專題23幾何壓軸題1．（2023·江蘇無錫·中考真題）如圖，四邊形是邊長為的菱形，，點為的中點，為線段上的動點，現將四邊形沿翻折得到四邊形．

(1)當時，求四邊形的面積；(2)當點在線段上移動時，設，四邊形的面積為，求關于的函數表達式．2．（2023·江蘇徐州·中考真題）【閱讀理解】如圖1，在矩形中，若，由勾股定理，得，同理，故．【探究發現】如圖2，四邊形為平行四邊形，若，則上述結論是否依然成立？請加以判斷，并說明理由．【拓展提升】如圖3，已知為的一條中線，．求證：．【嘗試應用】如圖4，在矩形中，若，點P在邊上，則的最小值為_______．

3．（2023·江蘇·中考真題）如圖1，小麗借助幾何軟件進行數學探究：第一步，畫出矩形和矩形，點、在邊上（），且點、、、在直線的同側；第二步，設置，矩形能在邊上左右滑動；第三步，畫出邊的中點，射線與射線相交于點（點、不重合），射線與射線相交于點（點、不重合），觀測、的長度．(1)如圖，小麗取，滑動矩形，當點、重合時，______；(2)小麗滑動矩形，使得恰為邊的中點．她發現對于任意的總成立．請說明理由；(3)經過數次操作，小麗猜想，設定、的某種數量關系后，滑動矩形，總成立．小麗的猜想是否正確？請說明理由．

4．（2023·江蘇南通·中考真題）正方形中，點在邊，上運動（不與正方形頂點重合）．作射線，將射線繞點逆時針旋轉45°，交射線于點．

(1)如圖，點在邊上，，則圖中與線段相等的線段是___________；(2)過點作，垂足為，連接，求的度數；(3)在（2）的條件下，當點在邊延長線上且時，求的值．

5．（2023·江蘇·中考真題）綜合與實踐定義：將寬與長的比值為（為正整數）的矩形稱為階奇妙矩形．（1）概念理解：當時，這個矩形為1階奇妙矩形，如圖（1），這就是我們學習過的黃金矩形，它的寬（）與長的比值是_________．（2）操作驗證：用正方形紙片進行如下操作（如圖（2））：第一步：對折正方形紙片，展開，折痕為，連接；第二步：折疊紙片使落在上，點的對應點為點，展開，折痕為；第三步：過點折疊紙片，使得點分別落在邊上，展開，折痕為．試說明：矩形是1階奇妙矩形．

（3）方法遷移：用正方形紙片折疊出一個2階奇妙矩形．要求：在圖（3）中畫出折疊示意圖并作簡要標注．（4）探究發現：小明操作發現任一個階奇妙矩形都可以通過折紙得到．他還發現：如圖（4），點為正方形邊上（不與端點重合）任意一點，連接，繼續（2）中操作的第二步、第三步，四邊形的周長與矩形的周長比值總是定值．請寫出這個定值，并說明理由．

6．（2023·江蘇鹽城·中考真題）綜合與實踐【問題情境】如圖1，小華將矩形紙片先沿對角線折疊，展開后再折疊，使點落在對角線上，點的對應點記為，折痕與邊，分別交于點，.【活動猜想】（1）如圖2，當點與點重合時，四邊形是哪種特殊的四邊形？答：_________.【問題解決】（2）如圖3，當，，時，求證：點，，在同一條直線上.【深入探究】（3）如圖4，當與滿足什么關系時，始終有與對角線平行？請說明理由.（4）在（3）的情形下，設與，分別交于點，，試探究三條線段，，之間滿足的等量關系，并說明理由.

7．（2023·江蘇揚州·中考真題）【問題情境】在綜合實踐活動課上，李老師讓同桌兩位同學用相同的兩塊含的三角板開展數學探究活動，兩塊三角板分別記作和，設．【操作探究】如圖1，先將和的邊、重合，再將繞著點A按順時針方向旋轉，旋轉角為，旋轉過程中保持不動，連接．(1)當時，________；當時，________；(2)當時，畫出圖形，并求兩塊三角板重疊部分圖形的面積；(3)如圖2，取的中點F，將繞著點A旋轉一周，點F的運動路徑長為________．

8．（2023·江蘇鎮江·中考真題）【發現】如圖1，有一張三角形紙片，小宏做如下操作：（1）取，的中點D，E，在邊上作；（2）連接，分別過點D，N作，，垂足為G，H；（3）將四邊形剪下，繞點D旋轉至四邊形的位置，將四邊形剪下，繞點E旋轉至四邊形的位置；（4）延長，交于點F．小宏發現并證明了以下幾個結論是正確的：①點Q，A，T在一條直線上；②四邊形是矩形；③；④四邊形與的面積相等．【任務1】請你對結論①進行證明．【任務2】如圖2，在四邊形中，，P，Q分別是，的中點，連接．求證：．【任務3】如圖3，有一張四邊形紙，，，，，，小麗分別取，的中點P，Q，在邊上作，連接，她仿照小宏的操作，將四邊形分割、拼成了矩形．若她拼成的矩形恰好是正方形，求的長．

9．（2023·江蘇泰州·中考真題）已知：A、B為圓上兩定點，點C在該圓上，為所對的圓周角．知識回顧(1)如圖①，中，B、C位于直線異側，．①求的度數；②若的半徑為5，，求的長；逆向思考(2)如圖②，P為圓內一點，且，，．求證：P為該圓的圓心；拓展應用(3)如圖③，在（2）的條件下，若，點C在位于直線上方部分的圓弧上運動．點D在上，滿足的所有點D中，必有一個點的位置始終不變．請證明．

10．（2023·江蘇宿遷·中考真題）【問題背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如圖，即）．小軍測量某建筑物高度的方法如下：在地面點E處平放一面鏡子，經調整自己位置后，在點D處恰好通過鏡子看到建筑物AB的頂端A．經測得，小軍的眼睛離地面的距離，，，求建筑物AB的高度．【活動探究】觀察小軍的操作后，小明提出了一個測量廣告牌高度的做法（如圖）：他讓小軍站在點D處不動，將鏡子移動至處，小軍恰好通過鏡子看到廣告牌頂端G，測出；再將鏡子移動至處，恰好通過鏡子看到廣告牌的底端A，測出．經測得，小軍的眼睛離地面距離，，求這個廣告牌AG的高度．【應用拓展】小軍和小明討論后，發現用此方法也可測量出斜坡上信號塔AB的高度．他們給出了如下測量步驟（如圖）：①讓小軍站在斜坡的底端D處不動（小軍眼睛離地面距離），小明通過移動鏡子（鏡子平放在坡面上）位置至E處，讓小軍恰好能看到塔頂B；②測出；③測出坡長；④測出坡比為（即）．通過他們給出的方案，請你算出信號塔AB的高度（結果保留整數）．

11．（2022·江蘇南京·中考真題）如圖，在矩形中，，，是上一點，，是上的動點，連接，是上一點，且（為常數，），分別過點、作、的垂線相交于點，設的長為，的長為．(1)若，，則的值為________；(2)求與之間的函數表達式；(3)在點從點到點的整個運動過程中，若線段上存在點，則的值應滿足什么條件？直接寫出的取值范圍．

12．（2022·江蘇南京·中考真題）在平面內，先將一個多邊形以自身的一個頂點為位似中心放大或縮小，再將所得多邊形沿過該點的直線翻折，我們稱這種變換為自位似軸對稱變換，變換前后的圖形成自位似軸對稱．例如：如圖①，先將以點為位似中心縮小，得到，再將沿過點的直線翻折，得到，則與成自位似軸對稱．(1)如圖②，在中，，，，垂足為，下列3對三角形：①與；②與；③與．其中成自位似軸對稱的是________（填寫所有符合條件的序號）；(2)如圖③，已知經過自位似軸對稱變換得到，是上一點，用直尺和圓規作點，使與是該變換前后的對應點（保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明）；(3)如圖④，在中，是的中點，是內一點，，，連接，求證：．

13．（2022·江蘇無錫·中考真題）如圖，已知四邊形ABCD為矩形，，點E在BC上，，將△ABC沿AC翻折到△AFC，連接EF．(1)求EF的長；(2)求sin∠CEF的值．14．（2022·江蘇徐州·中考真題）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，點P在邊AB上，D、E分別為BC、PC的中點，連接DE．過點E作BC的垂線，與BC、AC分別交于F、G兩點．連接DG，交PC于點H．(1)∠EDC的度數為；(2)連接PG，求△APG的面積的最大值；(3)PE與DG存在怎樣的位置關系與數量關系？請說明理由；(4)求的最大值．

