第02講尋找規律

N學習砌&-

?發現排列規律，并依據規律填寫數字或算式。

0知識梳理

■*

按照一定次序排列起來的一列數，叫做數列。如自然數列：1,2,3,4,……雙數列：2,

4,6,8,……我們研究數列，目的就是為了發現數列中數排列的規律，并依據這個規律來填

寫空缺的數。觀察是解決問題的根據。通過觀察，得以揭示出事物的發展和變化規律，在一般

情況下，我們可以從以下幾個方面來找規律：

1.根據每組相鄰兩個數之間的關系，找出規律，推斷出所要填的數；

2.根據相隔的每兩個數的關系，找出規律，推斷出所要填的數；

3.要善于從整體上把握數據之間的聯系，從而很快找出規律；

4.數之間的聯系往往可以從不同的角度來理解，只要言之有理，所得出的規律都可以認

為是正確的。

對于較復雜的按規律填數的問題，我們可以從以下幾個方面來思考：

1.對于幾列數組成的一組數變化規律的分析，需要我們靈活地思考，沒有一成不變的方

法，有時需要綜合運用其他知識，一種方法不行，就要及時調整思路，換一種方法再分析；

2.對于那些分布在某些圖中的數，它們之間的變化規律往往與這些數在圖形中的特殊位

置有關，這是我們解這類題的突破口。

3.對于找到的規律，應該適合這組數中的所有數或這組算式中的所有算式。

典例分析

考點一:發現數列規律

例1、填上合適的數。

(1)3,6,9,12,(),()

(2)1,2,4,7,11,(),()

(3)2,6,18,54,(),()

例2、找出規律，再在括號里填上合適的數。

(1)15,2,12,2,9,2,(),()

(2)21,4,18,5,15,6,(),()

(3)3,4,7,3,4,10,3,4,13,(),()

(4)187,286,385,(),()

例3、1,1,2,3,5,8,13,(),34,55.......中，括號里應填什么數？

例4、下面每個括號里的兩個數都是按一定的規律組合的，在口里填上適當的數。

(8,4)(5,7)(10,2)(口，9)

考點二：發現規律填寫圖形內空缺的數

例1、根據前面圖形里的數的排列規律，填入適當的數。

(1)

⑵

41233524

4643

例3、根據下表中的排列規律，在空格里填上適當的數。

nono

u

例4、根據前面圖形中的數之間的關系，想一想第三個圖形的括號里應填什么數？

考點三：根據規律速求復雜算式的值

例1、先計算下面一組算式的第一題，然后找出其中的規律，并根據規律直接寫出后幾題的得

數。12345679x9=12345679x18=

12345679x54=12345679x81=

例2、找規律計算。(1)81-18=(8-1)x9=7x9=63

(2)72—27=(7-2)x9=5x9=45

(3)63—36=(口一口)、9=口*9=口

例3、計算(1)26x11(2)38x11

例4、下面數列的每一項由3個數組成的數組表示，它們依次是：

(1,3,5),(2,6,10),(3,9,15)…問：第100個數組內3個數的和是多少？

考點四：用周期規律解決數學問題

例1、求67999的個位數字。

例2、求2%+3291的個位數字。

例3、求下式除法運算所得的余數:

555+3。

例4、某種細菌每小時分裂一次，每次1個細茵分裂成3個細菌。20時后，將這些細菌每7

個分為一組，還剩下幾個細菌？

實戰演練

＞課堂狙擊

1、在括號內填上合適的數。

(1)2,4,6,8,10,(),()

(2)1,2,5,10,17,(),()

(3)2,8,32,128,(),()

【解析】⑴12；14(2)26;37(3)512;2048

2、按規律填數。

(1)2,1,4,1,6,1,(),()

(2)3,2,9,2,27,2,(),()

(3)18,3,15,4,12,5,(),()

3、找出排列規律，在空缺處填上適當的數。

(1)

⑵AAA

AAAAAA

4、先找出規律，然后在括號里填上適當的數。

(1)2,2,4,6,10,16,(),()

(2)34,21,13,8,5,(),2,()

(3)0,1,4,15,56,()

