第四篇三角函數、解三角形(必修4、必修5)第1節任意角和弧度制及任意角的三角函數【選題明細表】知識點、方法題號象限角、終邊相同的角1,2,6弧度制、扇形弧長、面積公式5,14,16三角函數定義3,4,7,8,9,10,15綜合應用11,12,13基礎對點練(時間:30分鐘)1.下列說法中,正確的是(C)(A)小于QUOTEπ2的角是銳角(B)第一象限的角不可能是負角(C)終邊相同的兩個角的差是360°的整數倍(D)若α是第一象限角,則2α是第二象限角解析:銳角的范圍是（0,QUOTEπ2）,小于QUOTEπ2的角還有零角和負角,A不正確;-300°角的終邊就落在第一象限,所以B不正確;C正確;若α是第一象限的角,則k·360°<α<k·360°+90°,所以2k·360°<2α<2k·360°+180°(k∈Z),所以2α是第一象限或第二象限或終邊在y軸非負半軸上的角,所以D不正確.2.(2016潮州模擬)已知α角與120°角的終邊相同,那么QUOTEα3的終邊不可能落在(C)(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限解析:由題知α為第二象限角,所以QUOTEα3可能落在第一,二,四象限.3.(2016三明模擬)設α是第二象限角,P(x,4)為其終邊上的一點,且cosα=QUOTE15x,則sinα等于(A)(A)QUOTE45 (B)-QUOTE35 (C)QUOTE35 (D)-QUOTE45解析:因為r=x2+42,cosα=QUOTE15x=得x=3或x=-3,又因為α是第二象限角,則x=-3,r=5,所以sinα=QUOTE45.4.已知角α的終邊過點P(-8m,-6sin30°),且cosα=-QUOTE45,則m的值為(B)(A)-QUOTE12 (B)QUOTE12 (C)-32 (D)32解析:因為r=64m所以cosα=-8m64m2+9=-QUOTE所以m>0,所以4m264即m=QUOTE12.5.(2016青島模擬)已知2弧度的圓心角所對的弦長為2,那么這個圓心角所對的弧長是(C)(A)2 (B)sin2(C)2sin1解析:如圖,∠AOB=2弧度,過O點作OC⊥AB于C,并延長OC交弧AB于D.則∠AOD=∠BOD=1弧度,且AC=QUOTE12AB=1,在Rt△AOC中,AO=ACsin∠AOC即r=1sin1,從而弧AB的長為l=|α|·r=26.若角α的終邊在直線y=-x上,則角α的取值集合為(D)(A){α|α=k·360°-45°,k∈Z}(B){α|α=k·2π+QUOTE34π,k∈Z}(C){α|α=k·π+QUOTE34π,k∈Z}(D){α|α=k·π-QUOTEπ4,k∈Z}解析:角α的取值集合為{α︱α=2nπ+QUOTE34π,n∈Z}∪{α︱α=2nπ-QUOTEπ4,n∈Z}={α︱α=(2n+1)π-QUOTE34,n∈Z}∪{α︱α=2nπ-QUOTEπ4,n∈Z}={α︱α=kπ-QUOTEπ4,k∈Z}.7.已知點P(sinθcosθ,2cosθ)位于第三象限,則角θ是第象限角.

解析:因為點P(sinθcosθ,2cosθ)位于第三象限,所以sinθcosθ<0,2cosθ<0,即sin所以θ為第二象限角.答案:二8.(2015大連模擬)點P是始邊與x軸的正半軸重合,頂點在原點的角θ的終邊上的一點,若|OP|=2,θ=60°,則點P的坐標是.