15．（2022·江蘇常州·中考真題）（現有若干張相同的半圓形紙片，點是圓心，直徑的長是，是半圓弧上的一點（點與點、不重合），連接、．(1)沿、剪下，則是______三角形（填“銳角”、“直角”或“鈍角”）；(2)分別取半圓弧上的點、和直徑上的點、．已知剪下的由這四個點順次連接構成的四邊形是一個邊長為的菱形．請用直尺和圓規在圖中作出一個符合條件的菱形（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；(3)經過數次探索，小明猜想，對于半圓弧上的任意一點，一定存在線段上的點、線段上的點和直徑上的點、，使得由這四個點順次連接構成的四邊形是一個邊長為的菱形．小明的猜想是否正確？請說明理由．

16．（2022·江蘇蘇州·中考真題）（1）如圖1，在△ABC中，，CD平分，交AB于點D，//，交BC于點E．①若，，求BC的長；②試探究是否為定值．如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．（2）如圖2，和是△ABC的2個外角，，CD平分，交AB的延長線于點D，//，交CB的延長線于點E．記△ACD的面積為，△CDE的面積為，△BDE的面積為．若，求的值．

17．（2022·江蘇南通·中考真題）如圖，矩形中，，點E在折線上運動，將繞點A順時針旋轉得到，旋轉角等于，連接．(1)當點E在上時，作，垂足為M，求證；(2)當時，求的長；(3)連接，點E從點B運動到點D的過程中，試探究的最小值．

18．（2022·江蘇連云港·中考真題）【問題情境】在一次數學興趣小組活動中，小昕同學將一大一小兩個三角板按照如圖1所示的方式擺放．其中，，．【問題探究】小昕同學將三角板繞點B按順時針方向旋轉．(1)如圖2，當點落在邊上時，延長交于點，求的長．(2)若點、、在同一條直線上，求點到直線的距離．(3)連接，取的中點，三角板由初始位置（圖1），旋轉到點、、首次在同一條直線上（如圖3），求點所經過的路徑長．(4)如圖4，為的中點，則在旋轉過程中，點到直線的距離的最大值是_____．19．（2022·江蘇淮安·中考真題）在數學興趣小組活動中，同學們對菱形的折疊問題進行了探究．如圖（1），在菱形中，為銳角，為中點，連接，將菱形沿折疊，得到四邊形，點的對應點為點，點的對應點為點．(1)【觀察發現】與的位置關系是______；(2)【思考表達】連接，判斷與是否相等，并說明理由；(3)如圖（2），延長交于點，連接，請探究的度數，并說明理由；(4)【綜合運用】如圖（3），當時，連接，延長交于點，連接，請寫出、、之間的數量關系，并說明理由．20．（2022·江蘇鹽城·中考真題）【經典回顧】梅文鼎是我國清初著名的數學家，他在《勾股舉隅》中給出多種證明勾股定理的方法圖1是其中一種方法的示意圖及部分輔助線．在中，，四邊形、和分別是以的三邊為一邊的正方形．延長和，交于點，連接并延長交于點，交于點，延長交于點．(1)證明：；(2)證明：正方形的面積等于四邊形的面積；(3)請利用（2）中的結論證明勾股定理．(4)【遷移拓展】如圖2，四邊形和分別是以的兩邊為一邊的平行四邊形，探索在下方是否存在平行四邊形，使得該平行四邊形的面積等于平行四邊形、的面積之和．若存在，作出滿足條件的平行四邊形（保留適當的作圖痕跡）；若不存在，請說明理由．

21．（2022·江蘇揚州·中考真題）如圖1，在中，，點在邊上由點向點運動（不與點重合），過點作，交射線于點．(1)分別探索以下兩種特殊情形時線段與的數量關系，并說明理由；①點在線段的延長線上且；②點在線段上且．(2)若．①當時，求的長；②直接寫出運動過程中線段長度的最小值．

22．（2022·江蘇鎮江·中考真題）操作探究題(1)已知是半圓的直徑，（是正整數，且不是3的倍數）是半圓的一個圓心角．操作：如圖1，分別將半圓的圓心角（取1、4、5、10）所對的弧三等分（要求：僅用圓規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；交流：當時，可以僅用圓規將半圓的圓心角所對的弧三等分嗎？探究：你認為當滿足什么條件時，就可以僅用圓規將半圓的圓心角所對的弧三等分？說說你的理由．(2)如圖2，的圓周角．為了將這個圓的圓周14等分，請作出它的一條14等分弧（要求：僅用圓規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）．23．（2022·江蘇泰州·中考真題）已知：△ABC中，D為BC邊上的一點.(1)如圖①，過點D作DE∥AB交AC邊于點E，若AB=5，BD=9，DC=6，求DE的長；(2)在圖②，用無刻度的直尺和圓規在AC邊上作點F，使∠DFA=∠A；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）(3)如圖③，點F在AC邊上，連接BF、DF，若∠DFA=∠A，△FBC的面積等于，以FD為半徑作⊙F，試判斷直線BC與⊙F的位置關系，并說明理由.

24．（2022·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在網格中，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點，點、、、、均為格點．【操作探究】在數學活動課上，佳佳同學在如圖①的網格中，用無刻度的直尺畫了兩條互相垂直的線段、，相交于點并給出部分說理過程，請你補充完整：解：在網格中取格點，構建兩個直角三角形，分別是△ABC和△CDE．在Rt△ABC中，在Rt△CDE中，，所以．所以∠=∠．因為∠∠=∠=90°，所以∠+∠=90°，所以∠=90°，即⊥．(1)【拓展應用】如圖②是以格點為圓心，為直徑的圓，請你只用無刻度的直尺，在上找出一點P，使=，寫出作法，并給出證明：(2)【拓展應用】如圖③是以格點為圓心的圓，請你只用無刻度的直尺，在弦上找出一點P．使=·，寫出作法，不用證明．

25．（2021·江蘇南京·中考真題）在幾何體表面上，螞蟻怎樣爬行路徑最短？（1）如圖①，圓錐的母線長為，B為母線的中點，點A在底面圓周上，的長為．在圖②所示的圓錐的側面展開圖中畫出螞蟻從點A爬行到點B的最短路徑，并標出它的長（結果保留根號）．（2）圖③中的幾何體由底面半徑相同的圓錐和圓柱組成．O是圓錐的頂點，點A在圓柱的底面圓周上．設圓錐的母線長為l，圓柱的高為h．①螞蟻從點A爬行到點O的最短路徑的長為________（用含l，h的代數式表示）．②設的長為a，點B在母線上，．圓柱的側面展開圖如圖④所示，在圖中畫出螞蟻從點A爬行到點B的最短路徑的示意圖，并寫出求最短路徑的長的思路．

26．（2021·江蘇無錫·中考真題）已知四邊形是邊長為1的正方形，點E是射線上的動點，以為直角邊在直線的上方作等腰直角三角形，，設．（1）如圖1，若點E在線段上運動，交于點P，交于點Q，連結，①當時，求線段的長；②在中，設邊上的高為h，請用含m的代數式表示h，并求h的最大值；（2）設過的中點且垂直于的直線被等腰直角三角形截得的線段長為y，請直接寫出y與m的關系式．

27．（2021·江蘇徐州·中考真題）如圖1，正方形的邊長為4，點在邊上（不與重合），連接．將線段繞點順時針旋轉90°得到，將線段繞點逆時針旋轉90°得到．連接．（1）求證：①的面積；②；（2）如圖2，的延長線交于點，取的中點，連接，求的取值范圍．28．（2021·江蘇徐州·中考真題）如圖，斜坡的坡角，計劃在該坡面上安裝兩排平行的光伏板．前排光伏板的一端位于點，過其另一端安裝支架，所在的直線垂直于水平線，垂足為點為與的交點．已知，前排光伏板的坡角．（1）求的長（結果取整數）；（2）冬至日正午，經過點的太陽光線與所成的角．后排光伏板的前端在上．此時，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影響，則的最小值為多少（結果取整數）？參考數據：三角函數銳角13°28°32°0.220.470.530.970.880.850.230.530.62

29．（2021·江蘇蘇州·中考真題）如圖，在矩形中，線段、分別平行于、，它們相交于點，點、分別在線段、上，，，連接、，與交于點．已知．設，．（1）四邊形的面積______四邊形的面積（填“”、“”或“”）；（2）求證：；（3）設四邊形的面積為，四邊形的面積為，求的值．30．（2021·江蘇南通·中考真題）如圖，正方形中，點E在邊上（不與端點A，D重合），點A關于直線的對稱點為點F，連接，設．（1）求的大小（用含的式子表示）；（2）過點C作，垂足為G，連接．判斷與的位置關系，并說明理由；（3）將繞點B順時針旋轉得到，點E的對應點為點H，連接，．當為等腰三角形時，求的值．

