2023屆全國(guó)甲卷+全國(guó)乙卷高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)提分復(fù)習(xí)資料專(zhuān)題1解

三角形（理科）解答題30題

1.（貴州省貴陽(yáng)市第六中學(xué)2022屆高三一模數(shù)學(xué)（理）試題）在AABC中，α=5,CoSA=也,

10

3?COSC=4cCOSJB.

（1）求COSB的值.

（2）求,ABC的周長(zhǎng)和面積.

2.（青海省海東市第一中學(xué)2022屆高考模擬（二）數(shù)學(xué)（理）試題）如圖，在平面四邊形

3

ABCDψ,已知BC=2,cosZBCD=-j.

（1）若NCBD=45。，求8。的長(zhǎng)；

（2）若COSNACZ）=乎，且A8=4,求AC的長(zhǎng).

3.（山西省太原市2022屆高三二模數(shù)學(xué)（理）試題）在一ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分

別為α,b,c.設(shè)CoS2A+sin4sin8=si∏28+cos2C.

⑴求角C；

（2）若。為AB中點(diǎn)，CO=",AB=25求二ABC的面積.

4.（廣西柳州市2023屆新高三摸底考試數(shù)學(xué)（理）試題）在銳角AABC中，角A、8、C

所對(duì)的邊分別為。、b、c,已知2"sinC=√Jc.

（1）求角A的大小；

（2）若力=2,a=√7,求AABC的面積.

5.（2022?河南南陽(yáng)?南陽(yáng)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知一A3C的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是〃，

bfc9（?-c）sinA+csin（A+B）=?sinB.

⑴求角B;

（2）若b=l,求ABC的面積Se[O,*],求./BC的周長(zhǎng)/的取值范圍.

6.（2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）記一ABC的內(nèi)角ARC的對(duì)邊分別為“力,c,已知

3-2cos2B-Cos2A=2sinBsinCcosA.

(1)證明：b2+2a2=c2;

(2)若C=120,α=2,求..ABC的面積.

7.(貴州省銅仁市2022屆高三適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)(理)試題(一))已知。，h,C分別為

△ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，且6αsinC+ccosA=6c,A為銳角.

⑴求A；

(2)在①AABC的面積為2√L②AB?AC=12,③,A+8C∣=∣4C∣這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)

充在下面問(wèn)題的橫線上.問(wèn)題：若α=2,b>c,,求人,C的值.注：如果選擇多

個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

8.(甘肅省酒泉市2022屆高考5月聯(lián)考數(shù)學(xué)(理科)試題)在“ABC中，內(nèi)角A,B,C

所對(duì)的邊分別為Q,b,c,己知CCOS(I-A-C)=6cos(c-(?).

⑴求角C的大小；

(2)若a=b,P為“ASC內(nèi)一點(diǎn)，PA=2,PC=4,則從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，

證明另外一個(gè)成立：@BP-LCPi?PS=2√3；③∕BP4=150.

9.(甘肅省2022屆高三第二次高考診斷考試數(shù)學(xué)(理)試題)如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCn

中，AB=2,BC=4,且NACB,NCSA,NBAC依次成等差數(shù)列.

⑴求邊AC的長(zhǎng)；

(2)求四邊形ABCD周長(zhǎng)的最大值.

10.(陜西省銅川市王益中學(xué)2023屆高三下學(xué)期一模理科數(shù)學(xué)試題)已知一ABC的三個(gè)內(nèi)

角分別為A,B,C,其對(duì)邊分別為a,b,c,若--+cosC=tanΛsinC.

a

(1)求角A的值：

(2)若α=√∑,求JlBC面積S的最大值.

11.(陜西省2022屆高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)(一)理科數(shù)學(xué)試題)已知銳角JlBC中，?,b,C

分別為內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，若SinASinBSinC=-^?(si∏2A+sin°2-Sin2C).

(1)求SinC；

(2)若c=√L求一A3C周長(zhǎng)的取值范圍.

12.（陜西省咸陽(yáng)市武功縣2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期第二次質(zhì)量檢測(cè)理科數(shù)學(xué)試題）在

7

一ASC中，cosA=—,c=3,且sin3=2sinA.

8

⑴求。的值;

（2）若6/c,求JlBC的面積.

13.（江蘇省南京市第一中學(xué)2023屆高三上學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題）在，ABC中，

己知角A,B,C的對(duì)邊分別為“，b,c,?2αsinβcosC+2ccosAsinB=Λ∕3?

⑴求角B的大小；

⑵若ABC為銳角三角形，且c=2α,b=?,求,,ABC的面積.

