊員參賽，注意本題答案不唯一，只要合

理即可.

【解答】解：(1)α=j?x(5+2×6+4×7+2X8+9)=7,

?=∣×(7+8)=7.5,

c=!?x[(3-7)2+(4-7)2+(6-7)2+2×(7-7)2+3×(8-7)2+(9-7)2+(10

-7)2]=4.2,

故答案為：7,7.5,4.2；

(2)由表中數據可知，甲，乙平均成績相等，乙的中位數，眾數均大于甲，說明乙的成

績好于甲，乙的方差大于甲.

從平均數和中位數的角度來比較，成績較好的是乙；從平均數和眾數的角度來比較，成

績較好的是乙；成績相對較穩定的是甲.

故答案為：乙，乙，甲；

（3）選乙，理由：甲、乙兩名隊員平均成績一樣，但乙的中位數比甲高，眾數比甲高，

說明乙的高分比甲多，所以選乙更合適.（答案不唯一）.

【點評】本題考查了條形統計圖、折線統計圖、平均數、中位數、眾數、方差等知識，

解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型.

10.（2022?海門市二模）峰峰老師為了解所教I班、2班同學們（各有40名學生）的經典

文化知識掌握情況，從兩個班級中各隨機抽取10名學生進行了檢測，成績（百分制）如

下：

1班：79,85,73,80,75,59,87,70,75,97.

2班：92,45,80,82,72,81,94,83,70,81.

峰峰老師的簡要分析：

平均分眾數中位數方差

1班787577964

2班7881811704

請你解決以下問題：

（1）若對這兩個班級的所有學生都進行檢測，估計這兩個班級內成績為優秀（不少于80

分）的學生一共有多少人？

（2）比較這兩個班級的經典文化知識掌握情況，哪個班級更好些？并說明理由（至少從

兩個不同的角度比較）.

【分析】（1）用樣本估計總體即可；

（2）結合表格中的平均數、眾數、中位數以及方差等數據解答即可.

3+1+5+2

【解答】解：（1）———×100%X（40+40）=44（A）,

答：估計這兩個班級內成績為優秀（不少于80分）的學生一共有44人；

（2）從平均數看，均為78,說明兩個班的學生對經典文化知識掌握的總體水平相當；

從眾數，中位數看，均是2班略高于1班，說明2班掌握的總體水平略優于1班：

從方差看，1班的方程比2班小，1班數據離散程度相對小一些，說明1班所有同學經典

文化知識掌握的水平相對均衡；

從方差看，1班比2班好.

綜上所述，2班同學對經典文化知識掌握情況更好一些.

【點評】本題考查了中位數、眾數和方差的意義以及用總體估計樣本，中位數是將一組

數據從小到大（或從大到小）重新排列后，最中間的那個數（最中間兩個數的平均數）；

眾數是一組數據中出現次數最多的數據；方差是用來衡量?組數據波動大小的量.

11.（2022?南通一模）某校組織學生參加“防疫衛生知識競賽”，為了解競賽情況，從兩個

年級各抽取10名學生的成績（滿分為100分）.

收集數據：

七年級：90,95,95,80,85,90,80,90,85,100；

八年級：85,85,95,80,95,90,90,90,100,90.

分析數據：

平均數中位數眾數方差

七年級89m9039

八年級n90Pq

根據以上信息回答下列問題:

(1)ιn=90,n=90,P=90；

(2)從方差的角度看，八年級的成績更穩定(填“七年級”或“八年級”)；

(3)通過數據分析，你認為哪個年級的成績比較好？說明理由；

【分析】(1)根據中位數、平均數、方差、眾數的意義和建設方法進行即可；

(2)根據平均數和方差進行比較即可：

(3)根據平均數和方差的大小進行比較即可.

【解答】解：(1)七年級M)名學生成績從小到大排列，處在中間位置的兩個數都是90,

因此七年級學生成績的中位數為90,即,〃=90；

80+85×2+90×4+95×2+100

八年級學生成績的平均數為=90,即?=90；

10

八年級學生成績出現次數最多的是90,共出現4次，因此眾數是90,即P=90;

故答案為：90,90,90；

(2)八年級學生成績較好，理由是：

七年級學生成績的方差q=y?[(80-90)2+(85-90)2×2+(9