2022-2023學年黑龍江省哈爾濱市東官中學高二數學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.將一枚質地均勻的硬幣拋擲三次，設X為正面向上的次數，則等于（

）A．

B．0.25

C．0.75

D．0.5參考答案：C略2.下列給出的賦值語句中正確的是（

）A．3=A

B．

M=-M

C．

B=A=2

D．

參考答案：B3.關于x的方程，其解得個數不可能是

A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：A4.設x，y滿足約束條件則z＝x＋2y的最大值為()A．8

B．7

C．2

D．1參考答案：B5.已知，若，則()A.x＝6，y＝15 B.x＝3，y＝C.x＝3，y＝15

D.x＝6，y＝參考答案：D6.已知集合，,則=(

)A.

B.

C.

D.參考答案：B7.某船開始看見燈塔在南偏東30方向，后來船沿南偏東60的方向航行45km后，看見燈塔在正西方向，則這時船與燈塔的距離是(

)

A．15km

B．30km

C．15km

D．15

km參考答案：C略8.已知為三條不同的直線，且平面，平面，．(1)若與是異面直線，則至少與、中的一條相交；(2)若不垂直于，則與一定不垂直；(3)若∥，則必有∥；(4)若，，則必有．其中正確的命題的個數是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C9.在等差數列中，，則此數列的前13項之和等于(

)A．13 B．26 C．52 D．156參考答案：B10.直線y＝kx－k＋1與橢圓的位置關系為(

)A．相交

B．相切

C．相離

D．不確定參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知點A(4,4)，若拋物線y2＝2px的焦點與橢圓＝1的右焦點重合，該拋物線上有一點M，它在y軸上的射影為N，則|MA|＋|MN|的最小值為___________。參考答案：412.已知某幾何體的三視圖如右圖所示,其中俯視圖是邊長為2的正三角形,側視圖是直角三角形,則此幾何體的體積為

。參考答案：13.已知兩圓x2+y2=10和（x﹣1）2+（y﹣3）2=10相交于A，B兩點，則直線AB的方程是．參考答案：x+3y﹣5=0

【考點】相交弦所在直線的方程．【分析】把兩個圓的方程相減，即可求得公共弦所在的直線方程．【解答】解：把兩圓x2+y2=10和（x﹣1）2+（y﹣3）2=10的方程相減可得x+3y﹣5=0，此直線的方程既能滿足第一個圓的方程、又能滿足第二個圓的方程，故必是兩個圓的公共弦所在的直線方程，故答案為：x+3y﹣5=0．14.已知圓M:(x+)2+y2=36，定點N:(，0)，點P為圓M上的動點，點G在MP上，點Q在NP上，且滿足，=0，則點G分軌跡方程為__________．參考答案：解：由為中點可得，，則，而點坐標為，則，則，且，，則軌跡方程為．15.已知M（﹣5，0），N（5，0）是平面上的兩點，若曲線C上至少存在一點P，使|PM|=|PN|+6，則稱曲線C為“黃金曲線”．下列五條曲線：①﹣=1；

②y2=4x；

③﹣=1；④+=1；

⑤x2+y2﹣x﹣3=0其中為“黃金曲線”的是．（寫出所有“黃金曲線”的序號）參考答案：②⑤【考點】曲線與方程．【專題】綜合題；轉化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】根據雙曲線的定義，可得點P的軌跡是以M、N為焦點，2a=6的雙曲線，由此算出所求雙曲線的方程．再分別將雙曲線與五條曲線聯立，通過解方程判斷是否有交點，由此可得答案．【解答】解：∵點M（﹣5，0），N（5，0），點P使|PM|﹣|PN|=6，∴點P的軌跡是以M、N為焦點，2a=6的雙曲線，可得b2=c2﹣a2=52﹣32=16，則雙曲線的方程為=1（x＞0），對于①，兩方程聯立，無解．則①錯；對于②，聯立y2=4x和=1（x＞0），解得x=成立，則②成立；對于③，聯立﹣=1和=1（x＞0），無解，則③錯；對于④，聯立+=1和=1（x＞0），無解，則④錯；對于⑤，聯立x2+y2﹣x﹣3=0和=1（x＞0），化簡得25x2﹣9x﹣171=0，由韋達定理可得兩根之積小于0，必有一個正根，則⑤成立．∴為“黃金曲線”的是②⑤．故答案為：②⑤．【點評】本題考查雙曲線的定義和方程，考查聯立曲線方程求交點，考查運算能力，屬于中檔題．16.“直線和直線平行”的充要條件是“