31．（2021·江蘇連云港·中考真題）在數學興趣小組活動中，小亮進行數學探究活動．（1）是邊長為3的等邊三角形，E是邊上的一點，且，小亮以為邊作等邊三角形，如圖1，求的長；（2）是邊長為3的等邊三角形，E是邊上的一個動點，小亮以為邊作等邊三角形，如圖2，在點E從點C到點A的運動過程中，求點F所經過的路徑長；（3）是邊長為3的等邊三角形，M是高上的一個動點，小亮以為邊作等邊三角形，如圖3，在點M從點C到點D的運動過程中，求點N所經過的路徑長；（4）正方形的邊長為3，E是邊上的一個動點，在點E從點C到點B的運動過程中，小亮以B為頂點作正方形，其中點F、G都在直線上，如圖4，當點E到達點B時，點F、G、H與點B重合．則點H所經過的路徑長為______，點G所經過的路徑長為______．

32．（2021·江蘇淮安·中考真題）【知識再現】學完《全等三角形》一章后，我們知道“斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等（簡稱HL定理）”是判定直角三角形全等的特有方法．【簡單應用】如圖（1），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D、E分別在邊AC、AB上．若CE＝BD，則線段AE和線段AD的數量關系是．【拓展延伸】在△ABC中，∠BAC＝（90°＜＜180°），AB＝AC＝m，點D在邊AC上．（1）若點E在邊AB上，且CE＝BD，如圖（2）所示，則線段AE與線段AD相等嗎？如果相等，請給出證明；如果不相等，請說明理由．（2）若點E在BA的延長線上，且CE＝BD．試探究線段AE與線段AD的數量關系（用含有a、m的式子表示），并說明理由．33．（2021·江蘇揚州·中考真題）在一次數學探究活動中，李老師設計了一份活動單：已知線段，使用作圖工具作，嘗試操作后思考：（1）這樣的點A唯一嗎？（2）點A的位置有什么特征？你有什么感悟？“追夢”學習小組通過操作、觀察、討論后匯報：點A的位置不唯一，它在以為弦的圓弧上（點B、C除外），……．小華同學畫出了符合要求的一條圓弧（如圖1）．（1）小華同學提出了下列問題，請你幫助解決．①該弧所在圓的半徑長為___________；②面積的最大值為_________；（2）經過比對發現，小明同學所畫的角的頂點不在小華所畫的圓弧上，而在如圖1所示的弓形內部，我們記為，請你利用圖1證明；（3）請你運用所學知識，結合以上活動經驗，解決問題：如圖2，已知矩形的邊長，，點P在直線的左側，且．①線段長的最小值為_______；②若，則線段長為________．

34．（2021·江蘇鎮江·中考真題）如圖1，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝90°，AB，FE，DC為鉛直方向的邊，AF，ED，BC為水平方向的邊，點E在AB，CD之間，且在AF，BC之間，我們稱這樣的圖形為“L圖形”，記作“L圖形ABC﹣DEF”．若直線將L圖形分成面積相等的兩個圖形，則稱這樣的直線為該L圖形的面積平分線．【活動】小華同學給出了圖1的面積平分線的一個作圖方案：如圖2，將這個L圖形分成矩形AGEF、矩形GBCD，這兩個矩形的對稱中心O1，O2所在直線是該L圖形的面積平分線．請用無刻度的直尺在圖1中作出其他的面積平分線．（作出一種即可，不寫作法，保留作圖痕跡）【思考】如圖3，直線O1O2是小華作的面積平分線，它與邊BC，AF分別交于點M，N，過MN的中點O的直線分別交邊BC，AF于點P，Q，直線PQ（填“是”或“不是”）L圖形ABCDEF的面積平分線．【應用】在L圖形ABCDEF形中，已知AB＝4，BC＝6．（1）如圖4，CD＝AF＝1．①該L圖形的面積平分線與兩條水平的邊分別相交于點P，Q，求PQ長的最大值；②該L圖形的面積平分線與邊AB，CD分別相交于點G，H，當GH的長取最小值時，BG的長為．（2）設＝t（t＞0），在所有的與鉛直方向的兩條邊相交的面積平分線中，如果只有與邊AB，CD相交的面積平分線，直接寫出t的取值范圍．

35．（2021·江蘇泰州·中考真題）如圖，在⊙O中，AB為直徑，P為AB上一點，PA＝1，PB＝m（m為常數，且m＞0）．過點P的弦CD⊥AB，Q為上一動點（與點B不重合），AH⊥QD，垂足為H．連接AD、BQ．（1）若m＝3．①求證：∠OAD＝60°；②求的值；（2）用含m的代數式表示，請直接寫出結果；（3）存在一個大小確定的⊙O，對于點Q的任意位置，都有BQ2﹣2DH2+PB2的值是一個定值，求此時∠Q的度數．

36．（2021·江蘇宿遷·中考真題）已知正方形ABCD與正方形AEFG，正方形AEFG繞點A旋轉一周．(1)如圖①，連接BG、CF，求的值；(2)當正方形AEFG旋轉至圖②位置時，連接CF、BE，分別取CF、BE的中點M、N，連接MN、試探究：MN與BE的關系，并說明理由；(3)連接BE、BF，分別取BE、BF的中點N、Q，連接QN，AE=6，請直接寫出線段QN掃過的面積．

專題23幾何壓軸題1．（2023·江蘇無錫·中考真題）如圖，四邊形是邊長為的菱形，，點為的中點，為線段上的動點，現將四邊形沿翻折得到四邊形．(1)當時，求四邊形的面積；(2)當點在線段上移動時，設，四邊形的面積為，求關于的函數表達式．【答案】(1)(2)【分析】（1）連接、，根據菱形的性質以及已知條件可得為等邊三角形，根據，可得為等腰直角三角形，則，，根據翻折的性質，可得，，則，；同理，，；進而根據，即可求解；（2）等積法求得，則，根據三角形的面積公式可得，證明，根據相似三角形的性質，得出，根據即可求解．【詳解】（1）如圖，連接、，四邊形為菱形，，，為等邊三角形．為中點，，，，．，為等腰直角三角形，，，翻折，，，，；.同理，，，∴；（2）如圖，連接、，延長交于點．，，，．∵，，．，則，，，．∵，．2．（2023·江蘇徐州·中考真題）【閱讀理解】如圖1，在矩形中，若，由勾股定理，得，同理，故．【探究發現】如圖2，四邊形為平行四邊形，若，則上述結論是否依然成立？請加以判斷，并說明理由．【拓展提升】如圖3，已知為的一條中線，．求證：．【嘗試應用】如圖4，在矩形中，若，點P在邊上，則的最小值為_______．

【答案】探究發現：結論依然成立，理由見解析；拓展提升：證明見解析；嘗試應用：【分析】探究發現：作于點E，作交的延長線于點F，則，證明，，利用勾股定理進行計算即可得到答案；拓展提升：延長到點C，使，證明四邊形是平行四邊形，由【探究發現】可知，，則，得到，即可得到結論；嘗試應用：由四邊形是矩形，，得到，，設，，由勾股定理得到，根據二次函數的性質即可得到答案．【詳解】探究發現：結論依然成立，理由如下：作于點E，作交的延長線于點F，則，

∵四邊形為平行四邊形，若，∴，∵，，∴，∴，∴，∴；拓展提升：延長到點C，使，

∵為的一條中線，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵．∴由【探究發現】可知，，∴，∴，∴；嘗試應用：∵四邊形是矩形，，∴，，設，則，∴，∵，∴拋物線開口向上，∴當時，的最小值是故答案為：3．（2023·江蘇·中考真題）如圖1，小麗借助幾何軟件進行數學探究：第一步，畫出矩形和矩形，點、在邊上（），且點、、、在直線的同側；第二步，設置，矩形能在邊上左右滑動；第三步，畫出邊的中點，射線與射線相交于點（點、不重合），射線與射線相交于點（點、不重合），觀測、的長度．(1)如圖，小麗取，滑動矩形，當點、重合時，______；(2)小麗滑動矩形，使得恰為邊的中點．她發現對于任意的總成立．請說明理由；(3)經過數次操作，小麗猜想，設定、的某種數量關系后，滑動矩形，總成立．小麗的猜想是否正確？請說明理由．【答案】(1)；(2)見解析；(3)小麗的猜想正確，理由見解析．【分析】（1）證，利用相似三角形的性質即矩形的性質即可得解；（2）證得，同理可得，由，，得，進而有，再根據矩形的性質即可得證；（3）當時，取的中點，連接、，由，恰為邊的中點，得，進而證，得，于是有，由平行線分線段成比例得，同理可證：，于是有，從而即可得解．【詳解】（1）解：∵四邊形和四邊形都是矩形，∴，，，∵，，∴，，∴是的中點，∴，∴，∵，，∴，∴即，∴，∴，故答案為：；（2）證明：如下圖，解：∵小麗滑動矩形，使得恰為邊的中點，∴，，∵四邊形和四邊形都是矩形，∴，，，∵，∴，∴，同理可得，∵，，∴，∴，∵，∴，∵，∴；（3）解：小麗的猜想正確，當時，總成立，理由如下：如下圖，取的中點，連接、，

