第6章：空間向量與立體幾何章末檢測一、單選題：本大題共8個小題，每個小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（2023秋·吉林·高二吉林一中校考期末）已知空間向量，，則下列向量中，使能構成空間的一個基底的向量是（）.A．B．C．D．【答案】C【解析】A選項，設，即，所以，解得，，此時不能構成基底.B選項，，此時不能構成基底.C選項，，設，即，，此方程組無解，故此時能構成基底.D選項，，此時不能構成基底.故選：C2．（2021秋·北京·高二北師大實驗中學?？计谥校┰诳臻g直角坐標系中，已知點下列敘述中正確的是（）①點關于軸的對稱點是②點關于平面的對稱點是③點關于軸的對稱點是④點關于原點的對稱點是A．①②B．①③C．②④D．②③【答案】C【解析】點關于軸的對稱點的坐標是，，，故①錯誤；點關于平面的對稱點的坐標是，，，則②正確；點關于軸的對稱點的坐標是，，，則③錯誤；點關于原點的對稱點的坐標是，，，故④正確，故正確的命題的序號是②④，故選：C.3．（2022春·安徽滁州·高二校考階段練習）若直線的方向向量分別為，則（）A．B．C．相交但不垂直D．平行或重合【答案】B【解析】由題意∵，∴，∴.故選：B.4．（2021秋·吉林白城·高二?？茧A段練習）將邊長為的正方形（及其內部）繞旋轉一周形成圓柱，如圖，，，其中與在平面的同側，則異面直線與所成角的大小是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如圖所示，建立空間直角坐標系.，，，，，，設異面直線與所成角為，，，異面直線與所成角的大小是.故選：C.5．（2021秋·遼寧沈陽·高二沈陽二十中校考階段練習）如圖，平行六面體，其中，，，，，，則的長為（）A．B．C．D．10【答案】C【解析】，故，故.故選：C6．（2022秋·河南周口·高二統考期中）如圖，平行六面體中，與的交點為，設，，，則下列向量中與相等的向量是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】.故選：C.7．（2022秋·上海浦東新·高二?？计谀┤鐖D，在正方體中，點為線段的中點．設點在線段上，直線與平面所成的角為，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】設正方體的棱長為2，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，則，，，設平面的法向量，則，取，得，所以，因為，所以在上單調遞減，且，由復合函數單調性可知單調遞增，所以在是嚴格減函數，所以時，取最小值，時，取最大值．所以的取值范圍是．故選：C．8．（2023秋·遼寧沈陽·高二東北育才學校?？计谀┤鐖D，是棱長為1的正方體，若P∈平面BDE，且滿足，則P到AB的距離為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如圖，以點A為原點，分別為軸建立空間坐標系，,則，則,，，，設平面的一個法向量，則，令，則，且面，則，即，得，故，所以，，，則，P到AB的距離為.故選：C二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9．（2023秋·重慶北碚·高二西南大學附中?？茧A段練習）已知空間向量，則下列選項中正確的是（）A．當時，B．當時，C．當時，D．當時，【答案】ABD【解析】對于A，因為，，所以，解得，故A正確；對于B，因為，所以存在，使得，則，即，解得，故B正確；對于C，因為，所以，解得，故C錯誤；對于D，因為，則，所以，故D正確．故選：ABD.10．（2022秋·山東濟寧·高二校考階段練習）設是空間的一組基底，則下列結論正確的是（）A．，，可以為任意向量B．對空間任一向量，存在唯一有序實數組，使C．若，，則D．可以作為構成空間的一組基底【答案】BD【解析】對于，因為是空間的一組基底，所以，，為不共線的非零向量，故選項錯誤；對于，由向量基本定理可知：空間任一向量，存在唯一有序實數組，使，故選項正確；對于，若，，則不一定垂直，故選項錯誤；對于，假設不能構成基底，則存在實數和使得成立，即，所以，方程組無解，故不共線，所以可以構成基底，故選項正確，故選：.11．（2023秋·湖北荊州·高二沙市中學?？计谀┤鐖D所示，平行六面體中，，以頂點A為端點的三條棱長都為1，且，則下列結論正確的是（）A．B．平面C．D．【答案】ABC【解析】設，如圖，則，，故，對于A，，，A正確；對于B，連接，設，連接，則由平行六面體可知，,，∴四邊形是平行四邊形，所以，∵平面，平面，∴平面，故B正確﹔對于C，，故，C正確；對于D，，故故不垂直，故D錯誤，故選：．12．（2023秋·湖北恩施·高二校聯考期末）在棱長為1的正方體中，點滿足，，，則以下說法正確的是（）A．當時，平面B．當時，存在唯一的點，使得與直線的夾角為C．