加法原理

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J考試要求

1.使學生掌握加法原理的基本內容；

2.培養學生分類討論問題的能力，了解分類的主要方法和遵循的主要原則.

3.理解標數法

加法原理的數學思想主旨在于分類討論問題，教授本講的目的也是為了培養學生分類討論問題的習慣,

鍛煉思維的周全細致.

J知識框架

一、加法原理

在生活中做一件事情的時候常常會有幾類不同的方法，而每一類方法中，又有幾種可能的做法。那么，

考慮完成這件事情所有可能的做法，就要用我們將討論的加法原理來解決。

例如：春節期間康康要從北京去天津看奶奶。他可以乘火車也可以乘長途汽車，現在知道每天有五次

火車從北京到天津，有四趟長途汽車從北京到天津。那么他在一天中去天津能有多少種不同的走法？

分析這個問題發現，康康去天津要么乘火車，要么乘長途汽車，有兩大類走法：第一類乘火車，有五

種走法；第二類乘汽車，有四種走法。上面的每一種走法都可以從北京到天津，故有5+4=9種不同的走法。

在上面的問題中，完成一件事有兩大類不同的方法，在具體做的時候，只要采用一類中的一種方法就

可以完成，并且兩大類方法是互無影響的。那么完成這件事的全部做法數就是用第一類的方法數加上第二

類的方法數。

一般地，如果完成一件事有K類方法，第一類方法中有E種不同做法，第二類方法中有m2種不同的

做法，……，第K類方法中有mK種不同的做法，則完成這件事共有：N=ml+m2+……mK種不同的方法。

這就是加法原理。

二、加法原理的運用

加法原理運用的范圍：完成一件事的方法分成兒類，每一類中的任何一種方法都能完成任務，這樣的

問題可以使用加法原理解決.我們可以簡記為：“加法分類，類類獨立

分類時，首先要根據問題的特點確定一個適合于它的分類標準，然后在這個標準下進行分類；其次，

分類時要注意滿足兩條基本原則：

①完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類；

②分別屬于不同兩類的兩種方法是不同的方法.

只有滿足這兩條基本原則，才可以保證分類計數原理計算正確.

-‘重難點

(1)選取合適的分類標準；

(2)標數法.

二例題精講

一、枚舉法

［例1］從甲地到乙地可以乘坐飛機、火車和輪船，在一天中，從甲地直達乙地有3班飛機,4班火車和3班

輪船,那么一天中甲地到乙地共有多少種不同的走法？

【鞏固】從甲地到乙地，有3條公路和2條鐵路可以直接到達，從甲地到乙地,共有多少條路可走?

【例2】小寶去給小貝買生日禮物，商店里賣的東西中，有不同的玩具8種，不同的課外書20本，不同

的紀念品10種，那么，小寶買一種禮物可以有多少種不同的選法？

【鞏固】有不同的語文書6本，數學書4本，英語書3本，科學書2本，從中任取一本，共有多少種取法?

【例3］把一元錢換成角幣，有多少種換法？人民幣角幣的面值有五角、二角、一角三種.

【鞏固】一把硬幣全是2分和5分的，這把硬幣一共有1元，問這里可能有多少種不同的情況?

【例4】從1?10中每次取兩個不同的數相加，和大于10的共有多少種取法?

【鞏固】從1?8中每次取兩個不同的數相加，和大于10的共有多少種取法?

【例5】給定三種重量的祛碼（每種數量都有足夠多個）3kg,11kg,11kg,將它們組合湊成100僅有

種，不同的方法（每種祛碼至少用一塊。）

【鞏固】用若干個1分、2分、5分的硬幣組成一角錢（不要求每種硬幣都有），共有（）種不同的方法.

［例6］一次，齊王與大將田忌賽馬.每人有四匹馬，分為四等.田忌知道齊王這次比賽馬的出場順序依

次為一等，二等，三等，四等，而且還知道這八匹馬跑的最快的是齊王的一等馬，接著依次為自

己的一等，齊王的二等，自己的二等，齊王的三等，自己的三等，齊王的四等，自己的四等.田

忌有種方法安排自己的馬的出場順序，保證自己至少能贏兩場比賽.

【鞏固】一個文具店橡皮每塊5角、圓珠筆每支1元、鋼筆每支2元5角.小明要在該店花5元5角購買

兩種文具，他有多少種不同的選擇.

［例7］小明要登上12級臺階，他每一步只能登1級或2級臺階，他登上12級臺階共有多少種不同的登

法？

【鞏固】取用15根火柴，每次只能取1根或者2根火柴，那么取完15根火柴共有多少種不同的取法?

