專題1.23特殊平行四邊形“將軍飲馬”專題（培優(yōu)篇）（專項練習）一、單選題【知識點一】菱形將軍飲馬問題1．如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，將△ABD沿射線BD方向平移，得到△EFG，連接EC、GC．則EC+GC的最小值為（）A．2 B．4 C．2 D．42．如圖，AC是菱形ABCD的對角線，．點E，F是AC上的動點，且，若，則的最小值為（

）A． B． C．2 D．3．如圖，已知菱形ABCD的兩條對角線分別為6和8，M、N分別是邊BC、CD的中點，P是對角線BD上一點，則PM+PN的最小值是（）A．5 B．10 C．6 D．84．如圖，四邊形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G為對角線BD（不含B點）上任意一點，將△ABG繞點B逆時針旋轉60°得到△EBF，當AG+BG+CG取最小值時EF的長（）A． B． C． D．【知識點二】矩形將軍飲馬問題5．如圖，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，E為AB的中點，F為EC上一動點，P為DF中點，連接PB，則PB的最小值是（

）A．4 B．8 C． D．6．如圖，矩形ABCD中，，△EFG為等腰直角三角形，，點E、F分別為AB、BC邊上的點（不與端點重合），．現給出以下結論：①；②點G始終在的平分線上；③點G可能在的平分線上；④點G到邊BC的距離的最大值為．其中不正確的個數是（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個7．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4．點F為射線CB上一動點，過點C作CM⊥AF于M，交AB于E，D是AB的中點，則DM長度的最小值是（）A． B． C． D．8．如圖，點是矩形的對角線上的點，點，分別是，的中點，連接，．若，，則的最小值為（）A． B．2 C． D．【知識點三】正方形將軍飲馬問題9．如圖，已知正方形的邊長為4，以點C為圓心，2為半徑作圓，P是上的任意一點，將點P繞點D按逆時針方向旋轉，得到點Q，連接，則的最大值是（

）A．6 B． C． D．10．如圖，正方形邊長為4，點E是邊上一點，且．P是對角線上一動點，則的最小值為（

）A．4 B． C． D．11．如圖，已知正方形的邊長為3，點E是邊上一動點，連接，將繞點E順時針旋轉到，連接，則當之和取最小值時，的周長為（

）A． B． C． D．12．如圖，矩形中，，，，分別是，上的兩個動點，，沿翻折形成，連接，，則的最小值是（

）A． B． C． D．二、填空題【知識點一】菱形將軍飲馬問題13．如在菱形中，，，E為的中點，P為對角線上的任意一點，則的最小值為__________．14．如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，對角線AC、BD交于點O，BD＝4，點E為OD的中點，點F為AB上一點，且AF＝3BF，點P為AC上一動點，連接PE、PF，則PF﹣PE的最大值為___．15．在菱形ABCD中，∠D=60°，CD=4，E為菱形內部一點，且AE=2，連接CE，點F為CE中點，連接BF，取BF中點G，連接AG，則AG的最大值為_____．16．如圖，菱形ABCD的邊長為2，∠A＝60°，E是邊AB的中點，F是邊AD上的一個動點，將線段EF繞著點E順時針旋轉60°得到EG，連接DG、CG，則DG+CG的最小值為_____．【知識點二】矩形將軍飲馬問題17．如圖，在等腰中，，，點是上一點，點為射線（除點外）上一個動點，直線交射線于點，若，，的面積的最小值為________．18．如圖，四邊形ABCD為矩形，AB＝，AD＝，點P為邊AB上一點，以DP為折痕將△DAP翻折，點A的對應點為點A′，連接AA′，AA′交PD于點M，點Q為線段BC上一點，連接AQ，MQ，則AQ＋MQ的最小值是________．19．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，點E、F分別是邊AB、BC上的動點，且EF＝4，點G是EF的中點，AG、CG，則四邊形AGCD面積的最小值為_______．