專題七三角函數與解三角形

【考試內容】角的概念的推廣;弧度制;任意角的三角函數;單位

圓中的三角函數線;同角三角函數的基本關系式;正弦、余弦的誘

導公式;兩角和與差的正弦、余弦、正切;二倍角的正弦、余弦、

正切;正弦函數、余弦函數的圖象和性質調期函數;函數

y=Asin（0a+9）的圖象;正切函數的圖象和性質;已知三角函數值求

角;正弦定理;余弦定理;解斜三角形

【近7年全國卷考點統計】

試卷類型2016201720182019202020212022

全國卷（甲卷）1515151551520

全國卷（乙卷）1510151510155

新高考全國I著~105

新高考全國∏著~10

重要考點回顧

一、基本知識

]L角度制與弧度制的互化

1rad=—≈57.30o=57018,;

π

TT

lo=-≈O.O1745(rad)5πrad=180o.

2.弧長公式:/=同.七

扇形面積公式:S扇形=Jr=IQ卜產.

乙乙

3.任意角的三角函數的定義：

I(1)設Q是一個任意角,在Q的終邊

上任取(異于原點的)一點

P(X,y),P與原點的距離為八則:

y久，y

sin。二一v;COS。二r一;tana=-x.

(2)單位圓定義法:如圖,設α是一個任意角,它的終邊與單位圓

交于點P(X,y),

I那么:y叫做α的正弦,記作Sin%即Sina=y;1叫做α的余弦,記作

cosot,∣Pcosa=x?

卜/y}

-叫做Q的正切,記作tang即tan<Z=-(Λ≠0)./-----'χ∕

4.三角函數在各象限中的符號:一全正,二正弦,三正切,四余弦.

5.特殊角的三角函數值：

α0°30°45o60o90°120o135o150o180o270o360o

ππTrTr2ττ3ττ5π3τr

弧度0兀2π

6432TT6T

1√2√3√3√21

sina010-10

2TTTT2

√3√2ii_V2

cosa10-101

TT2^222

√3_V3

tana0i√3/-√3-10/0

T3

6.同角三角函數的基本關系式

⑴平方關系:si/θ+COS2。=1;

⑵倒數關系：tan。=岑.

cosθ

二、誘導公式

L誘導公式（左∈Z）

角正弦函數一余弦函數一記憶口訣一

2k兀+αsinacosa

兀+α-sina-cosa

函數名不變

-α-sinacosa

符號看象限

π-asina-cosa

2π-a-sinacosa

π

cosasina

Tr

-+_a____________c_osa-sina.函數名改變

3TT

--Ol-cosa-sina.符號看象限

_________2

——3TT+,a-cosasina

_________2____________

2.求任意角的三角函數值的問題渚K可以通過誘導公式化為銳

角三角函數的求值問題,具體步驟為“負角化正角”一“正角化銳

角”一求值,

J3.誘導公式解決常見題型

I(1)求值:已知一個角的某個三角函數值,求這個角的其他三角

函數值;

I(2)化簡:要求是能求值則求值,次數、種類盡量少,盡量化去根

式,盡可能不含分母.

三、兩角和與差及二倍角的三角函數

IL兩角和與差的三角函數公式H

sin(ɑ+β)=Sinotcosβ+cosαsinβ;

cos(α±S)=cosacos夕=FSinasin優

/,八、tana+tanB

tan(α±份Ftang??

2.二倍角公式

2tana

sin20=2sin<zcos(z;tan2a=

l-tan2a,

cos2a=cos?-sin2ot=2cos?-1=1-2sin?.

3.幾個常用的結論:

(l)sinx+cosX=λ∕^sin(%+*

(2)λ∕3sinx+cosX=2sin(%+9；

(3)sinx+V3cosX=2sin(%+9；

./π

(4)∣sinx-<cosX=SinI%—-

四、三角函數的圖象與性質

I1.結合五點法作圖畫出正弦函數y=sin%(x∈R)?余弦函數

y=CosX(X￡R)的圖象.

I⑴定義域：OE?

