2022-2023學年山東省濱州市惠民縣高一（下）期中數學試卷

1.若愛（αe∕?）是純虛數，則α=（）

A.—1B.1C.-9D.9

2.下列說法正確的是（）

A.單位向量都相等B.若a≠%,!H∣J∣α∣≠∣b∣

C.若同=?b??則五〃石D.若I引≠D∣,貝炳≠I

3.體育鍛煉是青少年生活學習中非常重要的組成部分.某學生做引體向

上運動，處于如圖所示的平衡狀態，若兩只胳膊的夾角為60。，每只胳膊

的拉力大小均為300M則該學生的體重約為（參考數據：取重力加速度

大小為g《10m∕s2,C=1.732）（）

A.52奴

B.60kg

C.70kg

D.102奴

4.如圖正方形OABC邊長為2tro,它是水平放置的一個平面圖

形的直觀圖，則原圖形的周長是多少“"？（）

A.4B.8C.12D.16

5.已知i為虛數單位，復數Z滿足∣z-2i∣=∣z∣,貝匹的虛部為（）

A.1B.iC.-1D.—i

6.已知向量N,方不共線，且H=X五+3,d=2α+（2x-3）K,若下與2共線，則實數X的值

為（）

A.2B.—?C.2或D.-2或-T

7.攢尖是古代中國建筑中屋頂的一種結構形式，依其平面有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢

尖、六角攢尖等，多見于亭悶式建筑.如故宮中和殿的屋頂為四角攢尖頂，它的主要部分的輪

廓可近似看作一個正四棱錐，設正四棱錐的側面等腰三角形的頂角為60。，則該正四棱錐的底

面積與側面積的比為（）

A.—B.—CwD.5

632

8.如圖，長方體ABCD-EFGH中，ABBC=2,BF=1,M為EF的中點，P為底面ABCO

上一點，若直線"P與平面BMG沒有交點，則AHDP面積的最小值為（）

A.二B.CCqD.1

522

9.已知Z為復數，設z,iz在復平面上對應的點分別為A,B,C,其中O為坐標原點,

則（）

A.?0A?=?0B?B.OALOCC.∣宿=畫∣D.OB//AC

10.己知R=（3,-1）石=（1,-2），則下列結論正確的有（）

A.α?e=5

B.與3方向相同的單位向量是（甯,―1）

C.0,b）=l

D.2與評行

11.在△4BC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若α=4,sinA=gCoSC=噂,

?IU

則下列結論正確的是（）

2π

A.COSA=±ξB.B=-

C.b=?D.△/!BC的面積為7√^Σ

12.如圖是一個圓錐和一個圓柱的組合體，圓錐的底面和圓柱的上底

面完全重合且圓錐的高度是圓柱高度的一半，若該組合體外接球的半徑

為2,則()

A.圓錐的底面半徑為1

B.圓柱的體積是外接球體積的四分之三LL——二

C.該組合體的外接球表面積與圓柱底面面積的比值為16：3

D.圓錐的側面積是圓柱側面積的一半

13.定義：a,石兩個向量的叉乘方X石的模I五XBl=I五I?IB∣?sin<五，B>.若點A(0,1)、

B(l,<3))。為坐標原點，貝IJl用X話I=.

14.若i是虛數單位，則i+2C+3i3+…+2013*。13=.

15.己知向量Zi=(1,1),石=(2,3)，則向量1在向量至上的投影向量的坐標表示為.

16.如圖所示的六面體由兩個棱長為"的正四面體M-ABC,Q-M

ABC組合而成，記正四面體M-ABC的內切球為球01,正四面體Q-/X

ABC的內切球為球。2，則。傳2=;若在該六面體內放置一個/\\

球O,則球。的體積的最大值是./0、\

17.如圖，四邊形ABC。中，已知而=2近.

(1)用荏，而表示反；

(2)若荏=2而，DP=1DE,用話，而表示

EB

18.當實數，"取什么值時，復平面內表示復數z=(r∏2一5m+6)+(τ∏2一3m+2)i的點分

別滿足下列條件：

(I)與原點重合；

(2)位于直線y=2x上；

(3)位于第一象限或者第三象限.

19.如圖，在圓柱OOi中，AB是圓柱的母線，BC是圓柱的底面。。的直徑，。是底面圓周

上異于8、C的點.

(1)求證：CD_L平面ABD；

(2)若BD=2,CD=4,AC=6,求圓柱001的側面積.

