-2024學年株洲市茶陵縣高一數學下學期入學考試卷一、單選題（每小題5分，共計40分）1．設集合，，則（

）A． B． C． D．2．函數的定義域是（

）A．B．C．D．3．設，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件4．函數的圖象大致為（

）A．B．C．D．5．已知函數在區間（-∞，1]是減函數，則實數a的取值范圍是（

）A．[1，+∞） B．（-∞，1] C．[-1，+∞） D．（-∞，-1]6．為了預防流感，某學校對教室采用藥熏消毒法進行消毒.已知在藥熏過程中，室內每立方米空氣中的含藥量y（單位：mg）與時間t（單位：h）的關系如圖所示，函數關系式為（a為常數）.據測定，當室內每立方米空氣中的含藥量降到0.25mg以下時，學生方可進教室.從藥熏開始，至少經過小時后，學生才能回到教室，則（

）

A．， B．，C．， D．，7．設，，，則，，的大小關系為（

）A． B．C． D．8．已知函數，則函數的零點個數是（

）A．2 B．3 C．4 D．5二、多選題（每小題6分，共計18分）9．下列說法正確的是（

）A．若不等式的解集為，則B．若命題p：，，則p的否定為，C．已知函數在上是增函數，則實數a的取值范圍是D．已知.若的值域為R，則實數m的取值范圍10．圖象經過第三象限的函數是（

）A． B． C． D．11．已知且，，則下列說法正確的是（

）A．一條對稱軸方程為B．時值域為C．的圖像可由的圖像向左平移個單位得到D．的一個對稱中心為三、填空題（每小題5分，共計15分）12．函數是偶函數，當時，，則.13．已知，則．14．如圖所示，半圓的直徑AB＝2，O為圓心，C是半圓上不同于A，B的任意一點，若P為半徑OC上的動點，則(＋)·的最小值是．

四、解答題（本題共5小題，共計77分）15．已知(1)求的值(2)求的值16．已知平面向量(1)若，求x的值：(2)若，求17．已知函數.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）若在區間上的最大值為，求的最小值.18．已知函數.(1)寫出的定義域并判斷的奇偶性；(2)證明：在是單調遞減；(3)討論的實數根的情況.19．某鄉鎮響應“綠水青山就是金山銀山”的號召，因地制宜的將該鎮打造成“生態水果特色小鎮”．經調研發現：某珍稀水果樹的單株產量（單位：千克）與施用肥料（單位：千克）滿足如下關系：，肥料成本投入為元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工費）元．已知這種水果的市場售價大約為15元/千克，且銷路暢通供不應求．記該水果樹的單株利潤為（單位：元）．(1)求的函數關系式；(2)當施用肥料為多少千克時，該水果樹的單株利潤最大？最大利潤是多少？1．C【分析】根據交集運算法則即可計算得出.【詳解】根據列舉法表示的集合可知，由，，利用交集運算可得.故選：C2．C【解析】根據函數解析式，列不等式組求解即可.【詳解】根據題意可得，所以.故選：C.3．C【分析】根據絕對值不等式以及一元二次不等式化簡不等式，即可由充要條件進行判斷.【詳解】由得，由得，所以“”是“”的充要條件，故選：C4．A【分析】根據函數的奇偶性以及值域即可解出．【詳解】因為的定義域為，且，所以函數為奇函數，其圖象關于原點對稱，所以排除C；又當時，，當且僅當時取等號，所以排除B，D．故選：A．5．A【分析】由對稱軸與1比大小，確定實數a的取值范圍.【詳解】對稱軸為，開口向上，要想在區間（-∞，1]是減函數，所以.故選：A6．C【分析】由函數圖象特殊點代入解析式求解，【詳解】當時，，代入解析式得，得，令，解得，即，，故選；C7．A【分析】利用指數函數和對數函數的性質分別比較，，與中間量0，1的大小，從而可比較出，，的大小關系【詳解】解：因為在上單調遞增，且，所以，即，因為在上單調遞增，且，所以，即，因為在上單調遞減，且，所以，即，所以，故選：A8．D【分析】令，根據分別求出函數的零點或零點所在區間，再作出函數的圖象，根據數形結合即可求出函數的零點個數；【詳解】令．①當時，，則函數在上單調遞增，由于，由零點存在定理可知，存在，使得；②當時，，由，解得．作出函數，直線的圖象如下圖所示：

