歸一問題

【含義】

在解題時，先求出一份是多少（即單一量），然后以單一量為標

準，求出所要求的數量。這類應用題叫做歸一問題。

【數量關系】

總量?份數=1份數量

1份數量義所占份數=所求幾份的數量

另一總量+（總量+份數）=所求份數

【解題思路和方法】

先求出單一量，以單一量為標準，求出所要求的數量。

例題1:

3頭牛4天吃了24千克的草料，照這樣計算5頭牛6天吃草

_____千克。

解：

1、根據題意先算出1頭牛1天吃草料的質量：24+3+4=2（千

克）。

2、那么5頭牛一天吃2義5=10（千克）的草料。

3、那么6天就能吃10X6=60（千克）草料。

例題2：

5名同學8分鐘制作了240張正方形紙片。如果每人每分鐘制作

的數量相同，并且又來了2位同學，那么再過15分鐘他們又能做

張正方形紙片？

解：

1、可以先算出5名同學1分鐘能制作正方形紙片的數量，240+

8=30（張）。

2、再算出1名同學1分鐘制作的數量，30+5=6（張）。

3、現在有5+2=7（名）同學，每人每分鐘做6張，要做15分鐘,

那么他們能做7X6X15=630（張）正方形紙片。

例題3：

某車間用4臺車床5小時生產零件600個，照這樣計算，增加3

臺同樣的車床后，如果要生產6300個零件，需要小時完成？

解：

1、4臺車床5小時生產零件600個，則每臺車床每小時生產零

件600+4+5=30（個）。

2、增加3臺同樣的車床，也就是4+3=7（臺）車床，7臺車床每

小時生產零件7X30=210（個）。

3、如果生產6300個零件，需要6300+210=30（小時）完成。

歸總問題

【含義】

解題時，常常先找出“總數量”，然后再根據其它條件算出所求

的問題，叫歸總問題。所謂“總數量”是指貨物的總價、幾小時（幾

天）的總工作量、幾公畝地上的總產量、幾小時走的總路程等。

【數量關系】

1份數量義份數=總量

總量+1份數量=份數

總量:另一份數=另一每份數量

【解題思路和方法】

先求出總數量，再根據題意得出所求的數量。

例題1:

王大伯家的干草夠8只牛吃一個星期的，照這樣計算，這些草夠

4只牛吃（）天？

解：

1、可以算出這些草夠1只牛吃多少天，用8*7=56（天）。

2、算4只牛能吃多久，用56+4=14（天）。

例題2：

小青家有個書架共5層，每層放36本書?，F在要空出一層放碟

片，把這層書平均放入其它4層中，每層比原來多放（）本書。

解：

方法一：

1、根據題意可以算出書架上有5X36=180（本）書。

2、現在還剩下5T=4（層）書架。

3、所以每層書架上有180+4=45（本）書。比原來多45-36=9（本）

書。

方法二：

也可以這樣考慮，就是要把其中一層的36本書平均分到其他4

層，所以每層比原來多放36+4=9（本）書。

例題3：

一個長方形的水槽可容水480噸，水槽裝有一個進水管和一個排

水管。單開進水管8小時可以把空池注滿；單開排水管6小時可以把

滿水池排空，兩管齊開需要多少小時把滿池水排空？

解：

1、要求兩管齊開需要多少小時把滿池水排光，關鍵在于先求出

進水速度和排水速度，進水每小時-480+8=60（噸）；排水每小時480

4-6=80（噸）。

2、當兩管齊開，排水速度大于進水速度，即每小時排80-60=20

（噸）。

3、再根據總水量就可以求出排空滿池水所需的時間。480+20=24

（小時）。

年齡問題

【含義】

已知兩個或多個人年齡關系，求各自年齡或年齡關系，這類應用

題叫做和倍問題。

【數量關系】

大數=（和+差）+2

小數=（和一差）+2

總和+（幾倍+1）=較小的數

總和-較小的數=較大的數

較小的數X幾倍=較大的數

兩個數的差+（幾倍-1）=較小的數

較小的數X幾倍=較大的數

【解題思路和方法】

年齡問題具有年齡同增同減，年齡差不變的特性。年齡問題都可

以轉化為和差、和倍、差倍問題。簡單的題目直接利用公式，復雜的

題目變通后利用公式。

例題1:

爸爸今年38歲，媽媽今年36歲，當爸爸42歲時，媽媽歲。

解：

1、本題考查的年齡差不變（簡單），不管過了多少年年齡差是不

變的。

2、爸爸比媽媽大2歲，根據不管過了多少年年齡差是不變的，

當爸爸42歲時，媽媽是40歲。

例題2：

姐姐今年15歲，妹妹今年12歲，當她們的年齡和是39歲時一,

那時妹妹歲。

解：

方法一：

1、利用年齡同增同減的思路。

2、姐妹倆今年的年齡之和是：15+12=27（歲），年齡之和到達39

歲時需要的年限是：（39-27）4-2=6（年）。

3、那是妹妹的年齡是12+6=18（歲）。

方法二：

1、利用年齡差不變的思路。

2、兩姐妹的年齡差為15-12=3（歲），再根據小數=（和一差）?

2的公式，可以求出妹妹的年齡為（39-3）4-2=18（歲）。

例題3：

爸爸今年50歲，哥哥今年14歲，年前，爸爸的年齡是哥

哥的5倍。

解：

1、不管過了多少年，年齡差是不變的，當爸爸的年齡是哥哥的5

倍時，年齡差仍是50-14=36（歲）。

2、問什么時候爸爸的年齡是哥哥的5倍，實際上年齡差就是哥

哥的5-1=4倍。

3、根據兩個數的差+（幾倍-1）=較小的數，可以求出哥哥當

時的年齡是（50-14）4-4=9（歲）。

4、再根據題意可求出14-9=5（年）前。

植樹問題

【含義】

按相等的距離植樹，在距離、棵距、棵數這三個量之間，已知其

中的兩個量，要求第三個量，這類應用題叫做植樹問題。

【數量關系】

線形植樹：

一端植樹：

棵數=間隔數=距離+棵距

兩端植樹：

棵數=間隔數+1=距離+棵距+1

兩端都不植樹：

棵數=間隔數T=距離?棵距T

環形植樹：

棵數=間隔數=距離+棵距

正多邊形植樹：

一周總棵數=每邊棵數X邊數一邊數

每邊棵樹=一周總棵數+邊數+1

面積植樹：

棵數=面積+（棵距義行距）

【解題思路和方法】

先弄清楚植樹問題的類型，然后可以利用公式。

例題1：

植樹節到了，少先隊員要在相距72米的兩幢樓房之間種8棵楊

樹。如果兩頭都不栽，平均每兩棵樹之間的距離應是多少米？

解：

1、本題考察的是植樹問題中的兩端都不栽的情況，解決此類問

題的關鍵是要理解棵數比間隔數少lo

2、因為棵數比間隔數少1,所以共有8+1=9個間隔，每個間隔距

離是72+9=8米。

3、所以每兩棵樹之間的距離是8米。

例題2：

一小學舉行運動會，在操場周圍插上彩旗。已知操場的周長是500

米，每隔5米插一根紅旗，每兩面紅旗之間插一面黃旗，那么一共插

紅旗多少面，一共插黃旗多少面。

解：

1、本題考查的是植樹問題中封閉圖形間隔問題，本題中只要抓

住棵數=間隔數，就能求出插了多少面紅旗和黃旗。

2、棵數=間隔數，一共插紅旗500+5=100（面），這一百面紅

旗中一共有100個間隔，所以一共插黃旗100面。

例題3：

多多從一樓爬樓梯到三樓需要6分鐘，照這樣計算，從三樓爬到

十樓需要多少分鐘？

解：

1、本題考查的是植樹問題中鋸木頭、爬樓梯問題的情況。需要

理解爬的樓層、鋸的次數與層數、段數之間的關系，所在樓層=爬的

層數+1;木頭段數=鋸的次數+1。

2、從一樓爬樓梯到三樓，需要爬2層，需要6分鐘，所以每層

需要6+2=3（分鐘）。因此從三樓爬到十樓，需要（10-3）X3=21（分

鐘）。

相遇問題

【含義】

兩個運動的物體同時由兩地出發相向而行，在途中相遇。這類應

用題叫做相遇問題。這類應用題叫做相遇問題。

【數量關系】

相遇時間=總路程+（甲速+乙速）

總路程=（甲速+乙速）X相遇時間

【解題思路和方法】

簡單的題目可直接利用公式，復雜的題目變通后再利用公式，利

用線段圖分析可以讓解題事半功倍。

例題1:

歡歡和樂樂在一條馬路的兩端相向而行，歡歡每分鐘行60米，

樂樂每分鐘行80米，他們同時出發5分鐘后相遇。這條馬路長（）。

解：

根據公式總路程=（甲速+乙速）X相遇時間，可以求出這條馬

路長（60+80）X5=700（米）。

例題2：

甲乙兩車分別以不變的速度從AB兩地同時出發，相向而行。到

達目的地后立即返回。已知第一次相遇地點距離A地50千米，第二

次相遇地點距離B地60千米，AB兩地相距千米。

解：

1、本題考查的是二次相遇問題，靈活的運用畫線段圖的方法來

分析是解決這類問題的關鍵。

2、畫線段圖

第一次

甲50千米

乙

AitfeB地

60千米

第二）欠

3、從圖中可以看出，第一次相遇時甲行了50千米。甲乙合行了

一個全程的路程。

從第一次相遇后到第二次相遇，甲乙合行了兩個全程的路程。由

于甲乙速度不變，合行兩個全程時，甲能行50X2=100（千米）。

4、因此甲一共行了50+100=150（千米），從圖中看甲所行路程剛

好比AB兩地相距路程還多出60千米。

所以AB兩地相距150-60=90（千米）。

例題3：

歡歡和樂樂在相距80米的直跑道上來回跑步，樂樂的速度是每

秒3米，歡歡的速度是每秒2米。如果他們同時分別從跑道兩端出

發，當他們跑了10分鐘時，在這段時間里共相遇過次。

解：

1、根據題意，第一次相遇時，兩人共走了一個全程，但是從第

二次開始每相遇一次需要的時間都是第一次相遇時間的兩倍。（線段

圖參考例2。）

2、根據“相遇時間=總路程+速度和”得到，歡歡和樂樂首次相

遇需要80+（3+2）=16（秒）。

3、因為從第一次相遇結束到第二次相遇，歡歡和樂樂要走兩個

全程，所以從第二次開始每相遇一次需要的時間是16秒的2倍，也

就是32秒,則經過第一次相遇后，剩下的時間是600T6=584（秒）,

還要相遇584+32=18.25（次），所以在這段時間里共相遇過18+1=19

（次）。

追及問題

【含義】

兩個運動物體在不同地點同時出發（或者在同一地點而不是同時

出發，或者在不同地點又不是同時出發）作同向運動，在后面的，行

進速度要快些，在前面的，行進速度較慢些，在一定時間之內，后面

的追上前面的物體。這類應用題就叫做追及問題。

【數量關系】

追及時間=追及路程+（快速一慢速）

追及路程=（快速一慢速）X追及時間

【解題思路和方法】

簡單的題目可直接利用公式，復雜的題目變通后再利用公式，利

用線段圖分析可以讓解題事半功倍。

例題1：

某警官發現前方100米處有一匪徒，匪徒正以每秒2米的速度逃

跑。警官趕緊以每秒3米的速度追，（）秒后警官可以追上這個匪

徒。

解：

1、從警官追開始到追上匪徒，這就是一個追及過程。根據公式:

路程差?速度差=追及時間。

2、路程差為100米，警官每秒比匪徒多跑3-2=1（米），即速度

差為1米/秒。所以追及的時間為100+1=100（秒）。

例題2：

甲乙二人同時從400米的環形跑道的起跑線出發，甲每秒跑6米，

乙每秒跑8米，同向出發。那么甲乙二人出發后（）秒第一次相

遇？

解：

1、由題可知，甲乙同時出發后，乙領先，甲落后，那么兩人第一

次相遇時，乙從后方追上甲，所以，乙的路程=甲的路程+一周跑道長

度，即追及路程為400米。

2、由追及時間=總路程+速度差可得：經過4004-（8-6）=200

（秒）兩人第一次相遇。

例題3：

小轎車、面包車和大客車的速度分別為60千米/時、48千米/時

和42千米/時，小轎車和大客車從甲地、面包車從乙地同時相向出發，

面包車遇到小轎車后30分鐘又遇到大客車。那么甲、乙兩地相距多

遠？

解：

1、根據題意，將較復雜的綜合問題分解為若干個單一問題。首

先是小轎車和面包車的相遇問題；其次是面包車和大客車的相遇問題;