I(2)值域都是ELil

對于y=sin羽當九二m±2匝色皂ZI時,y取最大值1;

乙

當X=-S+2女兀(攵WZ)時,y取最小值-1;

對于y=Cos%.當x=2Z兀(左￡Z)時,y取最大值L

當元二兀+2?兀(左￡Z)時,y取最小值-L

⑶周期性：

①y=sinx,y=cosx的最小正周期都是2兀；

,~2TT

②/(x)=ASin(①x+°)和“x)=ACoS(①x+夕)的最小正周l期r都是兩?

(4)單調性：

>=sinx在區間I-巴+2∕OT[+2∕cτr]/呈Zl上單調遞增，

-22.

在*+2∕cπ,y+2∕OT]隹Z)上單調遞減；

J=CosX在區間「-兀+2E2E](Z^Z)上單調遞增,

在區間「2左兀,兀+2%兀]伏∈Z)上單調遞減.

(5)奇偶性與對稱性：

正弦函數y=sinX(X￡R)是奇函數,對稱中心是(E,OXkWZ),對

Tr

稱軸是直線X=是+式乙上￡2)：

I余弦函數y=cosx(x≡R)是偶函數,對稱中心是

(kπ+p0)僅∈Z).對稱軸是直線X=E(女∈Z).

2.正切函數y=tanX的圖象和性質：

(1)定義域:，XX≠-+kπ,/c∈Z?.

I2J

(2)值域是R,在定義域｛x∣%≠∣+fcπ,fc∈z｝上無最大值也無

最小值;

](3)周期性:7=兀；

](4)奇偶性與對稱性:奇函數,對稱中心是管,0)匹Z);.

I(5)單調性:正切函數在開區間(―]+kπ[+一)優∈Z)內都是

增函數.

3.函數y=ASin(Cυx+°)圖象的IHI法：

①“五點法"---設X=①x+2令X=OA，兀，￥，2兀求出相應的X值,計

算得出五點的坐標,描點后得出圖象；

②圖象變換法:這是作函數簡圖常用方法.

4.函數y=Asin(①x+夕)+左的圖象與y=sinX圖象間的關系：

I①將函數y=sin%的圖象向左(9>0)或向右(9<0)平移|例個單位

=Sin(X+夕)的圖象

②函數y=sin(x+e)圖象的縱坐標不變,橫坐標變為原來的看得

到函數y=sin(①x+弦)的圖象；

③函數y=sin(cυx+9)圖象的橫坐標不變,縱坐標變為原來的A倍,

得到函數y=Asin(s+0)的圖象；

I④將函數y=Asin(5+9)的圖象向上(%>0)或向下(左<0)平移因

個單位.得到y=Asin(ωx+o)+左的圖象.

要特別注意,若由y=sin(①X)得到y=sin(5+9)的圖象則向左或

向右平移產I個單位.

(JL)

5.研究函數y=Asin(0a+9)性質的方法:類比于研究y=sinx的性

質,只需將y=Asin(0α+e)中的ox+夕看成y=sinX中的x,但在求

y=Asin(0x+夕)的單調區間時,要特別注意A和①的符號,通過誘導

公式先將Q化正.

五、正弦、余弦定理,面積定理

1.正弦定理

上=工=」=2R

sinAsinBsinC

2.余弦定理

(l)α12=?2+c2-2?ccosA,b2=c2+a2-2cacosB?cλ=a2+b2-2abcosC.

z??b2+c2-a2a2+c2-b2ra2+b2-c2

(2)cosAλ=-----------;cosBd------------;cosC=-----------

2bc2ac2ab

3.面積定理

(I)S=I4=/∕?=}c∕Zc(兒也兒分別表示〃力,c邊上的高).

乙乙乙

11,1

(2)S=-absinC=-bcsinA=-casinB.

222

考點訓練

1.點A(Sin2015°,cos2015°)位于(

■A.第一象限B.第二象限

■C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解析】2015o-5×360o=215°,

sin215o<0,cos215°<0.

故選C.

2.已知角。的頂點與坐標原點重合,始邊與X軸的正半軸重合,終邊

在直線y=2x上,則COS卜9—5)=()

4334

A--B--C-D-

5555

【答案】D

【解析】因為直線y=2x經過一、三象限,在第一象限取特殊點］

(1,2),代入COSθ=jχ2+y2,sin0=j%jy2可得COSSin9=等I

則CoS(29—I)=Sin2。W

同理,取第三象限特殊點也可得到此結論.故選D.