20．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD=8，E是AB邊的中點，F是線段BC的動點，將△EBF沿EF所在直線折疊得到△EB′F，連接B′D，則B′D的最小值是_____．【知識點三】正方形將軍飲馬問題21．如圖，E，F是正方形ABCD的邊AD上兩個動點，滿足AE＝DF．連接CF交BD于點G，連接BE交AG于點H．若正方形的邊長為4，則線段DH長度的最小值是______．22．如圖，在矩形ABCD中，線段EF在AB邊上，以EF為邊在矩形ABCD內部作正方形EFGH，連接AH，CG．若，，，則的最小值為______．23．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝3，E，F為邊AC，BC上的兩個動點，且CF＝AE，連接BE，AF，則BE+AF的最小值為_________．24．如圖，點E是正方形ABCD的邊BC上一點，以AE為對稱軸將△ABE對折得到△AFE，再將AD與AF重合折疊，折痕與BF的延長線交于點H，BH與AE交于點G，連接DH．（1）∠AHB的度數為______；（2）若AB＝2，則點H到AB的距離最大值為______．三、解答題25．問題情境：在數學課上，老師給出了這樣一道題：如圖1，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝30°，求BC的長．探究發(fā)現：（1）如圖2，勤奮小組經過思考后發(fā)現：把△ABC繞點A順時針旋轉90°得到△ADE，連接BD，BE，利用直角三角形的性質可求BC的長，其解法如下：過點B作BH⊥DE交DE的延長線于點H，則．△ABC繞點A順時針旋轉90°得到△ADE，AB＝AC＝6，∠BAC＝30°，∴……請你根據勤奮小組的思路，完成求解過程．拓展延伸：（2）如圖3，縝密小組的同學在勤奮小組的啟發(fā)下，把△ABC繞點A順時針旋轉120°后得到△ADE，連接BD，CE交于點F，交AB于點G，請你判斷四邊形ADFC的形狀并證明；（3）奇異小組的同學把圖3中的△BGF繞點B順時針旋轉，在旋轉過程中，連接AF，發(fā)現AF的長度不斷變化，直接寫出AF的最大值和最小值．26．如圖，矩形ABCD中，CD=4，∠CAD=30°，一動點P從A點出發(fā)沿對角線AC方向以每秒2個單位長度的速度向點C勻速運動，同時另一動點Q從C點出發(fā)沿CD方向以每秒1個單位長度的速度向點D勻速運動，當其中一個點到這終點時，另一個點也隨之停止運動，設點P、Q運動的時間為t秒（t＞0），過點P作PE⊥AD于點E連接EQ，PQ．(1)求證：PE=CQ；(2)四邊形PEQC能成為菱形嗎？如果能，求出相應的t值：如果不能，說明理由(3)當t為何值時，△PQE為直角三角形？請說明理由；(4)若動點Q從C點出發(fā)沿CD方向以每秒2個單位長度的速度向點D勻速運動，其它條件不變，當t=____時，PQ+EQ有最小值．27．(1)【探究·發(fā)現】正方形的對角線長與它的周長及面積之間存在一定的數量關系．已知正方形的對角線長為，則正方形的周長為______，面積為______（都用含的代數式表示）．(2)【拓展·綜合】如圖1，若點、是某個正方形的兩個對角頂點，則稱、互為“正方形關聯點”，這個正方形被稱為、的“關聯正方形”．①在平面直角坐標系中，點是原點的“正方形關聯點”．若，則、的“關聯正方形”的周長是______；若點在直線上，則、的“關聯正方形”面積的最小值是______．②如圖2，已知點，點在直線上，正方形是、的“關聯正方形”，頂點、到直線的距離分別記為和，求的最小值．參考答案1．B【分析】連接AE，作點D關于直線AE的對稱點H，連接DE，DH，EH，AH，CH．由平移和菱形的性質可證明四邊形CDEG為平行四邊形，即得出，從而可得出，即CH的長為的最小值．最后根據等邊三角形的判定和性質，含30度角的直角三角形的性質與勾股定理求出CH的長即可．解：如圖，連接AE，作點D關于直線AE的對稱點H，連接DE，DH，EH，AH，CH．由平移的性質可知，．∵四邊形ABCD為菱形，∴，，，∴，，∴四邊形CDEG為平行四邊形，∴．