由圖象可知，直線與函數的圖象有兩個交點；直線與函數的圖象有兩個交點；直線與函數的圖象有且只有一個交點．綜上所述，函數的零點個數為5．故選：D．9．AB【分析】對于A，不等式解集的端點即對應方程的根，可求出，判斷正誤；對于B，使用含有一個量詞的命題的否定的知識進行判斷；對于C，結合函數單調性的定義，結合分段函數單調性知識進行判斷；對于D，可使用復合函數的值域知識進行判斷.【詳解】對于A，不等式的解集為，則和是方程的兩個根，故，解得，所以，故A正確；對于B，全稱量詞命題“，”的否定為存在量詞命題“，”因此命題，則其否定為，故B正確；對于C，因為是增函數，需滿足當時，為增函數，當時，為增函數，且當時，，所以，解得，故C不正確；對于D，令，，的值域為R，則的值域為R，即為值域的子集，當時，，值域為R，滿足題意，當時，需，即，解得，綜上所述，實數的取值范圍是，故D不正確.故選：AB.10．BD【分析】結合常見的冪函數圖象，數形結合得到答案.【詳解】由冪函數的圖象可知，A中，過第一、二象限；B中，過第一、三象限；C中，且定義域為R，過第一、二象限；D中，過第一、三象限.故選：BD11．AD【分析】根據代入求出，再利用誘導公式化簡，最后根據正弦函數的性質一一分析即可.【詳解】因為且，所以，即，所以，因為，所以，所以，因為，所以一條對稱軸方程為，故A正確；當時，，所以，則，故B錯誤；將的圖像向左平移個單位得到，故C錯誤；因為，所以的一個對稱中心為，故D正確；故選：AD12．【分析】根據函數的奇偶性求出解析式后即可代入求解.【詳解】因為當時，，所以當時，，所以，函數是偶函數，所以，所以，故答案為：.13．【分析】利用二倍角公式對化簡后代值求解即可.【詳解】因為，所以，故答案為：14．【詳解】試題分析：因為點O是線段AB的中點，所以向量=.所以=.又因為向量是互為相反向量.所以=-2=-2=.所以填.考點：1.向量的求和運算.2.向量的數量積.3.最值問題.15．(1)(2)【分析】（1）通過求出然后代入公式求解即可；（2）結合誘導公式與齊次式化簡，代入求解即可；【詳解】（1）因為，所以；（2）=，齊次式化簡：，故16．(1)或(2)或【分析】（1）直接利用向量垂直的坐標表示列方程求解；（2）先通過向量平行的坐標公式求出，再通過向量的坐標運算求模.【詳解】（1），，解得或；（2），，即解得或，當時，，，；當時，，，，或.17．（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（I）將化簡整理成的形式，利用公式可求最小正周期；（II）根據，可求的范圍，結合函數圖象的性質，可得參數的取值范圍.【詳解】（Ⅰ），所以的最小正周期為.（Ⅱ）由（Ⅰ）知.因為，所以.要使得在上的最大值為，即在上的最大值為1.所以，即.所以的最小值為.點睛：本題主要考查三角函數的有關知識，解題時要注意利用二倍角公式及輔助角公式將函數化簡，化簡時要注意特殊角三角函數值記憶的準確性，及公式中符號的正負.18．(1)，偶函數(2)證明見解析(3)有2個實數根【分析】（1）根據題意可得分母不能為0，即，求解函數的定義域即可，利用奇偶性的定義判斷函數的奇偶性即可；（2）利用定義法證明函數在是單調遞減即可.（3）構造函數，求解函數與函數在區間上的單調性，利用極限的思想可得函數與函數在區間上有一個交點，利用偶函數的性質可得函數與函數共有2個交點，即為方程的根.【詳解】（1）解：由題可知，所以函數的定義域為，因為，所以函數為偶函數.（2）解：當時，，設為區間上的任意的兩個值，且，則，因為，所以，故，即，所以函數在區間上單調遞減.（3）解：由（2）得，當時，函數在區間上單調遞減，且，當時，，當時，，設為區間上的任意的兩個值，且，則，因為，所以，故，即，所以函數在區間上單調遞減.且當時，，當時，，設，則為偶函數，且恒成立，當時，函數在區間單調遞增，且，當時，.所以函數與函數在區間必有一個交點，又因為函數與函數均為偶函數，所以函數與函數在區間必有一個交點，所以函數與函數有2個交點，即方程有2個實數根.1