∵四邊形和四邊形都是矩形，∴，，，∵，，∴，∵恰為邊的中點，是的中點，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，同理可證：，∵，∴，∴，∴小麗的猜想正確．4．（2023·江蘇南通·中考真題）正方形中，點在邊，上運動（不與正方形頂點重合）．作射線，將射線繞點逆時針旋轉45°，交射線于點．

(1)如圖，點在邊上，，則圖中與線段相等的線段是___________；(2)過點作，垂足為，連接，求的度數；(3)在（2）的條件下，當點在邊延長線上且時，求的值．【答案】(1)(2)的度數為或(3)【分析】（1）根據正方形的性質和已知條件得到，即可得到答案；（2）當點在邊上時，過點作，垂足為，延長交于點，證明，得到，推出為等腰直角三角形，得到答案；當點在邊上時，過點作，垂足為，延長交延長線于點，則四邊形是矩形，同理得到，得到為等腰直角三角形得到答案；（3）由平行的性質得到分線段成比例．【詳解】（1）．正方形，，，，．（2）解：①當點在邊上時（如圖），過點作，垂足為，延長交于點．，四邊形是矩形．．，，，為等腰直角三角形，．．．．，．為等腰直角三角形，．．

②當點在邊上時（如圖），過點作，垂足為，延長交延長線于點，則四邊形是矩形，同理，．．為等腰直角三角形，．．

綜上，的度數為45°或135°．（3）解：當點在邊延長線上時，點在邊上（如圖），設，則．．．，．5．（2023·江蘇·中考真題）綜合與實踐定義：將寬與長的比值為（為正整數）的矩形稱為階奇妙矩形．（1）概念理解：當時，這個矩形為1階奇妙矩形，如圖（1），這就是我們學習過的黃金矩形，它的寬（）與長的比值是_________．（2）操作驗證：用正方形紙片進行如下操作（如圖（2））：第一步：對折正方形紙片，展開，折痕為，連接；第二步：折疊紙片使落在上，點的對應點為點，展開，折痕為；第三步：過點折疊紙片，使得點分別落在邊上，展開，折痕為．試說明：矩形是1階奇妙矩形．

（3）方法遷移：用正方形紙片折疊出一個2階奇妙矩形．要求：在圖（3）中畫出折疊示意圖并作簡要標注．（4）探究發現：小明操作發現任一個階奇妙矩形都可以通過折紙得到．他還發現：如圖（4），點為正方形邊上（不與端點重合）任意一點，連接，繼續（2）中操作的第二步、第三步，四邊形的周長與矩形的周長比值總是定值．請寫出這個定值，并說明理由．【答案】（1）；（2）見解析；（3），理由見解析【分析】（1）將代入，即可求解．（2）設正方形的邊長為，根據折疊的性質，可得，設，則，在中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解；（3）仿照（2）的方法得出2階奇妙矩形．（4）根據（2）的方法，分別求得四邊形的周長與矩形的周長，即可求解．【詳解】解：（1）當時，，故答案為：．（2）如圖（2），連接，

設正方形的邊長為，根據折疊的性質，可得設，則根據折疊，可得，，在中，，∴，在中，∴解得：∴∴矩形是1階奇妙矩形．（3）用正方形紙片進行如下操作（如圖）：第一步：對折正方形紙片，展開，折痕為，再對折，折痕為，連接；第二步：折疊紙片使落在上，點的對應點為點，展開，折痕為；第三步：過點折疊紙片，使得點分別落在邊上，展開，折痕為．矩形是2階奇妙矩形，

理由如下，連接，設正方形的邊長為，根據折疊可得，則，

設，則根據折疊，可得，，在中，，∴，在中，∴解得：∴當時，∴矩形是2階奇妙矩形．（4）如圖（4），連接誒，設正方形的邊長為1，設，則，

設，則根據折疊，可得，，在中，，∴，在中，∴整理得，∴四邊形的邊長為矩形的周長為，∴四邊形的周長與矩形的周長比值總是定值6．（2023·江蘇鹽城·中考真題）綜合與實踐【問題情境】如圖1，小華將矩形紙片先沿對角線折疊，展開后再折疊，使點落在對角線上，點的對應點記為，折痕與邊，分別交于點，.【活動猜想】（1）如圖2，當點與點重合時，四邊形是哪種特殊的四邊形？答：_________.【問題解決】（2）如圖3，當，，時，求證：點，，在同一條直線上.【深入探究】（3）如圖4，當與滿足什么關系時，始終有與對角線平行？請說明理由.（4）在（3）的情形下，設與，分別交于點，，試探究三條線段，，之間滿足的等量關系，并說明理由.【答案】（1）菱形；（2）證明見解答；（3），證明見解析；（4），理由見解析【分析】（1）由折疊可得：，，再證得，可得，利用菱形的判定定理即可得出答案；（2）設與交于點，過點作于，利用勾股定理可得，再證明，可求得，進而可得，再由，可求得，，，運用勾股定理可得，運用勾股定理逆定理可得，進而可得，即可證得結論；（3）設，則，利用折疊的性質和平行線性質可得：，再運用三角形內角和定理即可求得，利用解直角三角形即可求得答案；（4）過點作于，設交于，設，，利用解直角三角形可得，，即可得出結論．【詳解】解：（1）當點與點重合時，四邊形是菱形．理由：設與交于點，如圖，由折疊得：，，，四邊形是矩形，，，，，四邊形是菱形．故答案為：菱形．（2）證明：四邊形是矩形，，，，，，，，，如圖，設與交于點，過點作于，由折疊得：，，，，，，，即，，，，，，，即，，，，，，，，，，點，，在同一條直線上．（3）當時，始終有與對角線平行．理由：如圖，設、交于點，四邊形是矩形，，，，設，則，由折疊得：，，，，，，，，，即，，，，；（4），理由如下：如圖，過點作于，設交于，由折疊得：，，，設，，由（3）得：，，，，，，四邊形是矩形，，，，，，，，，，，，，，，即．7．（2023·江蘇揚州·中考真題）【問題情境】在綜合實踐活動課上，李老師讓同桌兩位同學用相同的兩塊含的三角板開展數學探究活動，兩塊三角板分別記作和，設．【操作探究】如圖1，先將和的邊、重合，再將繞著點A按順時針方向旋轉，旋轉角為，旋轉過程中保持不動，連接．

(1)當時，________；當時，________；(2)當時，畫出圖形，并求兩塊三角板重疊部分圖形的面積；(3)如圖2，取的中點F，將繞著點A旋轉一周，點F的運動路徑長為________．【答案】(1)2；30或210(2)畫圖見解析；(3)【分析】（1）當時，與重合，證明為等邊三角形，得出；當時，根據勾股定理逆定理得出，兩種情況討論：當在下方時，當在上方時，分別畫出圖形，求出結果即可；（2）證明四邊形是正方形，得出，求出，得出，求出，根據求出兩塊三角板重疊部分圖形的面積即可；（3）根據等腰三角形的性質，得出，即，確定將繞著點A旋轉一周，點F在以為直徑的圓上運動，求出圓的周長即可．【詳解】（1）解：∵和中，∴，∴當時，與重合，如圖所示：連接，

∵，，∴為等邊三角形，∴；當時，∵，∴當時，為直角三角形，，∴，當在下方時，如圖所示：

∵，∴此時；當在上方時，如圖所示：

∵，∴此時；綜上分析可知，當時，或；故答案為：2；30或210．（2）解：當時，如圖所示：

∵，∴，∴，∵，又∵，∴四邊形是矩形，∵，∴四邊形是正方形，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即兩塊三角板重疊部分圖形的面積為．（3）解：∵，為的中點，∴，∴，∴將繞著點A旋轉一周，點F在以為直徑的圓上運動，∵∴點F運動的路徑長為．故答案為：．

8．（2023·江蘇鎮江·中考真題）【發現】如圖1，有一張三角形紙片，小宏做如下操作：

（1）取，的中點D，E，在邊上作；（2）連接，分別過點D，N作，，垂足為G，H；（3）將四邊形剪下，繞點D旋轉至四邊形的位置，將四邊形剪下，繞點E旋轉至四邊形的位置；（4）延長，交于點F．小宏發現并證明了以下幾個結論是正確的：①點Q，A，T在一條直線上；②四邊形是矩形；③；④四邊形與的面積相等．【任務1】請你對結論①進行證明．【任務2】如圖2，在四邊形中，，P，Q分別是，的中點，連接．求證：．【任務3】如圖3，有一張四邊形紙，，，，，，小麗分別取，的中點P，Q，在邊上作，連接，她仿照小宏的操作，將四邊形分割、拼成了矩形．若她拼成的矩形恰好是正方形，求的長．【答案】[任務1]見解析；[任務2]見解析；[任務3]【分析】（1）由旋轉的性質得對應角相等，即，，由三角形內角和定理得，從而得，即Q，A，T三點共線；（2）梯形中位線的證明問題常轉化為三角形的中位線問題解決，連接并延長，交的延長線于點E，證明，可得，，由三角形中位線定理得；（3）過點D作于點R，由，得，從而得，由【發現】得，則，，由【任務2】的結論得，由勾股定理得．過點Q作，垂足為H．由及得，從而得，證明，得，從而得．【詳解】[任務1]證法1：由旋轉得，，．在中，，∴，∴點Q，A，T在一條直線上．證法2：由旋轉得，，．∴，．∴點Q，A，T在一條直線上．[任務2]證明：如圖1，連接并延長，交的延長線于點E．∵，∴．∵Q是的中點，∴．在和中，∴．∴，．又∵P是的中點，∴，∴是的中位線，∴，∴．