標數法

【例8】如圖所示，從A到B的最短線路有多少條？

【鞏固】小偉從家到爺爺家經過的所有路線如下圖所示，那么，小偉從家到爺爺家有幾條最短路線？

小偉家

爺爺家

［例9］如圖所示，小明家在A地，小學在B地，電影院在C地。

(1)小明從家去小學，走最短的線路，有多少種走法？

(2)小明從家去電影院，走最短的線路，有多少種走法？

A

【例10］下圖是某地街道平面圖，標有0處的道路是不準通行的。問消防車從消防隊到著火點有多少條

最短通路？

著火點

__________

97

消防隊

【鞏固】如圖，某城市的街道由五條東西向馬路和七條南北向馬路組成，現在要從西南角的A處沿最短的

路線走到東北角B出，由于修路，十字路口C不能通過，那么共有多少種不同走法？

B

C

A

'U課堂檢測

【隨練1】從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，還可以乘輪船。一天中火車有4班，汽車有3班，輪船

有2班。問：一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地，共有多少種不同走法？

【隨練2】從1?8中每次取兩個不同的數相加，和大于11的共有多少種取法?

【隨練3】從A處到B處共有多少條最短路線?

A

J家庭作業

【作業1】南京去上海可以乘火車、乘飛機、乘汽車和乘輪船。如果每天有20班火車、6班飛機、8班汽車

和4班輪船，那么共有多少種不同的走法？

【作業2】陽光小學四年級有3個班，各班分別有男生18人、20人、16人.從中任意選一人當升旗手，有

多少種選法？

【作業3】小剛到書店去買書，從他家到書店最多有幾種最近的走法？

書店

【作業4】用一個5元紙幣，四個2元紙幣，八個1元紙幣買一張龍年8元郵票，共有多少種付款方式

【作業5】旗桿上最多可以掛兩面信號旗，現有紅色、藍色和黃色的信號旗各一面，如果用掛信號旗表示信

號，最多能表示出多少種不同的信號？

【作業6】左下圖是某街區的道路圖，C點和D點正在修路不能通過，那么從A點到B點的最短路線有多少

條？

排列

'J考試要求

1.使學生正確理解排列的意義；

2.了解排列、排列數的意義，能根據具體的問題，寫出符合要求的排列；

3.掌握排列的計算公式；

4.會分析與數字有關的計數問題，以及與其他專題的綜合運用，培養學生的抽象能力和邏輯思維能力；

通過本講的學習，對排列的一些計數問題進行歸納總結，并掌握一些排列技巧，如捆綁法等.

J知識框架

一、排列問題

在實際生活中經常會遇到這樣的問題，就是要把一些事物排在一起，構成一列，計算有多少種排法，

就是排列問題.在排的過程中，不僅與參與排列的事物有關，而且與各事物所在的先后順序有關.

一般地，從〃個不同的元素中取出加（加個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從"個不同元素

中取出機個元素的一個排列.

根據排列的定義，兩個排列相同，指的是兩個排列的元素完全相同，并且元素的排列順序也相同.如

果兩個排列中，元素不完全相同，它們是不同的排列；如果兩個排列中，雖然元素完全相同，但元素的排

列順序不同，它們也是不同的排列.

排列的基本問題是計算排列的總個數.

從”個不同的元素中取出團（加4〃）個元素的所有排列的個數，叫做從〃個不同的元素的排列中取出機

個元素的排列數，我們把它記做片”.

根據排列的定義，做一個加元素的排列由"，個步驟完成：

步驟1：從“個不同的元素中任取一個元素排在第一位，有〃種方法；

步驟2：從剩下的（〃-1）個元素中任取一個元素排在第二位，有（〃-1）種方法；

步驟加：從剩下的個兀素中任取一個兀素排在第加個位置，有〃-（帆-1）=〃-〃7+1（種）方

法；

由乘法原理，從“個不同元素中取出m個元素的排列數是〃?(”-的(〃-數?…?(n-/M+1),即

^=/t(n-l)(rt-2)...(n-/n+l)I這里，m<n,且等號右邊從〃開始，后面每個因數比前一個因數小1,

共有機個因數相乘.

二、排列數

一般地，對于帆=〃的情況，排列數公式變為號1="展〃-1)，(〃一2)3-21.

表示從〃個不同元素中取〃個元素排成一列所構成排列的排列數.這種八個排列全部取出的排列，叫做

〃個不同元素的全排列.式子右邊是從"開始，后面每一個因數比前一個因數小1,一直乘到1的乘積，記

為疝,讀做〃的階乘，則療還可以寫為:/=〃!,其中〃!=〃?(〃——2).....3-2-1.

1重難點

(3)捆綁法.

(4)插空法.

二例題精講

【例11】計算：(1)廳；⑵斗一砰.

【鞏固】計算：(1)(2)吊一年.

【例12】有4個同學一起去郊游，照相時，必須有一名同學給其他3人拍照，共可能有多少種拍照情況?

(照相時3人站成一排)

【鞏固】4名同學到照相館照相.他們要排成一排，問：共有多少種不同的排法?

【例1319名同學站成兩排照相，前排4人，后排5人，共有多少種站法?

【例14】丁丁和爸爸、媽媽、奶奶、哥哥一起照“全家福”，5人并排站成一排，奶奶要站在正中間，有多

少種不同的站法？

【鞏固】5個人并排站成一排，其中甲必須站在中間有多少種不同的站法?

【例15】6名小朋友A、B、C、D、E、口站成一排，若A''兩人必須相鄰，一共有多少種不同的站法?

