2019年普通高等學校招生全國統一考試

高考模擬調研卷理科數學(三)

本試卷共23題，共150分，共4頁。考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個備選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.已知集合4={-2,-1,0,1,2,3},B={x|(x+l)(x—2)N0},則Af]8=

A.{-2,-1,0,1,2,3}B.{-2,-1,2,3}

C.{-1,0,2,3}D.{-2,3}

2.已知i為虛數單位，復數z滿足z+iz的實部與虛部相等，則z為

A.實數B.純虛數C,非純虛數D.不確定

22

3."方程-^+上一=1表示焦點在x軸的橢圓"是"一2(加＜2"的

2-mm+2

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.《九章算術》是我國古代第一部數學專著，書中有如下問題：今有女子善織，日增等尺，七日

織49尺，第三日及第七日所織之和18尺，則日增尺數為

A.1B.2C.3D.4

5.已知點B是以線段AC為直徑的圓上的一點，若|AB|=2,則尼?通=

A.1B.2C.3D.4

x+y-3W0

6.在平面區域,x>0內隨機取一點3,匕),則使得不等式2"-4〃三0成立的概率是

y>0

A,-B,-C.1

532

7.已知某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的體積為

A.40

B.30

C.20

D.10

C、cos8x-ln|x|“e——九

8.函數/(x)=—；----一的圖象大致為

e-e

A.B.

9.已知等差數列｛4｝的公差為2,前”項之和為S.，

[開始

若對任意正整數”，恒有2s$,則q的取值范圍

是

A.(-10,-8)B.[-10,-8)

C.(-10,-8]D.[-10,-8]4二2。-1

10.執行如圖所示的程序框圖，則輸出的結果為

11.已知函數/。)=只11%-以2+1有兩個極值點，則實數。的取值范圍是

A.(-00,—)B.(0,—)C.(0,1)D.(—>+oo)

12.已知拋物線C:丁=2px(p〉0)的焦點為F，過點M(2,0)的直線交拋物線C于A,8兩

點，若IAM|=2|M8|且|AE|=5，則|5尸|=

A.1B.2C.3D.4

二、填空題：本大題共4小題,每小題5分，共20分.

-冗之—2x+3,(x<0)

13.若函數/(x)=1，則”/(￥))=_________.

logt(x+-)f(x>0)8

、28

14.若二項式(J7-工)”的展開式中含爐項，則正整數〃的最小值為

x

_247111

15.已知sin(x+g7c)=w,xe[0,-],貝！]cos(x+不兀)=.

16.若在半徑為3的球內有一動圓柱，圓柱的底面圓周在球面上，則圓柱體積的最大值為.

三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17-21題為必考題，每個

試題考生都必須作答。第22、23為選考題，考生根據要求作答。

(-)必考題：共60分。

17.（12分）

在各項都是正數的等比數列｛4｝中，已知4%=%,4+%=20.

(1)求數列｛qj的通項公式；

(2)設2=I(nwN*)，數列｛4｝的前〃項和S“，求滿足5,210的

Wg2ali+-og2a/I

最小正整數〃的值.

18.(12分)

某學校為參加市級舉辦的高中數學競賽，將高三培訓班的20名同學平均分成甲、乙兩組進行了

測試，測試成績的莖葉圖如圖所示，規定90分以上為優秀成績.

(1)在甲組學生中任選兩名同學，在已知其中一名同學的測試成績為優秀的條件下，求另一

名同學的測試成績也為優秀的概率；

甲組乙組

986745

(2)在甲乙兩組測試成績為優秀的學生中任選三名，965381237

82192358

記選到乙組學生的人數為X,求X的分布列和

數學期望.

19.（12分）

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PA_L底面ABCD,AD=AP=2,E

p

為AB的中點，M為線段PC上的點.Ax

(1)若M為棱尸C的中點，求證：，PO；

(2)在線段PC上是否存在點M，使得二面角P-ME-B的余弦值

為-乎?若存在，求AM的長度；否則，請說明理由.

20.(12分)

已知橢圓C：\+4=1(。>b>0)的離心率為攣,過右焦點F作斜率為2的直線與橢圓C

ab5

相交于A、B兩點，坐標原點。到直線AB的距離為y.

(1)求橢圓。的方程；

(2)已知過點(2,0)的直線與橢圓C交于點M,N,是否存在定點P使得

2

OMON+OP~(OM+ON)OP恒成立？若存在，求點P的坐標；否則，請說明理由.

21.（12分）

2

已知函數,f(x)=Inx+x—or,aER.

(1)若/(x)在(0,+8)上是單調函數，求。的取值范圍；

(2)若/(X)存在兩個極值點不超(玉<玉),且/(%2)<-e2,求4的取值范圍.

(二)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。

22.［選修4-4:坐標系與參數方程］(10分)

x=2+rcosd,

在平面直角坐標系xOy>中，曲線G的參數方程為.仆(「>0,夕為參數)，以坐

y=rsin0,

標原點。為極點，X軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線G經過點P(2,y),曲線G的極坐標方

程為/(2+cos2。)=6.

(1)求曲線G的極坐標方程；

7111

(2)若43是曲線C,上的兩個動點，且NAOBn7，求兩方+;7"的值.

2|UAI|(VoI

23.［選修4-5:不等式選講］(10分)

已知關于x的不等式0<|x+6|—|萬一3|<6的解集為M，且a,be".