20.某同學為了估算教學樓CD的高度,在教學樓CO的附近找到一座高為(12C-12)m的

建筑物4B.在它們之間的地面上取點M使8、M、。三點共線，在點M處測得建筑物AB樓頂

A以及教學樓CD樓頂C的仰角分別是15。和60。,在樓頂A處測得教學樓樓頂C的仰角為30。，

則此同學估算該教學樓的高度是多少？

21.如圖，在四棱錐P-ZBC。中，底面ABCD是菱形，/.ABC=60°,三角形PAB為正三角

形，且側面H4B_L底面ABCD.E,M分別為線段AB,PO的中點.

(1)求證：PB〃平面ACM；

(2)在棱CO上是否存在點G,使平面G4M1平面48CD,請說明理由.

22.在銳角三角形ABC中，角A,BC的對邊分別是a,b,c,若已知asinC=CSinG4+今,

且爐+c2=a2+2a.

(1)求角A的值；

(2)求三角形ABC的面積的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】B

r1-C.1AZ?α+3i(α+3i)(3+i)3α-39+α.

【解析】解：—==+

???當(αeR)是純虛數，

北工VO。，解得α=l?

故選：B.

先將復數化簡，再根據純虛數列出方程組求解即可.

本題主要考查純虛數的定義，屬于基礎題.

2.【答案】D

【解析】解：對于4單位向量的模長相等，但方向不一定相同，所以A錯誤;

對于B當方≠石時,其模長I不與|石|也可能相等,所以B錯誤；

對于C，當IWl=Ibl時，不一定有2〃匕,所以C錯誤；

對于。，若方=6，則Ial=Ibl是真命題，

則它的逆否命題：若I五∣≠∣B∣,則a≠E,也是真命題，。正確.

故選：D.

A,單位向量的模長相等，但方向不一定相同；

B,日≠冽寸,也有可能I方I=I石

C,IEl=IBI時，不一定有J〃石;

D,利用互為逆否命題的兩個命題真假性相同，判斷即可.

本題考查了平面向量的基本概念應用問題，是基礎題.

3.【答案】A

【解析】解：設兩只胳膊的拉力分別為汽,工,且而I=歷I=300,6,否=60。，

則I方+為=JX+X+2］不=√9000+9000+2×300×300cos60o=30Oq

520N,

所以學生體重Zn≈52kg.

故選：A.

設兩只胳膊的拉力分別為方不，結合∣］+3∣2=方2+琛+2］芳，即可求解.

本題主要考查了向量的數量積運算，屬于基礎題.

4.【答案】D

【解析】解：根據題意，正方形OABC邊長為2qm它是水平放置C_________R

的一個平面圖形的直觀圖，\\

其原圖如圖：\\

其中。A=BC=2cm,OB=4。，則AB=OC=√4+32=6，\\

故原圖形的周長為2+2+6+6=16。m.N________

O

故選：D.

如圖，由題意求出直觀圖中08的長度，根據斜二測畫法，求出原圖形邊長，進而可得原圖形的

周長.

本題考查斜二測畫法，涉及平面圖形的直觀圖，屬于基礎題.

5.【答案】C

【解析】解：設z=α+bi(α,b6R),

則Z=a-bi>

?z-2i?=∣z∣,

則∣α+(b—2)i∣=∣α+bi∣,即a?+(b—2/=α?+爐，即—4b+4=0,解得b=1,

故W的虛部為-L

故選：C.

根據已知條件，結合復數模公式，共軌復數的定義，以及虛部的定義，即可求解.

本題主要考查復數模公式，共輾復數的定義，以及虛部的定義，屬于基礎題.

6.【答案】C

【解析】解：T向量五，B不共線，且不=xa+1,d=2a+(2x—3)b>H與2共線,

????=?j-求得實數X=2或％=-?

22x-32

故選：C.

由題意，利用兩個向量共線的性質，求得實數X的值.

本題主要考查兩個向量共線的性質，屬于基礎題.

7.【答案】B

【解析】解：根據題意，設該正四棱錐的底面四邊形的邊長為4,則其底面積S底=。2,

又由該正四棱錐的側面等腰三角形的頂角為60。，則其4個側面都是邊長為α的正三角形,

故正四棱錐的側面積S網=4XGXaXaXsin60o)=√3α2,

S虎∩2√o

該正四棱錐的底面積與側面積的比資=原=y?

故選：B.