3.若COSQ=-理,且角。的終邊經過點P(X2),則P點的橫坐標產

【答案】-2√3

X

-①可得戶±2倔

【解析】由COSa=22

VX+22

且由COSa<0可知X=-2百.

4.已知角心￡(τr,∕),tan0=2,則COSa=

【答案】-立

5

【■角ZaT牛7?‰析LJ▼兀3——ττ,cos<z<C0,tana=-S--in--a=C2,

2CoSa

將Sinα=2cos。代入Sin2<χ+cos2α=l即可.

?

5.已知a為第二象限的角,sino=9則tan2a=.

【答案】今

【解析】由Siiι2<z+cos2α=l且。為第二象限角,可得COSa=-g,

則tanα=-3,代入tan2a=--tan^gpp?.

4l-tanzα

.+則Sin2θ=()

A.?-■B,^I

D*

936

【答案】A

【解析】l-2sin2《+e)=cos∣?+2j)=-sin29=(,

1,7

則Sin2θ=--.

9

故選A.

)

【答案】A

【解析】l-2sin2"一a)=COS《一2a

COS普+2ɑ)=-cos([-2α)=-∣.

故選A.

2,n

8.CLH—

4)

12

C-D-

A，-3Bq*2*3

【答案】B

2

T-r+2α-

【解析】2cos2（：+α）-I=COS23

可得COS2?+α)=?.故選B.

9.若空S巴二2,則tang=()

2sιnα-cosα

A.1B.-lC.-3D.f4

43

【答案】A

【解析】膂笆巴=2,分子分母同時除以CoSg

2sιnα-cosα

得到：：na+12解得tana=l.

2tanα-l

故選A.

10.函數y=Asin（s+9）的部分圖象如下圖所示,則其解析式可以

是

2x+-

C.y=3sinQx+

【答案】B

【解析】由圖象易知,當D時,y<0,經驗證可排除A,C.

因為點（看,—3）在函數圖象上,將點（專,—3）代入y=-3sin（2%+

可知等式成立，

而將點借,—3）代入尸3sin（N+自,可知等式不成立.故選B.

11.函?∕(%)=C0s2(x—3)-C0S2(%+q)(x∈R)是()

A.周期為兀的奇函數B.周期為兀的偶函數

C.周期為2兀的奇函數D.周期為2兀的偶函數

【答案】A

【解析】函數/(x)=CoS2(%--COS2(%+9可化為

於)二COS21—-COS2^X—+I)=COS20

二COS2(%—g=cos(2%—l?=Sinlx.

于是可知原函數加0是周期為兀的奇函數.故選A.

12.函數/(x)=CoS(COX+夕)的部分圖象如圖所示,則取元)的單調遞減區

間為()H

AGTI-?fkπ+[).∈Z)B.(2∕OT-^f2kπ+∣)(Jt∈Z)

C.(∕c-?tk+L∈Z)D.(2/c-52/c+∣)∕∈Z)

【答案】DNt?

1.Ti

*+0=γ

【解析】由五點作圖知

5,3τr

泮+◎F

解得①=TIM=E,所以AX)=CoS(ττ%+4),1

Tr13

令2左兀<兀％+1<2左兀+兀,左￡Z,解得2左7<%<2%+1,左￡Z,

故單調遞減區間為(2/c-%2k+3)*∈Z.故選D.

13.函數y=2cos2（%—W）-l是（）

■A.最小正周期為兀的奇函數B.最小正周期為兀的偶函數

C最小正周期為g的奇函數D.最小正周期為T的偶函數

【答案】A

［解析］

因為y=2cos2（x—：）l=cos2（%—：）=cos（2x—I）=Sin2x,

所以函數”）是奇函數,最小正周期為T=e=g=兀故選A.

14.函數/(x)=Sin2x-4sinxcos3x(x￡R)的最小正周期為

【答案】?