5、求以下除法運算所得的余數。

7855+5

6、在方框內填出合適的數。

H168r5H

1二

1610<9□

n9

■163?30

7、找規律，寫得數。

1+0x9=2+1x9=3+12x9=4+123x9=9+12345678x9=

8,利用規律計算。

(1)53-3582-2892-2987+7861-1695—5939x1146x11

(2)根據62+26=(6+2)x11=8x11=88,計算87+78=

9、求28已8一2929的個位數字。

＞課后反擊

1、在括號內填上合適的數。

(1)1,5,25,125,(),()

(2)1,15,3,13,5,11,(),()

(3)(64,62)(48,46)(29,27)(15,□)

(4)(100,50)(86,43)(64,32)(口，21)

(5)(8,6)(16,3)(24,2)(12,□)

2、根據前面圖形中數之間的關系，想一想第三個圖形的空格里應填什么數。

3、根據規律，在空格內填數。

(1)198,297,396,(),()

32542145

38642665

4、下面括號里的兩個數是按一定的規律組合的，在口里填上適當的數。

(1)(6,9)(7,8)(10,5)(0,3)

⑵(1,24)(2,12)(3,8)(4,□)

(3)(18,17)(14,10)(10,1)(口，5)

⑷(2,3)(5,9)(7,13)(9,□)

(5)(2,3)(5,7)(7,10)(10,□)

5、找規律，寫得數。

1X1=11X11=111X111=111111111X111111111=

6、利用規律計算。

(1)61-16(2)95-59

(3)39x11(4)46x11

7、求291+3291的個位數字。

，直擊賽場.

1、下面是一組被打亂的數字，在被打亂之前它們之間有一個非常有趣的規律。你試著找找看,

然后按其原有的規律重新把下面的數字排列起來，并說明原來的規律是什么。(啟智杯2010)

3,5,13,21,1,1,2,8

孥、名師點撥晶

一整數a與它本身的乘積，即axa叫做這個數的平方，記作a2,即a2=axa；同樣，三個a

的乘積叫做a的三次方，記作a3,即a3=axaxa。一般地，n個a相乘，叫做a的n次方，記

作an,即

n

a=axaxax-xa

n-t-a

我們需要掌握an的個位數的變化規律，以及an除以某數所得余數的變化規律。

因為積的個位數只與被乘數的個位數和乘數的個位數有關，所以an的個位數只與a的個

位數有關，而a的個位數只有0,1,2,…，9共十種情況，故我們只需討論這十種情況。

為了找出一個整數a自乘n次后，乘積的個位數字的變化規律，我們可以列出表格，看看a,

a2,a3,a4,…的個位數字各是什么。從表看出，an的個位數字的變化規律可分為三類：

(1)當a的個位數是0,1,5,6時，an的個位數仍然是0,1,5,6。

(2)當a的個位數是4,9時，隨著n的增大，an的個位數按每兩個數為一周期循環出現。

其中a的個位數是4時，按4,6的順序循環出現；a的個位數是9時，按9,1的順序循環出

現。

(3)當a的個位數是2,3,7,8時，隨著n的增大，an的個位數按每四個數為一周期循環

出現。其中a的個位數是2時，按2,4,8,6的順序循環出現；a的個位數是3時，按3,9,

7,1的順序循環出現；當a的個位數是7時，按7,9,3,1的順序循環出現；當a的個位數

是8時，按8,4,2,6的順序循環出現。

耍學霸經驗

?一本節課我學到

＞我需要努力的地方是

第02講尋找規律

教學目標

?發現排列規律，并依據規律填寫數字或算式。

工知識梳理.

按照一定次序排列起來的一列數，叫做數列。如自然數列：1,2,3,4,……雙數列：2,

4,6,8,……我們研究數列，目的就是為了發現數列中數排列的規律，并依據這個規律來填

寫空缺的數。觀察是解決問題的根據。通過觀察，得以揭示出事物的發展和變化規律，在一般

情況下，我們可以從以下幾個方面來找規律：

1.根據每組相鄰兩個數之間的關系，找出規律，推斷出所要填的數；

2.根據相隔的每兩個數的關系，找出規律，推斷出所要填的數；

3.要善于從整體上把握數據之間的聯系，從而很快找出規律；

4.數之間的聯系往往可以從不同的角度來理解，只要言之有理，所得出的規律都可以認

為是正確的。

對于較復雜的按規律填數的問題，我們可以從以下幾個方面來思考：

1.對于幾列數組成的一組數變化規律的分析，需要我們靈活地思考，沒有一成不變的方

法，有時需要綜合運用其他知識，一種方法不行，就要及時調整思路，換一種方法再分析；

2.對于那些分布在某些圖中的數，它們之間的變化規律往往與這些數在圖形中的特殊位

置有關，這是我們解這類題的突破口。

3.對于找到的規律，應該適合這組數中的所有數或這組算式中的所有算式。

典例分析

考點一:發現數列規律

例1、填上合適的數。

(1)3,6,9,12,(),()

