1．3.2球的體積和表面積[目標(biāo)]1.了解球的體積和表面積公式；2.會用球的體積和表面積公式解決實際問題．[重點]球的體積公式和表面積公式及應(yīng)用．[難點]球的切、接問題．知識點球的體積和表面積[填一填]1．球的體積球的半徑為R，那么它的體積V＝eq\f(4,3)πR3.2．球的表面積球的半徑為R，那么它的表面積S＝4πR2.與其他簡單幾何體不同，球面不可展開．[答一答]1．觀察球的體積與表面積公式，思考下面的問題．(1)計算球的表面積與體積，關(guān)鍵需要確定哪個量？(2)若兩球的半徑之比為R1R2，那么兩球的表面積之比及體積之比分別是多少？提示：(1)要計算球的表面積和體積，關(guān)鍵是要確定球的半徑R.(2)eq\f(S1,S2)＝eq\f(4πR\o\al(2,1),4πR\o\al(2,2))＝eq\f(R\o\al(2,1),R\o\al(2,2))＝(eq\f(R1,R2))2，eq\f(V1,V2)＝eq\f(\f(4,3)πR\o\al(3,1),\f(4,3)πR\o\al(3,2))＝eq\f(R\o\al(3,1),R\o\al(3,2))＝(eq\f(R1,R2))3.2．用一個平面去截球體，截面是什么平面圖形？試在球的軸截面圖形中，展示截面圖與球體之間的內(nèi)在聯(lián)系．提示：可以想象，用一個平面去截球體，截面是圓面，在球的軸截面圖中，截面圓與球的軸截面的關(guān)系如下圖所示．若球的半徑為R，截面圓的半徑為r，OO′＝d.在Rt△OO′C中，OC2＝OO′2＋O′C2，即R2＝r2＋d2.類型一球的體積與表面積的計算[例1](1)兩個球的體積之比為827，那么這兩個球的表面積之比為()A．23 B．49C.eq\r(2)eq\r(3) D.eq\r(8)eq\r(27)(2)兩個半徑為1的鐵球，熔化成一個球，則這個大球的半徑為________．(3)圓柱形容器內(nèi)部盛有高度為8cm的水，若放入三個相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后，水恰好淹沒最上面的球(如圖所示)，則球的半徑是________cm.[解析](1)兩個球的體積之比為827，根據(jù)體積比等于相似比的立方，表面積之比等于相似比的平方，可知兩球的半徑比為23，從而這兩個球的表面積之比為49，故選B.(2)兩個小鐵球的體積為2×eq\f(4,3)π×13＝eq\f(8π,3)，即大鐵球的體積eq\f(4,3)π×R3＝eq\f(8π,3)，所以半徑為eq\r(3,2).(3)設(shè)球的半徑為r，放入3個球后，圓柱液面高度變?yōu)?r.則有πr2·6r＝8πr2＋3·eq\f(4,3)πr3，即2r＝8，所以r＝4cm.[答案](1)B(2)eq\r(3,2)(3)4求球的表面積與體積的一個關(guān)鍵和兩個結(jié)論,1關(guān)鍵：把握住球的表面積公式S球＝4πR2，球的體積公式是計算球的表面積和體積的關(guān)鍵，半徑與球心是確定球的條件.把握住公式，球的體積與表面積計算的相關(guān)題目也就迎刃而解了.,2兩個結(jié)論：①兩個球的表面積之比等于這兩個球的半徑比的平方；②兩個球的體積之比等于這兩個球的半徑比的立方.[變式訓(xùn)練1](1)球的體積是eq\f(32,3)π，則此球的表面積是(B)A．12π B．16πC.eq\f(16,3)π D.eq\f(64,3)π解析：eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32,3)π，故R＝2，球的表面積為4πR2＝16π.(2)用一平面去截球所得截面的面積為2π，已知球心到該截面的距離為1，則該球的體積是(C)A.eq\r(3)π B．2eq\r(3)πC．4eq\r(3)π D.eq\f(4,3)eq\r(3)π解析：由已知可得截面圓的半徑是eq\r(2)，已知球心到該截面的距離為1，所以球的半徑為eq\r(3)，所以球的體積為：eq\f(4,3)π×(eq\r(3))3＝4eq\r(3)π，故選C.