24.1圓的有關性質（第1課時）九年級上冊圓是繼三角形、四邊形等基本圖形后的又一個重要內容，圓的有關概念為今后學習圓的知識奠定了基礎．學習目標：

1．通過觀察實驗操作，感受圓的定義，結合圖形認

識弧，半圓，弦，直徑，等圓，等弧，優弧，劣

弧等有關概念；

2．在具體情景中，通過探究、交流、反思等活動獲

得圓的有關定義，體驗探求規律的思想方法．學習重點：

圓的有關概念．1．閱讀材料引入新知古代人最早是從太陽，陰歷十五的月亮得到圓的概

念的．那么是什么人做出第一個圓的呢？18000年前的

山頂洞人用一種尖狀的石器來鉆孔，一面鉆不透，再從

另一面鉆，石器的尖是圓心，它的寬度的一半就是半徑，

這樣以同一個半徑和圓心一圈圈地轉，就可以鉆出一個

圓的孔．到了陶器時代，許多陶器都是圓的，圓的陶器

是將泥土放在一個轉盤上制成的．我國古代，半坡人就已經會造圓形的房頂了．大約

在同一時代，美索不達米亞人做出了世界上第一個輪

子——圓的木輪．很早之前，人們將圓的木輪固定在木

架上，這樣就成了最初的車子．2000多年前，墨子給

出圓的定義“一中同長也”，意思是說，圓有一個圓心，

圓心到圓周的長都相等．這個定義比古希臘數學家歐幾

里得給圓下的定義要早很多年．1．閱讀材料引入新知2．合作交流，學習新知

如圖，在一個平面內，線段

OA

繞它固定的一個端點

O

旋轉一周，另一個端點

A

所形成的圖形叫做圓．·rOA

固定的端點

O

叫做圓心；

線段

OA

叫做半徑；

以點

O

為圓心的圓，記作⊙O，讀作“圓O”．

圓的概念2．合作交流，學習新知同心圓

等圓圓心相同，半徑不同確定一個圓的兩個要素:一是圓心，二是半徑．半徑相同，圓心不同2．合作交流，學習新知O問題1：圓上各點到定點（圓心O）的距離有什么

規律？問題2：到定點的距離等于定長的點又有什么特點？·rOA2．合作交流，學習新知

動態：在一個平面內，線段

OA

繞它固定的一個端

點

O

旋轉一周，另一個端點

A

所形成的圖形叫做圓．

靜態：圓心為

O、半徑為

r

的圓可以看成是所有到

定點

O

的距離等于定長

r

的點的集合．2．合作交流，學習新知

經過圓心的弦叫做直徑，如圖中的

AB．

連接圓上任意兩點的線段叫做弦，如圖中的AC．3．與圓有關的概念

弦COAB

圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓．COAB

弧3．與圓有關的概念圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧．以A、B為端點的弧記作，讀作“圓弧AB”或“弧AB”．AB

劣弧與優弧3．與圓有關的概念小于半圓的弧（如圖中的

）叫做劣弧．AC大于半圓的弧（用三個字母表示，如圖中的）叫做優弧．ABCCOAB在同圓或等圓中，能重合的弧叫等弧．等弧3．與圓有關的概念

1．判斷下列說法的正誤：（1）弦是直徑；（2）半圓是弧；（3）過圓心的線段是直徑；（5）圓心相同，半徑相等的兩個圓是同心圓；（4）半圓是最長的弧；（6）半徑相等的兩個半圓是等弧．4．應用拓展，培養能力×√×××√

2．寫出圖中的弧、弦．4．應用拓展，培養能力COAB（1）通過今天的學習，你有哪些收獲？

（2）你是否明確圓的兩種定義、弦、

弧等概念？5．歸納小結

教科書第81頁練習

第

1，2題．6．布置作業24.1圓的有關性質（第2課時）九年級上冊本課是在學生已經學習了圓的有關概念的基礎上開始研究圓的性質，包括圓的軸對稱性以及垂徑定理，并應用垂徑定理及其推論解決問題．學習目標：

