6.2.3向量的數(shù)乘運(yùn)算[目標(biāo)]1.記住向量數(shù)乘的定義及其規(guī)定；2.能夠利用向量共線基本定理解決共線問題；3.記住向量數(shù)乘運(yùn)算法則并能進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算．[重點(diǎn)]向量數(shù)乘的定義．[難點(diǎn)]向量共線基本定理．要點(diǎn)整合夯基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)一向量數(shù)乘的定義[填一填]一般地，我們規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作λa，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：(1)|λa|＝|λ||a|；(2)當(dāng)λ>0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；λ＝0時(shí)，λa＝0.[答一答]1．?dāng)?shù)乘向量與數(shù)乘數(shù)有什么區(qū)別？提示：數(shù)乘向量與數(shù)乘數(shù)的區(qū)別：前者結(jié)果為一個(gè)向量，后者結(jié)果為一個(gè)實(shí)數(shù)．2．－2a與a提示：－2a與a方向相反，－2a的長(zhǎng)度是知識(shí)點(diǎn)二向量數(shù)乘的運(yùn)算律[填一填]實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律中，結(jié)合律是λ(μa)＝(λμ)a，它的幾何意義是將表示向量a的有向線段先伸長(zhǎng)或壓縮|μ|倍，再伸長(zhǎng)或壓縮|λ|倍，與直接將表示向量a的有向線段伸長(zhǎng)或壓縮|λμ|倍所得結(jié)果相同．第一分配律是(λ＋μ)a＝λa＋μa，幾何意義是將表示向量a的有向線段伸長(zhǎng)或壓縮|λ|倍后，再與表示向量a的有向線段伸長(zhǎng)或壓縮|μ|倍后相加，與直接將表示向量a的有向線段伸長(zhǎng)或壓縮|λ＋μ|倍所得結(jié)果相同．第二分配律是λ(a＋b)＝λa＋λb，幾何意義是將表示向量a、b的有向線段先相加，再伸長(zhǎng)或壓縮|λ|倍，與將表示向量a、b的有向線段先伸長(zhǎng)或壓縮|λ|倍，再相加所得結(jié)果相同．[答一答]3．向量數(shù)乘的運(yùn)算律與實(shí)數(shù)乘法的運(yùn)算律有什么不同？提示：向量數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律與實(shí)數(shù)乘法的運(yùn)算律很相似，只是數(shù)乘運(yùn)算的分配律有兩種不同的形式：(λ＋μ)a＝λa＋μa和λ(a＋b)＝λa＋λb，數(shù)乘運(yùn)算的關(guān)鍵是等式兩邊向量的模相等，方向相同．知識(shí)點(diǎn)三向量共線基本定理[填一填]向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa.[答一答]4．定理中條件a≠0能漏掉嗎？提示：定理中a≠0不能漏掉．若a＝b＝0，實(shí)數(shù)λ仍然存在，但λ是任意實(shí)數(shù)，不唯一；若a＝0，b≠0，則不存在實(shí)數(shù)λ，使b＝λa.5．與非零向量a共線的單位向量是±eq\f(a,|a|).知識(shí)點(diǎn)四線性運(yùn)算[填一填](1)向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算．(2)任意向量a，b，以及任意實(shí)數(shù)λ，μ1，μ2恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2[答一答]6．向量的線性運(yùn)算類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算，實(shí)數(shù)運(yùn)算中常用的一些變形手段能否在向量的線性運(yùn)算中應(yīng)用？提示：實(shí)數(shù)運(yùn)算中去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、提取公因式等變形手段在向量線性運(yùn)算中也可以使用．典例講練破題型類型一向量的數(shù)乘運(yùn)算[例1]計(jì)算：(1)3(6a＋b)－9eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,3)b))；(2)eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3a＋2b－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b))))－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋\f(3,8)b)).[分析]綜合運(yùn)用向量數(shù)乘的運(yùn)算律求解．[解](1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝(2)原式＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a＋\f(3,2)b))－a－eq\f(3,4)b＝a＋eq\f(3,4)b－a－eq\f(3,4)b＝0.向量的數(shù)乘運(yùn)算可類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算，例如實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、提取公因式等變形手段在數(shù)與向量的乘積中同樣適用，但是在這里的“同類項(xiàng)”“公因式”指向量，實(shí)數(shù)看作是向量的系數(shù).