由軸對稱的性質可知，，，∴，∴，即CH的長為的最小值．∵，，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴，∴，∴為等邊三角形，∴，，∴，∴，即為頂角是120°，底角為30°的等腰三角形，結合含30°角的直角三角形和勾股定理即可求．故選B．【點撥】本題考查平移的性質，菱形的性質，平行四邊形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，軸對稱變換，含30°角的直角三角形的性質以及勾股定理等知識，綜合性強，為選擇題中的壓軸題．正確的作出輔助線是解題關鍵．2．D【分析】如圖，作出輔助線，當點G，F，B共線時，有最小值，利用題目中的條件，在中，求出，的長度，即可求出的長度，即為的最小值．解：如圖，過點，過點F作，DG與FG交于點G，則四邊形DEFG是平行四邊形，∴，，當點G，F，B共線時，有最小值．連接BD，由菱形的性質可知，，∴，，，，，又∵，∴．當G，F，B共線時，，故的最小值為，故選：D．【點撥】本題主要考查了動點幾何問題中的最短線段問題，正確作出輔助線，得到點G，F，B共線時，有最小值，并利用菱形的性質和勾股定理求解是解題的關鍵．3．A【分析】作M關于BD的對稱點Q，連接NQ，交BD于P，連接MP，此時MP+NP的值最小，連接AC，求出CP、BP，根據勾股定理求出BC長，證出MP+NP=QN=BC，即可得出答案．解：作M關于BD的對稱點Q，連接NQ，交BD于P，連接MP，此時MP+NP的值最小，連接AC，則P是AC中點，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP，即Q在AB上，∵MQ⊥BD，∴AC∥MQ，∵M為BC中點，∴Q為AB中點，∵N為CD中點，四邊形ABCD是菱形，∴BQ∥CD，BQ=CN，∴四邊形BQNC是平行四邊形，∴PQ∥AD，而點Q是AB的中點，故PQ是△ABD的中位線，即點P是BD的中點，同理可得，PM是△ABC的中位線，故點P是AC的中點，即點P是菱形ABCD對角線的交點，∵四邊形ABCD是菱形，則△BPC為直角三角形，,在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC=5，即NQ=5，∴MP+NP=QP+NP=QN=5，故選：A．【點撥】本題考查了軸對稱-最短路線問題，平行四邊形的性質和判定，菱形的性質，勾股定理的應用，解此題的關鍵是能根據軸對稱找出P的位置．4．D【分析】根據“兩點之間線段最短”，當G點位于BD與CE的交點處時，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的長．解：如圖，∵將△ABG繞點B逆時針旋轉60°得到△EBF，∴BE=AB=BC，BF=BG，EF=AG，∴△BFG是等邊三角形．∴BF=BG=FG，．∴AG+BG+CG=FE+GF+CG．根據“兩點之間線段最短”，∴當G點位于BD與CE的交點處時，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的長，過E點作EF⊥BC交CB的延長線于F，∴∠EBF=180°-120°=60°，∵BC=4，∴BF=2，EF=2，在Rt△EFC中，∵EF2+FC2=EC2，∴EC=4．∵∠CBE=120°，∴∠BEF=30°，∵∠EBF=∠ABG=30°，∴EF=BF=FG，∴EF=CE=，故選：D．【點撥】本題考查了旋轉的性質，菱形的性質，等邊三角形的性質，軸對稱最短路線問題，正確的作出輔助線是解題的關鍵．5．C【分析】取CD中點H，連接AH，BH，根據矩形的性質題意得出四邊形AECH是平行四邊形，可知，然后根據三角形中位線的性質得，得出點P在AH上，然后判斷BP的最小值，再求出值即可.解：如圖，取CD中點H，連接AH，BH，設AH與DE的交點為O，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝4，，∵點E是AB中點，點H是CD中點，∴CH＝AE＝DH＝BE＝4，∴四邊形AECH是平行四邊形，∴，∵點P是DF的中點，點H是CD的中點，∴PH是△CDF的中位線，∴，∴點P在AH上，∴當BP⊥AH時，此時點P與H重合，BP有最小值，∵AD＝DH＝CH＝BC＝4，∴∠DHA＝∠DAH＝∠CBH＝∠CHB＝45°，，∴∠AHB＝90°，∴BP的最小值為.