1．理解圓的軸對稱性，會運用垂徑定理解決有關的

證明、計算和作圖問題；

2．感受類比、轉化、數形結合、方程等數學思想和

方法，在實驗、觀察、猜想、抽象、概括、推理

的過程中發展邏輯思維能力和識圖能力．學習重點：

垂徑定理及其推論．如圖，1400多年前，我國隋代建造的趙州石拱橋

主橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對的弦長）是37m，

拱高（弧的中點到弦的距離）為7.23m，求趙州橋主橋

拱的半徑（精確到0.1m）．1．創設情境，導入新知

請拿出準備好的圓形紙片，沿著它的直徑翻折，重復做幾次，你發現了什么？由此你能猜想哪些線段相等？哪些弧相等？2．探究新知3．獲得新知垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧.DOCAEB知二推三4．新知強化下列哪些圖形可以用垂徑定理？你能說明理由嗎？DOCAEBDOCAEB圖1圖2圖3圖4OAEBDOCAEB5．利用新知問題回解ACDBO如圖，已知在兩同心圓⊙O中，大圓弦AB交小圓

于C，D，則AC

與BD

間可能存在什么關系？6．利用新知解決問題DOCAB變式1如圖，若將AB

向下平移，當移到過圓心時，結論

AC=BD

還成立嗎？6．利用新知解決問題DOCAB變式2如圖，連接OA，OB，設AO=BO，求證：AC=BD．6．利用新知解決問題DOCAB變式3連接OC，OD，設OC=OD，求證：AC=BD．6．利用新知解決問題DOCAB內容：

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧．

①構造直角三角形，垂徑定理和勾股定理有機結合是計算弦長、半徑和弦心距等問題的方法．

②技巧：重要輔助線是過圓心作弦的垂線．重要思路：（由）垂徑定理—構造直角三角形—（結合）勾股定理—建立方程．7．歸納小結

教科書習題

24.1第1，2題．8．布置作業24.1圓的有關性質（第3課時）九年級上冊本節課是在學習了垂徑定理后，進而學習圓的又一個重要性質，主要研究弧，弦，圓心角的關系．學習目標：

1．了解圓心角的概念；

2．掌握在同圓或等圓中，兩個圓心角、兩條弧、兩

條弦中有一組量相等，就可以推出它們所對應的

其余各組量也相等．學習重點：

同圓或等圓中弧、弦、圓心角之間的關系．1．思考圓是中心對稱圖形嗎？它的對稱中心在哪里？·圓是中心對稱圖形，它的對稱中心是圓心，它具有旋轉不變性.N把圓O的半徑ON繞圓心O旋轉任意一個角度．

15°O2．性質把圓O的半徑ON繞圓心O旋轉任意一個角度．NO15°N′

30°2．性質把圓O的半徑ON繞圓心O旋轉任意一個角度．NO30°N′

60°2．性質把圓O的半徑ON繞圓心O旋轉任意一個角度．NO60°N′

n°2．性質把圓O的半徑ON繞圓心O旋轉任意一個角度．NOn°N′由此可以看出，點N′仍落在圓上．2．性質把圓O的半徑ON繞圓心O旋轉任意一個角度．2．性質NOn°N′性質：把圓繞圓心旋轉任意一個角度后，仍與原來

的圓重合．把圓O的半徑ON繞圓心O旋轉任意一個角度．2．性質NOn°N′

我們把頂點在圓心的角叫做圓心角．如∠NON′是

圓O的一個圓心角．把圓心角等分成360份，則每一份的圓心角是1°，

同時整個圓也被分成了360份．則每一份這樣的弧叫做1°的弧．1°的圓心角對著1°的弧，

1°的弧對著1°的圓心角.n°的圓心角對著n°的弧，

n°的弧對著n°的圓心角.性質：

弧的度數和它所對圓

心角的度數相等.2．性質這樣，1°的弧1°n°的弧n°3．探究如圖，將圓心角∠AOB繞圓心O旋轉到∠AOB＇

的位置，你能發現哪些等量關系？為什么？＇∠AOB=∠AOB＇＇ABOB＇A＇AB=＇＇A

BAB=AB＇＇同樣，還可以得到：在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角______

，

所對的弦______；在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角______，所對的弧______．這樣，我們就得到下面的定理：

在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所

對的弦也相等．

相等相等相等相等4．定理

同圓或等圓

中，兩個圓心角、

兩條弧、兩條弦

中有一組量相等，它們所對應的其余各組量也相等．因為AB=CD，所以∠AOB=∠COD．又因為AO=CO，BO=DO，所以△AOB

≌△COD．又因為OE

、OF是AB與CD

對應邊上的高，所以OE=OF．5．鞏固∠AOB=∠CODAB=CD如圖，AB、CD是⊙O的兩條弦：（1）如果AB=CD，那么________，______________；（2）如果=