14.（山西省際名校2022屆高三聯(lián)考二（沖刺卷）理科數(shù)學(xué)試題）己知一ABC的內(nèi)角A,B,

C的對(duì)邊分別為。，b,c,且c=2（α-∕;cosC）.

⑴求8；

⑵若-ASC為銳角三角形，求siι√Λ+sin2C的取值范圍.

15.（山西省太原市2022屆高三下學(xué)期模擬三理科數(shù)學(xué)試題）已知銳角AABC中,

SinC='忘,SiU（A-B）=^

10v'10

⑵若AB=7,求AABC的面積S.

16.（內(nèi)蒙古自治區(qū)包頭市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）一ABC的內(nèi)角4,B,

C的對(duì)邊分別為α,b,c,設(shè)（SinΛ+sinC）?=sin2B+3sinAsinC.

⑴求5；

(2)若60=2h+3c,求SinA.

17.（內(nèi)蒙古自治區(qū)赤峰市2022屆高三模擬考試數(shù)學(xué)（理科）4月20日試題）已知..ABC

為非直角三角形，曾=cos（4+B）.

sinB

⑴證明：篝2

（2）求COSA的最小值.

18.（寧夏回族自治區(qū)銀川一中2022屆高三二模數(shù)學(xué)（理）試題）..ABC的內(nèi)角A,B,C

所對(duì)的邊分別為a,b,c,且..ABC的面積S=近αc?tan8.

4

⑴求B；

3

（2）若久久C成等差數(shù)列，..ΛBC的面積為求A

19.（寧夏銀川市第二中學(xué)2022屆高三一模數(shù)學(xué)（理）試題）在中，a,"c分別為內(nèi)

/?

角A,8,C的對(duì)邊，若SinASinBsinC=—（sin2A+sin2B-sin2C）.

⑴求C;

（2）若C=G，求-ABC周長(zhǎng)的取值范圍.

20.（寧夏石嘴山市2022屆高三適應(yīng)性測(cè)試數(shù)學(xué)（理）試題）在ABC中，角A,B,C的

對(duì)邊分別為α,b,c,。為AC的中點(diǎn)，若2Z>cosC=2α+c.

⑴求NB；

（2）若α+c=6,求B。的最小值.

21.（新疆烏魯木齊地區(qū)2023屆高三第一次質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)（理）試題）在..ABC中，邊a,b,c

所對(duì)的角分別為A,B,C,α=3,c2=b2-3b+9.

（1）求角C的大小；

（2）若KM=36,求A3C的面積.

COS/i

22.（新疆昌吉州2022屆高三第二次診斷性測(cè)試數(shù)學(xué)（理）試題）一43C中，角A,B,C

的對(duì)邊分別是α,b,c,（sinB+sinC）（b+c）=asinΛ+/?sinC

⑴求角A；

⑵若。為邊BC的中點(diǎn)，且AE>=1,求be的最大值.

23.（新疆烏魯木齊地區(qū)2022屆高三第一次質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)（理）試題（問(wèn)卷））在.‘ABC中，

角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知αsinA+bsinC=bainB+csinC.

⑴求A;

（2）若a=2√3,∠β與/C的角平分線交于點(diǎn)D,求ABCO周長(zhǎng)的取值范圍.

24.（江西省鷹潭市2022屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題）.ABC的內(nèi)角A,B,C

的對(duì)邊分別為。，b,c,且6SinBCOSC=CoSB（6;-6sinC）.

⑴求角B；

（2）若匕=2退，求―ABC周長(zhǎng)的最大值.

25.（江西省贛州市2022屆高三二模數(shù)學(xué)（理）試題）在ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊

分別為a,b,c,滿(mǎn)足/?+4。=4???3,點(diǎn)0,E滿(mǎn)足AO=DB,AE=2EC.

⑴求SinA的大小;

⑵若α=4,∣DE∣=√6,求6,c.

26.（江西省萍鄉(xiāng)市2022屆高三高考二模數(shù)學(xué)（理）試題）在ASC中，角A,B,C所

對(duì)邊分別為。，b,c,現(xiàn)有下列四個(gè)條件：①。=3；②6=2石；（3）cos2A+cosA=0;④

a2+c2-b2=-ac-

⑴題干中的③與④兩個(gè)條件可以同時(shí)成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由;

（2）請(qǐng)選擇一組使ABC有解的三個(gè)條件，并求.ABC的面積.

27.（廣西桂林市、崇左市2023屆高三聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）模擬試題）在一ABC中，角A,8,

C的對(duì)邊分別為。，b,c,α=?（sinC+cosC）.