根據題意，設正四棱錐的底面四邊形的邊長為。，由此求出該正四棱錐的底面積與側面積，進而

計算可得答案.

本題考查棱錐的側面積與底面積的體積公式，涉及四棱錐的幾何結構，屬于基礎題.

8.【答案】A

【解析】解：直線HP與平面BMG沒有交點，所以HP〃平面BMG,

取CD中點M連接HMHA,

因為4B〃HG,AB=HG,所以四邊形ABGH是平行四邊形，

所以4H∕∕BG,BGU平面BDG,AHC平面BDG,故4H//平面BDG-,

同理可得4N〃平面BDG,ANOAH=A,AN,AHU平面AHN,

故平面4HN〃平面BDG,

故尸在AN上運動，當DPIAN時，QP最小，最小值為愛=寫，

此時AHDP的面積最小，求得:xIx浮=一.

故選：A.

確定HP〃平面BMG,取CD中點N,證明平面AHN〃平面BDG,確定P在AN上運動，當DP1AN

時面積最小，計算得到答案.

本題主要考查平面的基本性質及其推論，屬于中檔題.

9.【答案】AB

【解析】解：設z=α+bt(α,b∈R),

?A(a,e),

z=a—bi(a,b∈R),

???B(Q,—b),

iz=i(ɑ÷bi)=-h÷αi,

?C(-b,α),

OA=(a,b),OB=(α,—b),OC=(—b,a),AC=(—b-a,a—b),BC=(—b—α,α+b)，

2222

對于A,?.?√α÷h=λ/α÷(—h),

.?.∣0Λ∣=∣0B∣,故A正確；

對于8,?；α(-b)+bα=0,.?.瓦？1元，故8正確；

對于C?.?I刀I=√(―b-α)2+(α-b)2,?BC?=√(-e-ɑ)2+(?+e)2,

當abH0時，I前I巧能故C錯誤；

對于￡),?；α(α—b)—(—b)(—b—a)=a?—2αb—尼，α?—2ab—川可以為零，也可以不為零，

故而不一定平行于前，故選。錯誤.

故選：AB.

根據復數的幾何意義、共輾復數、復數的乘法運算可以表示出A,B,C三點的坐標，通過向量的

模長、向量的平行和垂直知識進而可以判斷.

本題主要考查向量與復數的綜合應用，考查轉化能力，屬于中檔題.

10.【答案】ABC

【解析】解：α=(3,-l),K=(1,-2).則蒼?E=3X1+(—1)X(—2)=5,A正確；

與方方向相同的單位向量是卷=7?(3,-1)=(?,-?)-B正確;

L京3×l+(-l)×(-2)√-2TTr

COS(a,b>==h,而位,B>e[0,π∣,所以位,b>=%C正確；

√3q1十(一/)

因3X(-2)≠(-1)X1,貝暇與方不平行，。不正確.

故選：ABC.

根據給定的條件，利用向量的數量積、向量夾角，向量共線的坐標表示判斷A,C,。；求出與方方

向相同的單位向量的坐標判斷B作答.

本題主要考查平面向量的數量積運算，屬于基礎題.

11.【答案】BC

【解析】解：COSC=得，

貝IJSinC=√1-cos2C=

則急=金即C=強>a=4,故C>A,

所以A不為鈍角，否則A、C都為鈍角，則cos4=√1-si/A=卷,

Xa2+b2—2abcosC=c2,即16+"—耳馬=，,

整理得IOb2_8y∕-2b-85=(5√^2h+17)(√^h-5)=0,

a2+c2-b2_16+竽-竽_

故b=-γ==5；2'COSB=殍，且8為三角形內角，則B=*,

2ac―2×4×^=

綜上，△ABC的面積S=^bcsinA=^×-^=X-y=×ξ=7,

故4、。錯誤，B、C正確.

故選：BC.

由題設得SinC=零，應用正弦定理及邊角關系確定A不為鈍角，進而確定cos4應用余弦定理

求人及CoSB,最后由面積公式求△4BC的面積，即可判斷各項正誤.

本題主要考查解三角形，考查轉化能力，屬于中檔題.