若A、3兩人不能相鄰，一共有多少種不同的站法？

【鞏固】將A、B、C、D、E、F、G七位同學在操場排成一列，其中學生8與C必須相鄰.請問共有多少

種不同的排列方法？

【例16】5個同學排成一行照相，其中甲在乙右側的排法共有種？

【例17】在航海中，船艦常以“旗語”相互聯系，即利用不同顏色的旗子發送出各種不同的信號.如有紅、

黃、綠三面不同顏色的旗子，按一定順序同時升起表示一定的信號，問這樣總共可以表示出多少

種不同的信號？

【鞏固】有紅、黃、藍三種信號旗，把任意兩面上、下掛在旗桿上都可以表示一種信號，問共可以組成多

少種不同的信號？

【例18】用1、2、3、4、5、6、7、8可以組成多少個沒有重復數字的四位數？

【鞏固】由數字1、2、3、4、5、6可以組成多少沒有重復數字的三位數？

【例19】用°、1、2、3、4可以組成多少個沒重復數字的三位數?

【鞏固】用2、3、5、7、9可以組成多少個沒重復數字且百位不為3的三位數?

【例20】用1、2、3、4、5這五個數字可組成多少個比20000大且百位數字不是3的無重復數字的五位數?

【鞏固】用0到9十個數字組成沒有重復數字的四位數；若將這些四位數按從小到大的順序排列，則5687

是第幾個數？

■課堂檢測

【隨練4】計算：⑴用一片;⑵3成-鼠

【隨練5】有五面顏色不同的小旗，任意取出三面排成一行表示一種信號，問：共可以表示多少種不同的信

號？

【隨練6】由數字0,1,3,9可以組成多少個無重復數字的三位自然數？

家庭作業

【作業7】班集體中選出了5名班委，他們要分別擔任班長，學習委員、生活委員、宣傳委員和體育委員.問:

有多少種不同的分工方式？

【作業8】由0,2,5,6,7,8組成無重復數字的數，四位數有多少個？

【作業9】一列往返于北京和上海方向的列車全程停靠14個車站（包括北京和上海），這條鐵路線共需要多少

種不同的車票.

【作業10】4個男生2個女生6人站成一排合影留念，有多少種排法？如果要求2個女生緊挨著排在正中

間有多少種不同的排法？

【作業11】4男2女6個人站成一排合影留念，要求2個女的緊挨著有多少種不同的排法?

【作業12】停車站劃出一排12個停車位置，今有8輛不同的車需要停放，若要求剩余的4個空車位連在一

起，一共有多少種不同的停車方案?

排列

■J考試要求

5.使學生正確理解排列的意義；

6.了解排列、排列數的意義，能根據具體的問題，寫出符合要求的排列；

7.掌握排列的計算公式；

8.會分析與數字有關的計數問題，以及與其他專題的綜合運用，培養學生的抽象能力和邏輯思維能力;

通過本講的學習，對排列的一些計數問題進行歸納總結，并掌握一些排列技巧，如捆綁法等.

'J知識框架

三、排列問題

在實際生活中經常會遇到這樣的問題，就是要把一些事物排在一起，構成一列，計算有多少種排法，

就是排列問題.在排的過程中，不僅與參與排列的事物有關，而且與各事物所在的先后順序有關.

一般地，從“個不同的元素中取出機（加4〃）個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從〃個不同元素

中取出m個元素的一個排列.

根據排列的定義，兩個排列相同，指的是兩個排列的元素完全相同，并且元素的排列順序也相同.如

果兩個排列中，元素不完全相同，它們是不同的排列；如果兩個排列中，雖然元素完全相同，但元素的排

列順序不同，它們也是不同的排列.

排列的基本問題是計算排列的總個數.

從"個不同的元素中取出，〃個元素的所有排列的個數，叫做從〃個不同的元素的排列中取出機

個元素的排列數，我們把它記做片".

根據排列的定義，做一個“元素的排列由機個步驟完成：

步驟1：從〃個不同的元素中任取一個元素排在第一位，有"種方法；

步驟2：從剩下的（〃-1）個元素中任取一個元素排在第二位，有（〃-1）種方法；

步驟機：從剩下的［〃-（機-1）］個元素中任取一個元素排在第m個位置，有力-1）=〃-利+1（種）方

法；

由乘法原理，從〃個不同元素中取出，〃個元素的排列數是〃?(〃-2)?…?(?-/?+1),即

,

^=/t(n-l)(M-2)...(n-/M+l)I這里，m<n,且等號右邊從〃開始，后面每個因數比前一個因數小1,

共有機個因數相乘.

四、排列數

一般地，對于，的情況，排列數公式變為以=〃?(〃-1)展"-2)…-3-2.1.

表示從“個不同元素中取〃個元素排成一列所構成排列的排列數.這種〃個排列全部取出的排列，叫做

〃個不同元素的全排列.式子右邊是從“開始，后面每一個因數比前一個因數小1,一直乘到1的乘積，記

為加,讀做”的階乘，則談還可以寫為:耳=加，其中〃!=止5-6(〃-2).....3-21.

二重難點

(5)捆綁法.

(6)插空法.