[任務3]的方法畫出示意圖如圖2所示．

由【任務2】可得，．過點D作，垂足為R．在中，，∴．∴，∴，．在中，由勾股定理得．過點Q作，垂足為H．∵Q是的中點，∴．在中，，∴．又由勾股定理得．由，得．又∵，∴．∴，即，∴．∴．9．（2023·江蘇泰州·中考真題）已知：A、B為圓上兩定點，點C在該圓上，為所對的圓周角．

知識回顧(1)如圖①，中，B、C位于直線異側，．①求的度數；②若的半徑為5，，求的長；逆向思考(2)如圖②，P為圓內一點，且，，．求證：P為該圓的圓心；拓展應用(3)如圖③，在（2）的條件下，若，點C在位于直線上方部分的圓弧上運動．點D在上，滿足的所有點D中，必有一個點的位置始終不變．請證明．【答案】(1)①；②；(2)見解析；(3)見解析【分析】（1）①根據，結合圓周角定理求的度數；②構造直角三角形；（2）只要說明點到圓上、和另一點的距離相等即可；（3）根據，構造一條線段等于，利用三角形全等來說明此線段和相等．【詳解】（1）解：①，，，．②連接，過作，垂足為，

，，是等腰直角三角形，且，，，是等腰直角三角形，，在直角三角形中，，．（2）證明：延長交圓于點，則，

，，，，，，，為該圓的圓心．（3）證明：過作的垂線交的延長線于點，連接，延長交圓于點，連接，，

，，是等腰直角三角形，，，，，是直徑，，，，，，，，必有一個點的位置始終不變，點即為所求．10．（2023·江蘇宿遷·中考真題）【問題背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如圖，即）．小軍測量某建筑物高度的方法如下：在地面點E處平放一面鏡子，經調整自己位置后，在點D處恰好通過鏡子看到建筑物AB的頂端A．經測得，小軍的眼睛離地面的距離，，，求建筑物AB的高度．【活動探究】觀察小軍的操作后，小明提出了一個測量廣告牌高度的做法（如圖）：他讓小軍站在點D處不動，將鏡子移動至處，小軍恰好通過鏡子看到廣告牌頂端G，測出；再將鏡子移動至處，恰好通過鏡子看到廣告牌的底端A，測出．經測得，小軍的眼睛離地面距離，，求這個廣告牌AG的高度．【應用拓展】小軍和小明討論后，發現用此方法也可測量出斜坡上信號塔AB的高度．他們給出了如下測量步驟（如圖）：①讓小軍站在斜坡的底端D處不動（小軍眼睛離地面距離），小明通過移動鏡子（鏡子平放在坡面上）位置至E處，讓小軍恰好能看到塔頂B；②測出；③測出坡長；④測出坡比為（即）．通過他們給出的方案，請你算出信號塔AB的高度（結果保留整數）．【答案】[問題背景]；[活動探究]；[應用拓展]【分析】[問題背景]根據反射定理，結合兩個三角形相似的判定與性質，列出相似比代值求解即可得到答案；[活動探究]根據反射定理，結合兩個三角形相似的判定與性質，運用兩次三角形相似，列出相似比代值，作差求解即可得到答案；[應用拓展]過點作于點，過點作于點，證，得，再由銳角三角函數定義得，設，，則，，進而由勾股定理求出，然后由相似三角形的性質得，即可解決問題．【詳解】解：[問題背景]如圖所示：

，，，，，，，，，解得；[活動探究]如圖所示：

，，，，，，，，，解得；，，，，，，，，，解得；；[應用拓展]如圖，過點作于點，過點作于點，由題意得：，，，，，即，，，，，即，，，，由題意得：，，，，設，，則，，，，解得：（負值已舍去），，，，，同【問題背景】得：，，，解得：，，答：信號塔的高度約為．11．（2022·江蘇南京·中考真題）如圖，在矩形中，，，是上一點，，是上的動點，連接，是上一點，且（為常數，），分別過點、作、的垂線相交于點，設的長為，的長為．(1)若，，則的值為________；(2)求與之間的函數表達式；(3)在點從點到點的整個運動過程中，若線段上存在點，則的值應滿足什么條件？直接寫出的取值范圍．【答案】(1)5(2)(3)【分析】（1）根據，得，則，代入計算即可；（2）利用，得，再由，得，即可證明結論；（3）根據點P在上，可得，再由點G在上，可得，進而解決問題．【詳解】（1）解：∵，∴，∵四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：5；（2）解：∵，，∴，又∵，∴，∴，在中，，，∴，又∵，∴，∴即；（3）解：若點在上，則，由（2）得，∴，∵點從點到點運動，∴，∴，∴即，又∵是上一點，∴，∴．12．（2022·江蘇南京·中考真題）在平面內，先將一個多邊形以自身的一個頂點為位似中心放大或縮小，再將所得多邊形沿過該點的直線翻折，我們稱這種變換為自位似軸對稱變換，變換前后的圖形成自位似軸對稱．例如：如圖①，先將以點為位似中心縮小，得到，再將沿過點的直線翻折，得到，則與成自位似軸對稱．(1)如圖②，在中，，，，垂足為，下列3對三角形：①與；②與；③與．其中成自位似軸對稱的是________（填寫所有符合條件的序號）；(2)如圖③，已知經過自位似軸對稱變換得到，是上一點，用直尺和圓規作點，使與是該變換前后的對應點（保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明）；(3)如圖④，在中，是的中點，是內一點，，，連接，求證：．【答案】(1)①②(2)見解析(3)見解析【分析】（1）根據題中定義作出圖形，即可得出結論；（2）先根據題意和軸對稱性質作出軸對稱前的，即以點為位似中心縮小的，在作出Q對應的，進而作出點對應的點P即可；（3）延長交于點，證明和得到，進而得到，證明得到，利用平行線的判定即可得出結論．【詳解】（1）解：①與成自位似軸對稱，對稱軸為的角平分線所在的直線，如圖；

②與成自位似軸對稱，對稱軸為平分線所在的直線，如圖，

，③與不成自位似軸對稱，故答案為：①②；（2）解：如圖，1）分別在和上截取，，2）連接，在上截取，3）連接并延長交于P，則點即為所求；

（3）證明：延長交于點，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵是中點，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴．

13．（2022·江蘇無錫·中考真題）如圖，已知四邊形ABCD為矩形，，點E在BC上，，將△ABC沿AC翻折到△AFC，連接EF．(1)求EF的長；(2)求sin∠CEF的值．【答案】(1)(2)【分析】(1)先由可求得的長度，再由角度關系可得，即可求得的長;(2)過F作于，利用勾股定理列方程，即可求出的長度，同時求出的長度，得出答案.【詳解】（1）設，則，∴，在中，，∴，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，由折疊可知，∴，，∴，∴，在中，.（2）過F作FM⊥BC于M，∴∠FME=∠FMC=90°，設EM=a,則EC=3-a，在中，，在中，，∴，∴，∴，∴，∴，∴.14．（2022·江蘇徐州·中考真題）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，點P在邊AB上，D、E分別為BC、PC的中點，連接DE．過點E作BC的垂線，與BC、AC分別交于F、G兩點．連接DG，交PC于點H．