故選：C．【點撥】本題主要考查了矩形的性質，平行四邊形的判定，中位線的性質和定義等，確定點P的位置是解題的關鍵．6．B【分析】根據矩形的性質可知，又因為，由四邊形內角和為360°可判定結論①；過點G作、，垂足分別為M、N，根據△EFG為等腰直角三角形，，可求出，證明，推導出，可判定結論②；由，并由結論②可判定結論③；由中，可知當點F、N重合時點G到邊BC的距離的最大，從而可以判定結論④．解：∵四邊形ABCD為矩形，∴，又∵，四邊形內角和為360°，∴，∵，∴，∴故結論①正確；如下圖，過點G作、，垂足分別為M、N，∵△EFG為等腰直角三角形，，∴，∴，∵，∴，即，∵，又∵，∴，在和中，，∴，∴，∴點G在的平分線上，故結論②正確；∵，并由結論②可知，點G到邊AD、DC的距離不相等，∴點G不可能在的平分線上，故結論③不正確；在中，,當點F、N重合時GN最大，∵，∴，即點G到邊BC的距離的最大值為，故結論④正確．故選：B．【點撥】本題主要考查了矩形的性質、全等三角形的判定與性質、角平分線的判定以及三角形內角和定理等知識，解題關鍵是對相關知識的掌握和運用．7．C【分析】如圖，取AC的中點T，連接DT，MT．利用三角形的中位線定理求出DT，利用直角三角形的中線的性質求出MT，再根據DM≥MT-DT，可得結論．解：如圖，取AC的中點T，連接DT，MT．∵AD=DB，AT=TC，∴DT=BC=2，∵CE⊥AF，∴∠AMC=90°，∴TM=AC=3，∴點M的運動軌跡是以T為圓心，TM為半徑的圓，∴DM≥TM-DT=3-2=1，∴DM的最小值為1，故選：C．【點撥】本題考查了三角形中位線定理，直角三角形斜邊中線的性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造三角形中位線，直角三角形斜邊中線解決問題．8．A【分析】作出如圖的圖形，根據軸對稱的性質得到PM+PN的最小值為M1N的長，利用三角形中位線定理以及勾股定理即可求解．解：如圖，以BD為對稱軸作△ABD的軸對稱圖形△A1BD，取A1B的中點M1，則點M和點M1關于直線BD對稱，連接MN，MM1，M1N，AA1，AA1與BD交于點O，M1N與BD交于點P，此時PM+PN最小，最小值為M1N的長，在矩形中ABCD中，AB=2，BD=4，則∠ABD=60°，∠BAO=30°，∴BO=AB=1，則AO==，∴AA1=2，∵點M，N，M1分別是AB，AD，A1B的中點，∴MM1和MN分別是△ABA1和△ABD的中位線，且AA1⊥BD，∴MM1//AA1，MN//BD，MM1=AA1=，MN=BD=2，MM1⊥M1N，∴M1N=，則PM+PN的最小值為，故選：A．【點撥】本題考查了矩形的性質，軸對稱的性質，三角形中位線定理，勾股定理等知識，根據軸對稱的性質得到PM+PN的最小值為M1N的長是解題的關鍵．9．A【分析】連接CP，AQ，以A為圓心，以AQ為半徑畫圓，延長BA交于E．根據正方形的性質，旋轉的性質，角的和差關系，全等三角形的判定定理和性質求出AQ的長度，根據三角形三邊關系確定當點Q與點E重合時，BQ取得最大值，最后根據線段的和差關系計算即可．解：如下圖所示，連接CP，AQ，以A為圓心，以AQ為半徑畫圓，延長BA交于E．∵正方形ABCD的邊長為4，的半徑為2，∴AD=CD=AB=4，∠ADC=90°，CP=2．∵點P繞點D按逆時針方向旋轉90°得到點Q，∴∠QDP=90°，QD=PD．∴∠ADC=∠QDP．∴∠ADC-∠QDC=∠QDP-∠QDC，即∠ADQ=∠CDP．∴．∴AQ=CP=2．∴AE=AQ=2．∵P是上任意一點，∴點Q在上移動．∴．∴當點Q與點E重合時，BQ取得最大值為BE．∴BE=AE+AB=6．故選：A．【點撥】本題考查正方形的性質，旋轉的性質，角的和差關系，全等三角形的判定定理和性質，三角形三邊關系，線段的和差關系，綜合應用這些知識點是解題關鍵．10．D【分析】連接AC，作，證明當取最小值時，A，P，G三點共線，且，此時最小值為AG，再利用勾股定理，所對的直角邊等于斜邊的一半即可求出結果．