J例題精講

【例21］計算：⑴石；⑵耳-P；.

【鞏固】計算：(1)尸；(2)吊一年.

【例22】幼兒園里3名小朋友去坐6把不同的椅子(每人只能坐一把)，有多少種不同的坐法?

【鞏固】幼兒園里的6名小朋友去坐3把不同的椅子，有多少種坐法?

【例23】用0、1、2、3、4可以組成多少個沒重復數字的三位數？

【鞏固】一個籃球隊有五名隊員A,B,C,D,E,由于某種原因，E不能做中鋒，而其余4個人可以

分配到五個位置的任何一個上，問一共有多少種不同的站位方法？

【例24】6名小朋友A、B、C、D、E、產站成一排，若A,B兩人必須相鄰，一共有多少種不同的站法?

若A、3兩人不能相鄰，一共有多少種不同的站法？

【鞏固】4個男生2個女生6人站成一排合影留念，有多少種排法？如果要求2個女生緊挨著排在正中間

有多少種不同的排法？

【例25】某小組有12個同學，其中男少先隊員有3人，女少先隊員有4人，全組同學站成一排，要求女

少先隊員都排一起，而男少先隊員不排在一起，這樣的排法有多少種？

【鞏固】學校乒乓球隊一共有4名男生和3名女生.某次比賽后他們站成一排照相，請問:

(1)如果要求男生不能相鄰，一共有多少不同的站法？

(2)如果要求女生都站在一起，一共有多少種不同的站法？

【例26】書架上有4本不同的漫畫書，5本不同的童話書，3本不同的故事書，全部豎起排成一排，如果

同類型的書不要分開，一共有多少種排法？如果只要求童話書和漫畫書不要分開有多少種排法？

【鞏固】四年級三班舉行六一兒童節聯歡活動.整個活動由2個舞蹈、2個演唱和3個小品組成.請問:

如果要求同類型的節目連續演出，那么共有多少種不同的出場順序？

【例27】8人圍圓桌聚餐，甲、乙兩人必須相鄰，而乙、丙兩人不得相鄰，有幾種坐法?

【鞏固】5對姐妹站成一圈，要求每對姐妹相鄰，有多少種不同站法？

【例28】甲、乙、丙、丁、戊、己六個人站隊，要求：甲乙兩人之間必須有兩個人，問一共有多少種站法？

【鞏固】甲、乙、丙、丁、戊、己六個人站隊，要求：甲乙兩人之間最多有兩個人，問一共有多少種站法?

【例29】甲、乙、丙、丁、戊、己六個人站隊，要求：甲不能站在隊伍左半邊，乙不能站在隊伍右半邊,

丙不能站在隊伍兩端，問一共有多少種站法?

【鞏固】甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛八個人站隊，要求：甲不能站在隊伍最靠左的三個位置，乙不

能站在隊伍最靠右的三個位置，丙不能站在隊伍兩端，問一共有多少種站法？

【例30】用2,3,4,5排成四位數：

(1)共有多少個四位數？

(2)無重復數字的四位數有多少個？

(3)無重復數字的四位偶數有多少個？

(4)2在3的左邊的無重復數字的四位數有多少個？

(5)2在千位上的無重復數字的四位數有多少個？

(6)5不在十位、個位上的無重復數字的四位數有多少個？

【鞏固】用數字0,1，2,3,4,5組成沒有重復數字的正整數.

⑴能組成多少個五位數？

⑵能組成多少個正整數？

⑶能組成多少個六位奇數？

⑷能組成我少個能被25整除的四位數？

⑸能組成多少個比201345大的數？

⑹求三位數的和.

課堂檢測

【隨練7】10個人走進只有6輛不同顏色碰碰車的游樂場，每輛碰碰車必須且只能坐一個人，那么共有多少種

不同的坐法？

【隨練8】將4、B、C、D、E、尸、G七位同學在操場排成一列，其中學生B與C必須相鄰.請問共有多少種不

同的排列方法？

【隨練9】a,b,c,d,e五個人排成一排，a與人不相鄰，共有多少種不同的排法？

J家庭作業

【作業13】班集體中選出了5名班委，他們要分別擔任班長，學習委員、生活委員、宣傳委員和體育委

員.問：有多少種不同的分工方式？

【作業14】由0,2,5,6,7,8組成無重復數字的數，四位數有多少個?

【作業15】用1、2、3、4、5、6六張數字卡片，每次取三張卡片組成三位數，一共可以組成多少個不同

的偶數？

【作業16】用1、2、3、4、5、6可以組成多少個沒有重復數字的個位是5的三位數?

【作業17】停車站劃出一排12個停車位置，今有8輛不同的車需要停放，若要求剩余的4個空車位連在一

起，一共有多少種不同的停車方案?

【作業18】書架上有3本故事書，2本作文選和1本漫畫書，全部豎起來排成一排.⑴如果同類的書不分

開，一共有多少種排法？⑵如果同類的書可以分開，一共有多種排法？

【作業19】由0,2,5,6,7,8組成無重復數字的數.