［解析］/(x)=2sinXCosx-4sinxcos3x=2sinxcosx(l-2cos2x)

1

=-sin2xcos2x=-sin4x,

2

可得咕

15.現有四個函數:①y=xsin%,②產XCOSx,③y=x∣cosXl,④y=x?2，的

部分圖象如下,但順序被打亂了,則按從左到右將圖象對應函數序

號排列正確的是

A.①②③④B.②①③④

C.③①④②D.①④②③

【答案】D

【解析】由奇偶性可知④為非奇非偶函數,故④的圖象只有第二

個圖滿足條件.故選D.

16.在函數①)=cos∣2x∣,②y=∣cos尤|,③y=cos(2x+

④尸tan(2%-§中,最小正周期為兀的所有函數為()

A.①②③HB.①③④C.②④.D.①③

【答案】A

(解析］?γ=cosX是偶函數可知y=cos∣2x∣=Cos2x,最小正周期為

γ=∣cos%|的最小正周期也為兀,即②也正確；

y=cos(2%+最小正周期為兀,即③正確；

尸an(2%-§的最小正周期為今即④錯誤.故選A.

17.若函數戶3小（2、+0）的圖象關于點將,0）中心對稱,那么加的

最小值為

A—R"HnTC

6BNC-DA

?Δ

【答案】A

【角牛析J3cos（2X等+￠）=3COS（等+P）=0,

則由詈+夕=kπ+］伏∈Z）可得°=hι-普k∈Z）,

6

所以當左=2時J01minW.故選A.

O

18.函數y=sin(2τ+芳的圖象的一條對稱軸方程是(

■?-??-lIBX=E■C.V■D,X=—

o4

【答案】A

【解析】由于函數y=sin(2%+^θ的圖象的對稱軸方程是

2x^=→kπ(k≡Z)J?iχ=-π+-(k≡Z?

易知,當上1時有41故選A.

19.已知G>0,0<9<兀,直線X=f和x二」是函?∕(x)=Sin(Oa+夕)圖象的

44

兩條相鄰的對稱軸,則夕=)

A兀?兀z?兀??3ττ

A?4B?CIDT

【答案】A

【解析】由題意得MT=2兀M=I用代入法即可.

Δ44

20.設函數心）=sin（2%+：）+cos（2%+富貝（j（）

A?y=∕U）在（O,］單調遞增,其圖象關于直線Xq對稱

B.y守&）在（Oq）單調遞增,其圖象關于直線XW對稱

c.y=y5）在（Oq）單調遞減，其圖象關于直線Xq對稱

D,y≡∕U）在（Ow）單調遞減,其圖象關于直線冗三對稱

【答案】D

【解析】依題意得依）=sin（2x+：）+cos（2%+勻=√2∞s2x

故選D.

21.函數∕ζx)=Sin(X+夕)-2Sin(PCoSX的最大值為

【答案】1

［解析］fi?x)=sinxcose+cosXSinφ-2cosxsinφ=sm(x-φ),

WWmax=L

22.設當X=。時,函數m)=Sinx-2COSX取得最大值,則COSθ=

【答案】-延

5

【解析】∕ζx)=√^sin(x-9),其中COS夕=4,Sin夕=亭，

??

當”=2左兀+3女WZ)時取最大值.cose=cos(]+9)=-Sin9=-雪.

23.已知平面向量α二(sir?cos2%),b=(sir?-cos2%),函數

f{x}=β?∕7+4cos?+2√3sinxcosx.若存在機∈R彳?∕(x)次勿)在R上恒

,則火機)=.

【答案】0

【解析】,?*Λx)-sin?-cos4x+4cos?+2√3sinxcosx

=-cos2x+2(l+cos2x)+√3sin2x

=cos2x+√3sin2x+2

=2sin^2x+∕)+2≥0,

/.χm)=0.

24.函數m)=ASin(①x+3)，1>Ofω>O,-^<φ<9的部分圖象

如圖所示,則將產危)的圖象向右平移?個單位后,得到的圖象的函

數解析式為()

A.y=sinIxB.y=cosIx

C1Λ7=cinl2Y-l?W=Sinr7γ

【答案】D

【解析】由函數的圖象可知,A=I,且力=詈-公手,所以有7=兀

41264

又由T=—=π,Wω=2.