然后是小轎車與大客車的追及問題。最后通過小轎車與面包車共行甲、

乙兩地的一個單程，由相遇問題可求出甲、乙兩地距離。

2、畫線段圖，圖上半部分是小轎車和面包車相遇時三車所走的

路程。圖下半部分是第一次相遇30分鐘之后三車所走的路程。

3、由圖可知，當面包車與小轎車相遇時，大客車與小轎車的路

程差為小轎車與大客車30分鐘所走的路程。有小轎車與大客車的速

度差，有距離，所以可以求出車輛行駛的時間。

（42+48）X0.54-（60-42）=2.5（小時）。

4、由于小轎車與面包車相遇，共行一個行程，所以AB兩地路程

為（60+48）X2.5=270（千米）。

行船問題

【含義】

行船問題也就是與航行有關的問題。解答這類問題要弄清船速與

水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在靜水中航行的速度;

水速是水流的速度，船只順水航行的速度是船速與水速之和；船只逆

水航行的速度是船速與水速之差。

【數量關系】

（順水速度+逆水速度）+2=船速

（順水速度一逆水速度）+2=水速

順水速=船速義2—逆水速=逆水速+水速X2

逆水速=船速X2一順水速=順水速一水速義2

【解題思路和方法】

簡單的題目可直接利用公式，復雜的題目變通后再利用公式，利

用線段圖分析可以讓解題事半功倍。

例題1:

某船在同一條河中順水船速是每小時20千米，逆水船速是每小

時10千米，這條河的水流速度是每小時千米？

解：

順水船速=船速+水流速度，逆水船速=船速-水流速度，可以看出，

順水船速比逆水船速多2個水流速度，

因此，水流速度=（2070）+2=5（千米/時）。

例題2：

某條大河水流速度是每小時5千米，一艘靜水船速是每小時20

千米的貨輪逆水航行5小時能到達目的地，這艘貨輪原路返回到出發

地需要多少小時？

解：

1、逆水速度=靜水船速-水流速度，所以貨輪逆水速度是20-

5=15（千米/時），行駛5小時共行了15X5=75（千米）。

2、原路返回時是順水航行，順水速度是靜水船速+水速，即

20+5=25（千米/時）,所以返回用時75+25=3（小時）。

例題3：

小船在兩個碼頭間航行，順水需4小時，逆水需5小時，若一只

木筏順水漂過這段距離需小時？

解：

1、我們可以假設一個路程。假設兩個碼頭之間的距離是200千

米，順水需4小時，則順水的速度是每小時200+4=50（千米），逆水

需5小時，則逆水的速度是每小時200+5=40（千米）。

2、根據“水速=（順水行駛速度-逆水行駛速度）+2”得到，水

流速度是每小時（50-40）4-2=5（千米）。

3、一只木筏順水漂過的速度就是水流速度，所以木筏順水漂過

這段距離需要200+5=40（小時）。

列車問題

【含義】

與列車行駛有關的一些問題，解答時要注意列車車身的長度。

【數量關系】

火車過橋：過橋時間=（車長+橋長）+車速

火車追及：追及時間=（甲車長+乙車長+距離）+（甲車速一

乙車速）

火車相遇：相遇時間=（甲車長+乙車長+距離）+（甲車速+

乙車速）

【解題思路和方法】

簡單的題目可直接利用公式，復雜的題目變通后再利用公式，利

用線段圖分析可以讓解題事半功倍。

例題1：

一列火車全長126米，全車通過611米的隧道需要67秒，火車

的速度是多少米/秒？

解:

1、本題考查的是火車過橋的問題，解決本題的關鍵是知道火車

完全經過隧道所走的路程是車身長+隧道長，進而求出車速。

2、因此火車的速度為：（126+6H）+67=11（米/秒）。

例題2：

在兩行軌道上有兩列火車相對開來，一列火車長208米，每秒行

18米，另一列火車每秒行19米，兩列火車從相遇到完全錯開用了12

秒鐘，那么另一列火車長多少米？

解：

兩列火車從相遇到完全錯開，所行路程之和剛好是它們的車身長

度之和。根據“路程和=速度和X時間”可得，另一列火車長為（18+19）

X12-208=236（米）。

例題3：

一列火車通過一座長90米的橋需要24秒，如果火車的速度加快

1倍，它通過長為222米的隧道只用了18秒。原來火車每秒行多少

米？

解：

1、根據“火車的速度加快1倍，它通過長為222米的隧道只用

了18秒”可知，如果火車用原來的速度通過222米的隧道，則要用

18X2=36（秒）。

2、隧道比大橋長222-90=132（米），火車要多用36-24=12（秒）

行駛這132米，根據速度=路程+時間，可以求出原來火車每秒行132

4-12=11（米）。

時鐘問題

【含義】

就是研究鐘面上時針與分針關系的問題，如兩針重合、兩針垂直、

兩針成一線、兩針夾角為60度等，這類問題可轉化為行程問題中的

追及問題。

【數量關系】

分針的速度是時針的12倍，二者的速度差為5.5度/分。通常按

追及問題來對待，也可以按差倍問題來計算。

【解題思路和方法】

將兩針重合，兩針垂直，兩針成一線，兩針夾角60°等為“追及

問題”后可以直接利用公式。

例題1：

鐘面上從時針指向8開始，再經過多少分鐘，時針正好與分針

第一次重合？（精確到1分）

解：

1、此類題型可以把鐘面看成一個環形跑道，那么本題就相當于

行程問題中的追及問題，即分針與時針之間的路程差是240°。

2、分針每分鐘比時針多轉6°-0.5°=5.5°,所以需要240+5.5

仁44（分鐘）。也就是從8時開始，再經過44分鐘，時針正好與分針

第一次重合。

例題2：

從早晨6點到傍晚6點，鐘面上時針和分針一共重合了多少次？

解：

我們可以把鐘面看成一個環形跑道，這樣分針和時針的轉動就可

以轉化成追及問題，從早晨6點到傍晚6點，一共經過了12小時，

12個小時分針要跑12圈，時針只能跑1圈，分針比時針多跑

（圈），而分針每比時針多跑1圈，就會追上時針一次，也就是和時

針重合1次，所以12小時內兩針一共重合了11次。

例題3：

一部記錄中國軍隊時代變遷的紀錄片時長有兩個多小時，小明發

現，紀錄片播放結束時，手表上時針、分針的位置正好與開始時時針、

分針的位置交換了一下，這部紀錄片時長多少分鐘？（精確到1分）

解：

1、解決本題的關鍵是認識到時針與分針合走的路程是1080°,

進而轉化成相遇問題來解決。

2、兩個多小時，分針與時針位置正好交換，所以分針與時針所

走的路程和正好是三圈，也就是分針和時針合走了360°X3=1080°,

而分針和時針每分鐘的合走6°+0.5°=6.5°,所以合走1080°需要

10804-6.5^166（分鐘），即這部紀錄片時長166分鐘。

和差問題

【含義】

已知兩個數量的和與差，求這兩個數量各是多少，這類應用題叫

和差問題。

【數量關系】

大數=（和+差）+2

小數=（和一差）+2

【解題思路和方法】

簡單的題目可以直接套用公式；復雜的題目變通后再用公式。

例題1：

兩筐水果共重150千克，第一筐比第二筐多18千克，第一筐水

果重____千克，第二筐水果重____千克。

解：

因為第一筐比第二筐重

1、根據大大數=（和+差）+2的數量關系，可以求出第一筐水果

重（150+⑻+2=84（千克）。

2、根據小數=（和一差）4-2的數量關系，可以求出第二筐水果重

（150-18）4-2=66（千克）。

例題2：

登月行動地面控制室的成員由兩組專家組成，兩組共有專家120

名，原來第一組人太多，所以從第一組調了20人到第二組，這時第

一組和第二組人數一樣多，那么原來第二組有（）名專家。

解：

1、原來從第一組調了20人到第二組，這時第一組和第二組人數