▲

”.參考答案：17.設有長為a，寬為b的矩形，其底邊在半徑為R的半圓的直徑所在的直線上，另兩個頂點正好在半圓的圓周上，則此矩形的周長最大時，=參考答案：4三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，P—ABCD是正四棱錐，是正方體，其中

（1）求證：；

（2）求平面PAD與平面所成的銳二面角的余弦值；

（3）求到平面PAD的距離

參考答案：解：以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系（1）證明

設E是BD的中點，P—ABCD是正四棱錐，∴

又，∴

∴∴∴

，

即。（2）解

設平面PAD的法向量是，

∴

取得，又平面的法向量是∴

，∴。

19.已知函數．（1）求函數的圖象在x=e處的切線方程；（2）求函數的最小值.參考答案：（1）；（2）.【分析】(1)由導數的幾何意義求切線方程.(2)利用導數判斷函數的單調性，進而得到最小值.【詳解】（1），所以函數的圖象在處的切線斜率.又，切點坐標為，所以函數的圖象在處的切線方程為，即.（2）函數的定義域為，令，得.當時，，上單調遞減；當時，，在上單調遞增.所以函數的最小值為.【點睛】本題考查利用導數求切線方程，利用導數求最值.函數的圖象在處的切線方程為.求連續可導函數的最值時，先求導數，解方程，再討論函數的單調性得出最值.20.在直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為，以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，圓C的極坐標方程為．（1）寫出直線l的普通方程及圓C的直角坐標方程；（2）點P是直線l上的，求點P的坐標，使P到圓心C的距離最小．參考答案：【考點】參數方程化成普通方程；簡單曲線的極坐標方程．【分析】（1）由已知得t=x﹣3，從而y=，由此能求出直線l的普通方程；由，得，由此能求出圓C的直角坐標方程．（2）圓C圓心坐標C（0，），設P（3+t，），由此利用兩點間距離公式能求出點P的坐標，使P到圓心C的距離最小．【解答】解：（1）∵在直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為，∴t=x﹣3，∴y=，整理得直線l的普通方程為=0，∵，∴，∴，∴圓C的直角坐標方程為：．（2）圓C：的圓心坐標C（0，）．∵點P在直線l：=0上，設P（3+t，），則|PC|==，∴t=0時，|PC|最小，此時P（3，0）．21.（本小題滿分12分）如圖所示，校園內計劃修建一個矩形花壇并在花壇內裝置兩個相同的噴水器．已知噴水器的噴水區域是半徑為5m的圓．問如何設計花壇的尺寸和兩個噴水器的位置，才能使花壇的面積最大且能全部噴到水？參考答案：設花壇的長、寬分別為xm，ym，根據要求，矩形花壇應在噴水區域內，頂點應恰好位于噴水區域的邊界．依題意得：，（）----4分問題轉化為在，的條件下，求的最大值．法一：，-----------8分由和及得：

---------------12分法二：∵，，=∴當，即，由可解得：．答：花壇的長為，寬為，兩噴水器位于矩形分成的兩個正方形的中心，則符合要求．22.已知圓C：（x﹣a）2+（y﹣2）2=4（a＞0）及直線l：x﹣y+3=0．當直線l被圓C截得的弦長為時，求（Ⅰ）a的值；（Ⅱ）求過點（3，5）并與圓C相切的切線方程．參考答案：解：（Ⅰ）依題意可得圓心C（a，2），半徑r=2，則圓心到直線l：x﹣y+3=0的距離，由勾股定理可知，代入化簡得|a+1|=2，解得a=1或a=﹣3，又a＞0，所以a=1；（Ⅱ）由（1）知圓C