（1）求角B的大小；

TT

（2）若A=5,。為./BC外一點(diǎn)（A、。在直線BC兩側(cè)），DB=2,Z）C=3,求四邊形ABOC

面積的最大值.

28.（廣西2023屆高三上學(xué)期西部聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題）在,ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的

邊分別為α也C,且2ccosAcosB+α=-2∕jcosAcosC.

TT

（1）若B="，求C；

6

（2）若3為BC邊上一點(diǎn)，且BC=3BO=√i4B,AD=3,求.ABC的面積.

29.（河南省開(kāi)封市2023屆高三第一次模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題）在ABC中，角A,B,C,

所對(duì)的邊分別為4,b,c,已知“cos"X=加i?vl,2a=3h.

2

⑴求COS8的值；

⑵若α=3,求C.

30.（2023屆河南省開(kāi)封市杞縣高中高三理科數(shù)學(xué)第一次摸底試題）在..ABC中，角A,B,

C的對(duì)邊分別為α,b9cfhcosC-a=csinB.

⑴求角3：

（2）若b=下,.求/3C的面積.

從①SinC=更，②SinA=?這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的橫線上，并解答該問(wèn)

510

題.

注：如果按照兩個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.專(zhuān)題1解三角形（理科）

解答題30題

1.（貴州省貴陽(yáng)市第六中學(xué)2022屆高三一模數(shù)學(xué)（理）試題）在^ABC中，α=5,cosA=立，

10

3?cosC=44?cosB.

（1）求COSB的值.

⑵求一ABC的周長(zhǎng)和面積.

【答案】（嗎3

（2）周長(zhǎng)為60+2°應(yīng);面積為U

77

(分析](1)根據(jù)cosA=——及sin?A+cos2A=I求出tanA，根據(jù)正弦定理勸CoSC=4ccosB

10

3

可轉(zhuǎn)化為WtanB=tanC=-tan(A+B),代入求出tanB的值，再根據(jù)sin?8+cos?3=1,解

出COSB的值.

(2)，T=上求出6,再根據(jù)SinC=Sin(A+3)求出SinC,再根據(jù)正弦定理三=占

sinAsinBsinCsinB

求出C,周長(zhǎng)就能求了，面積根據(jù)THSinC求解.

【詳解】⑴因?yàn)閟h√A+cos2A=l并且CoSA=立，

10

所以SinA=±逑，又因?yàn)锳e(O,萬(wàn))，所以SinA=述，所以tanA=嗎=7

1010CoSA

因?yàn)?。CC)SC=4c?cos笈由正弦定理得：3sinBcosC=4sinC?cosB

3sinBSinC3C-,小tanA÷tanB7÷tanB

即tlπ------=-----BCPIrt-tanB=tanC=-tan(A+B)=---------------------=---------------

4cosBcosC41-tanΛtanB1-7tanB

4

所以tan5=-1或tanB=-,又因?yàn)?Z?COSC=4c?cosB,所以COSB與COSC只能同正，所以

3

(π?443

3∈[θ,5J,?tanB=-,又因?yàn)閟in23+cos2b=l,所以sin8=《，cos5=g.

a_b5_b廠

(2)由(1)得SinB=4,根據(jù)正弦定理得：=7√T=4,所以/,=型業(yè),

5?i7

7√23立4√2

又因?yàn)镾inC=Sin(A+3)=sinAcosB+cosAsinB=^iθ^'5+lθ^'5"V

20R

CbCr2'

根據(jù)正弦定理：-F=-^nF=+nc=；

sinCsinB√237

^2~5

U2()底2560+20√2

所以一ABC的周長(zhǎng)為:5H----------1----=--------------

777

一ABC的面積為：—absinC=?×5××=—

22727

2.（青海省海東市第一中學(xué)2022屆高考模擬（二）數(shù)學(xué)（理）試題）如圖，在平面四邊形

3

ABCDφ,已知BC=2,cosZBCZ）=--.

(1)若Na3。=45。，求BD的長(zhǎng)；

(2)若COSNAcz)=亭，且A3=4,求4C的長(zhǎng).

【答案】⑴8√Σ

(2)2√5

【分析】(1)由和角的正弦公式及正弦定理化簡(jiǎn)求解(2)由差角的余弦公式及余弦定理化

簡(jiǎn)求解.

【詳解】(1)VcosZBCD=-∣,SinNBCD=Jl-COS。NBCD=g.