類型二與球有關(guān)的組合體問題[例2]某個幾何體的三視圖如下圖所示(單位：cm)．(1)求該幾何體的表面積；(2)求該幾何體的體積．[分析]先根據(jù)三視圖確定該幾何體的結(jié)構(gòu)，再根據(jù)圖中給出的數(shù)據(jù)求出表面積與體積．[解]該幾何體是一個組合體，其下方是一個棱長為2的正方體，上面是一個半徑為1的半球．(1)該幾何體的表面積為S＝5×22＋(22－π)＋2π＝(24＋π)(cm2)．(2)該幾何體的體積為V＝23＋eq\f(2π,3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8＋\f(2π,3)))(cm3)．解決與球有關(guān)的組合體問題的解題技巧1與球有關(guān)的組合體問題：解題時要認真分析圖形，明確切點位置，明確有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并且作出合適的截面圖.2球與旋轉(zhuǎn)體的組合，通過作它們的軸截面解題.3球與多面體的組合，通過多面體的一條側(cè)棱和球心、切點或接點作出截面圖.[變式訓(xùn)練2]如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條互相垂直的半徑．若該幾何體的體積是eq\f(28π,3)，則它的表面積是(A)A．17πB．18πC．20πD．28π解析：由三視圖知該幾何體為球去掉了eq\f(1,8)所剩的幾何體(如圖)，設(shè)球的半徑為R，則eq\f(7,8)×eq\f(4,3)πR3＝eq\f(28π,3)，故R＝2，從而它的表面積S＝eq\f(7,8)×4πR2＋eq\f(3,4)×πR2＝17π.故選A.類型三球的“切”與“接”問題命題視角1：球的外切問題[例3]若球的外切圓臺的上、下底面半徑分別為r，R，則球的表面積為()A．4π(r＋R)2 B．4πr2R2C．4πrR D．π(R＋r)2[分析]作出球與圓臺相切的軸截面．[解析]如圖為球與圓臺的軸截面，過D作DE⊥BC，設(shè)球的半徑為r1，則在Rt△CDE中，DE＝2r1，CE＝R－r，DC＝R＋r，由勾股定理得4req\o\al(2,1)＝(R＋r)2－(R－r)2，解得r1＝eq\r(Rr)(舍負)．故球的表面積為S球＝4πreq\o\al(2,1)＝4πRr.[答案]C解題時要認真分析圖形，明確切點的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖.如球內(nèi)切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑.球與旋轉(zhuǎn)體的組合，通常作它們的軸截面解題；球與多面體的組合，通過多面體的一條側(cè)棱和球心作出截面圖.[變式訓(xùn)練3]一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖所示，將該石材切削、打磨，加工成球，則能得到的最大球的半徑等于(B)A．1B．2C．3D．4解析：由三視圖可知該幾何體是一個直三棱柱，底面為直角三角形，高為12，如圖所示，其中AC＝6，BC＝8，∠ACB＝90°，則AB＝10.要使該石材加工成的球的半徑最大，只需球與直三棱柱的三個側(cè)面都相切，則半徑r等于直角三角形ABC的內(nèi)切圓半徑，即r＝eq\f(6＋8－10,2)＝2，故能得到的最大球的半徑為2，故選B.命題視角2：球的內(nèi)接問題[例4]已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上．若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球OA.eq\f(3\r(17),2) B．2eq\r(10)C.eq\f(13,2) D．3eq\r(10)[分析]利用球半徑、截面圓半徑、球心到截面的距離建構(gòu)直角三角形即可求得球O的半徑．