⑴四位數有多少個？

⑵四位數奇數有多少個？

⑶四位數偶數有多少個？

⑷整數有多少個？

⑸是5的倍數的三位數有多少個？

⑹是25的倍數的四位數有多少個？

⑺大于5860的四位數有多少個？

⑻小于5860的四位數有多少個？

⑼由小到大排列的四位數中，5607是第兒個數？

⑩由小到大排列的四位數中，第128個數是多少？

排列組合

,J------------------------------1>----------------------------

■J考試要求

1.了解排列、組合的意義

2.明白排列和組合的聯系與區別

3.掌握排列和組合的常用解題方法。

4.會分析排列組合與其他專題的綜合應用，培養學生的邏輯思維能力。

J知識框架

五、排列與組合

在生產生活中，常常用到排列與組合，尤其在計算機研究中。

(-)排列

(1)從〃個不同的元素中取出，"(機4〃)個元素的所有排列的個數，叫做從"個不同的元素的排列中取

出"個元素的排列數，我們把它記做片月”=〃(〃-1)("-2)…5-m+D,這里，mW”，且等號

右邊從〃開始，后面每個因數比前一個因數小1,共有旭個因數相乘.

(2)一般地，對于m="的情況，排列數公式變為以=”.(〃_1)展"-2)…-3-2.T表示從八個不同

元素中取"個元素排成一列所構成排列的排列數.這種加個排列全部取出的排列，叫做"個不同元素

的全排列.式子右邊是從“開始，后面每一個因數比前一個因數小1,一直乘到1的乘積，記為加，讀

做〃的階乘，則還可以寫為：P"=n\,其中=.....3-21.

(-)組合

(1)從"個不同元素中取出，〃個元素的所有組合的個數，叫做從"個不同元素中取出加個不

同元素的組合數.記作C：.C：=—=+D這個公式就是組合數公

P；；；??…3-2-1

式.

(2)一般地，組合數有下面的重要性質：C：=C,7"(/nW〃)。這個公式的直觀意義是：C："表示從"

個元素中取出機個元素組成一組的所有分組方法.CT"表示從〃個元素中取出(〃-〃?)個元素組成一

組的所有分組方法.顯然，從〃個元素中選出m個元素的分組方法恰是從〃個元素中選加個元素剩下

的(〃-機)個元素的分組方法.

例如，從5人中選3人開會的方法和從5人中選出2人不去開會的方法是一樣多的，即C；=C；.

（3）規定=C"=1.

六、排列與組合的聯系與區別

聯系：所有的排列都可以看做是先取組合，再做全排列；同樣組合再補充一個階段（排列）可轉化為排列

問題。

區別：從排列和組合的定義可以知道，排列與元素的順序有關，而組合與順序無關.

七'排列組合問題常用解法

（1）捆綁與插空

相鄰問題用捆綁法，將題目中規定相鄰的若干個元素捆綁成一個組，當做一個元素參與排列；相

離問題用插空法，先將無位置要求的幾個元素全排列，再把要求相離的幾個元素插入上述幾個元素的

空位和兩端。

（2）插板法

插板法一般用來解決求分解一定數量的無差別物體的方法的總數，使用插板法一般有三個要

求：①所要分解的物體一般是相同的：②所要分解的物體必須全部分完：③參與分物體的組至少都

分到1個物體，不能有沒分到物體的組出現.

在有些題目中，已知條件與上面的三個要求并不一定完全相符，對此應當對已知條件進行適當

的變形，使得它與一般的要求相符，再適用插板法.

使用插板法一般有如下三種類型：

a）w個人分”個東西，要求每個人至少有一個.這個時候我們只需要把所有的東西排成一排，在其中的

（〃-1）個空隙中放上（機-1）個插板，所以分法的數目為.

b）加個人分〃個東西，要求每個人至少有。個.這個時候，我們先發給每個人m-i）個，還剩下

個東西，這個時候，我們把剩下的東西按照類型⑴來處理就可以了.所以分法的數目

為明"）一

c），“個人分”個東西，允許有人沒有分到.這個時候，我們不妨先借來"，個東西，每個人多發1個，這

樣就和類型⑴一樣了，不過這時候物品總數變成了（〃+〃?）個，因此分法的數目為

（3）特殊優先法

特殊元素，優先處理；特殊位置，優先考慮。

（4）分步法

（5）排除法

對于一些限制條件過多的題目，可以運用正難則反的思想先求出所有情況，再減去不符合要求的

情況，求得結果。

（6）構造模型法

一些不易理解的排列組合問題，如果能轉化為熟悉的模型如填空模型，排隊模型，裝盒模型可使

問題容易解決。

(7)分解與合成法

(8)利用對應思想轉化法

‘重難點

(7)捆綁與插空.

(8)構造模型法.

U例題精講

應用

【例3114名男生，5名女生，全體排成一行，問下列情形各有多少種不同的排法:

(1)甲不在中間也不在兩端；

⑵甲、乙兩人必須排在兩端；

⑶男、女生分別排在一起；

(4)男女相間.

【鞏固】小新、阿呆等七個同學照像，分別求出在下列條件下有多少種站法?