√2

又NCBD=45°,所以sinNCDB=Sin(NBCD+45°)=ZBCD+cosZBCD)=

10

...在中’由正弦定理;BD

MS?,可得8。=80，即Bn的長(zhǎng)為8√∑.

sinZBCD

(2)cosZACB=COS(ZBCD-ZACD)=--χ-+-×-=-,

`,55555

.?.cosNACB=@在AΛ3C中,BC=2,AB=4,

5

AB2=BC2+AC2-2BC-ACcosZACB,

∏If?∣6=4+4C2-2×2×ΛC×?y,解得AC=2后.

,AC的長(zhǎng)為2爪.

3.(山西省太原市2022屆高三二模數(shù)學(xué)(理)試題)在-ASC中，角A,B,C的對(duì)邊分

別為a,b,c.設(shè)cos?A+sinAsin8=sin28+cos?C.

⑴求角C;

(2)若。為AB中點(diǎn)，CD=√7,AB=25求一45C的面積.

【答案】(I)C=5

(2)2√3

【分析】(1)利用同角三角函數(shù)關(guān)系的平方關(guān)系、正弦定理、余弦定理可求解;

(2)?fflC4?CB=abcosC??ab^(CD+DA)(CD-DA)=CD2-DA1^[?ab=S,再由面

積公式可求解?

(1)

*?*Cos2Λ+sinAsinβ=sin2β÷cos2C,

?*?I-sin2Λ+sinΛsinB=sin2B÷l-sin2C,

即SinASinB-Sin"=Sin?β-sin2C,

由正弦定理得a。一/=/—￠2,

兀

V0<C<7F,ΛC=-.

3

(2)

由于。為AB中點(diǎn)，所以D4=-f>8,

而CA=CD+DA,CB=CD+DB=CD-DA,

所以CACB=HcosC=；H=(CO+OA)(CA)=Co2一。*=7-3=4,

?*.ab-8,

?'?Sλbc=?a?sinC=g倉(cāng)∣]8?=28.

4.(廣西柳州市2023屆新高三摸底考試數(shù)學(xué)(理)試題)在銳角AABC中，角A、8、C

所對(duì)的邊分別為a、b、c,已知2αsinC=6c.

(1)求角A的大小；

(2)若b=2,a=Λ∕7,求AABC的面積.

【答案】(I)A=?

Q)更

2

【分析】(1)根據(jù)正弦定理結(jié)合內(nèi)角的范圍求解即可：

(2)由余弦定理與面積公式求解即可

(1)

由已知及正弦定理知：2sinAsinC=JJsinC.

因?yàn)镃為銳角，則SinCH0,所以SinA=3.

2

因?yàn)锳為銳角，則A=W

(2)

由余弦定理，b2-sfC2-IbccosA=a1

則￠2+4-4CCoSl=7,即C2_2C-3=0

即(C—3)(c+l)=0,因?yàn)閏>0,貝∣Jc=3

所以△ABC的面積S=L,csinA='x3x2sin工.

2232

5.(2022?河南南陽(yáng)?南陽(yáng)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè))已知ABC的內(nèi)角A,3,C所對(duì)的邊分別是α,

?,c,(67-c)sinA+csin(A+B)=?sinB.

⑴求角8;

(2)若b=l,求_ABC的面積Se(O,*],求_ABC的周長(zhǎng)/的取值范圍.

【答案】(I)B=A

⑵(2,忘+1)

【分析】3)根據(jù)內(nèi)角和定理可知ISin(A+B)=SinC,結(jié)合條件，利用正弦定理可得

a2+c2-b2=ac,再根據(jù)余弦定理即可求解；

(2)根據(jù)Se[,*),結(jié)合三角形面積公式可得O<αc<g,根據(jù)余弦定理可得

cosB=a^+c^~b^將6=1代入，則/+c?-1=加，即(々+。產(chǎn)=3αc+l,可得到α+c的

2ac2

范圍，即可求解.

【詳解】(1)由內(nèi)角和定理得：Sin(A+8)=Sin(乃-C)=SinC,

.,.(tz-e)sinA÷csinC=?sinB,

由正弦定理邊角互化得：(α-cM÷c2=?2,^a2+c2-h2=ac,

a2+c2-b2

cosB=

Iac2

?.?β∈(O,Λ?),ΛB=-

3

(2)由(1),SinB=3,

2

則由題意，S=gαcsinB∈(θ,*],故0</Y,即O<αc'<；,

由余弦定理可得cos3=———=—1b=?,則/+/一1,故(α+c)2=3ac+1∈(1,2),

Iac2

所以l<α+c<?V∑,故2<α+6+c<V∑+l，

即“ASC的周長(zhǎng)/的取值范圍為(2,√Σ+1)

6.(2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))記JIBC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為“∕,c,已知

3-2cos2B-Cos2A=2sinBsinCcosA.