解：連接AC，作∵是正方形且邊長為4，∴，，，∵，∴，∴，∴當取最小值時，A，P，G三點共線，且，此時最小值為AG，∵，，∴，∵，∴，設，則，∴，解得：，設，則，∵，∴，解得：∴，故選：D【點撥】本題考查正方形的性質，動點問題，勾股定理，所對的直角邊等于斜邊的一半，解題的關鍵是證明當取最小值時，A，P，G三點共線，且，此時最小值為AG．11．A【分析】連接BF，過點F作FG⊥AB交AB延長線于點G，通過證明△AED≌△GFE（AAS），確定F點在BF的射線上運動；作點C關于BF的對稱點C'，由三角形全等得到∠CBF=45°，從而確定C'點在AB的延長線上；當D、F、C'三點共線時，DF+CF=DC'最小，在Rt△ADC'中，AD=3，AC'=6，求出DC'=3即可．解：連接BF，過點F作FG⊥AB交AB延長線于點G，∵將ED繞點E順時針旋轉90°到EF，∴EF⊥DE，且EF=DE，∴△AED≌△GFE（AAS），∴FG=AE，∴F點在BF的射線上運動，作點C關于BF的對稱點C'，∵EG=DA，FG=AE，∴AE=BG，∴BG=FG，∴∠FBG=45°，∴∠CBF=45°，∴BF是∠CBC′的角平分線，即F點在∠CBC′的角平分線上運動，∴C'點在AB的延長線上，當D、F、C'三點共線時，DF+CF=DC'最小，在Rt△ADC'中，AD=3，AC'=6，∴DC'=3，∴DF+CF的最小值為3，∴此時的周長為．故選：A．【點撥】本題考查了旋轉的性質，正方形的性質，軸對稱求最短路徑；能夠將線段的和通過軸對稱轉化為共線線段是解題的關鍵．12．B【分析】作點D關于BC的對稱點D′，連接PD′，ED′，證得DP=PD′，推出PD+PF=PD′+PF，又EF=EA=2是定值，即可推出當E、F、P、D′四點共線時，PF+PD′定值最小，最小值=ED′-EF即可得出結果．解：作點關于的對稱點，連接，，如圖所示：矩形中，，，，，，，在和中，，≌，，，是定值，當、、、四點共線時，定值最小，最小值，的最小值為，故選：B【點撥】本題考查翻折變換、矩形的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會利用軸對稱，根據兩點之間線段最短解決最短問題．13．【分析】連接AC，CE，則CE的長即為AP+PE的最小值，再根據菱形ABCD中，得出∠ABC的度數，進而判斷出△ABC是等邊三角形，故△BCE是直角三角形，根據勾股定理即可得出CE的長．解：連接AC，CE，∵四邊形ABCD是菱形，∴A、C關于直線BD對稱，∴CE的長即為AP+PE的最小值，∵，∴，∴△ABC是等邊三角形，∵E是AB的中點，∴，∴．故答案為：．【點撥】本題考查了軸對稱-最短路線問題，熟知菱形的性質及兩點之間線段最短是解答此題的關鍵．14．1【分析】取OB中點E'，連接PE'，作射線FE'交AC于點P'．則PE＝PE'，當P與P'重合，P'、E'、F三點在同一直線上時，PF﹣PE'有最大值，即為FE'的長．解：如圖，取OB中點E'，連接PE'，作射線FE'交AC于點P'．則PE＝PE'，∴PF﹣PE＝PF﹣PE'≤FE'，當P與P'重合，P'、E'、F三點在同一直線上時，PF﹣PE'有最大值，即為FE'的長，∵在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，∴∠ABD＝60°，∠DAB＝60°，∴△ABD為等邊三角形．∴AB＝BD＝AD＝4．∴OD＝OB＝2．∵點E'為OB的中點，E'B＝1，AF＝3BF，∴BFAB＝1，∵∠ABD＝60°，∴△BE'F為等邊三角形，∴E'F＝FB＝1．故PF﹣PE的最大值為1．故答案為：1．【點撥】本題考查了軸對稱﹣最大值問題、菱形的性質、等邊三角形的判定與性質，熟練運用軸對稱的性質和三角形三邊關系是解題的關鍵．15．【分析】先根據題目條件中的中點可聯想中位線的性質，構造中位線將和的長度先求出來，再利用三角形的三邊關系判斷，當時最大．解：如圖所示：連接交于點，連接，取的中點，連接和，在菱形中，為中點，為中點，，當、、、共線時，也為1，為中點、為中點，，在菱形中且，，，，，，，，，，的最大值為．故答案為：．【點撥】本題難點在于輔助線的添加，要根據菱形的性質和題目條件中的中點構造中位線，然后借助三角形的三邊關系可判斷出當、、三點共線時最大．16．【分析】取AD的中點N．連接EN，EC，GN，作EH⊥CB交CB的延長線于H．