12.【答案】CD

【解析】解：如圖，設圓錐的頂點為P,圓柱上下底面的圓心分別為01，02,OlO2的中點為0,

由題意，設圓錐的高為POi=Zh,圓柱的高為。1。2=2h,圓柱的上下底面圓半徑為r,

則｛卜；)]!2?'解得h=l，r=q,故A錯誤；

圓柱的體積為曦投=TrX3x2=6%

外接球體積為囁=^τr×23=y7T,

則％柱=總1，故8錯誤；

圓柱底面面積為S底=兀X3=3兀，

外接球表面積S球=4τr×22=16ττ,

則S戲：S度=16兀：3π=16：3,故C正確；

圓錐的母線長為J(G2+12=2,

所以圓錐的側面積為2X27IXqX2=2y∏π,

圓柱側面積為2×2πX∕^3=4√3π,

所以圓錐的側面積是圓柱側面積的一半，故。正確.

故選：CD.

設圓錐的頂點為尸,圓柱上下底面的圓心分別為01，。2，。1。2的中點為0,設圓錐的高為POi=Zli,

圓柱的高為。1。2=2h,圓柱的上下底面圓半徑為r,由題意可得￠2+/5]22'解出"和『的值，

進而結合圓柱、圓錐和球體的面積和體積公式求解各選項即可.

本題考查了立體幾何的綜合應用，屬于中檔題.

13.【答案】1

【解析】解：???點4(0,1)、β(l,√-3),

.?.0A=(0,1),OB=(1,√^3).

I0?I=1.I0B∣=2.

、

???cos<T0r47TOTBo>=-O^A-O^B-=~V^^3=-V^^3

?.?<OA,OB>∈[0,7r],

：.sin<OΛ,OB>=?,

貝IJl市X而I=I市I?I而I?sin<函，而>=1x2x；=1.

故答案為：1.

利用向量的數量積運算求出COS<加，而>=?，進而求出sin<a，OB>=p再利用向量的

Z4

叉乘運算求解即可.

本題考查了向量的數量積運算，向量的又乘運算，屬于中檔題.

14.【答案】1006+1007t

【解析】解：由虛數單位"性質可得iM=l,j4n+l=j,f4n+2=_1；i4n+3=ι,其中〃為自然

數，

設5=1+2-+3理+—+2013步。13,①

兩邊同乘以i可得：iS=i2+2i3+3i4+???+2O13i2014,②

①-②可得(1-i)S=i+i2+i3+???+i2013-2013-。14

=?-2-2013"4=喏1-2013×(-1)=2013+i，

昉C2013÷i(2013+i)(l+i)2013-l+2014iICCdCAT

故S=下1=一(二)[用F=-一2--------=1006+10071

故答案為：1006+1007i

由虛數單位的周期性可得i4ft=1,14n+l=i,i4n+2=-i,J"+3=τ,其中"為自然數，S=i+

2i2+3i3+???+2O13i2013,①進而可得：tS=i?+2?3+3產+…+2013尸°14,②，兩式相減，由

等比數列的求和公式，結合復數的運算化簡即可.

本題考查虛數單位及其性質，涉及數列的錯位相減法求和以及復數代數形式的加減運算，屬中檔

題.

15.【答案】喘彰

【解析】解：根據題意，設五和石的夾角為。，

則五在石方向上的投影向量為IaICOSe木=需3=潺，

而方=(2,3)，貝啜在石方向上的投影向量坐標是(MlI)?

故答案為：(M5.

根據題意，設五和石的夾角為仇由投影向量的計算公式分析可得答案.

本題考查投影向量的計算，涉及向量數量積的計算公式，屬于基礎題.

16.【答案】乎賽囪3

【解析】解：如圖，取BC的中點。，連接A。，設點M在平面ABC內的射影為M連接MM

由四面體M-ABC是正四面體，知N為△4BC的中心，且N在線段AQ上，AD1BC,

由正四面體的棱長為a,可得力D=?a，MN=√AM2-AN2=Iα2-(^ɑ×∣)2=?ɑ)

_V_3"2

^c?ABC=~a-

設球。】的半徑為「，由等體積法可Vm琳MTBC=界條2X箓="4X苧α2Xr,

得r=^γγa,

根據六面體的對稱性可知正四面體M-ABC的內切球和正四面體Q-ABC的內切球與面ABe相切

于N點，

可得OiO?=2r=a.

