由數列的遞推公式求通項公式例1．已知，，求例2．數列中，，，求變式：數列中，，，求小結：象例2和它的變式這樣的數列，從第二項起，每一項與它前一項的差剛好組成一個等差數列，這樣的數列稱為差后等差數列，其通項公式問題，可以用逐步求差，累加求和的方法求出通項公式，即迭加法。一般的，若，，其中為可求和數列，求均可用迭加法。例3．數列中，，，求小結：象例3這樣的數列，可以用逐步求比，累乘求積的方法求通項公式，即迭乘法。一般的，對于求形如“，”的通項公式，當的值可求時，宜采用此方法。例4．數列中，，。求證：是等比數列。（2）求。小結：一般的，若數列的遞推公式形如“，，（k，b為常數）”則可用構造等比法求解。練習1：數列中，，。求3．小結：由遞推公式求通項公式的三種常用方法:（1）.迭加法：（2）.迭乘法：（3）.構造等比法：此外，對于一些特殊的題型還有以下幾種方法例5．（倒數法）已知數列{an}中，a1=，an+1=，求{an}的通項公式．解：∴是以為首項，公差為2的等差數列，即+2（n－1）=∴an=練習2．已知數列{an}中，a1=1，Sn=，求{an}的通項公式．〖an=〗例6．（求和法：利用公式an=Sn－Sn－1，n≥2）已知正數數列{an}的前n項和Sn=，求{an}的通項公式．解：S1=a1=，所以a1=1．∵an=Sn－Sn－1∴2Sn=Sn－Sn－1+∴Sn+Sn－1=，即Sn2－Sn－12=1∴是以1為首項，公差為1的等差數列．∴Sn2=n，即Sn=∴an=Sn－Sn－1=－（n≥2）∴an=－．例7．（疊加法的再運用）已知數列{an}的前n項和Sn滿足Sn－Sn－2=3×（－）n－1（n≥3），且S1=1，S2=－，求{an}的通項公式．解：先考慮偶數項有：S2n－S2n－2=－3·，S2n－2－S2n－4=－3·，……，S4－S2=－3·將以上各式疊加得S2n－S2=－3×，所以S2n=－2+．再考慮奇數項有：S2n＋1－S2n－1=3·，S2n－1－S2n－3=3·，……，S3－S1=3·將以上各式疊加得S2n＋1=2－．所以a2n+1=S2n+1－S2n=4－3×，a2n=S2n－S2n－1=－4+3×．綜上所述an=，即an=（－1）n－1·．練習3．在數列{an}中，a1=2，且an+1=，求{an}的通項公式．〖an=〗例8.（an+1=pan+f（n）類型）已知數列{an}中，a1=1，且an=an－1+3n－1，求{an}的通項公式．解：（待定系數法）設an+p·3n=an－1+p·3n－1則an=an－1－2p·3n－1，與an=an－1+3n－1比較可知p=－．所以是常數列，且a1－=－．所以=－，即an=．練習4．已知數列{an}滿足Sn+an=2n+1，其中Sn是{an}的前n項和，求{an}的通項公式．解：∵an=Sn－Sn－1，∴Sn+Sn－Sn－1=2n+1，∴2Sn=Sn－1+2n+1（待定系數法）設2（Sn+pn+q）=Sn－1+p（n－1）+q化簡得：－pn－p－q=2n+1，所以，即∴2（Sn－2n+1）=Sn－2（n－1）+1，又∵S1+a1=2+1=3，∴S1=，S1－2+1=∴{Sn－2n+1}是以為公比，以為首項的等比數列．∴Sn－2n+1=，即Sn=+2n－1，an=2n+1－Sn=2－．例9．（an+1=panr型）（2005年江西高考題）已知數列{an}各項為正數，且滿足a1=1，an+1=．（1）求證：an<an+1<2；（2）求{an}的通項公式．解：（1）略．（2）an+1=－（an－2）2+2，∴an+1－2=－（an－2）2∴2－an+1=（2－an）2，∴由（1）知2－an>0，所以log2（2－an+1）=log2[（2－an）2]=2·log2（2－an）－1∴log2（2－an+1）－1=2［log2（2－an）－1］即{log2（2－an）－1}是以―1為首項，公比為2的等比數列∴log2（2－an）－1=－1×2n－1，化簡得an=2－．練習5．（2006年廣州二模）已知函數（）．在數列中，，（），求數列的通項公式．解：，從而有，由此及知：數列是首項為，公比為的等比數列，故有（）。