，那么________，______________；（3）如果∠AOB=∠COD，那么________，_______；（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE

與OF相等嗎？為什么？ABCDAB=CDAB=CD∠AOB=∠CODAB=CD相等．ABCDEFO∴AB=AC，△ABC

等腰三角形．又∠ACB=60°，∴△ABC是等邊三角形，

AB=BC=CA．∴∠AOB=∠BOC=∠AOC．6．例題例1如圖，在⊙O

中，=，∠ACB

=60°．求證：∠AOB=∠BOC=∠AOC．ABAC證明：ABAC∵

=ABCO例2

如圖，AB

是⊙O

的直徑，=

=，∠COD=35°，求∠AOE的度數．·AOBCDE解：CDBCDE∴∠BOC=∠COD=∠DOE=35°∴∠AOE=180°-3×35°=75°CDBCDE=

=∵6．例題例3：如圖，在⊙O中，弦AB

所對的劣弧為圓的，圓的半徑為4cm，求AB的長．ABO6．例題

（1）本節課學習了哪些內容？

（2）圓心角、弧、弦之間有哪些關系？7．課堂小結

教科書習題

24.1

第

3，4題．8．布置作業24.1圓的有關性質（第4課時）九年級上冊本課是在學習了垂徑定理、圓心角及弧、弦、圓心角的關系的基礎上探究同弧（或等弧）所對圓周角之間以及圓周角與圓心角之間的數量關系．學習目標：

1．了解并證明圓周角定理及其推論；

2．經歷探究同弧（或等弧）所對圓周角與圓心角之

間的關系的過程，進一步體會分類討論、轉化的

思想方法．學習重點：

圓周角定理．

1．思考和練習圖中∠ACB

的頂點和邊有哪些特點？AOBC頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫圓周角．如：∠ACB．教科書88

頁練習1．1．思考和練習圖中∠ACB和∠AOB有怎樣的關系？2．探究BCOA2．探究BCOABCOA（1）在圓上任取

，畫出圓心角∠BOC和圓周角∠BAC，圓心角與圓周角有幾種位置關系？BCBCOA（2）如圖，如何證明一條弧所對的圓周角等于它

所對的圓心角的一半？3．證明猜想BCOA∵

OA=OC，∴∠A=∠C．

又∵∠BOC=∠A+∠C，∴我們來分析上頁的前兩種情況，第三種情況請同學們完成證明．（3）如圖，如何證明一條弧所對的圓周角等于它

所對的圓心角的一半？D3．證明猜想BCOA證明：如圖，連接AO并延長交⊙O于點D．∵

OA=OB，∴∠BAD=∠B．

又∵∠BOD=∠BAD+∠B，∴同理，∴3．證明猜想圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．思考：一條弧所對的圓周角之間有什么關系？同弧或等弧

所對的圓周角之間有什么關系？同弧或等弧所對的圓周角相等．4．探究ADBCO思考：半圓（或直徑）所對的圓周角有什么特殊性？半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑.4．探究C1AOBC2C3如圖，⊙O的直徑AB為10cm，弦AC為6cm，

ACB的平分線交⊙O于點D，求BC，AD，BD的長．5．應用解：連接OD，AD，BD，

ACBDO∵AB是⊙O的直徑，∴

ACB=

ADB=90°．在Rt△ABC中，BC=

=

=8（cm）

如圖，⊙O的直徑AB為10cm，弦AC為6cm，

ACB的平分線交⊙O于點

D，求BC，AD，BD的長．5．應用ACBDO∵

CD

平分

ACB，∴

ACD=

BCD，∴

AOD=

BOD．∴

AD=BD．在Rt△ABD中，

AD2+BD2=AB2，∴

AD=BD=

=

（cm）．（1）本節課學習了哪些主要內容？（2）我們是怎樣探究圓周角定理的？在證明過程

中用到了哪些思想方法？6．課堂小結

教科書第88頁練習第2，3，4題．7．布置作業24.1圓的有關性質（第5課時）九年級上冊圓內接四邊形的性質是圓周角定理的應用．利用圓周角定理，可以把圓內接四邊形的四個內角（圓周角）和相應的圓心角聯系起來，得到圓內接四邊形的性

質．圓內接四邊形的性質在圓中探究角相等或互補關系時經常用到，也是研究四點共圓的基礎．學習目標：

1．掌握圓內接四邊形的概念和性質；

2．會運用圓內接四邊形的性質證明和計算一些問題．學習重點：

圓內接四邊形的概念和性質．什