(2)1,2,4,7,11,(),()

(3)2,6,18,54,(),()

【解析】(1)前一個數加上3就等于后一個數，也就是相鄰兩個數的差都是3.根據這一規律，

可以后推知括號里填15和18.

(2)第一個數增加1等于第二個數，第二個數增加2等于第三個數，也就是每相鄰兩個數

的差依次是1,2,3,4....,這樣下一個數應比11大5,填16；再下一個數應比16大6,填22.

(3)后一個數是前一個數的3倍，162和486

例2、找出規律，再在括號里填上合適的數。

(1)15,2,12,2,9,2,(),()

(2)21,4,18,5,15,6,(),()

(3)3,4,7,3,4,10,3,4,13,(),()

(4)187,286,385,(),()

【解析】(1)第一個數減3是第三個數，第三個數減3是第5個數，第二、第四、第六個數不

變。應填6,2.(2)第一個數減3是第三個數，第三個數減3是第5個數；第二個數加1是第四

個數，第四個數加1是第六個數。應填12,(3)每三個為一組，每組中的前兩個數都是3,4,每

組的第三個數都等于前一組第三個數加上3的和。填3,4,16(4)每個數十位上的數字8不變，

百位上的數字依次是1,2,3....,個位上的數字依次是7,6,5…，并且百位上的數字與個位上的數字

的和是8,應填484,583

例3、1,1,2,3,5,8,13,(),34,55……中，括號里應填什么數？

【解析】經仔細觀察、分析，不難發現：從第三個數開始，每一個數都等于它前面兩個數的和。

根據這一規律，括號里應填的數為：8+13=21或34—13=21

上面這個數列叫做斐波那切(意大利古代著名數學家)數列，也叫做“兔子數列”。

例4、下面每個括號里的兩個數都是按一定的規律組合的，在口里填上適當的數。

(8,4)(5,7)(10,2)(口，9)

【解析】經仔細觀察、分析，不難發現：每個括號里的兩個數相加的和都是12。根據這

一規律，口里所填的數應為：12—9=3

考點二：發現規律填寫圖形內空缺的數

例1、根據前面圖形里的數的排列規律，填入適當的數。

【解析】(1)橫著看，圖形中右邊的數比左邊的數多5；豎著看，下面的數比上面的數多4；斜

著看，和相等。根據這一規律，應填18.

(2)通過觀察可以發現前兩個圖形中的數之間有這樣的關系4x8+2=16,7x8+4=14,也就是說

中心的數等于上面的數與左下方的數的乘積除以右下方的數。9x4+3=12,應填12

例2、按規律填數。

233141233524

25414643

【解析】通過觀察可以發現前兩個圖形里的數之間有一定的聯系：左上方的數十位上的數字

和右上方的數個位上的數字分別與下面的數的千位、個位上的數字相同，左上方的數十位上的

數字分別與右上方的數十位上的數字之和與下面的數百位上的數字相同，左上方的數個位上的

數字與右上方的數個位上的數字之和與下面的數十位上的數字相同。根據這一規律，應填3594.

例3、根據下表中的排列規律，在空格里填上適當的數。

【解析】經仔細觀察、分析表格中的數可以發現：12+6=18,8+7=15，即

每一橫行中間的數等于兩邊的兩個數的和。依此規律，空格中應填的數為：4+8=12。

例4、根據前面圖形中的數之間的關系，想一想第三個圖形的括號里應填什么數？

【解析】經仔細觀察、分析可以發現前面兩個圈中三個數之間有這樣的關系：

5x12+10=64x20+10=8

根據這一規律，第三個圈中右下角應填的數為：8x30-10=24.