⑴證明:b2+2a2=c2;

(2)若。=120,〃=2,求一ABC的面積.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

⑵有

【分析】(1)根據(jù)題意，由正弦定理的邊角相互轉(zhuǎn)化以及余弦定理將原式化簡(jiǎn)，即可得到

證明；

(2)根據(jù)余弦定理即可求得",6,再由三角形的面積公式即可得到結(jié)果.

【詳解】(1)由3-2COSZ-cos^AuZsinBsinCcosA,

得20-CoS*)+(I-CoS2A)=ZsinSsinCcosA,

即2sin2B+sin2A=2sinBsinCcosA，

所以由正弦定理及余弦定理，

得2b^+a2=2bc×+C———，

2hc

化簡(jiǎn)得從+2/=C?.

(2)由余弦定理，^c2=a2+b2-2abcosC>

所以C?=/+〃-2α?cosl20,

BPc2=a2+b2+ab?.

又由①知^+2fl2=c2②

聯(lián)立①②，得/?=。=2,

所以SABC=gaAinC=gx2x2χsinl20=6,

即一ABC的面積為6.

7.(貴州省銅仁市2022屆高三適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)(理)試題(一))已知。，b,C分別為

△A5C三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，且J^SinC+ccosA="c,A為銳角.

⑴求A；

⑵在①AABC的面積為2√J,②AB?AC=12,③網(wǎng)+8C∣=∣4C∣這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)

充在下面問(wèn)題的橫線上.問(wèn)題：若α=2,h>c,,求b,C的值.注：如果選擇多

個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】(l)TgT

O

⑵b=4,c=2方(各條件所得結(jié)果相同).

【分析】⑴利用正弦定理的邊角關(guān)系及輔助角公式可得Sin(A+&)=且，結(jié)合A為銳角，

62

即可求A.

(2)①由三角形面積公式，②由向量數(shù)量積的定義可得a=8&,再由余弦定理可得

4+C2=28,結(jié)合已知即可求乩c；③若。是AC中點(diǎn)，根據(jù)向量加法的幾何意義及已知

條件可得2∣B4=∣AC∣,再應(yīng)用余弦定理可得2c=J豆、從+￠2=28,即可求尻c?.

(1)

由題設(shè)及正弦定理，JJsin4sinC+sinCcosA=JJsinC,又SinC>0,

所以有SinA+cos4=Λ∕J,即Sin(A+三)=,XO<A<—,即丁<A+=<,

622663

所以A+2=生，即A=J.

636

(2)

①由Sabc=—besinA=—=2>∕3,即〃C=8Λ∕3,

②由AB?AC=仍COSA=^^=12,BPfec=8√3,

2

T7Λb2+C2-a2?2+C2-4√3日22coT7I

又COSA=---------------=-------7=—=—,即∕r+c=28，又b>c,

2hc16√32

將C=甲代入"+￠2=28整理得：(?2-16)(?2-12)=0,可得。=4或6=2后，

當(dāng)6=4時(shí)，c=2√3;當(dāng)人=2√J時(shí)，c=4(舍).

綜上，h=4fc=2Λ∕3；

③若。是AC中點(diǎn)，由8A+8C=2BO,又∣BA+8C∣=∣AC∣,即2,4=∣AC卜〃，

B

所以B4=?∣,故在△ABD中，cos,J+qf一弓)2J=G,即2c=J%,

2be~~b~2

.廳+c~-4CCT7L

又τ7COSA=--------------=--------7=—=—,Hhπl(wèi)lZ2r+c2=28,又b>c,

2bc1662

所以力=4,C=2?∣3;

8.(甘肅省酒泉市2022屆高考5月聯(lián)考數(shù)學(xué)(理科)試題)在一ABC中，內(nèi)角A,B,C

所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知CCOSc-A-C)=6cos(c-2

(1)求角C的大小；

(2)若α=6,P為一ASC內(nèi)一點(diǎn)，PA=2,PC=4,則從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，

證明另外一個(gè)成立：(1)BPA-CP；②PB=2拒;③NBPA=I50.

TT

【答案】(I)C=I

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)由題意將已知條件化簡(jiǎn).再結(jié)合角的取值范圍即可求解；

(2)由題意求得JlBC為等邊三角形，從三個(gè)條件中任選兩個(gè)，利用余弦定理及其推論結(jié)

合已知條件，即可證得另一個(gè)條件.