根據菱形的性質，可得△ADB是等邊三角形，從而得到△AEN是等邊三角形，可證得△AEF≌△NEG，進而得到點G的運動軌跡是射線NG，繼而得到GD+GC＝GE+GC≥EC，在Rt△BEH和Rt△ECH中，由勾股定理，即可求解．解：如圖，取AD的中點N．連接EN，EC，GN，作EH⊥CB交CB的延長線于H．∵四邊形ABCD是菱形∴AD＝AB，∵∠A＝60°，∴△ADB是等邊三角形，∴AD＝BD，∵AE＝ED，AN＝NB，∴AE＝AN，∵∠A＝60°，∴△AEN是等邊三角形，∴∠AEN＝∠FEG＝60°，∴∠AEF＝∠NEG，∵EA＝EN，EF＝EG，∴△AEF≌△NEG（SAS），∴∠ENG＝∠A＝60°，∵∠ANE＝60°，∴∠GND＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴點G的運動軌跡是射線NG，∴D，E關于射線NG對稱，∴GD＝GE，∴GD+GC＝GE+GC≥EC，在Rt△BEH中，∠H＝90°，BE＝1，∠EBH＝60°，∴BH＝BE＝，EH＝，在Rt△ECH中，EC＝＝，∴GD+GC≥，∴GD+GC的最小值為．故答案為：．【點撥】本題主要考查了菱形的性質，等邊三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理等知識，熟練掌握菱形的性質，等邊三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理等知識是解題的關鍵．17．6【分析】設點M是PD的中點，過點M作直線與射線CA、CB分別交于點，得到當點M是PD的中點時，的面積最小，再根據直角三角形的性質及三角形的面積公式求解即可．解：設點M是PD的中點，過點M作直線與射線CA、CB分別交于點，則點M不是的中點當時，在上截取，連接DE當時，同理可得當點M是PD的中點時，的面積最小如圖，作于H則，在等腰中，過點D作交于K四邊形AKDH是矩形故答案為：6【點撥】本題考查了全等三角形的判定和性質、矩形的判定和性質、直角三角形的性質，熟練掌握知識點是解題的關鍵．18．【分析】作點A關于BC的對稱點T，取AD的中點R，連接BT，QT，RT，RM．根據直角三角形斜邊上中線性質和勾股定理求出RM，RT，根據△RMT三邊關系求出MT的最小值，再根據QA＋QM＝QM＋QT≥MT，可得結論．解：如圖，作點A關于BC的對稱點T，取AD的中點R，連接BT，QT，RT，RM．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠RAT＝90°，∵AR＝DR＝，AT＝2AB＝2，∴RT＝，∵A，A′關于DP對稱，∴AA′⊥DP，∴∠AMD＝90°，∵AR＝RD，∴RM＝AD＝，∵MT≥RT?RM，∴MT≥2，∴MT的最小值為2，∵QA＋QM＝QT＋QM≥MT，∴QA＋QM≥2，∴QA＋QM的最小值為2．故答案為：2．【點撥】本題考查翻折變換，矩形的性質，解直角三角形等知識，解題的關鍵是求出MT的最小值．19．38【分析】根據題目要求，要使四邊形AGCD的面積最小，因為的面積固定，只需使的面積最小即可，即的高最小即可，又在中，，則BG=2，高的最小值為點B到AC的距離減去BG的長度，則可求解．解：依題意，在中，為EF的中點，，，點G在以B為圓心，2為半徑的圓與長方形重合的弧上運動，,要使四邊形AGCD的面積最小，則B所在直線垂直線段AC，又，點B到AC的距離為，此時點G到AC的距離為，故的最小面積為，，故答案為：38．【點撥】本題考查了動點問題中四邊形的最小面積問題，利用勾股定理，直角三角形中線的性質，三角形等積法求高等性質定理進行求解，對于相關性質定理的熟練運用是解題的關鍵．20．【分析】如圖所示點B′在以E為圓心EA為半徑的圓上運動，當D、B′、E共線時，B′D的值最小，根據勾股定理求出DE，根據折疊的性質可知B′E＝BE＝2，即可求出B′D．解：如圖：由折疊可得：EB′＝EB，∵E是AB邊的中點，AB＝6，∴AE＝EB=EB′＝3，∴點B′在以E為圓心EA為半徑的圓上運動，當D、B′、E共線時，B′D的值最小，∵四邊形ABCD矩形，∴∠A=90o，在Rt△ADE中，∵AD＝8，AE=3，∴DE＝，∴B′D＝﹣3．故答案為：﹣3．