[解析]如圖，由球心作平面ABC的垂線，則垂足為BC的中點M.又AM＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(5,2)，OM＝eq\f(1,2)AA1＝6，所以球O的半徑R＝OA＝eq\r(\f(5,2)2＋62)＝eq\f(13,2).[答案]C解決幾何體與球相切或相接的策略：,1要注意球心的位置，一般情況下，由于球的對稱性，球心在幾何體的特殊位置，比如，幾何體的中心或長方體對角線的中點等.,2解決此類問題的實質(zhì)就是根據(jù)幾何體的相關(guān)數(shù)據(jù)求球的直徑或半徑，關(guān)鍵是根據(jù)“切點”和“接點”，作出軸截面圖，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題來計算.[變式訓(xùn)練4]正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為6，底面邊長為4，則該球的表面積為(B)A.eq\f(44,3)πB.eq\f(484,9)πC.eq\f(81,4)πD．16π解析：如圖，正四棱錐P-ABCD中，PE為四棱錐的高，根據(jù)球的相關(guān)知識可知，四棱錐的外接球的球心O必在正四棱錐的高線PE所在的直線上，因為底面邊長為4，所以AE＝2eq\r(2)，設(shè)球半徑為R，在Rt△AEO中，AE2＋OE2＝AO2，即(2eq\r(2))2＋(6－R)2＝R2，解得R＝eq\f(11,3)，則S＝4πR2＝4πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,3)))2＝eq\f(484,9)π，故選B.1．球的體積與其表面積的數(shù)值相等，則球的半徑等于(D)A.eq\f(1,2) B．1C．2 D．3解析：設(shè)球的半徑為r，則由題意得eq\f(4,3)πr3＝4πr2，解得r＝3.2．一個正方體的表面積為6，并且正方體的各個頂點都在一個球面上，則此球的體積為(D)A.eq\f(4π,3) B.eq\f(\r(6)π,8)C.eq\r(6)π D.eq\f(\r(3)π,2)解析：設(shè)正方體的棱長為a，球的半徑為r，則6a2＝6，∴a∵2r＝eq\r(3)a，∴r＝eq\f(\r(3)a,2)＝eq\f(\r(3),2)，∴V球＝eq\f(4,3)πr3＝eq\f(4,3)π×(eq\f(\r(3),2))3＝eq\f(\r(3)π,2).3．已知一個多面體的內(nèi)切球的半徑為1，多面體的表面積為18，則此多面體的體積為(C)A．18 B．12C．6 D．12π解析：連接球心與多面體的各個頂點，把多面體分成了高為1的多個棱錐．∴S＝S1＋S2＋…＋Sn＝18.∴V＝eq\f(1,3)S×1＝eq\f(1,3)×18＝6.4．湖面上漂著一個小球，湖水結(jié)冰后將球取出，冰面上留下了一個直徑為6cm，深為1cm的空穴，則該球半徑是5cm，表面積是100πcm2解析：設(shè)球心為O，OC是與冰面垂直的一條球半徑，冰面截球得到的小圓圓心為D，AB為小圓D的一條直徑，設(shè)球的半徑為R，則OD＝R－1，則(R－1)2＋32＝R2，解之得R＝5cm，所以該球表面積為S＝4πR2＝4π×52＝100π(cm2)．5．軸截面為正三角形的圓錐內(nèi)有一個內(nèi)切球，若圓錐的底面半徑為2，求球的體積．解：如圖所示，作出軸截面，因為△ABC是正三角形，所以CD＝eq\f(1,2)AC＝2，所以AC＝4，AD＝eq\f(\r(3),2)×4＝2eq\r(3)，因為Rt△AOE∽Rt△ACD，所以eq\f(OE,AO)＝eq\f(CD,AC).設(shè)OE＝R，則AO＝2eq\r(3)－R，所以eq\f(R,2\r(3)－R)＝eq\f(1,2)，所以R＝eq\f(2\r(3),3).所以V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1