(1)

由題意可知CCOS(5―A—=bcos(c-V,

.*.csinB=b{CoSCCOS工+sinCsin二］=COSC+‘OsinC，

(66J22

W1

由正弦定理可得SineSinB=sinBcosC+—sinBsinC,

22

VB∈(0,π),ΛsinB≠O,

?,?sinC=@COSC+'sinC,?*?sinC=6CGSC,BPtanC=?/?,

22

VC∈(0,π),ΛC=y.

(2)

若選①②證③，??Z=b且C=],???,ABC為等邊三角形，

?：BPLCP.又PC=A,PB=2布,?BC=2√7?BA=2√7,

12+4-28√3

在△切四中,cosNBPA=.,.ZBPA=150.

2×2√3×2^2

τr

若選①③證②，???a=人且C=§,.?..一ABC為等邊三角形，

BPVCP,NBPA=150,二ZCPA=120,

在二CPA中，AC2=4+16-2×2×4cosZCPA=28,

在RtZ?δPC中，BC2=28,PC2=16,?PB2=Xl.?BP=2√3?

JT

若選②③證①，Ya=8且C=§,.?.JIBC為等邊三角形，

在Z?BP4中，*.,PB=2√3,PA=2,NBPA=I50,

AB2=12+4-2×2√3×2cosl50o=28,

在ABPC中，PB?=12,BC2=AB2=28,PC2=16，

,BC2=PB2+PC2,：?BPLCP.

9.（甘肅省2022屆高三第二次高考診斷考試數(shù)學(xué)（理）試題）如圖，在圓內(nèi)接四邊形48CZ）

中，AB=2,BC=4,且NAC8,/CBA,/BAC依次成等差數(shù)列.

（1）求邊AC的長(zhǎng)；

（2）求四邊形ABCD周長(zhǎng)的最大值.

【答案】⑴2如

⑵10

【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求得NCBA=（,再根據(jù)余弦定理求得答案；

2九

（2）利用圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)可得AADC=y,再利用余弦定理結(jié)合基本不等式求得

AD+DC<4,即可求得答案.

【詳解】（1）因?yàn)閆AC8,NCB4,NBAC依次成等差數(shù)列，

所以NAC3+NBAC=2ZCBA,又NAC3+NBAC+ZCBA=π,

TT

所以NC8A=q,

又AB=2,BC=4,則由余弦定理得:

AC2=AB2+BC2-2ABBCcosZCBA=4+l6-2×2×4×-=12,

2

所以

jr9Jr

(2)由圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)及NCBA=知C=不，

在△相)C中，由余弦定理得

AC2=AD2+DC2-2ADDCcosNCDA=(AE>+DC)2-ADDC,

又因?yàn)锳DOC≤S￡±22L(當(dāng)且僅當(dāng)Ar)=3C時(shí)"=”成立)，

4

39

所以1(A。+OC)-≤AC?=12,即AD+OC≤4,

則四邊形ABCo周長(zhǎng)最大值2+4+4=10.

10.(陜西省銅川市王益中學(xué)2023屆高三下學(xué)期一模理科數(shù)學(xué)試題)已知一4?C的三個(gè)內(nèi)

2c-h

角分別為A,B,C,其對(duì)邊分別為a,b,c,若------+cosC=tanAsinC.

a

(1)求角A的值；

(2)若“=求A6C面積S的最大值.

【答案】⑴A=)

⑵事.

2

［分析】(1)由己知可推得4cosB+Z?cosA=2ccosA.由正弦定理可得Sin(A+3)=2SinCcosA,

進(jìn)而得出CoSA=g,即可得出A；

(2)由余弦定理可得，2=∕+c'2-bc?結(jié)合基本不等式可得出Ac≤2,代入面積公式即可得

出最小值.

「J-r”2c-bA.「CsinAsinC-cosAcosCcos(A+C)

【詳解】(1)由己知可得I，-----=tanAsinC-CosC=-------------------------------=--------?-------L

acosAcosA

因?yàn)锳+5+C=π,所以COS(A+C)=cos(兀一B)=-CosB,

—hCCqR

所以——=——-,整理可得4cos5+bcosA=2ccosA,

acosA

由正弦定理得sinAcosB+sinβcosA=2sinCcosA,

即Sin(A+8)=2SinCCosA.

又Sin(A+B)=sin(π-C)=sinC,所以COSA=；.

由于Ae(O,π),所以A=].

(2)由余弦定理/=從+/-2bccosA,可得2=∕+c?2一力c.