[變式訓(xùn)練1](1)若a＝2b＋c，化簡(jiǎn)3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝(C)A．－aB．－bC．－cD．以上都不對(duì)(2)eq\f(2,3)[(4a－3b)＋eq\f(1,3)b－eq\f(1,4)(6a－7b)]＝eq\f(5,3)a－eq\f(11,18)b.解析：(1)3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝a－2b－2c＝2b＋c－2b－2c＝－(2)原式＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4a－3b＋\f(1,3)b－\f(3,2)a＋\f(7,4)b))＝eq\f(2,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(3,2)))a＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3＋\f(1,3)＋\f(7,4)))b))＝eq\f(2,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)a－\f(11,12)b))))＝eq\f(5,3)a－eq\f(11,18)b.類型二用已知向量表示未知向量[例2]如圖所示，已知?ABCD的邊BC，CD的中點(diǎn)分別為K，L，且eq\o(AK,\s\up15(→))＝e1，eq\o(AL,\s\up15(→))＝e2，試用e1，e2表示eq\o(BC,\s\up15(→))，eq\o(CD,\s\up15(→)).[分析]利用向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算進(jìn)行化簡(jiǎn)．[解]設(shè)eq\o(BC,\s\up15(→))＝x，則eq\o(BK,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)x，eq\o(AB,\s\up15(→))＝e1－eq\f(1,2)x，eq\o(DL,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)e1－eq\f(1,4)x.由eq\o(AD,\s\up15(→))＋eq\o(DL,\s\up15(→))＝eq\o(AL,\s\up15(→))，得x＋eq\f(1,2)e1－eq\f(1,4)x＝e2，解方程得x＝eq\f(4,3)e2－eq\f(2,3)e1，即eq\o(BC,\s\up15(→))＝eq\f(4,3)e2－eq\f(2,3)e1.由eq\o(CD,\s\up15(→))＝－eq\o(AB,\s\up15(→))，eq\o(AB,\s\up15(→))＝e1－eq\f(1,2)x，得eq\o(CD,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)x－e1＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)e2－\f(2,3)e1))－e1＝－eq\f(4,3)e1＋eq\f(2,3)e2.由已知向量來(lái)表示另外一些向量是向量解題的基礎(chǔ)，除了要利用向量的加、減、數(shù)乘等線性運(yùn)算外，還應(yīng)充分利用平面幾何的一些定理、性質(zhì)，如三角形的中位線定理，相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例等把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量進(jìn)行求解.[變式訓(xùn)練2]如圖，設(shè)△ABC的重心為M，O為平面上任一點(diǎn)，eq\o(OA,\s\up15(→))＝a，eq\o(OB,\s\up15(→))＝b，eq\o(OC,\s\up15(→))＝c，試用a、b、c表示向量eq\o(OM,\s\up15(→)).解：連接AM并延長(zhǎng)交BC于D點(diǎn)．∵M(jìn)是△ABC的重心，∴D是BC的中點(diǎn)，且AM＝eq\f(2,3)AD.∴eq\o(AM,\s\up15(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up15(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BD,\s\up15(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BD,\s\up15(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(BC,\s\up15(→))))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up15(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(OB,\s\up15(→))－eq\o(OA,\s\up15(→)))＋eq\f(1,3)(eq\o(OC,\s\up15(→))－eq\o(OB,\s\up15(→)))＝eq\f(2,3)(b－a)＋eq\f(1,3)(c－b)＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b＋eq\f(1,3)c.