(1)∠EDC的度數為；(2)連接PG，求△APG的面積的最大值；(3)PE與DG存在怎樣的位置關系與數量關系？請說明理由；(4)求的最大值．【答案】(1)45°(2)9(3)PE=DG，理由見解析(4)【分析】（1）先說明∠B=45°，再說明DE是△CBP的中位線可得DEBP，然后由平行線的性質即可解答；（2）先說明△EDF和△GFC是等腰直角三角形可得DF=EF=、GF=CF=；設AP=x，則BP=12-x，BP=12-x=2DE，然后通過三角形中位線、勾股定理、線段的和差用x表示出AG，再根據三角形的面積公式列出表達式，最后運用二次函數求最值即可；（3）先證明△GFD≌△CFE，可得DG=CE，進而可得PE=DG；由△GFD≌△CFE可得∠ECF=∠DGF，進而得到∠GHE=∠CFE=90°，即可說明DG、PE的位置關系；（4）先說明△CEF∽△CDH得到，進而得到，然后將已經求得的量代入可得，然后根據求最值即可．【詳解】（1）解：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12∴∠B=∠ACB=45°∵，D、E分別為BC、PC的中點∴DEBP，DE=∴∠EDC=∠B=45°．（2）解：如圖：連接PG∵∠EDC=∠ACB=45°，GF⊥DC∴△EDF和△GFC是等腰直角三角形∴DF=EF=，GF=CF=，設AP=x，則BP=12-x，BP=12-x=2DE∴DE=，EF=∵Rt△APC，∴PC=∴CE=∵Rt△EFC∴FC=FG=∴CG=CF=∴AG=12-CG=12-=∴S△APG=所以當x=6時，S△APG有最大值9．

（3）解：DG=PE，DG⊥PE，理由如下：∵DF=EF，∠CFE=∠GFD，GF=CF∴△GFD≌△CFE(SAS)∴DG=CE∵E是PC的中點∴PE=CE∴PE=DG；∵△GFD≌△CFE∴∠ECF=∠DGF∵∠CEF=∠PEG∴∠GHE=∠EFC=90°，即DG⊥PE．（4）解：∵△GFD≌△CFE∴∠CEF=∠CDH又∵∠ECF=∠DCH∴△CEF∽△CDH∴，即∴∵FC=，CE=，CD=∴∴的最大值為．15．（2022·江蘇常州·中考真題）（現有若干張相同的半圓形紙片，點是圓心，直徑的長是，是半圓弧上的一點（點與點、不重合），連接、．(1)沿、剪下，則是______三角形（填“銳角”、“直角”或“鈍角”）；(2)分別取半圓弧上的點、和直徑上的點、．已知剪下的由這四個點順次連接構成的四邊形是一個邊長為的菱形．請用直尺和圓規在圖中作出一個符合條件的菱形（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；(3)經過數次探索，小明猜想，對于半圓弧上的任意一點，一定存在線段上的點、線段上的點和直徑上的點、，使得由這四個點順次連接構成的四邊形是一個邊長為的菱形．小明的猜想是否正確？請說明理由．【答案】(1)直角(2)見詳解(3)小明的猜想正確，理由見詳解【分析】（1）AB是圓的直徑，根據圓周角定理可知∠ACB=90°，即可作答；（2）以A為圓心，AO為半徑畫弧交⊙O于點E，再以E為圓心，EO為半徑畫弧交于⊙O點F連接EF、FO、EA，G、H點分別與A、O點重合，即可；（3）當點C靠近點A時，設，，可證,推出，分別以M，N為圓心，MN為半徑作弧交AB于點P，Q，可得，進而可證四邊形MNQP是菱形；當點C靠近點B時，同理可證．【詳解】（1）解：如圖，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠ACB是直角，即△ABC是直角三角形，故答案為：直角；（2）解：以A為圓心，AO為半徑畫弧交⊙O于點E，再以E為圓心，EO為半徑畫弧交于⊙O點F連接EF、FO、EA，G、H點分別與A、O點重合，即可，作圖如下：由作圖可知AE=EF=FH=HG=OA=AB=6，即四邊形EFHG是邊長為6cm的菱形；（3）解：小明的猜想正確，理由如下：如圖，當點C靠近點A時，設，，∴,∴,∴,∴．分別以M，N為圓心，MN為半徑作弧交AB于點P，Q，作于點D，于點E，∴．∵,，，∴，在和中，，∴，∴，∴，又∵，∴四邊形MNQP是平行四邊形，又∵，∴四邊形MNQP是菱形；同理，如圖，當點C靠近點B時，采樣相同方法可以得到四邊形MNQP是菱形，故小明的猜想正確．16．（2022·江蘇蘇州·中考真題）（1）如圖1，在△ABC中，，CD平分，交AB于點D，//，交BC于點E．①若，，求BC的長；②試探究是否為定值．如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．（2）如圖2，和是△ABC的2個外角，，CD平分，交AB的延長線于點D，//，交CB的延長線于點E．記△ACD的面積為，△CDE的面積為，△BDE的面積為．若，求的值．【答案】（1）①；②是定值，定值為1；（2）【分析】（1）①證明，根據相似三角形的性質求解即可；②由，可得，由①同理可得，計算；（2）根據平行線的性質、相似三角形的性質可得，又，則，可得，設，則．證明，可得，過點D作于H．分別求得，進而根據余弦的定義即可求解．【詳解】（1）①∵CD平分，∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴．∴．∴．∴．∴．②∵，∴．由①可得，∴．∴．∴是定值，定值為1．（2）∵，∴．∵，∴．又∵，∴．設，則．∵CD平分，∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴．∴．∵，∴．∴．∴．∴．如圖，過點D作于H．∵，∴．∴．17．（2022·江蘇南通·中考真題）如圖，矩形中，，點E在折線上運動，將繞點A順時針旋轉得到，旋轉角等于，連接．(1)當點E在上時，作，垂足為M，求證；(2)當時，求的長；(3)連接，點E從點B運動到點D的過程中，試探究的最小值．【答案】(1)見詳解(2)或(3)【分析】（1）證明即可得證．（2）分情況討論，當點E在BC上時，借助，在中求解；當點E在CD上時，過點E作EG⊥AB于點G，FH⊥AC于點H，借助并利用勾股定理求解即可．（3）分別討論當點E在BC和CD上時，點F所在位置不同，DF的最小值也不同，綜合比較取最小即可．【詳解】（1）如圖所示，由題意可知，，，，由旋轉性質知：AE=AF，在和中，，，．（2）當點E在BC上時，在中，，，則，在中，，，則，由（1）可得，，在中，，，則，當點E在CD上時，如圖，過點E作EG⊥AB于點G，FH⊥AC于點H，同（1）可得，，由勾股定理得；故CF的長為或．（3）如圖1所示，當點E在BC邊上時，過點D作于點H，由（1）知，，故點F在射線MF上運動，且點F與點H重合時，DH的值最小．在與中，，，，即，，，，在與中，，，，即，，故的最小值；如圖2所示，當點E在線段CD上時，將線段AD繞點A順時針旋轉的度數，得到線段AR，連接FR，過點D作，，由題意可知，，在與中，，，，故點F在RF上運動，當點F與點K重合時，DF的值最小；由于，，，故四邊形DQRK是矩形；，，，，故此時DF的最小值為；由于，故DF的最小值為．18．（2022·江蘇連云港·中考真題）【問題情境】在一次數學興趣小組活動中，小昕同學將一大一小兩個三角板按照如圖1所示的方式擺放．其中，，．【問題探究】小昕同學將三角板繞點B按順時針方向旋轉．(1)如圖2，當點落在邊上時，延長交于點，求的長．(2)若點、、在同一條直線上，求點到直線的距離．(3)連接，取的中點，三角板由初始位置（圖1），旋轉到點、、首次在同一條直線上（如圖3），求點所經過的路徑長．(4)如圖4，為的中點，則在旋轉過程中，點到直線的距離的最大值是_____．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）在Rt△BEF中，根據余弦的定義求解即可；（2）分點在上方和下方兩種情況討論求解即可；（3）取的中點，連接，從而求出OG=，得出點在以為圓心，為半徑的圓上，然后根據弧長公式即可求解；（4）由（3）知，點在以為圓心，為半徑的圓上，過O作OH⊥AB于H，當G在OH的反向延長線上時，GH最大，即點到直線的距離的最大，在Rt△BOH中求出OH，進而可求GH.【詳解】（1）解：由題意得，，∵在中，，，．∴．（2）①當點在上方時，如圖一，過點作，垂足為，∵在中，，，，∴，∴．∵在中，，，，，∴．∵點、、在同一直線上，且，∴．又∵在中，，，，∴，∴．∵在中，，∴．②當點在下方時，如圖二，在中，∵，，，∴．∴．過點作，垂足為．在中，，∴．綜上，點到直線的距離為．（3）解：如圖三，取的中點，連接，則．∴點在以為圓心，為半徑的圓上．當三角板繞點B順時針由初始位置旋轉到點、B、首次在同一條直線上時，點所經過的軌跡為所對的圓弧，圓弧長為．∴點所經過的路徑長為．（4）解：由（3）知，點在以為圓心，為半徑的圓上，如圖四，過O作OH⊥AB于H，當G在OH的反向延長線上時，GH最大，即點到直線的距離的最大，在Rt△BOH中，∠BHO=90°，∠OBH=30°，，∴，∴，即點到直線的距離的最大值為.19．（2022·江蘇淮安·中考真題）在數學興趣小組活動中，同學們對菱形的折疊問題進行了探究．如圖（1），在菱形中，為銳角，為中點，連接，將菱形沿折疊，得到四邊形，點的對應點為點，點的對應點為點．(1)【觀察發現】與的位置關系是______；(2)【思考表達】連接，判斷與是否相等，并說明理由；(3)如圖（2），延長交于點，連接，請探究的度數，并說明理由；(4)【綜合運用】如圖（3），當時，連接，延長交于點，連接，請寫出、、之間的數量關系，并說明理由．【答案】(1)；(2)，理由見解析；(3)，理由見解析；(4)，理由見解析．【分析】（1）利用菱形的性質和翻折變換的性質判斷即可；（2）連接，，由可知點B、、C在以為直徑,E為圓心的圓上，則，由翻折變換的性質可得，證明，可得結論；（3）連接，，，延長至點H，求出，，可得，然后證明，可得，進而得到即可解決問題．（4）延長交的延長線于點，過點作交的延長線于點，設，，解直角三角形求出，，利用勾股定理求出，然后根據相似三角形的判定和性質及平行線分線段成比例求出，，再根據勾股定理列式即可得出結論．【詳解】（1）解：∵在菱形中，，∴由翻折的性質可知，，故答案為：；（2）解：，理由：如圖，連接，，∵為中點，∴，∴點B、、C在以為直徑,E為圓心的圓上，∴，∴，由翻折變換的性質可知，∴，∴；（3）解：結論：；理由：如圖，連接，，，延長至點H，由翻折的性質可知，設，，∵四邊形是菱形，