考點三：根據規律速求復雜算式的值

例1、先計算下面一組算式的第一題，然后找出其中的規律，并根據規律直接寫出后幾題的得

數。12345679x9=12345679x18=

12345679x54=12345679x81=

【解析】題中每個算式的第一個因數都是12345679,它是有趣的“缺8數”，與9相乘，結果

是由九個1組成的九位數，即：111111111。不難發現，這組題得數的規律是：只要看每道算

式的第二個因數中包含幾個9,乘積中就包含幾個lllllllllo

因為：12345679x9=111111111

所以：12345679X18=12345679x9x2=222222222

12345679x54=12345679x9x6=66666666612345679x81=12345679x9x9=999999999.

例2、找規律計算。(1)81-18=(8-1)x9=7x9=63

(2)72—27=(7-2)x9=5x9=45

(3)63—36=(□一口69=39=口

【解析】6:；3；27經仔細觀察、分析可以發現：一個兩位數與交換它的十位、個位數字位置

后的兩位數相減，只要用十位與個位數字的差乘9,所得的積就是這兩個數的差。

例3、計算(1)26x11(2)38x11

【解析】一個兩位數與11相乘，只要把這個兩位數的兩個數字的和插入這兩個數字中間，就

是所求的積。(1)26義11=2(2+6)6=286⑵38x11=3(3+8)8=418

注意：如果兩個數字的和滿十，要向前一位進一。

例4、下面數列的每一項由3個數組成的數組表示，它們依次是：

(1,3,5),(2,6,10),(3,9,15)…問：第100個數組內3個數的和是多少？

【解析】分析一：

數組的第1個分量依次是：1,2,3…構成等差數列，所以第100個數組中的第1個數為

100；

數組的第2個分量3,6,9…也構成等差數列，所以第100個數組中的第2個數為

3x100=300；

同理，第3個分量為5x100=500,所以，第100個數組內三個數的和為100+300+500=900o

解：第100個數組內三個數的和為100+300+500=900o

分析二：

以不去求組里的三個數而直接求和，考察各組的三個數之和。

第1組：1+3+5=9,第2組：2+6+10=18第3組：3+9+15=27…，

9,18,27…構成一等差數列，第100項為9x100=900,即第100個數組內三個數的和為

900o

解：9x100=900,即第100個數組內三個數的和為900。

考點四：用周期規律解決數學問題

例1、求67999的個位數字。

【解析】因為67的個位數是7,所以67n的個位數隨著n的增大，按7,%3,1四個數的順

序循環出現。

999+4=249.......3,

所以67999的個位數字與73的個位數字相同，即67999的個位數字是3。

例2、求2%+3291的個位數字。

【解析】因為2n的個位數字按2,4,8,6四個數的順序循環出現，91-4=22……3,所以，

291的個位數字與23的個位數字相同，等于8。類似地，3n的個位數字按3,9,7,1四個數

的順序循環出現，

291-4=72……3,所以3291與33的個位數相同,等于7。

最后得到291+3291的個位數字與8+7的個位數字相同，等于5。

例3、求下式除法運算所得的余數：

555+3。

【解析】因為a+3的余數不僅僅與a的個位數有關，所以不能用求555的個位數的方法求解。

為了尋找5n-3的余數的規律，先將5的各次方除以3的余數列表如下：

注意：表中除以3的余數并不需要計算出5n,然后再除以3去求，而是用上次的余數乘

以5后，再除以3去求。比如，52除以3的余數是1,53除以3的余數與1x5=5除以3的余

數相同。這是因為52=3x8+1,其中3x8能被3整除，而53=(3x8+l)x5=(3x8)x5+lx5,(3x8)x5

能被3整除，所以53除以3的余數與1x5除以3的余數相同。由上表看出，5n除以3的余數,

隨著n的增大，按2,1的順序循環出現。由55+2=27……1知，555+3的余數與51+3的余數

相同，等于2。

例4、某種細菌每小時分裂一次，每次1個細茵分裂成3個細菌。20時后，將這些細菌每7

個分為一組，還剩下幾個細菌？

【解析】1時后有lx3=31（個）細菌,2時后有31x3=32（個）細菌……20時后,有320個細菌，

所以本題相當于“求320+7的余數”。將3的各次方除以7的余數列表，由表看出，3n-7的余

數以六個數為周期循環出現。由20+6=32知，320+7的余數與32+7的余數相同，等于2。

所以最后還剩2個細菌。最后再說明一點，an+b所得余數，隨著n的增大，必然會出現周期

性變化規律，因為所得余數必然小于b,所以在b個數以內必會重復出現。

實戰演練

＞課堂狙擊

1、在括號內填上合適的數。

(1)2,4,6,8,10,(),()