(1)七個人排成一排；

(2)七個人排成一排，小新必須站在中間.

(3)七個人排成一排,小新、阿呆必須有一人站在中間.

(4)七個人排成一排,小新、阿呆必須都站在兩邊.

(5)七個人排成一排，小新、阿呆都沒有站在邊上.

(6)七個人戰成兩排，前排三人，后排四人.

(7)七個人戰成兩排，前排三人，后排四人.小新、阿呆不在同一排.

【例32】一只兔子沿著方格的邊從A到B,規定上只能往上或者往右走，但是必須經過一座獨木橋MN,

這只兔子有多少種不同的走法?

插板法

【例33】10只無差別的橘子放到3個不同的盤子里，允許有的盤子空著.請問一共有多少種不同的放法？

【鞏固】將13個相同的蘋果放到3個不同的盤子里，允許有盤子空著。一共有種不同的放法。

【例34]把20個蘋果分給3個小朋友，每人最少分3個，可以有多少種不同的分法？

【鞏固】三所學校組織一次聯歡晚會，共演出14個節目，如果每校至少演出3個節目，那么這三所學校演

出節目數的不同情況共有多少種？

【例35】(1)小明有10塊糖，每天至少吃1塊，8天吃完，共有多少種不同吃法？

(2)小明有10塊糖，每天至少吃1塊，8天或8天之內吃完，共有多少種吃法?

【鞏固】有10粒糖，每天至少吃一粒，吃完為止，共有多少種不同的吃法?

構造模型

【例36】馬路上有編號為1,2,3,……，9九只路燈，現在要關掉其中的三盞，但不能關掉相鄰的兩盞或三盞,

也不能關掉兩端的兩盞，求滿足條件的關燈方案有多少種？

【鞏固】某人射擊8槍，命中4槍，恰好有三槍連續命中，有多少種不同的情況呢？

圓排

【例37】8人圍圓桌聚餐，甲、乙兩人必須相鄰，而乙、丙兩人不得相鄰，有幾種坐法?

【鞏固】5對姐妹站成一圈，要求每對姐妹相鄰，有多少種不同站法?

排除法

【例38】1到1999的自然數中，有多少個與5678相加時，至少發生一次進位?

【鞏固】所有三位數中，與456相加產生進位的數有多少個?

分類

【例39］有11名外語翻譯人員，其中5名是英語翻譯員，4名是日語翻譯員，另外兩名英語、日語都精通.從

中找出8人，使他們組成兩個翻譯小組，其中4人翻譯英文，另4人翻譯日文，這兩個小組能同

時工作.問這樣的分配名單共可以開出多少張？

【鞏固】某旅社有導游9人，其中3人只會英語，2人只會日語，其余4個既會英語又會日語.現要從中選6

人，其中3人做英語導游，另外3人做日語導游.則不同的選擇方法有多少種？

【例40］觀察如圖所示的減法算式發現，得數175和被減數571的數字順序相反。那么，減去396后，使

得數與被減數的數字順序相反的三位被減數共有個。

571

-396

175

【鞏固】將o?9這十個數字分別填入下面算式的□內，每個數字只能用一次；那么滿足條件的正確填法共

有種：□+□□+□□□=□□□□

課堂檢測

【隨練10】從1到2004這2004個正整數中，共有幾個數與四位數8866相加時，至少發生一次進位？

【隨練11]按照中國籃球職業聯賽組委會的規定，各隊隊員的號碼可以選擇的范圍是0~55號，但選擇兩位數

的號碼時，每位數字均不能超過5。那么，可供每支球隊選擇的號碼共多少個？

【隨練12】書架上有4本不同的漫畫書，5本不同的童話書，3本不同的故事書，全部豎起排成一排，如果同

類型的書不要分開，一共有多少種排法？如果只要求童話書和漫畫書不要分開有多少種排法？

J家庭作業

【作業20】一臺晚會上有6個演唱節目和4個舞蹈節目.求：

⑴當4個舞蹈節目要排在一起時，有多少不同的安排節目的順序？

⑵當要求每2個舞蹈節目之間至少安排1個演唱節目時，一共有多少不同的安排節目的順序？

【作業21】學校新修建的一條道路上有12盞路燈，為了節省用電而又不影響正常的照明，可以熄滅其中2

盞燈，但兩端的燈不能熄滅，也不能熄滅相鄰的2盞燈，那么熄燈的方法共有多少種？

【作業22】大于2000小于3000的四位數中數字和等于9的數共有多少個?

【作業23】在三位數中，至少出現一個6的偶數有多少個?