113

(1)求證：|：4一：回<:；

364

(2)比較|9-4曲與61a-6的大小，并說明理由.

2019年普通高等學校招生全國統一考試

高考模擬調研卷理科數學(三)

參考答案

一、選擇題

1~6BAABDB7~12CADABB

(1)略

(2)略

222-m>0

廠y

(3)方程—+^—1表示焦點在x軸上的橢圓0m+2>0=-2<m<0

2-mm+2

2-m>m+2

(4)數列中,§7=49,4+%=18=d=2

(5)ABIBC,AC-AB=|AB|2=4

(6)如圖所示，所求概率為:

(7)四棱錐的直觀圖如圖所示，計算得體積為20

(8)解析：顯然/(-%)=-/(%)，故/(x)為奇函數，又當x->()且x>()時,

cos8x-1,ln|x|7-oo,

e-0且y一尸>0,故/(x)f-oo,故選A.

(9)解析：SfJ'S5GW0,必2°/即q+8W0,q+1020，.二4G[—10,—8]

241

(10)解析：由題知，i=l時，，i=2時，，i=3時，，故。是周期為3的數

777

歹！］,當i=2016=3x672時，,然后i=2()17,輸出a值.

(11)解析：/'(幻=111%+1-2欠=0在(0,+8)內有兩個不等實根，/"(>)='―2a，顯然a〉()，

X

此時廣(X)在(0,二)上單增，(1,+8)上單減，當Xf0時，/'(x)f-8,當

2a2a

x—>+oo時，f\x)—>—00,故只需)>0，即a<7,綜上0<a<—.

2a22

(12)解析：設B(%,y),由|A用26知，點A(6-2x,,-2y,),則

y：=2pxp=2p(6-2X|),兩式相除得玉=1,又由題知

|A/H=5=XA+5=4+^，故p=2.\BFhxi+^2

二、填空題

(13)4(14)5(15)—3+臚(16)126兀

，一「、方力上一、「2兀.4「2兀9兀、3

(15)解析：以元+工-=。，則sina=不且。,-^],cosa=――,

+-/11隊，隊314G3+473

故cos(xH---)=cos(a4-—)----------------------.

153525210

(16)解析：設圓柱底面半徑為r,貝U〃=249—/,v=兀r.2的—/=曰「廣118—2戶

j工廠、.二2二只=I?島,當且僅當產=6時，等號成立，故V的最大

值為12石兀.

三、解答題

(17)(12分)

'23

解：(1)=4=2向；……5分

a{+%q-=20

(2)b=//=>/?+2—y/n+l=>S=J/7+2—5/2.

TOS?=V?+2-V2^10=>?^(10+V2)2-2=100+20V2^129..........12分

(18)(12分)

解：(1)設事件"其中一名同學的測試成績為優秀"為A,事件"兩名同學均優秀"為B.

P(AB)C；=3

則P(8|A)=6分

P(A)〃⑷叱Y248

(2)X的可能取值為：0,1，2,3,

尸—。)哈$，P(x=D=管卷,

P(X=2)=萼4，P—3)爺=白

…、，12c18c412

石(X)=1xF2x--F3x—=—12分

3535357

(19)(12分)

解：（1）分別以ADAB,AP為x,y,z軸建立直角坐標系，各點坐標為：

4(000)B(0,2,06,(,2。(0),(22P,0》(0K)2).

若例為PC中點，則M(,,1，則

丁=耀，，1,一，有，ZP—(=>2E0,

所以，EMLPD......6分

(2)設Etf/l一，則有：『蜂一E亡(包P咫1,

￡P=(0,-1,2),函=(0,1,0).

ti-EM=0——

則〈二—二勺=(—1,2,1),同理心=(%0,4—1).

〃「EP=0

所以

,—*--..72[?〃)..—A+A-1.—A/3_c1

Icos<?],n,>1=1,1=1L/,1=---=>(22-1)-=0=>^.=-.

|/?i|,|z?21yj6-J2A--24+132

EM=(1,0,1),AM=(1,1,1):.AM^y/3……12分

(20)(12分)

275126A/5

解：（1）。到直線A8的距離d=c-sinec--=>c-----

55

又因為e=￡=述na=3,所以橢圓C為［+半=1……4分

a599

2)

2

OMON+OP'=(OM+ON)OP^>OM(ON-OP)+OP(OP-ON)=0^>PMPN=0.

若斜率上中0時：設直線方程為沖=%-2,"（不y）,N（X2,y2）,PQ,0）.

-4m

my=x-2y+%2

聯立方程有：=>(m2+5)y2+4my-5=0=><m+5

x2+5/=9-5

m2+5

所以(3-f，yt)-(x2-t,%)=%工2一「(%1+%)+/+乂％=°?

20-9川

%x=(my+2)(，"％+2)=〃，必必+2加(X+%)+4=

2tm2+5

20

玉+々=加（%+%）+4=

m-+5

PM-PN=20~9m--r--^-+r2+^-=0=>(/2-9)/n2+(5r-20/+15)=0,

m"+5m+5m+5

產—9=0

所以，nr=3,故定點為(3,0)......12分

5『—20f+15=0

(21)(12分)

解:（1）/（幻=!+2尤一。20在（0,+8）上恒成立，即aW，+2x恒成立，所以aW2也;……4

XX

(2)f\x)=—+2x-a=---------=>xx=—=>x>——.

xx]2222

2