(2)1,2,5,10,17,(),()

(3)2,8,32,128,(),()

【解析】(1)12；14(2)26;37(3)512;2048

2、按規律填數。

(1)2,1,4,1,6,1,(),()

(2)3,2,9,2,27,2,(),()

(3)18,3,15,4,12,5,(),()

【解析】⑴8;1(2)81;2(3)9;6

3、找出排列規律，在空缺處填上適當的數。

(1)

⑵企AA

【解析】（席&

（2）16；通過觀察可以發現前兩個圖形中的數之間有這樣的關系:7x8+2=28；9x6+2=27

也就是說右下角數字等于三角形上面數字與左下角數的乘積除以2

4、先找出規律，然后在括號里填上適當的數。

(1)2,2,4,6,10,16,(),()

(2)34,21,13,8,5,(),2,()

(3)0,1,4,15,56,()

【解析】(1)26,42后一位數字等于前兩位數字之和

(2)3,1后一位數字等于前兩項數字之差

(3)209lx4-0=44x4-1=1515x4-4=5656x4-15=209

5、求以下除法運算所得的余數。

7855+5

【解析】(1)由55+4=13……3知，7855的個位數與83的個位數相同，等于2,所以7855可

分解為10xa+2。因為10xa能被5整除，所以7855除以5的余數是2。

6、在方框內填出合適的數。

_d

H16HrnH

16二109n

n9n1630

【解析】⑴13；9+7=1616+5=214+9=13

(2)2；8+10+12=305+9+16=3017+11+2=30

(3)20；12-12+4=935-35+7=3024-24+6=20

7、找規律，寫得數。

1+0x9=2+1x9=3+12x9=4+123x9=9+12345678x9=

【解析】1；11；111；1111；111111111

8、利用規律計算。

(1)53-3582-2892-2987+7861-1695-5939x1146x11

(2)根據62+26=(6+2)x11=8x11=88,計算87+78=

【解析】(1)18；54；63；165；45；429；506

(2)165

9、求28^8-2929的個位數字。

【解析】由128+4=32知,28128的個位數與84的個位數相同,等于6。由29+2=14...1知，

2929的個位數與91的個位數相同，等于9。因為6V9,在減法中需向十位借位，所以所求個

位數字為16-9=7o

＞課后反擊

1、在括號內填上合適的數。

(1)1,5,25,125,(),()

(2)1,15,3,13,5,11,(),()

(3)(64,62)(48,46)(29,27)(15,□)

(4)(100,50)(86,43)(64,32)(0,21)

(5)(8,6)(16,3)(24,2)(12,□)

【解析】(1)625；3125

(2)7;9;乘積均為24

(3)13；每組數兩數之差均為2

(4)42；每組數兩數之商均為2

(5)4；每組數兩數之積均為48

2、根據前面圖形中數之間的關系，想一想第三個圖形的空格里應填什么數。

【解析】15；可以發現前面兩個圈中三個數之間有這樣的關系：3x6+2=9

5x12+2=305x12+2=303x10+2=15

3、根據規律，在空格內填數。

(1)198,297,396,(),()

325421453257

38642665

【解析】(1)495,594(2)3897

4、下面括號里的兩個數是按一定的規律組合的，在□里填上適當的數。

(1)(6,9)(7,8)(10,5)(口，3)

(2)(1,24)(2,12)(3,8)(4,□)

(3)(18,17)(14,10)(10,1)(0,5)

(4)(2,3X5,9)(7,13)(9,□)

(5)(2,3)(5,7)(7,10)(10,□)

【解析】(1)12;

(2)6;乘積均為24

(3)21；每對括號里的數，前一個和后一個差分別是18-17=1=1的平方14-10=4=2的平方

10-1=9=3的平方所以口-5=4的平方16+5=21

(4)17；3=2x2-1,9=5x2-113=7x2-1,9x2-1=17

(5)14；每組兩數之差依次是1,2,3,4

5,找規律，寫得數。

1X1=11X11=111X111=111111111X111111111=

【解析】1；121；12321；12345678987654321

6、利用規律計算。

(1)61-16(2)95-59

(3)39x11(4)46x11

【解析】(1)45；(2)36；(3