循環碼循環碼除具有線性碼的一般性質外,還具有循環性

即任一碼組循環一位以后，仍為該循環碼中的一個許用碼組。一、循環碼的特點線性分組碼7章差錯控制編碼循環碼舉例——(7,3)循環碼碼組信息位監督位碼組信息位監督位編號a6a5a4a3a2a1a0編號a6a5a4a3a2a1a000000000410010111001011151011100201011106110010130111001711100107章差錯控制編碼例如A=0010111(1)A(x)=0x6+0x5+1x4+0x3+1x2+1x1+1x0=x4+x2+x+1

xA(x)=x5+x3+x2+x

A=0101110(2)2、碼多項式——碼組的多項式表示7章差錯控制編碼二、循環碼的運算1、碼多項式的按模運算若一個整數m,若可以表示為則：m≡

p(模n)7章差錯控制編碼多項式F(x)被n次多項式N(x)除，得到商式q(x)和一個次數小于n的余式R(x)，即碼多項式系數仍按模2運算，即只取值0和1則寫為F(x)≡

R(x)

(模N(x))7章差錯控制編碼7章差錯控制編碼例如7章差錯控制編碼在循環碼中，若T(x)是一個長為n的許用碼組，則在按模運算下，亦是一個許用碼組。則T’（X）也是該編碼碼組中的一個許用碼組7章差錯控制編碼2．循環碼的生成矩陣G

若能找到k個線性無關的碼組,就能構成矩陣G。在循環碼中，一個(n，k)碼有2k個不同碼組，若用g(x)表示其中前(k-1)位皆為0的碼組，即

g(x)=0…1x…xk位n-k位則g(x)、xg(x)，x2g(x)，…，xk-1g(x)都是碼組，而且這k個碼組是線性無關的。因此可以用來構成循環碼的生成矩陣G。

7章差錯控制編碼例表9—6的循環碼,唯一的一個(n-k)次碼多項式代表的碼組是0010111，相對應的碼多項式為一旦確定了g(x)，則整個(n．k)循環碼就被確定了。因此,循環碼的生成矩陣G可以寫成7章差錯控制編碼這個生成矩陣不是系統碼的生成矩陣，可以通過行變換，變換成系統碼的生成矩陣。

g(x)＝x4+x2+x+1將此g(x)代入上式，得到7章差錯控制編碼g(x)的性質：g(x)必須是一個常數項a0=1；次數為(n-k)次；唯一的(n-k)次多項式；我們稱這唯一的g(x)為碼的生成多項式。g(x)是xn+1的因式（見后面分析）。7章差錯控制編碼說明g(x)是xn+1的因式。因為任碼多項式T(x)都是g(x)的倍式，所以有

T(x)=h(x)g(x)g(x)本身也是一個碼組，其次數為n-k次。把它循環移位k次仍為一個碼組。所以xkg(x)是n次多項式，在模xn+1運算下，所以即7章差錯控制編碼因為xkg(x)是n次的，所以Q(x)=1。所以所以即g(x)是xn+1的因式。這樣就可以通過對xn+1的因式分解得到g(x).7章差錯控制編碼最高次冪n-kg(x)是一個常數項為1最多k-1個連0是的一個因式；循環碼的生成多項式生成多項式7章差錯控制編碼任意一碼組多項式可表示為：一個k位的信息碼組Ｄ＝［dk-1,dk-2,…….d0]信息碼多項式:T(x)=d(x)g(x)循環碼7章差錯控制編碼d(x)代入T(X)得：不大于n-1次的多項式7章差錯控制編碼假如輸入信息碼元mk-1mk-2…m0則例：求（7，4）循環碼的生成多項式g(x),當信息碼組D=[1010]時，求輸出碼組7章差錯控制編碼

若能找到k個線性無關的碼組,就能構成矩陣G。

g(x)、xg(x)，x2g(x)，…，xk-1g(x)都是許用碼組，而且這k個碼組是線性無關的。因此可以用來構成循環碼的生成矩陣G。循環碼的生成矩陣G7章差錯控制編碼例表9—6的循環碼,唯一的一個(n-k)次碼多項式代表的碼組是0010111，相對應的碼多項式為因此,循環碼的生成矩陣G可以寫成7章差錯控制編碼這個生成矩陣不是系統碼的生成矩陣，可以通過行變換，變換成系統碼的生成矩陣。

g(x)＝x4+x2+x+1將此g(x)代入上式，得到7章差錯控制編碼循環碼的編碼系統碼編碼：

信息碼后附加n-k個0

非系統碼編碼：T(x)=m(x)g(x)除以g(x)，得余式r(x)；237章差錯控制編碼監督位信息位例

(7,3)循環碼m(x)=x2+x,g(x)=x4+x2+

x+1r(x)7章差錯控制編碼a+b+cd+輸入m輸出feS（7，3）碼編碼器四、硬件實現——固定除式的多項式除法移位寄存器的級數等于生成多項式的次數是否有反饋由g(x)中的的非零系數對應，g(x)中有此項，有反饋。7章差錯控制編碼7章差錯控制編碼7章差錯控制編碼信息碼元輸入移存器反饋輸出mabcddf0000001111011110011101010100010100000101100001000000011校驗碼元a+b+cd+輸入m輸出feS7章差錯控制編碼2．循環碼的解碼方法——檢錯若碼組在傳輸中發生錯誤，則R(x)除以g(x)時可能有余項—碼多項式T(x)應能被生成多項式g(x)整除若接收碼組與發送碼組相同，即R(x)=T(x)，則接收碼組R(x)必定能被g(x)整除由接收多項式除以生成多項式得到余式r(x)r(x)=0接收碼組無錯r(x)≠0有錯7章差錯控制編碼檢錯電路圖接收碼組緩沖移位寄存器除法電路反相與門重發指令輸出信息碼余式等于1時輸出1余式等于0時輸出07章差錯控制編碼

(1)根據