∴，，∴，∴，∴，∵，點B、、C在以為直徑,E為圓心的圓上，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（4）解：結論：，理由：如圖，延長交的延長線于點，過點作交的延長線于點，設，，∵，∴，∴，∴，，在中，則有，∴，∴，，∵，∴，∴，∴∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．20．（2022·江蘇鹽城·中考真題）【經典回顧】梅文鼎是我國清初著名的數學家，他在《勾股舉隅》中給出多種證明勾股定理的方法圖1是其中一種方法的示意圖及部分輔助線．在中，，四邊形、和分別是以的三邊為一邊的正方形．延長和，交于點，連接并延長交于點，交于點，延長交于點．(1)證明：；(2)證明：正方形的面積等于四邊形的面積；(3)請利用（2）中的結論證明勾股定理．(4)【遷移拓展】如圖2，四邊形和分別是以的兩邊為一邊的平行四邊形，探索在下方是否存在平行四邊形，使得該平行四邊形的面積等于平行四邊形、的面積之和．若存在，作出滿足條件的平行四邊形（保留適當的作圖痕跡）；若不存在，請說明理由．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析(4)存在，見解析【分析】（1）根據正方形的性質和SAS證明△ACB≌△HCG，可得結論；（2）證明S△CHG＝S△CHL，所以S△AMI＝S△CHL，由此可得結論；（3）證明正方形ACHI的面積+正方形BFGC的面積＝?ADJK的面積+?KJEB的面積＝正方形ADEB，可得結論；（4）如圖2，延長IH和FG交于點L，連接LC，以A為圓心CL為半徑畫弧交IH于一點，過這一點和A作直線，以A為圓心，AI為半徑作弧交這直線于D，分別以A，B為圓心，以AB，AI為半徑畫弧交于E，連接AD，DE，BE，則四邊形ADEB即為所求．【詳解】（1）證明：如圖1，連接HG，∵四邊形ACHI，ABED和BCGF是正方形，∴AC＝CH，BC＝CG，∠ACH＝∠BCG＝90°，AB＝AD，∵∠ACB＝90°，∴∠GCH＝360°﹣90°﹣90°﹣90°＝90°，∴∠GCH＝∠ACB，∴△ACB≌△HCG（SAS），∴GH＝AB＝AD，∵∠GCH＝∠CHI＝∠CGL＝90°，∴四邊形CGLH是矩形，∴CL＝GH，∴AD＝LC；（2）證明：∵∠CAI＝∠BAM＝90°，∴∠BAC＝∠MAI，∵AC＝AI，∠ACB＝∠I＝90°，∴△ABC≌△AMI（ASA），由（1）知：△ACB≌△HCG，∴△AMI≌△HGC，∵四邊形CGLH是矩形，∴S△CHG＝S△CHL，∴S△AMI＝S△CHL，∴正方形ACHI的面積等于四邊形ACLM的面積；（3）證明：由正方形可得，又，所以四邊形是平行四邊形，由（2）知，四邊形是平行四邊形，由（1）知，，所以，延長交于，同理有，所以．所以．（4）解：如圖為所求作的平行四邊形．21．（2022·江蘇揚州·中考真題）如圖1，在中，，點在邊上由點向點運動（不與點重合），過點作，交射線于點．(1)分別探索以下兩種特殊情形時線段與的數量關系，并說明理由；①點在線段的延長線上且；②點在線段上且．(2)若．①當時，求的長；②直接寫出運動過程中線段長度的最小值．【答案】(1)①②(2)①②4【分析】（1）①算出各個內角，發現其是等腰三角形即可推出；②算出各內角發現其是30°的直角三角形即可推出；（2）①分別過點A，E作BC的垂線，得到一線三垂直的相似，即，設，，利用30°直角三角形的三邊關系，分別表示出，，，，列式求解a即可；②分別過點A，E作BC的垂線，相交于點G，H，證明可得，然后利用完全平方公式變形得出，求出AE的取值范圍即可．【詳解】（1）①∵在中，，∴∵∴，在中，∴∴∴；②如圖：∵∴，∴在中，∴∴；（2）①分別過點A，E作BC的垂線，相交于點H，G，則∠EGD＝∠DHA＝90°，∴∠GED＋∠GDE＝90°，∵∠HDA＋∠GDE＝90°，∴∠GED＝∠HDA，∴，設，，則，，在中，，AB=6則，在中，，則在中，，∴∴由得，即解得：，（舍）故；②分別過點A，E作BC的垂線，相交于點G，H，則∠EHD＝∠AGD＝90°，∵∠ADE＝90°，∴∠EDH=90°-∠ADG＝∠DAG，∵∠EHD＝∠AGD＝90°，∴，∴，∴，∵∠BAC＝90°，∠C＝60°，∴∠B=30°，∴，∴，∴=，∵∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故AE的最小值為4.22．（2022·江蘇鎮江·中考真題）操作探究題(1)已知是半圓的直徑，（是正整數，且不是3的倍數）是半圓的一個圓心角．操作：如圖1，分別將半圓的圓心角（取1、4、5、10）所對的弧三等分（要求：僅用圓規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；交流：當時，可以僅用圓規將半圓的圓心角所對的弧三等分嗎？探究：你認為當滿足什么條件時，就可以僅用圓規將半圓的圓心角所對的弧三等分？說說你的理由．(2)如圖2，的圓周角．為了將這個圓的圓周14等分，請作出它的一條14等分弧（要求：僅用圓規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）．【答案】(1)作圖見解析；交流：，或；探究：正整數（不是3的倍數），理由見解析(2)作圖見解析【分析】（1）由操作可知，如果可以用與的線性表示，那么該圓弧就可以被三等分（2）將圓周14等分就是把所對的圓周角所對弧三等分即可,給出一種算法：【詳解】（1）操作：交流：，或；探究：設，解得（為非負整數）．或設，解得（為正整數）．所以對于正整數（不是3的倍數），都可以僅用圓規將半圓的圓心角所對的弧三等分；（2）23．（2022·江蘇泰州·中考真題）已知：△ABC中，D為BC邊上的一點.(1)如圖①，過點D作DE∥AB交AC邊于點E，若AB=5，BD=9，DC=6，求DE的長；(2)在圖②，用無刻度的直尺和圓規在AC邊上作點F，使∠DFA=∠A；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）(3)如圖③，點F在AC邊上，連接BF、DF，若∠DFA=∠A，△FBC的面積等于，以FD為半徑作⊙F，試判斷直線BC與⊙F的位置關系，并說明理由.【答案】(1)2(2)圖見詳解(3)直線BC與⊙F相切，理由見詳解【分析】（1）由題意易得，則有，然后根據相似三角形的性質與判定可進行求解；（2）作DT∥AC交AB于點T，作∠TDF=∠ATD，射線DF交AC于點F，則點F即為所求；（3）作BR∥CF交FD的延長線于點R，連接CR，證明四邊形ABRF是等腰梯形，推出AB=FR，由CF∥BR，推出，推出CD⊥DF，然后問題可求解．【詳解】（1）解：∵DE∥AB，∴，∴，∵AB=5，BD=9，DC=6，∴，∴；（2）解：作DT∥AC交AB于點T，作∠TDF=∠ATD，射線DF交AC于點F，則點F即為所求；如圖所示：點F即為所求，（3）解：直線BC與⊙F相切，理由如下：作BR∥CF交FD的延長線于點R，連接CR，如圖，∵∠DFA=∠A，∴四邊形ABRF是等腰梯形，∴，∵△FBC的面積等于，∴，∴CD⊥DF，∵FD是⊙F的半徑，∴直線BC與⊙F相切．24．（2022·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在網格中，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點，點、、、、均為格點．