一樣多，說明原來第一組比第二組多20+20=40（人）

2、根據小數=（和一差）:2的數量關系，第二組人數應該為（120-

40）4-2=40（人）。

例題3：

某工廠第一、二、三車間共有工人280人，第一車間比第二車間

多10人，第二車間比第三車間多15人，三個車間各有多少人？

解：

1、第一車間比第二車間多io人，第二車間比第三車間多15人，

那么第一車間就比第三車間多25人，因此第三車間的人數是（280-

25-15）4-3=80（人）。

2、據此可得出第一、二車間的人數。

和倍問題

【含義】

已知兩個數的和及大數是小數的幾倍（或小數是大數的幾分之

幾），要求這兩個數各是多少，這類應用題叫做和倍問題。

【數量關系】

總和+（幾倍+1）=較小的數

總和-較小的數=較大的數

較小的數義幾倍=較大的數

【解題思路和方法】

簡單的題目直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。

例題1：

甲、乙兩倉庫共存糧264噸，甲倉庫存糧是乙倉庫存糧的10倍。

甲倉庫存糧噸，乙倉庫存糧噸。

解：

1、根據“甲倉庫存糧是乙倉庫存糧的10倍”，把甲倉庫存糧數

看成“大數”，乙倉庫存糧數看成“小數”。

2、根據和倍公式總和+（幾倍+1）=較小的數，即可求乙倉庫存

糧264+（10+1）=24（噸）。

3、根據和倍公式較小的數X幾倍=較大的數，即可求甲倉庫存

糧24X10=240（噸）。

例題2：

已知蘋果、梨、桃子的總質量為40千克，蘋果的質量是桃子的

4倍，梨的質量是桃子的3倍，求蘋果、梨、桃子的質量。

解：

1、根據“蘋果的質量是桃子的4倍，梨的質量是桃子的3倍”,

把桃子看成1倍數，則蘋果是4倍數，梨是3倍數。

2、根據“蘋果、梨、桃子的總質量為40千克”和和倍公式：總

和+（幾倍+1）=較小的數可求出桃子的質量，404-（4+3+1）=5（千克）。

3、根據桃子質量可以求出蘋果和梨的質量。

例題3：

歡歡、樂樂和多多一共帶了148元去公園。已知歡歡帶的錢數比

樂樂的2倍多1元，多多帶的錢數比歡歡多2倍,那么多多帶了（）

7Lo

解：

1、在三個量的和倍問題中，我們可以選擇其中一個標準量，然

后通過三個量之間的和倍關系進行計算即可。需要注意，多2倍就是

3倍。

2、由題可知，三人里樂樂的錢數最少。我們可以把樂樂看成標

準量，那么歡歡就是2份標準量再加1元。

3、多多比歡歡多兩倍，就是2X3=6份標準量再加1X3=3（元）。

4、那么他們三個合起來就是1+2+6=9份標準量再加1+3=4（元）。

5、所以標準量是（148-4）-7-9=16（元），即樂樂帶了16元。

6、根據樂樂的錢數可以求出歡歡帶了16X2+1=33（元），所以多

多帶了33X3=99（元）。

差倍問題

【含義】

已知兩個數的差及大數是小數的幾倍（或小數是大數的幾分之

幾），要求這兩個數各是多少，這類應用題叫做差倍問題。

【數量關系】

兩個數的差個（幾倍-1）=較小的數

較小的數義幾倍=較大的數

【解題思路和方法】

簡單的題目直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。

例題1：

莉莉的科技書比故事書多16本，科技書是故事書3倍，莉莉有

科技書（）本。

A、8B、12C、16D、24

解：

1、解決差倍問題，可以畫線段圖解決，也可以直接套用公式解

決。

2、把故事書的本數看作1倍數，科技書的本數就是3倍數，科

技書比故事書多16本，所以根據差倍公式兩個數的差個（幾倍—1）

=較小的數，可以求出故事書有16+2=8本。

3、根據差倍公式較小的數X幾倍=較大的數，可以求出科技書有

8X3=24本。

例題2：

甲桶油是乙桶油4倍，如果從甲桶倒出15千克給乙桶，兩桶油

的重量就相等了，則原來甲桶有油一千克，乙桶有油一千克。

解：

1、根據題意，從甲桶倒出15千克給乙桶，兩桶油的重量就相等

了，說明原來甲桶油比乙桶油多15X2=30（千克）。

2、根據差倍公式兩個數的差個（幾倍-1）=較小的數，可以求出

乙桶有油30+（4-1）=10（千克）。

