2024年全國初中數學聯賽試卷〔第一試〕一、選擇題1．設a2＋1＝3a，b2＋1＝3b，且a≠b，那么代數式eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)的值為〔〕(A)5.(B)7.(C)9.(D)11.2．如圖，設AD，BE，CF為三角形ABC的三條高，假設AB＝6，BC＝5，EF＝3，那么線段BE的長為〔〕(A)eq\f(18,5).(B)4.(C)eq\f(21,5).(D)eq\f(24,5).3．從分別寫有數字1，2，3，4，5的5張卡片中依次取出兩張，把第一張卡片上的數字作為十位數字，第二張卡片上的數字作為個位數字，組成一個兩位數，那么所組成的數是3的倍數的概率是〔〕(A)eq\f(1,5).(B)eq\f(3,10).(C)eq\f(2,5).(D)eq\f(1,2).4．在△ABC中，∠ABC＝12°，∠ACB＝132°，BM和CN分別是這兩個角的外角平分線，且點M,N分別在直線AC和直線AB上，那么〔〕(A)BM＞CN.(B)BM＝CN.(C)BM＜CN.(D)BM和CN的大小關系不確定.5．現有價格相同的5種不同商品，從今天開始每天分別降價10％或20％，假設干天后，這5種商品的價格互不相同，設最高價格和最低價格的比值為r，那么r的最小值為〔〕(A)(eq\f(9,8))3.(B)(eq\f(9,8))4.(C)(eq\f(9,8))5.(D)eq\f(9,8).6．實數x，y滿足(x－eq\r(\s\do1(x2－2024)))(y－eq\r(\s\do1(y2－2024)))＝2024，那么3x2－2y2＋3x－3y－2024的值為〔〕(A)-2024.(B)2024.(C)-1.(D)1.二、填空題1．設a＝eq\f(eq\r(\s\do1(5))－1,2)，那么eq\f(a5＋a4－2a3－a2－a＋2,a3－a)＝_________.2．如圖，正方形ABCD的邊長為1，M,N為BD所在直線上的兩點，且AM＝EQ\R(\S\DO(),5)，∠MAN＝135°，那么四邊形AMCN的面積為___________.3．二次函數y＝x2＋ax＋b的圖象與x軸的兩個交點的橫坐標分別為m，n，且│m│＋│n│＜1.設滿足上述要求的b的最大值和最小值分別為p，q，那么│p│＋│q│＝__________.4．依次將正整數1，2，3，…的平方數排成一串：149162536496481100121144…，排在第1個位置的數字是1，排在第5個位置的數字是6，排在第10個位置的數字是4，排在第2024個位置的數字是___________.第二試一、a2＋b2＝1，對于滿足條件0≤x≤1的一切實數x，不等式a(1－x)(1－x－ax)－bx(b－x－bx)≥0恒成立.當乘積ab取最小值時，求a，b的值.二、如圖，圓O與圓D相交于A，B兩點，BC為圓D的切線，點C在圓O上，且AB＝BC.〔1〕證明：點O在圓D的圓周上.〔2〕設△ABC的面積為S，求圓D的的半徑r的最小值.三、設a為質數，b為正整數，且9(2a＋b)2＝509(4a＋511b)求a，b的值.參考答案第一試選擇題1.B2.D3.C4.B5.B6.D填空題.1.-22.eq\f(5,2)3.eq\f(1,2)4.1第二試一、，對于滿足條件的一切實數，不等式恒成立.當乘積取最小值時，求的值.解：設，那么==當時，，當時，，故.假設，那么，，不恒大于等于0，故即，同理.當時，當，即時，，故，即.當，即時，綜上所述，最小值是，此時或.二、如圖，圓與圓相交于兩點，為圓的切線，點在圓上，且.〔1〕證明：點在圓的圓周上.〔2〕設△的面積為，求圓的的半徑的最小值.解：(1)連接，那么，又，故等腰，.由于為圓的切線，故弦切角所夾劣弧長為所夾劣弧長的2倍，即半徑所在直徑通過弧的中點，即點在圓上.〔2〕連接，那么，故，又，故，即，且當為圓的直徑時可以取等號，故的最小值是.三、設為質數，為正整數，且求，的值.解：將原等式整理為關于的一元二次方程：，由于為正整數，那么方程判別式是完全平方數，即為完全平方數，設，那么，即，由于，故同為奇數或者同為偶數