又護(hù)+c2≥2bc,當(dāng)且僅當(dāng)人=C時(shí)取得等號(hào)，

所以次?≤2.

所以，..AZJC面積Sarc=-bcsinA=J』

abc242

所以，..ABC面積S的最大值為正.

2

11.(陜西省2022屆高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)(一)理科數(shù)學(xué)試題)已知銳角一ABC中，a,b,c

分別為內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，?1sinAsinBsinC??^-(sin2A+sin2B-sin2C).

(1)求SinC；

(2)若c=√L求ABC周長(zhǎng)的取值范圍.

【答案】(1)3

2

(2)(3+33碼

【分析】(1)由已知及正弦定理角化邊，再利用余弦定理，可求出tanC,由已知條件得出

角C的范圍，

進(jìn)而求出角C即可以求出SinC的值.

(2)由c,SinC的值，利用正弦定理求出。力，進(jìn)而表示出三角函數(shù)的周長(zhǎng)，利用三角形

的內(nèi)角和

定理及兩角和與差的正弦公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)確定出周長(zhǎng)的取

值范圍.

【詳解】(1)由SinASin8sinC=^^Sin,A+sin3B-sin,C)及正弦定理，

得"sinC=^-(^a2+h2-c2)即absinC=y∣3ahcosC.

所以tanC=?∣3,由C為銳角，得C=g,

所以SinC=.

2

c

(2)由sinC不得R=L

~2

；?得周長(zhǎng)=α+b+c=2R(sinA+sin8)+V5=2(sinA+sinB)+G.

=2sinA+2sinB+>∕3=2sinA+2sin

=3sinA÷>∕3cosA+?∣3=2573sinA+j+,

ri、？A/八πA2兀/CπA

因?yàn)锳∈1^0,—I,—■一Ax∈Iθ,?I,

ππππ2π

所以AWAH—∈

6,26i,T

聿)+(竹

所以2√5Sin(4A+-α3+"3

即a+Z?+c=(3+?/?,??/?].

所以ABC周長(zhǎng)的取值范圍為(3+石,3-].

12.(陜西省咸陽(yáng)市武功縣2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期第二次質(zhì)量檢測(cè)理科數(shù)學(xué)試題)在

7

-ASC中，cosA=~,c=3,且sin5=2sinA.

8

⑴求。的值；

(2)若brc,求JIBC的面積.

【答案】(l)a=2或α=∣

,9λ3√15

⑵,

【分析】(1)由正弦定理可得力=%，然后由余弦定理即可求解；

(2)利用bκc可得α=2,然后利用面積公式即可求解

【詳解】(1)VsinB=2sinA,二由正弦定理得∕=20,

由余弦定理得CoSA=Zr+'=,

Ibc

??A7C.74〃~+9—Q~/1∕rA-ZFq->

?cosA=—,c=3,??—=---------------,化間得一7〃+6=0,

882×2a×3

3

解得。=2或〃=,.

3

(2)由(1)知，a=2^a=-f

3.

當(dāng)a=5時(shí)，b=2a=3=cf與題意不符；當(dāng)α=2時(shí)，b=2a=4≠c,符合題意,

.?.?=4,YcosA=.,A∈（θ,π）,，SinA=Jl-Cos?A,

ɑ8

，_ABC的面積S=—be`sinA=—×4×3×^^-=.

2284

13.（江蘇省南京市第一中學(xué)2023屆高三上學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題）在,.ABC中，

已知角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,M2asinBcosC+2ccosAsinB=y∕3b

⑴求角B的大小；

（2）若工ABC為銳角三角形，且c=24,b=l,求JLBC的面積.

【答案】（1）。或?qū)?/p>

Q）B

6

【分析】（1）利用正弦定理將已知式子統(tǒng)一成角的形式，然后利用三角函數(shù)恒等變換公式

化簡(jiǎn)可求出角8,

（2）利用余弦定理結(jié)合已知條件求出a，J然后利用面積公式可求出三角形的面積.

【詳解】（1）因?yàn)?4sin8cosC+2ccosAsinB=Gb,

所以由正弦定理得2sinAsinBcosC÷2si∏CcosAsinB=6SinB

因?yàn)镾inBW0,

所以SinAcosC+sinCcosA=—

2

所以sin（A+C）=,所以SinB=,

22

因?yàn)?O/）,所以Bq或冬

??

JF

（2）因?yàn)槿切蜛BC為銳角三角形，所以B=],

由余弦定理得，b2=a2+c2-IaccosB,

因?yàn)閏=2^,b=l,所以F=a2+4a2-2a-2a-cos^,

所以。=3，C=空,

33

所以三角形ABC的面積為L(zhǎng)CSin8=LXX馬叵X2^=2^.