當時，長度的最小值為D．當時，與平面所成的角不可能為【答案】ACD【解析】A選項：當時，的軌跡為線段，由正方體的結構特征，可知平面平面，而平面，∴平面，故A正確；B選項：當時，點的軌跡為線段，直線直線，當與重合時，與直線所成角最大，即與直線所成角最大，最大為，故B錯誤；C選項：當時，點軌跡為線段，到線段的距離為，長度的最小值為．故C正確；D選項：當時，點軌跡為線段，過點做垂直平面于點，則在線段上，為直線與平面所成角，若，則，又點到線段上點的最小距離為，不存在，所以與平面所成角不可能為，故D正確．故選：ACD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13．（2022秋·湖南懷化·高二?？计谥校┫蛄浚?，且，則的值為__________.【答案】【解析】因為，，所以，解得，又因為，，所以，解得，所以.14．（2022秋·廣東江門·高二江門市第二中學?？计谥校┮阎蛄?，，則在上的投影數量為_______【答案】【解析】，則在上的投影數量為.15．（2022春·江蘇常州·高二?？茧A段練習）向量，，，且，，則______.【答案】【解析】因，，而，則有，解得，即又，且，則有，解得，即，于是得，，所以.16．（2023秋·吉林·高二吉林一中?？计谀┮阎匦蜛BCD，P為平面ABCD外一點，且面ABCD，M，N分別是PC，PD上的點，且，，，則______.【答案】【解析】所以，所以.四、解答題：本小題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（2022秋·湖南懷化·高二?？计谥校┤鐖D，在平行六面體中，，且，（1）試用表示向量.（2）若，，，求的長.【答案】（1）；（2）【解析】（1）（2）即，∴.18．（2022秋·江蘇徐州·高二校考階段練習）在長方體中，，，E為中點．（1）證明：；（2）求DE與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）DE與平面所成角的正弦值為.【解析】（1）由已知兩兩垂直，以為軸正方向建立空間直角坐標系因為，，E為中點．所以，所以，所以，所以，所以（2）由（1），設平面的法向量為，則，故，取，則，所以為平面的一個法向量，設直線DE與平面所成角為，則，所以DE與平面所成角的正弦值為.19．（2021秋·遼寧沈陽·高二沈陽二十中校考階段練習）如圖，在三棱錐中，底面ABC，，點D、E分別為棱PA，PC的中點，M是線段AD的中點，N是線段BC的中點，，.（1）求證：平面BDE；（2）求直線MN到平面BDE的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）因為底面ABC，底面ABC，所以且，所以以為原點，所在直線為軸建系如圖，因為，，D、E分別為棱PA，PC的中點，M是線段AD的中點，N是線段BC的中點，所以,設平面的法向量為，所以所以，令，則，因為，平面BDE，所以平面BDE.（2）,直線MN到平面BDE的距離即為在平面BDE法向量上的投影，設與的夾角為，則有所以，所以直線MN到平面BDE的距離為.20．（2022春·遼寧·高二統考學業考試）如圖所示，在四棱錐，面，底面為正方形．（1）求證：面；（2）已知，在棱上是否存在一點，使面，如果存在請確定點的位置，并寫出證明過程；如果不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）存在，點為線段的中點時，面，理由見解析【解析】（1）在四棱錐中，面，面，面，∴，，在正方形中，，∵面，面,面，，∴面（2）建立空間直角坐標系如下圖所示：設，則∴，，，，∴，在面中，，，設面的一個法向量為，∴即，解得，當時，，即，若面，則，∴，解得：，∴，∴當點為線段的中點時，面.21．（2023秋·重慶九龍坡·高二重慶市育才中學?？计谀┰谄矫嫖暹呅沃校ㄈ鐖D1），是梯形，，，，，是等邊三角形.現將沿折起，連接，得四棱錐（如圖2）且.（1）求證：平面平面；（2）在棱上有點，滿足，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）在圖1中，取的中點，連，依題意得，，如圖：則，，折疊后，在圖2中，，如圖：在中，，，，所以，所以，由，，，平面，平面，得平面，又平面，所以平面平面。（2）由（1）可知，兩兩垂直，以為原點，分別為軸建立空間直角坐標系，如圖：則，，，，，，，因為，所以，所以，所以，取平面的一個法向量為，設平面的一個法向量為，則，得，令，得，得，所以，由圖形可知，二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.22．（2022春·江蘇常州·高二校考階段練習）如圖，正方體的棱長為，、分別為和的中點，為棱上的動點.（1）是否存在點使平面？若存在，求出滿足條件時的長度，若不存在，請說明理由；（2）當為何值時，平面與平面所成銳二面角的正弦值最