解析:設P(x,y),由三角函數的定義,得sin60°=QUOTEy2,cos60°=QUOTEx2,所以x=2cos60°=1,y=2sin60°=3,故點P的坐標為(1,3).答案:(1,3)9.(2015寧波模擬)若角α終邊所在的直線經過P(cos3π4,sin3π4),O為坐標原點,則|OP|=,sinα解析:|OP|=cos若P(cos3π4,sin3則sinα=sin3π4若P(cos3π4,sin3則sinα=-22綜上sinα=±22答案:1±210.已知角θ的終邊經過點P(-3,m)(m≠0)且sinθ=24m,試判斷角θ所在的象限,并求cosθ和tanθ解:由題意,得r=3+m所以sinθ=m3+m2因為m≠0,所以m=±5,故角θ是第二或第三象限角.當m=5時,r=22,點P的坐標為(-3,5),所以角θ是第二象限角,cosθ=QUOTExr=-322=-6tanθ=QUOTEyx=5-3=-153當m=-5時,r=22,點P的坐標為(-3,-5),所以角θ是第三象限角,cosθ=QUOTExr=-322=-6tanθ=QUOTEyx=-5-3=1511.(2015南通期中)如圖,在平面直角坐標系xOy中,角α的始邊與x軸的非負半軸重合且與單位圓相交于A點,它的終邊與單位圓相交于x軸上方一點B,始邊不動,終邊在運動.(1)若點B的橫坐標為-QUOTE45,求tanα的值;(2)若△AOB為等邊三角形,寫出與角α終邊相同的角β的集合;(3)若α∈(0,QUOTE23π],請寫出弓形AB的面積S與α的函數關系式.解:(1)由題意可得B(-QUOTE45,QUOTE35),根據三角函數的定義得tanα=QUOTEyx=-QUOTE34.(2)若△AOB為等邊三角形,則B(QUOTE12,32)可得tan∠AOB=QUOTEyx=3,故∠AOB=QUOTEπ3,故與角α終邊相同的角β的集合為{β︱β=QUOTEπ3+2kπ,k∈Z}.(3)若α∈(0,QUOTE23π],則S扇形=QUOTE12αr2=QUOTE12α,而S△AOB=QUOTE12×1×1×sinα=QUOTE12sinα,故弓形的面積S=S扇形-S△AOB=QUOTE12α-QUOTE12sinα,α∈(0,QUOTE23π].能力提升練(時間:15分鐘)12.(2016廣州四校聯考)已知點P(sinα-cosα,tanα)在第一象限,則在[0,2π]內α的取值范圍是(B)(A)(QUOTEπ2,3π4∪(π,5π4 (B)(QUOTEπ4,QUOTEπ2∪(π,5π4(C)(QUOTEπ2,3π4∪(5π4,3π2) (D)(QUOTEπ4,QUOTEπ2∪(3π4,解析:因為點P(sinα-cosα,tanα)在第一象限,所以sinα-cosα>0,tanα>0,又因為α∈[0,2π],所以α∈(QUOTEπ4,QUOTEπ2)∪(π,5π4).13.(2015合肥模擬)已知角θ的頂點與原點重合,始邊與x軸的正半軸重合,終邊在直線y=2x上,則cos2θ等于(B)(A)-QUOTE45 (B)-QUOTE35 (C)QUOTE35 (D)QUOTE45解析:由題意知,tanθ=2,即sinθ=2cosθ,將其代入sin2θ+cos2θ=1中可得cos2θ=QUOTE15,故cos2θ=2cos2θ-1=-QUOTE35.14.一扇形的圓心角為120°,則此扇形的面積與其內切圓的面積之比為.

解析:設扇形半徑為R,內切圓半徑為r.則(R-r)sin60°=r,即R=(1+233又S扇=QUOTE12|α|R2=QUOTE12×2π3×R2=QUOTEπ3R2=7+439πr2,所以S扇πr答案:(7+43)∶915.設θ為第二象限角,試比較sinQUOTEθ2,cosQUOTEθ2,tanQUOTEθ2的大小.解:因為θ是第二象限角,所以QUOTEπ2+2kπ<θ<π+2kπ,k∈Z,所以QUOTEπ4+kπ<QUOTEθ2<QUOTEπ2+kπ,k∈Z,所以QUOTEθ2是第一或第三象限的角.(如圖陰影部分),結合單位圓上的三角函數線可得:(1)當QUOTEθ2是第一象限角時,sinQUOTEθ2=AB,cosQUOTEθ2=OA,tanQUOTEθ2=CT,從而得,cosQUOTEθ2<sinQUOTEθ2<tanQUOTEθ2;(2)當QUOTEθ2是第三象限角時,sinQUOTEθ2=EF,cosQUOTEθ2=OE,tanQUOTEθ2=CT,得sinQUOTEθ2<cosQUOTEθ2<tanQUOTEθ2.綜上可得,當QUOTEθ2終邊在第一象限時,cosQUOTEθ2<sinQUOTEθ2<tanQUOTEθ2;當QUOTEθ2終邊在第三象限時,sinQUOTEθ2<cosQUOTEθ2<tanQUOTEθ2.16.如圖所示,動點P,Q從點A(4,0)出發沿圓周運動,點P按逆時針方向每秒鐘轉QUOTEπ3弧度,點Q按順時針方向每秒鐘轉QUOTEπ6弧度,求點P,點Q第一次相遇時所用的時間、相遇點的坐標及P,Q點各自走過的弧長.解:設P,Q第一次相遇時所用的時間是t,則t·QUOTEπ3+t·︱-QUOTEπ6︱=2π.所以t=4(秒),即第一次相遇所用的時間為4秒.設第一次相遇點為C,第一次相遇時P點和Q點已運動到終邊在QUOTEπ3·4=4π3的位置,則xC=4·cos4πyC=4·sin4π3=-2所以C點的坐標為(-2,-23).P點走過的弧長為QUOTE43π·4=163π,Q點走過的弧長為QUOTE23π·4=QUOTE83π.精彩5分鐘1.若α是第三象限角,則y=|sinα2(A)0 (B)2 (C)-2 (D)2或-2解題關鍵:解答本題關鍵是對QUOTEα2所在象限分類討論.解析:因為α是第三象限角,所以2kπ+π<α<2kπ+QUOTE32π(k∈Z),所以kπ+QUOTEπ2<QUOTEα2<kπ+3π4(k∈Z),所以角QUOTEα2終邊在第二象限或第四象限.當QUOTEα2終邊在第二象限時,y=sinα2當QUOTEα2終邊在第四象限時,y=-sinα2sin綜