223326

14.（山西省際名校2022屆高三聯(lián)考二（沖刺卷）理科數(shù)學(xué)試題）已知JIBC的內(nèi)角A,B,

C的對(duì)邊分別為。，b,J且c=2（〃-。CoSC）.

⑴求B;

（2）若BBC為銳角三角形，求siι√Λ+sin2C的取值范圍.

【答案】（*

【分析】（1）根據(jù)余弦定理,將角化邊,即可得到三邊關(guān)系,進(jìn)而轉(zhuǎn)化成余弦定理形式求解.

（2）用二倍角公式降幕，然后利用輔助角公式合并，根據(jù)角的范圍求解.

【詳解】（1）c?=2（α-?cosC）及COSC=上2二

Iah

a2+h2-c2>?

,化簡(jiǎn)得

2

1Ji

cosB=—,又O<B<π,.'.B=-.

23

(2)由(1)可得

sin2A+sin2C=?(1—cos2Λ)+?(1—cos2C)

=1-■-(cos2A+cos2C)=1-?[eos2A+cos2(--A)]

223

=I-JdCOs2A-----sin2A)=1-'cos(2A+工)

22223

一ΛBC為銳角三角形，

八A4rjf?∕~?2冗.7ΓTC.7V

O<4<—O<C=------Λ<—,—<A<—

23262f

2τrπ4π

—<2Aλ+-<—

333

13

—1,,cos[2A+—<——1CO2Λ+

2Γ4<?2

故sin^A+sinP的取值范圍為

15.（山西省太原市2022屆高三下學(xué)期模擬三理科數(shù)學(xué)試題）已知銳角AABC中,

SmC=1近，Sin（A-B）=立

10、71（）

⑴求*

IanB

⑵若A8=7,求z?A3C的面積5.

4

【答案】⑴黑

3

(2)14

【分析】(1)根據(jù)SinC=Sin(A+3),結(jié)合兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)Sin(A+8)和Sin(A—5),

再聯(lián)立求解即可；

(2)由正弦定理可得8。=5應(yīng)向4/^=5近0118,代入面積公式可得

SABC=當(dāng)?shù)玈inASinB,再根據(jù)兩角和差的余弦公式求解SinASinB即可

(1)

SinC=述?,?sin(A+B)=-η^-

10

/.sinAcosB+cosAsinB=

10

√2√2

又s%(A-8)二故sinAcosB-cosAsinB

1010

.,2√2

SinAcosBβ=------

5

兩式相除,

…3√Γ

CosAsinB=------

10

.tanA_4

tanB3

(2)

BC一AC.AB7：§E

由正弦定理得SinASinBSinC7√2'

?

BC=5√2sinA,AC=5√2sinB

S=1AC.8CsinC=身巨SinASin8

Aec22

又銳角^A8C,SinC=逑,sin(A-8)=立，所以

10'710

?'?cosAcosB+SinAsinB,cosAcosB-SinASinB=--

1010

SinAsinB=

5

.?35&2√2..

???ARC=-------.------=14.

λbc25

16.(內(nèi)蒙古自治區(qū)包頭市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題)A5C的內(nèi)角A,B,

C的對(duì)邊分別為4,b,c,設(shè)(SinA+sinCy=Sin+3SinASinC.

⑴求8；

⑵若6a=2b+3c,求siιιA.

【答案】⑴；

(2)2應(yīng)+石

6

【分析】(1)將條件展開(kāi)后利用正弦定理角化邊，然后利用余弦定理求角；

(2)利用正弦定理邊化角，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于角8等式，整理得到Sin(A-看］=:，再求出

COS(Aq),利用sin4=sin(A-e+/)展開(kāi)求解即可.

【詳解】(1)(sinA+sinC)123=Sin%+3SinASinC

sin2A÷2sinAsinC+sin2C=sin2B+3sinAsinC

即sin2A+sin2C-Sin*=SinAsinC

由正弦定理得/+/一斤=訛

—/?-ClC1/八\

.?.cosBrt=--------------=------=—,Xτ7Bd∈(0,π)

2ac2ac2

?B=-.

3.

(2)6a=2b+3c

所以由正弦定理邊化角得6sinA=2sinβ÷3sinC,

兀ITTI

.,.6sinΛ=2sin?-+3sinI?-+ΛI(xiàn),有9sinA-3由cosA=2石,

1√32√212√2+√3

=—×-----1------x—=--------------

32326

17.(內(nèi)蒙古自治區(qū)赤峰