【作業24】一棟12層樓房備有電梯，第二層至第六層電梯不停.在一樓有3人進了電梯，其中至少有一

個要上12樓，則他們到各層的可能情況共有多少種？

【作業25】在10名學生中，有5人會裝電腦，有3人會安裝音響設備，其余2人既會安裝電腦，又會安

裝音響設備，今選派由6人組成的安裝小組，組內安裝電腦要3人，安裝音響設備耍3人，共有

多少種不同的選人方案？

平方差公式、完全平方公式

知識框架

平方差公式：成一占=(d+b)(a—，)

完全平方公式：(a+OF=/+2ab+b2

(a-b)2-a2-2ab+b2

''例題精講

［例41］比比看，看誰算得又快又對。

6x6-5x5=13x13-11x11=752-252=

(6+5)x(6-5)=(13+11)x(13-11)=(75+25)x(75-25)=

［例42］比較下面兩個圖形的面積，你能發現什么？

【例431請用平方差公式計算下面的題目。

892-112522-322632-372

［例44］202-192+182-172+162-152???+22-12

【鞏固】102-92+82-72+62-52+42-32+22-12

【例45］計算：I2-22+32-42+.??+20052-20062+20072

【鞏固】itM12-22+32-42+52-62+...+172-182+192

【例46］有一串數1,4,9,16,25,36……它們是按一定規律排列的，那么其中第1990個數與第1991

個數相差多少？

［例47］a、6代表任意數字，(a+h)x(a-h')=axa-bxb,這個公式在數學上稱為平方差公式.根據

公式，你來巧算下列各題吧.

(1)98x102⑵67x73⑶64x28(4)2x29x3x31

【鞏固】運用公式使計算簡便。

1998x2002498x502

[例48]37x37+2x63x37+63x63=

【鞏固】計算：314x31.4+628x68.6+68.6x686=

[例49]1282-2x128x28+28?=

【例50]⑴(31415926『-31415925x31415927=.

(2)12342+87662+2468x8766=

【例51］兩個正方形的周長之和等于32cm,它們的面積之差為48平方厘米，這兩個正方形的邊長是多少？

【鞏固】正方形A的周長比正方形B的周長長96厘米，他們的面積相差960平方厘米，求這兩個正方的

邊長是多少？

【例52］智慧村2012年的總人數是一個完全平方數，2013年增加了101人，結果發現總人數還是一個完

全平方數。你知道智慧村2013年的總人數是多少嗎？

J課堂檢測

【隨練13】20122-2x2012x12+122

【隨練14]2009x2009-2008x2008=

【隨練15】運用公式使計算簡便。

999x100188x92

家庭作業

【作業26】填空。

(1)完全平方差公式a?-b2=

(2)完全平方公式(a?+b2)=Aa2-〃)=

【作業27][2007-(8.5x8.5-1.5xl.5)+10]+160-0.3=.

【作業28】運用公式使計算簡便.

①9982-4②20022-2003x2001

【作業29】計算：1002-992+982-972+.??+22-12

【隨練16】運用公式使計算簡便：19982-1997x1999

【作業30】廣場內有一塊邊長為2a米的正方形草坪，經統一規劃后，南北方向要縮短3米，東西方向要

加長3米，則改造后的長方形草坪的面積是多少？（用a表示）

【作業31】運用公式使計算簡便.

200720072

①②

20072-2008x20062008x2006+1

小數四則運算

?___________=*

J知識框架

一、加減法中的速算與巧算

速算巧算的核心思想和本質：湊整

常用的思想方法：

1、分組湊整法.把幾個互為“補數”的減數先加起來，再從被減數中減去，或先減去那些與被減數有

相同尾數的減數.“補數”就是兩個數相加，如果恰好湊成整十、整百、整千……，就把其中的一

個數叫做另一個數的“補數”.

2、加補湊整法.有些算式中直接湊整不明顯，這時可“借數”或“拆數”湊整.

3、數值原理法.先把加在一起為整十、整百、整千……的數相加，然后再與其它的數相加.

4、“基準數”法，基準當幾個數比較接近于某一整數的數相加時，選這個整數為“基準數”(要注意

把多加的數減去，把少加的數加上)

二、乘法湊整與運算性質

思想核心：先把能湊成整十、整百、整千的幾個乘數結合在一起，最后再與前面的數相乘，使得運算

簡便。例如：4x25=100,8x125=1000,5x20=100

12345679x9=111111111(去8數，重點記憶)

7x11x13=1001(三個常用質數的乘積，重點記憶)

理論依據：乘法交換率：aXb=bXa

乘法結合率：(aXb)Xc=aX(bXc)

乘法分配率：(a+b)Xc=aXc+bXc

積不變規律：aXb=(aXc)X(b+c)=(a+c)X(bXc)

三、乘、除法混合運算的性質

1)商不變性質：被除數和除數乘(或除)以同一個非零數，其商不變.即：

a+/?=(〃x〃)+(/?x〃)=(〃+/%)+(/?+機)機w0,

2)在連除時，可以交換除數的位置，商不變.即：a+b+c=a+c+b

3)在乘、除混合運算中，被乘數、乘數或除數可以連同運算符號一起交換位置(即帶著符號搬家).