ω

%sin（2

因為∣9∣<T,則9=也于是以）=Sin（2%+看）.

將y=∕U）的圖象向右平移*個單位，

2-+H=Sin（2%—.故選D.

25.函數y=∕(x)的圖象沿X軸向左平移W個單位,沿y軸向下平移1個

單位,再把圖象上每個點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),

得到函數y=sinx的圖象,則y="x)的解析式為

A.y=sin(2x—^+1B.y=sin(2x-^+1

C.y=sinQx+*1D.y=sinQx+.-1

【答案】B

【解析】由題意可知,將函數y=sinx的圖象的變化倒推回去,即可

求得小0的解析式.

首先將y=sinx的圖象上每個點的橫坐標縮短為原來的點縱坐標不

變),得到函數y=sin2X的圖象；

再將y=sin2x的圖象沿y軸向上平移1個單位,得到函數y=sin2x+1

的圖象；

再將函數y=sin2x+l的圖象沿X軸向右平移?個單位,得到函數

y=sin(2%—勻+1的圖象.故選B.

26.為得至U函數TeoS2x的圖象,可把函數y=gin（2x+守圖象上

2

所有點（）

■A.向右平%個單位■B.向右平瓷個單位■

?乙

■C.向左平鱷個單位D.向左平械個單位

?乙

【答案】C

【解析】可使用代入法.

27.設函數/)=COSGX(G>0),將y=∕(x)的圖象向右平移四個單位長

3

度后,所得的圖象與原圖象重合,則①的最小值等于()B

A1

A.?-B.3C.6D,9

【答案】C

【解析】由題意將y="χ)的圖象向右平移與個單位長度后,所得的

?

圖象與原圖象重合,說明W是此函數周期的整數倍,得詈.左=?左∈Z),

解得①=6上又。>0,令Z=1,得①min=6.故選C

28.函數y=cos(2x+9)(-仁°＜兀)的圖象向右平移5個單位后,與函數

y=sin(2%+9的圖象重合廁°=,

【答案】-

6

【解析】將函數向右平移泠單位得產c°s[2(χ-∣)+φlH

=CoS(2x-π+G=sin(2久-π+φ+%sin(2久+R-。

而匕與函數y=sin(2;r+的圖象重合.

令2x+*2工+畀2析年Z,得共+2譏4e%.?.0噂

29.將函數於)=cosx-√3sinX(X￡R)的圖象向左平移9(9>O)個單位

長度后,所得圖象關于原點對稱,則9的最小值是()

?TlC冗

B6

,12C-i

【答案】B

【解析】函數*x)=CoSx-√3sinx=2CoS(X+將函數圖象向左平

移得到g(x)=2cos(%+T+9)的圖象關于原點對稱,則夕+緊左兀+*

TT

當左=0時,9min=g?故選B?

30.已知A45C中,ɑ=√2,?=√3,β=60°,那么角A等于

A.135oB.90oC.45oD.30o

【答案】C

ab..aSinB√2×-√2

【解析】—-=,..smAa=-■—=_2_=—.

sιn√lsιnBb2

VA∈(0o,180°)且A<B,

??A=45°.故選C.

JT__

31.在AAHC中,ABC所對的邊長分別是〃力,G且Af,Q=√,則

A.lB.2C.√3-lD.√3

【答案】B

?.a_bb?sinAIX在I

【解析】「?sinB--2-=".

?sin"SinB'a√32

TTTT

β（兀）且＞氏

?.B∈0,A.?B=U-C=-乙

利用勾股定理得C=√q2+〃=2.故選B.

32.在4A5C中√L5=3fC=√I^AC=4,則ZXABC的面積是（

A.3B.2C.3√3D.6√3

【答案】C

【解析】???COSA=紅淮=此上①',則SinA=史I

2bc2×3×422

JSZ^8C=[A5?AC?鹿二｝×3×4×?√3.??C.

Z2/2

33.已知〃力,C分別為的內角AAC所對的邊,且

(6-C)(Sin5+sinQ=(β-√3c)?sinA,則角5的大小為()

A.30oB.45oC.60oD.120o

【答案】A

【解析】:由正弦定理,可得S-C)(b+c)=Qm-百力

有按_/=〃2_EaG則COSBz~~?