1z6

當球。的體積最大時，球O與該六面體的六個面都相切，

此時，由對稱性可知球心O即△力BC的中心N,連接AW,MDIBC,

過點。作OE_L于點E,由于BCJ.4。，BC1MD,ADCtMD=D,AD,MoU平面MA。，

故BC1平面MAD,而OEU平面MAD,所以BC10E,

又BCnMO=C,BC,MDU平面M8C,

故OEJ_平面MBC,

則OE為球O的半徑.StMoD=l×M0×0D=^×MD×0E,

即JX孚αXpa=：x?aX0E，得。E=冬a，即此時球。的半徑為孚a，

所以球。的體積的最大值為《兀X(?a)3=糕兀。3.

故答案為：?必展兀a?.

第一空，取BC的中點Q,連接AD,設點M在平面ABC內的射影為M知N為△4BC的中心，

求出正四面體M-ABC的高，利用等體積法即可求得正四面體的內切球半徑，根據對稱性可得答

案；第二空，六面體內放置一個球0,當球。的體積最大時，球。與該六面體的六個面都相切,

由此根據對稱性確定球心位置，求得其半徑，即可求得答案.

本題主要考查球的體積的求解，考查轉化能力，屬于難題.

17.【答案】解：(1)因為四邊形ABCZ)中，AD=2BC,

所以反=^DA+AB+^AD=^^DA+AB=ABAD：

3

(2)因為AE4-

13211

而

而

+=×荏+-

所以而=荏+前=荏詬=近荏一而)4-2-

^AD.---

4434

【解析】由已知結合向量的向量的線性表示即可求解.

本題主要考查了向量的線性表示，屬于基礎題.

18.【答案】解：復數Z=(m2-5m+6)+(m2-3m+2)i對應的點的坐標為(血？-5m+6,m2-

3m+2),

⑴若與原點重合，則代Wm+?=?，

Imz-3m+2=0

解得Tn=2；

(2)若位于直線y=2x±,則r∏2-3m+2=2(m2-5τn+6),

解得Tn=2或5；

2

(3)若位于第一象限或者第三象限，貝∣J(m2-5m+6)(m-3τn+2)>0,

解得m<1或m>3.

即m的取值范圍為(一8,1)u(3,+∞).

【解析】根據復數的幾何意義求出復數Z對應的點的坐標，利用點的位置關系分別建立方程和不

等式進行求解即可.

本題主要考查了復數的運算，考查了復數的幾何意義，屬于基礎題.

19.【答案】證明：⑴???AB_L底面BCD,：.AB1CD,

又CD1BD,S.AB∩BD=B,

.?.CD1平面ABD；

解：(2)在RtZkBCC中，由BD=2,CD=4,

得BC=√22+42=2√^^5.

又在RtΔABC111,AC=6>得4B=，6?—(2Λ∕~5)=4.

圓柱的底面半徑為，石，母線長為4,

二圓柱。Oi的側面積為2兀×√^5×4=8√^5π.

【解析】(1)由圓柱的結構特征可得ABlCD,BDLCD,再由直線與平面垂直的判定得結論；

(2)由已知解直角三角形求得圓柱的底面半徑及母線長，則其側面積可求.

本題考查直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓練了圓柱側面積的求法，是

中檔題.

20.【答案】解：在RtZMBM中，

Sinlb

在AACM中，NCAM=30°+15°=45°,?AMC=180°-15°-60°=105°,

所以NaCM=180°—45°-105°=30°,

由正弦定理得一整市=-?7.

s?n?ACMSinZ.CAM

解得CW=AMsinQM=?48=-AB

s?n?ACM1sinl5°sinl5°'

2

在Rt?CDM中，CD=CMsinzCMD=Xsin60o=、一2：(jg^|T2)_=24θ(m).

-4-

所以此同學估算該教學樓的高度為24/Wm.

【解析】在Rt△4BM中求得AM,在△4CM中運用正弦定理求得CM,在RtACOM中求出CQ的

值.

本題考查了解三角形的應用問題，也考查了方程思想和運算求解能力，屬中檔題.

21.【答案】解：(1)連接B。交AC于。點，連接。M,

?.?四邊形ABC。是菱形，??.0為BQ的中點.

又?.?M為PO的中點，

.?.OM是^PBD的中位線，

.?.MO//BP.

又*BP仁平面ACM,MOU平面ACM.

.??PB〃平面

(2)???三角形尸AB為正三角形，且側面PAB，底面ABC。，E是AB的中點,

.?.PELAB,PEJ_平面ABCD,

連接DE,取OE的中點”，連接MH,

則MH是APOE的中位線，:MH//PE,

即MH1平面ABCD,

延長AH交CO于G,則平面4MG1平面ABC