【點撥】本題主要考查了折疊的性質、勾股定理、兩點之間線段最短、圓的性質的綜合運用.確定點B′在何位置時，B′D的值最小是解決問題的關鍵．21．【分析】根據正方形的性質可得AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△DCF全等，根據全等三角形對應角相等可得∠ABE=∠DCF，利用“SAS”證明△ADG和△CDG全等，根據全等三角形對應角相等可得∠DCG=∠DAG，從而得到∠ABE=∠DAG，然后求出∠AHB=90°，取AB的中點O，連接OH、OD，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OH=AB=2，利用勾股定理列式求出OD，然后根據三角形的三邊關系可知當O、D、H三點共線時，DH的長度最小．解：在正方形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠ABE=∠DCF，在△ADG和△CDG中，，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠DCG=∠DAG，∴∠ABE=∠DAG，∵∠BAH+∠DAG=∠BAD=90°，∴∠ABE+∠BAH=90°，∴∠AHB=180°-90°=90°，如圖，取AB的中點O，連接OH、OD，則OH=AO=AB=2，在Rt△AOD中，，根據三角形的三邊關系，OH+DH>OD，∴當O、D、H三點共線時，DH的長度最小，最小值=OD-OH=．故答案為：．【點撥】本題主要考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質以及勾股定理等知識，熟練掌握正方形的性質是解題的關鍵．22．【分析】延長DA到點O，使AO=HE=4，連接OC，可證得四邊形AOEH是平行四邊形，OE=AH，可得當點E、點G在OC上時，最小，即最小，再根據勾股定理即可求得．解：如圖：延長DA到點O，使AO=HE=4，連接OE、EG，，，，又，四邊形AOEH是平行四邊形，，當點E、點G在OC上時，最小，即最小，，，，，故的最小值為，故答案為：．【點撥】本題考查了矩形及正方形的性質，平行四邊形的判定與性質，勾股定理，作出輔助線是解決本題的關鍵．23．【分析】如圖，作點關于直線的對稱點，連接，，延長到，使得，連接，，．想辦法證明，的最小值轉化為的最小值．解：如圖，作點關于直線的對稱點，連接，，延長到，使得，連接，，，如圖所示：，，，，關于對稱，，，，，四邊形是矩形，，四邊形是正方形，，，，，，，垂直平分線段，，，，的最小值為線段的長，，的最小值為，故答案為．【點撥】本題考查全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，軸對稱最短問題等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．24．

45°##45度

##【分析】（1）根據折疊的性質：折疊前后的兩個圖形是全等圖形，對稱軸垂直平分對應點的連線；即可解答；（2）連接AC，BD，設AC與BD相交于點O，過點O作OM⊥AB于點M，連接OH，HM；由HM≤OM+OH，根據直角三角形斜邊中線等于斜邊一半求得OH的長即可解答；解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，由折疊得，AB=AF=AD，AE⊥BH，∠BAE=∠FAE，∠FAH=∠DAH，∵∠BAE+∠FAE+∠FAH+∠DAH=∠BAD，∴∠FAE+∠FAE+∠FAH+∠FAH=90°，∴∠FAE＋FAH=45°，即∠GAH=45°，∵∠AGH=90°，∴∠AHB=90-∠GAH=90°-45°=45°，故答案為：45°；（2）如圖2，連接AC，BD，設AC與BD相交于點O，過點O作OM⊥AB于點M，連接OH，HM，∵HM≤OM+OH，∴當M，O，H三點在同一條直線上時，點H到AB的距離最大，∵四邊形ABCD是正方形，且AB=2，∴AC=BD==，∴OM=AD=1，將AD與AF重合折疊，折痕與BF的延長線交于點H，∴∠AHD=∠AHF=45°，∠BHD=∠AHD+∠AHB=45°+45°=90°，∵O是BD中點，∴OH=BD=，∴OM+OH=，∴HM≤，即點H到AB的距離最大值為，故答案為：；【點撥】本題考查了折疊的性質，正方形的性質，勾股定理，掌握折疊的性質是解題關鍵．