例如：axb+c=a+cxb=b+cxa

4)在乘、除混合運算中，去掉或添加括號的規則

去括號情形：①括號前是“X”時，去括號后，括號內的乘、除符號不變.即

ax(bxc)=axbxcax(b+c)=axb+c

②括號前是“+”時，去括號后，括號內的“X”變為“+”，“+”變為“X”.即

a+(bxc)=a+b+ca+(b+c)=a+bxc

添加括號情形：加括號時，括號前是“X”時，原符號不變；括號前是“小”時，原符號“X”

一，一，?axhxc=ax(bxc)axb+c=ax(b+c)

變為，，.，，，變為“X".即\'；

a+b+c=a+(bxc)a+b義c=a+(b+c)

5)兩個數之積除以兩個數之積，可以分別相除后再相乘.即

(axb)+(cxd)=(a+c)x(b+d)=(a+d)x(Z?+c)

J例題精講

[例1]91.5+88.8+90.2+270.4+89.6+186.7+91.8

【鞏固】2006+200.6+20.06+2.006+994+99.4+9.94+0.994=

【例2］計算56.43+12.96+13.57-4.33-8.96-5.67

【鞏固】3.17+7.48-2.38+0.53-3.48-1.62+5.3

【例3］同學們，你們有什么好辦法又快又準的算出下面各題的答案？把你的好方法講一講!

0.9+0.99+0.999+0.9999+0.99999

(2)1.996+19.97+199.8

(3)0.7+9.7+99.7+???+999999999.7

【鞏固】請你認真計算下面兩道題看誰算得最準確

(1)9.996+29.98+169.9+3999.5

(2)89+899+8999+89999+899999

【例4】(123456789.987654321+234567891.198765432+…+912345678.876543219)+9

【鞏固】325.24+425.24+625.24+925.24+525.24

［例5］計算：2.125x7.5x32

【鞏固】計算：0.125x0.25x0.5x64

【例6］己知1.08+1.2+2.3=10.8+匚I,其中口表示的數是.

【鞏固】2x0.3x5x7x1.1x1.3x1.7x1.9+3.8+0.51+6.5+7.7

【例7】計算：200.9x20.08-200.8x20.07

【鞏固】計算：199.9x19.98-199.8x19.97

【例8］計算：20.09x31.5+2.009x317+200.9x3.68=

【鞏固】計算：1999x3.14+199.9x31.4+19.99x314.

［例9］計算：6.25x8.27x16+3.75x0.827x8

【鞏固】計算：10.37x3.4+1.7x19.26=

【例10】計算：20.09x62+200.9x3.9-7x2.87=.

【鞏固】計算：2.89x47+1.53-1.4x1.1+24x0.11+288x0.53-0.1=.

【例11】計算：223x7.5+22.3x12.5+230-4-0.7x2.5+1=.

【鞏固】計算：19.98x37+199.8x2.3+9.99x80

課堂檢測

【隨練1】計算1+0.99-0.98-0.97+0.96+0.95-0.94-0.93+…+0.04+0.03-0.02-0.01

【隨練2】計算：(1)8.1x1.3-8^1.3+1.9x1.3+11.9^1.3；⑵2003x2001+111+2003*73+37

【隨練3】計算：379x0.00038+159x0.00621+3.79x0.121

【隨練4】計算：51.2x8.1+11x9.25+537x0.19

家庭作業

【作業1】計算

0.0625+0.125+0.1875+0.25+0.3125+0.375+0.4375+0.5+0.5625+0.625+0.6875+

0.75+0.8125+0.875+0.9375

【作業2】124.68+324.68+524.68+724.68+924.68

【作業3】計算：2.009X43+20.09X2.9+200.9X0.28=.

【作業4】1.25x17.6+36+0.8+264x125=

【作業5】計算：12.5+3.6—7+9+83+3.6

【作業6】計算78.16x1.45+3.14x21.84+169x0.7816

小數四則運算

-J知識框架

一、加減法中的速算與巧算

速算巧算的核心思想和本質：湊整

常用的思想方法：

2、分組湊整法.把幾個互為“補數”的減數先加起來，再從被減數中減去，或先減去那些與被減數有

相同尾數的減數.“補數”就是兩個數相加，如果恰好湊成整十、整百、整千……，就把其中的一

個數叫做另一個數的“補數”.

2、加補湊整法.有些算式中直接湊整不明顯，這時可“借數”或“拆數”湊整.

3、數值原理法.先把加在一起為整十、整百、整千……的數相加，然后再與其它的數相加.

4、“基準數”法，基準當幾個數比較接近于某一整數的數相加時，選這個整數為“基準數”（要注意

把多加的數減去，把少加的數加上）

二、乘法湊整與運算性質

思想核心：先把能湊成整十、整百、整千的兒個乘數結合在一起，最后再與前面的數相乘，使得運算

簡便。例如：4x25=100,8x125=1000,5x20=100

12345679x9=111111111（去8數，重點記憶）

7x11*13=1001（三個常用質數的乘積，重點記憶）

理論依據：乘法交換率：aXb=bXa

乘法結合率：（aXb）Xc=aX（bXc）

乘法分配率：（a+b）Xc=aXc+bXc

積不變規律：aXb=（aXc）X（b+c）=（a+c）X（bXc）

三、乘、除法混合運算的性質

6）商不變性質：被除數和除數乘（或除）以同一個非零數，其商不變.即：

7）在連除時，可以交換除數的位置，商不變.即：a+b+c=mb

8）在乘、除混合運算中，被乘數、乘數或除數可以連同運算符號一起交換位置（