【操作探究】在數學活動課上，佳佳同學在如圖①的網格中，用無刻度的直尺畫了兩條互相垂直的線段、，相交于點并給出部分說理過程，請你補充完整：解：在網格中取格點，構建兩個直角三角形，分別是△ABC和△CDE．在Rt△ABC中，在Rt△CDE中，，所以．所以∠=∠．因為∠∠=∠=90°，所以∠+∠=90°，所以∠=90°，即⊥．(1)【拓展應用】如圖②是以格點為圓心，為直徑的圓，請你只用無刻度的直尺，在上找出一點P，使=，寫出作法，并給出證明：(2)【拓展應用】如圖③是以格點為圓心的圓，請你只用無刻度的直尺，在弦上找出一點P．使=·，寫出作法，不用證明．【答案】(1)；見解析(2)見解析【分析】（1）取格點，作射線交于點P，則根據垂徑定理可知，點P即為所求作；（2）取格點I，連接MI交AB于點P，點P即為所求作．利用正切函數證得∠FMI=∠MNA，利用圓周角定理證得∠B=∠MNA，再推出△PAM∽△MAB，即可證明結論．【詳解】（1）解：【操作探究】在網格中取格點，構建兩個直角三角形，分別是△ABC和△CDE．在Rt△ABC中，在Rt△CDE中，，所以．所以∠=∠．因為∠∠=∠=90°，所以∠+∠=90°，所以∠=90°，即⊥．故答案為：；取格點，作射線交于點P，點P即為所求作；（2）解：取格點I，連接MI交AB于點P，點P即為所求作；證明：作直徑AN，連接BM、MN，在Rt△FMI中，，在Rt△MNA中，，所以．∴∠FMI=∠MNA，∵∠B=∠MNA，∴∠AMP=∠B，∵∠PAM=∠MAB，∴△PAM∽△MAB，∴，∴=·．25．（2021·江蘇南京·中考真題）在幾何體表面上，螞蟻怎樣爬行路徑最短？（1）如圖①，圓錐的母線長為，B為母線的中點，點A在底面圓周上，的長為．在圖②所示的圓錐的側面展開圖中畫出螞蟻從點A爬行到點B的最短路徑，并標出它的長（結果保留根號）．（2）圖③中的幾何體由底面半徑相同的圓錐和圓柱組成．O是圓錐的頂點，點A在圓柱的底面圓周上．設圓錐的母線長為l，圓柱的高為h．①螞蟻從點A爬行到點O的最短路徑的長為________（用含l，h的代數式表示）．②設的長為a，點B在母線上，．圓柱的側面展開圖如圖④所示，在圖中畫出螞蟻從點A爬行到點B的最短路徑的示意圖，并寫出求最短路徑的長的思路．【答案】（1）作圖如圖所示；（2）①h+l；②見解析．【分析】（1）根據兩點之間線段最短，即可得到最短路徑；連接OA，AC，可以利用弧長與母線長求出∠AOC，進而證明出△OAC是等邊三角形，利用三角函數即可求解；（2）①由于圓錐底面圓周上的任意一點到圓錐頂點的距離都等于母線長，因此只要螞蟻從點A爬到圓錐底面圓周上的路徑最短即可，因此順著圓柱側面的高爬行，所以得出最短路徑長即為圓柱的高h加上圓錐的母線長l；②如圖，根據已知條件，設出線段GC的長后，即可用它分別表示出OE、BE、GE、AF，進一步可以表示出BG、GA，根據B、G、A三點共線，在Rt△ABH中利用勾股定理建立方程即可求出GC的長，最后依次代入前面線段表達式中即可求出最短路徑長．【詳解】解：（1）如圖所示，線段AB即為螞蟻從點A爬行到點B的最短路徑；設∠AOC=n°，∵圓錐的母線長為，的長為，∴，∴；連接OA、CA，∵，∴是等邊三角形，∵B為母線的中點，∴，∴．（2）①螞蟻從點A爬行到點O的最短路徑為：先沿著過A點且垂直于地面的直線爬到圓柱的上底面圓周上，再沿圓錐母線爬到頂點O上，因此，最短路徑長為h+l②螞蟻從點A爬行到點B的最短路徑的示意圖如下圖所示，線段AB即為其最短路徑（G點為螞蟻在圓柱上底面圓周上經過的點，圖中兩個C點為圖形展開前圖中的C點）；求最短路徑的長的思路如下：如圖，連接OG，并過G點作GF⊥AD，垂足為F，由題可知，，GF=h，OB=b，由的長為a，得展開后的線段AD=a，設線段GC的長為x，則的弧長也為x，由母線長為l，可求出∠COG，作BE⊥OG，垂足為E，因為OB=b，可由三角函數求出OE和BE，從而得到GE，利用勾股定理表示出BG，接著由FD=CG=x，得到AF=a-x，利用勾股定理可以求出AG，將AF+BE即得到AH，將EG+GF即得到HB，因為兩點之間線段最短，∴A、G、B三點共線，利用勾股定理可以得到：,進而得到關于x的方程，即可解出x，將x的值回代到BG和AG中，求出它們的和即可得到最短路徑的長．26．（2021·江蘇無錫·中考真題）已知四邊形是邊長為1的正方形，點E是射線上的動點，以為直角邊在直線的上方作等腰直角三角形，，設．（1）如圖1，若點E在線段上運動，交于點P，交于點Q，連結，①當時，求線段的長；②在中，設邊上的高為h，請用含m的代數式表示h，并求h的最大值；（2）設過的中點且垂直于的直線被等腰直角三角形截得的線段長為y，請直接寫出y與m的關系式．【答案】（1）①；②，h最大值=；（2）【分析】（1）①過點F作FM⊥BC，交BC的延長線于點M，先證明，可得FM=，CM=，進而即可求解；②由，得CP=，把繞點A順時針旋轉90°得，可得EQ=DQ+BE，利用勾股定理得DQ=，EQ=，QP=，結合三角形面積公式，即可得到答案；（2）以點B為坐標原點，BC所在直線為x軸，建立直角坐標系，則E(m，0)，A(0，1)，F(1+m，m)，從而求出AE的解析式為：y=x+1，AF的解析式為：y=x+1，EF的解析式為：y=mx-m2，再分兩種情況：①當0≤m≤時，②當m＞時，分別求解即可．【詳解】解：（1）①過點F作FM⊥BC，交BC的延長線于點M，∵在等腰直角三角形中，，AE=FE，在正方形中，∠B=90°，∴∠BAE+∠AEB=∠FEM+∠AEB，∴∠BAE=∠FEM，又∵∠B=∠FME，∴，∴FM=BE=，EM=AB=BC，∴CM=BE=，∴CF=；②∵∠BAE=∠FEC，∠B=∠ECP=90°，∴，∴，即：，∴CP=，把繞點A順時針旋轉90°得，則AG=AQ，∠GAB=∠QAD，GB=DQ，∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠QAD=∠BAE+∠GAB=90°-45°=45°，即：∠GAE=∠EAF=45°，∵∠ABG=∠ABE=90°，∴B、G、E三點共線，又∵AE=AE，∴，∴EQ=EG=GB+BE=DQ+BE，∴在中，，即：，∴DQ=，∴EQ=DQ+BE=+m=，QP=1--()=，∴，即：×(1-m)=×h，∴=，即m=時，h最大值=；（3）以點B為坐標原點，BC所在直線為x軸，建立直角坐標系，則E(m，0)，A(0，1)，∵直線m過AB的中點且垂直AB，∴直線m的解析式為：x=，過點F作FM⊥x軸于點M，由（1）可知：，即FM=BE，EM=AB，∴F(1+m，m)，設AE的解析式為：y=kx+b，把E(m，0)，A(0，1)代入上式，得，解得：，∴AE的解析式為：y=x+1，同理：AF的解析式為：y=x+1，EF的解析式為：y=mx-m2，①當0≤m≤時，如圖，G(，)，N(，m-m2)，∴y=-(m-m2)=，②當m＞時，如圖，G(，)，N(，)，∴y=-=，綜上所述：．27．（2021·江蘇徐州·中考真題）如圖1，正方形的邊長為4，點在邊上（不與重合），連接．將線段繞點順時針旋轉90°得到，將線段繞點逆時針旋轉90°得到．連接．（1）求證：①的面積；②；（2）如圖2，的延長線交于點，取的中點，連接，求的取值范圍．【答案】（1）①見詳解；②見詳解；（2）4≤MN＜【分析】（1）①過點F作FG⊥AD交AD的延長線于點G，證明