25．（1）過程見分析；BC=3-3；（2）四邊形ADFC是菱形；證明見分析；（3）AF的最大值是6，最小值是12-6．【分析】（1）過點B作BH⊥DE交DE的延長線于點H，先證明△AEB是等邊三角形，再證明△HBE是等腰直角三角形，并且求得∠BDH＝30°，根據直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半及勾股定理即可求出EH的長和DH的長，進而求出DE的長，再由DE＝BC求得BC的長；（2）四邊形ADFC是菱形，先求出∠ACF＝∠AEF＝30°，∠ADF＝∠ABF＝30°，∠CAD＝∠CAE＋∠DAE＝150°，則∠CFD＝360°?∠ACF?∠ADF?∠CAD＝150°，可證明FC∥AD，FD∥AC，則四邊形ADFC是平行四邊形，而AD＝AC，即可證明四邊形ADFC是菱形；（3）作FK⊥AB于點K，連接AF，先證明∠KAF＝∠KFA＝45°，則AK＝FK，由∠FBK＝30°得BF＝2FK，根據勾股定理求得BK＝FK，然后再由FK＋FK＝6，求出FK的長，即可求出BF的長，再根據兩點之間線段最短求出AF的最大值和最小值即可．解：（1）如圖2，過點B作BH⊥DE交DE的延長線于點H，則BC＝DE＝DH-HE．∵△ABC繞點A順時針旋轉90°得到△ADE，AB＝AC＝6，∠BAC＝30°，∴∠CAE＝∠BAD＝90°，∠DAE＝∠BAC＝30°，AD＝AB，AE＝AC，DE＝BC，∴∠BAE＝∠CAE-∠BAC＝60°，AD＝AB＝AE＝6，∴△AEB是等邊三角形．∴BE＝AB＝6，∠AEB＝∠ABE＝60°，∴∠C＝∠ABC＝＝75°，∠AED＝∠ADE＝＝75°，∴∠HBE＝∠HEB＝180°-60°-75°＝45°，∴HE＝HB，∠H＝90°，∵∠ABD＝∠ADB＝45°，∴∠BDH＝∠ADE-∠ADB＝30°，∵BD＝＝＝6，∴HE＝HB＝BD＝3，DH＝＝＝3，∴BC＝DE＝DH-HE＝3-3，即BC的長為3-3．（2）四邊形ADFC是菱形．證明：∵△ABC繞點A順時針旋轉120°得到△ADE，AB＝AC＝6，∠BAC＝30°（如圖3），∴∠CAE＝∠BAD＝120°，∠DAE＝∠BAC＝30°，AD＝AB，AE＝AC，DE＝BC，∴AE＝AC＝AB＝AD，∴∠ACF＝AEF＝＝30°，∠ADF＝∠ABF＝＝30°，∵∠CAD＝∠CAE＋∠DAE＝150°，∴∠CFD＝360°-∠ACF-∠ADF-∠CAD＝150°，∴∠ACF＋∠CAD＝180°，∠ACE＋∠CFD＝180°，∴FC∥AD，FD∥AC，∴四邊形ADFC是平行四邊形，∵AD＝AC，∴四邊形ADFC是菱形．（3）解：如圖3，作FK⊥AB于點K，連接AF，∵四邊形ADFC是菱形，∴CF＝DF，∵∠BCF＝∠EDF＝75°?30°＝45°，BC＝DE，∴△BCF≌△EDF（SAS），∴BF＝EF，∵AB＝AE＝6，AF＝AF，∴△BAF≌△EAF（SSS），∵∠BAE＝120°?30°＝90°，∴∠BAF＝∠EAF＝45°，∵∠AKF＝∠BKF＝90°，∴∠KAF＝∠KFA＝45°，∴AK＝FK，∵∠FBK＝30°，∴BF＝2FK，∵BK＝，∵AK＋BK＝AB＝6，∴，∴，∴，∵，，，∴，當點F在線段AB的延長線上，如圖4，則AF＝AB＋BF＝，此時AF的值最大，等于；當點F在線段AB上，如圖5，則AF＝AB?BF＝，此時AF的值最小，等于．綜上所述，AF的最大值是，AF的最小值是．【點撥】本題考查了等腰三角形的性質、全等三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質、等腰直角三角形的判定與性質、菱形的判定與性質、旋轉的性質勾股定理、兩點之間線段最短等知識，熟練掌握相關知識的性質和判定是解本題的關鍵．26．(1)證明見分析；(2)當t=時，四邊形PEQC能夠成為菱形；(3)當t=2或時，△PQE為直角三角形；(4)2．【分析】（1）由矩形的性質可得∠BCA=∠CAD=30°，由直角三角形的性質可得PE=AP=t=CQ；（2）先證四邊形PEQC是平行四邊形，則當PE=PC時，平行四邊形PEQC是菱形，可得等式，即