由于0<5<180°,則3=30°.故選A.

jr

34.已知〃力,c分別為AAHC的三個內角Afc所對的邊力二2乃二

Cq,則AMC的面積為（）

q

A.2√3+2B.√3+lC.2√3-2D.√3-l

【答案】B

【解析】A≡π-g+

r.7π

bsinA2sm行

則〃

SinFsin?-V6÷V2,

6

35.銳角三角形A5C中“Ac是角AAC所對的邊,且（〃2+c2-02>tan5

二√^QG則B=.

【答案】60°

鮑√3

【解析】TcosB=JZ=IanB---------,

2ac2αc2tanB

.e.2tanBeoSB二8,即Sinfi??.

YZXABC為銳角三角形,

：.B=60°.

?

36.若AABC的內角A滿足Sin2A=-,WJsinA+cosA=(

??B.巫C.-叵D.土叵

3333

【答案】B

［解析］(sinA+cosA)2=sin2A+2sinAcosA+cos2A=∣.

?

TΓ

因為A是4A5C的內角,且sin2A>0,貝∣JO<2A<兀,O<A<j,

于是SinA>0,COSA>0,所以SinA+cosA=①?.故選B.

37.如圖,為測量山高MN,選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點

從A點測得M點的仰角NMAN=60。，。點的仰角ZCAB=45°以

及NM4C=75°;從C點測得NMCA=60。,已知山高5C=100m,則

山高MN二m.

【答案】150

【解析】在直角三角形A5C中,由條件可得AC=IOO

在zλM4C中,由正弦定理可得T-=-----竺______

sin60oSin(180°-600-75。)，

故AM焉AC=IoO倔

在直角三角形MAN中,MV=AMsin60。=150.

38.在4A5C中,角A,氏。所對的邊長分別為〃力,G且滿足

CSinA=√^αcosC,則SinA+sinJB的最大值是（）

A.1B.√2C.3D.√3

【答案】D

【解析】由正弦定理可得,27?SinCsinA=√3?2ΛsinAcosC,

則tanC=√3,C?

則SinA+sinB=sinA+sin（爭一力）=Bsin（a+5.故選D.

39.在443C中,角B=f,HC邊上的高等于Je則SinA=()

43

AΛB.如C蘭D.2

1010510

【答案】D

【解析】設5C邊上的高線為AR則5C=3AD

Tr

又B=Q則BO=AR故。C=2AD,所以AC=√^"7^?=√^4D

由正弦定理,知嗯J?即等=N解得SinA@空故選D.J

SinBSlrL4—SlnyI10

2

40.(多選題)已知函數/⑴=CoS(GX+9)(Q>O,Ov9v兀)的部分圖象與y

軸交于點(0,手,與X軸的一個交點為(1,0),如圖所示,則下列說法

正確的是()

B?"x)的最小正周期為6

C.y=/(X)的圖象關于直線x=5對稱

D於)在［θ片］單調遞減

_乙-

【答案】ABC

【解析】對于A,由函數①:)=COS(①工+夕)的圖象與y軸交于點(Oq)，

所以CoS夕=當又0<夕<兀,所以夕=也故A正確；

對于B,由於)的圖象與X軸的-個交點為(1,0),

TrTT

=e

艮Py∕∏)二°,所Wω+U-=2^π+乙-ΛZ;

又l<f<2,解得2</v*所以°=?

4zrZ?

所以加)=cos("+2),求得/")的最小正周期為7=6,故B正確；,

【解析】對于e/?）=CoS+

所以XW是於）的一條對稱軸,故C正確；

Ni

對于D,令2人兀務工+棄2左兀+兀火￡Z,解得6左-SX≤6k+∣,k^Z,

所以函數”）在∣6k-p6∕c+∣]Λ≡Z上單調遞減,故D錯誤.

故選ABC

41.(多選題)已知G>0,函數於)=sin(a%-2)的圖象在區間&兀

上有且僅有一條對稱軸,則實數①的可能取值是()