∴eq\o(OM,\s\up15(→))＝eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(AM,\s\up15(→))＝a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)a＋\f(1,3)b＋\f(1,3)c))＝eq\f(1,3)(a＋b＋c)．類型三向量共線定理的應(yīng)用[例3]已知非零向量e1和e2不共線．(1)如果eq\o(AB,\s\up15(→))＝e1＋e2，eq\o(BC,\s\up15(→))＝2e1＋8e2，eq\o(CD,\s\up15(→))＝3(e1－e2)，求證：A、B、D三點(diǎn)共線；(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共線，試確定實(shí)數(shù)值．[分析]對(duì)于(1)，欲證明A，B，D三點(diǎn)共線，只需證明存在λ，使eq\o(BD,\s\up15(→))＝λeq\o(AB,\s\up15(→))即可．對(duì)于(2)，若ke1＋e2與e1＋ke2共線，則一定存在λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)．[解](1)證明：∵eq\o(AB,\s\up15(→))＝e1＋e2，eq\o(BD,\s\up15(→))＝eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(CD,\s\up15(→))＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5eq\o(AB,\s\up15(→))，∴eq\o(AB,\s\up15(→))，eq\o(BD,\s\up15(→))共線，且有公共點(diǎn)B.∴A，B，D共線．(2)∵ke1＋e2與e1＋ke2共線，∴存在λ使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，則(k－λ)e1＝(λk－1)e2，由于e1與e2不共線，只能有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－λ＝0，,λk－1＝0，))則k＝±1.用向量法證明三點(diǎn)共線時(shí)，關(guān)鍵是能否找到一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λaa，b為由這三點(diǎn)構(gòu)成的任意兩個(gè)向量.證明步驟是先證明向量共線，然后再由兩向量有公共點(diǎn)，證得三點(diǎn)共線.[變式訓(xùn)練3]已知向量a，b是兩個(gè)非零向量，在下列四個(gè)條件中，能使a，b共線的條件是(A)①2a－3b＝4e且a＋2b＝－3e②存在相異實(shí)數(shù)λ，μ，使λa＋μb＝0；③xa＋yb＝0(其中實(shí)數(shù)x，y滿足x＋y＝0)；④已知梯形ABCD，其中eq\o(AB,\s\up15(→))＝a，eq\o(CD,\s\up15(→))＝b.A．①②B．①③C．②④D．③④解析：首先判定①能否使a，b共線，由向量方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－3b＝4e，,a＋2b＝－3e))可求得：a＝－eq\f(1,7)e，b＝－eq\f(10,7)e，∴b＝10a，∴a，b共線，因此可排除C、D；而由②可得λ，μ是相異實(shí)數(shù)，所以λ，μ不同時(shí)為0，不妨設(shè)μ≠0，∴b＝－eq\f(λ,μ)a，故a，b共線，所以排除B，故選A.課堂達(dá)標(biāo)練經(jīng)典1．設(shè)λμ∈R，下列敘述不正確的是(D)A．λ(μa)＝(λμ)a B．(λ＋μ)a＝λa＋μaC．λ(a＋b)＝λa＋λb D．λa，a的方向相同(λ≠0)解析：A，B，C選項(xiàng)是向量數(shù)乘滿足的運(yùn)算律，均正確；D不正確，當(dāng)λ<0時(shí)，λa與a的方向相反．2．點(diǎn)P在△ABC所在平面上，且滿足eq\o(PA,\s\up15(→))＋eq\o(PB,\s\up15(→))＋eq\o(PC,\s\up15(→))＝2eq\o(AB,\s\up15(→))，則eq\f(S△PAB,S△ABC)＝(B)A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D.eq\f(2,3)解析：因?yàn)閑q\o(PA,\s\up15(→))＋eq\o(PB,\s\up15(→))＋eq\o(PC,\s\up15(→))＝2eq\o(AB,\s\up15(→))＝2(eq\o(PB,\s\up15(→))－eq\o(PA,\s\up15(→)))，所以3eq\o(PA,\s\up15(→))＝eq\o(PB,\s\up15(→))－eq\o(PC,\s\up15(→))＝eq\o(CB,\s\up15(→))，所以eq\o(PA,\s\up15(→))，eq\o(CB,\s\up15(→))共線，且3|eq\o(PA,\s\up15(→))|＝|eq\o(CB,\s\up15(→))|，所以eq\f(S△PAB,S△ABC)＝eq\f(1,3).3．若|a|＝m，b與a方向相反，|b|＝2，則a＝－eq\f(m,2)b.解析：∵2|a|＝m|b|，a與b方向相反，∴a＝－eq\f(m,2)b.4．在正方形ABCD中，E為線段AD的中點(diǎn)，若eq\o(EC,\s\up15(→))＝λeq\o(AD,\s\up15(→))＋μeq\o(AB,\s\up15(→))，則λ＋μ＝eq\f(3,2).解析：如圖，因?yàn)閑q\o(EC,\s\up15(→))＝eq\o(ED,\s\up15(→))＋eq\o(DC,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up15(→))＋eq\o(AB,\s\up15(→))，所以λ＋μ＝eq\f(1,2)＋1＝eq\f(3,2).5．已知向量a