3、根據差倍公式較小的數又幾倍=較大的數，可以求出甲桶原有

油10X4=40（千克）。

例題3：

每件成品需要5個甲零件，2個乙零件。開始時，甲零件的數量

是乙零件數量的2倍，加工了30個成品之后甲零件和乙零件的數量

一樣多，那么還可以加工個成品。

解：

1、加工一個成品，甲零件比乙零件多用5-2=3（個），加工30個

成品，甲零件比乙零件多用3X30=90（個）。根據“加工了30個成品

之后甲零件和乙零件的數量一樣多”說明原來甲零件比乙零件多90

個。

2、把乙原來的零件數看成1倍，甲就是這樣的2倍，甲比乙多

1倍，對應90個，求出乙原來有90個（2-1）=90（個）

3、那么甲原來有90X2=180（個）零件。

4、每件成品需要5個甲零件，2個乙零件，那么加工30個成品，

甲零件用了5X30=150（個），乙零件用了2X30=60（個），所以甲零

件還剩180-150=30（個），乙零件還剩90-60=30（個）。剩下的甲零

件還能做30+5=6（個）成品，剩下的乙零件還能做30+2=15（個）

成品。因為每件成品需要甲、乙兩種零件共同完成，所以剩下的零件

數還可以加工6個成品。

盈虧問題

【含義】

根據一定的人數，分配一定的物品，在兩次分配中，一次有余（盈）,

一次不足（虧），或兩次都有余，或兩次都不足，求人數或物品數，這

類應用題叫做盈虧問題。

【數量關系】

一般地說，在兩次分配中，如果一次盈，一次虧，則有：參加分

配總量=（盈+虧）:分配差

如果兩次都盈或都虧，則有：

參加分配總量=（大盈一小盈）子分配差

參加分配總量=（大虧一小虧）個分配差

【解題思路和方法】

大多數情況可以直接利用數量關系的公式。

例題1:

小明從家到學校，如果每分鐘走50米，就要遲到3分鐘；如果

每分鐘走70米，則可提前5分鐘到校，小明家到學校的路程是多少

米？

解：

1、分析題意，類比“盈虧問題”，我們可以把“遲到3分鐘”轉

化為比計劃路程少行50X3=150（米），把“提前5分鐘”轉化為比計

劃路程多行70X5=350（米），這時題目被轉化成了“一盈一虧”問題。

2、根據公式，求出原計劃到校的時間：（350+150）4-（70-50）

=25（分鐘）。

3、所以小明家到學校的路程：50X（25+3）=1400（米），或者70

X（25-5）=1400（米）。

例題2：

若干人擦玻璃窗，其中2人各擦4塊，其余的人各擦5塊，則余

12塊；若每人擦6塊，正好擦完。擦玻璃窗的共有多少人，玻璃共有

多少塊?

解:

1、由題意可知，本題屬于分配不均型的盈虧問題，需要將題目

條件轉化成一般盈虧問題。“其中2人各擦4塊，其余的人各擦5塊，

則余12塊”可以轉化為“每人擦5塊，則余10塊二

2、這樣就轉化為了雙盈問題，擦玻璃的有：（10-0）+（6-5）

=10人,玻璃共有10X5+10=60塊。

例題3：

動物園飼養員把一堆桃子分給一群猴子。如果每只猴子分10個

桃子，則有兩只猴子沒有分到；如果有兩只猴子分8個桃子，其余猴

子分9個，則還差3個桃子。一共有多少只猴子？

解：

1、分析題意，題中有兩種分配方式，聯系“盈虧問題”，我們可

以把“兩只猴子沒有分到”理解為桃子的數量少2X10=20（個），再

把“有兩只猴子分8個桃子，其余猴子分9個，則還差3個桃子”理

解為每只猴子分9個，則還少（9-8）X2+3=5（個）。

2、這時把題目看成“雙虧問題”，求出猴子的數量：（20-5）4-

（9-8）=15（只）。

工程問題

【含義】工程問題主要研究工作量、工作效率和工作時間三者

之間的關系。這類問題在已知條件中，常常不給出工作量的具體數

量，只提出“一項工程”、“一塊土地”、“一條水渠”、“一件

工作”等，在解題時，常常用單位“1”表示工作總量。

【數量關系】

工作量=工作效率X工作時間

工作時間=工作量+工作效率

工作時間=工作總量+（甲工作效率+乙工作效率）

【解題思路和方法】解答工程問題的關鍵是把工作總量看作單

位“1”，這樣，工作效率就是工作時間的倒數（它表示單位時間內

完成工作總量的幾分之幾），進而就可以根據工作量、工作效率、

工作時間三者之間的關系列出算式。

例題1:

一項工程，甲隊獨做要12天完成，乙隊獨做要15天完成，兩

隊合做4天可以完成這項工程的（）。

解：

1、本題考察的是兩個人的工程問題，解決本題的關鍵是求出

甲、乙兩隊的工作效率之和。進而用工作效率義工作時間=工作量。

1

2、甲隊的工作效率為：1+12=運，乙隊的工作效率為：1+15=

12_1

話，兩隊合做4天，可以完成這項工程的（運+話）X4=5o

例題2：

一項工程，甲、乙兩隊合作30天完成。如果甲隊單獨做24天

后，乙隊再加入合做，兩隊合做12天后，甲隊因事離去，由乙隊繼

續做了15天才完成。這項工程如果由甲隊單獨做，需要多少天完

成？

解:

1、我們可以將“甲隊單獨做24天后，乙隊再加入合做，兩隊

合做12天后，甲隊因事離去，由乙隊繼續做了15天才完成"轉化

為“甲、乙兩隊合做27天，甲再單獨做9天”，由此可以求出甲9

1-—x27=——^9=—

天的工作量為：3010,甲每天的工作效率為：1090,

1」=9（K天）

這項工程如果由甲隊單獨做，需要90。

例題3：

有一項工程，甲單獨做需要6小時，乙單獨做需要8小時，丙

單獨做需要10小時，上午8時三人同時開始，中間甲有事離開，如

果到中午12點工程才完工，則甲上午離開的時間是幾時幾分？

解：

1、根據題意，知道了甲乙丙的工作時間可求出相應的工作效

率。甲的工作量是全部工作量減去乙丙的工作量，所以甲的工作時

間也可以求出來，即甲上午離開的時間也可以求出來。

-11

2、甲的工作量=1-（8+W）X4=io；

1

甲的工作效率為：1+6=%

113

所以甲的工作時間為：石+6=5（小時）

所以甲離開的時間是8時36分。

百分數問題

【含義】百分數是表示一個數是另一個數的百分之幾的數。

百分數是一種特殊的分數。分數常常可以通分、約分，而百分

數則無需；分數既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分數

只能表示“率”；分數的分子、分母必須是自然數，而百分數的分

子可以是小數；百分數有一個專門的記號。在實際中和常用到

“百分點”這個概念，一個百分點就是1%,兩個百分點就是2%。

【基礎知識】百分數又叫百分率，百分率在工農業生產中應用

很廣泛，常見的百分率有：

增長率=增長數+原來基數X100%

合格率=合格產品數個產品總數X100%

出勤率=實際出勤人數;應出勤人數又100%

出勤率=實際出勤天數個應出勤天數X100%

缺席率=缺席人數+實有總人數X100%

發芽率=發芽種子數+試驗種子總數X100%

成活率=成活棵數+種植總棵數又100%

出粉率=面粉重量?小麥重量X100%

出油率=油的重量+油料重量義100%

廢品率=廢品數量+全部產品數量X100%

命中率=命中次數+總次數又100%

烘干率=烘干后重量個烘前重量X100%

及格率=及格人數+參加考試人數X100%

【數量關系】掌握“百分數”、“標準量”“比較量”三者之

間的數量關系:

百分數=比較量+標準量

標準量=比較量+百分數

【解題思路和方法】一般有三種基本類型：（1）求一個數是另

一個數的百分之幾；（2）已知一個數，求它的百分之幾是多少；

（3）已知一個數的百分之幾是多少，求這個數。

例題1：

在植樹節里，某校六年級學生在校園內種樹8棵，占全校植樹

數的20%,則該校在植樹節里共植樹多少棵？

解：

已知六年級學生的種樹棵數以及所種棵數占全校植樹數的比

值，直接用除法運算即可。所以：84-20%=40（棵）

例題2：

商店新上架了一批連衣裙，第一天賣出總數的25%,第二天賣

出45件，第三天賣出的是前兩天賣出的總和的三分一，最后剩下

20件，則商店原先進了多少件連衣裙？

解：

1、把這批連衣裙的總數看作單位“1”，已知第三天賣出的是

1

前兩天賣出的總和的三分之一，也就是第三天賣出了25%的）和45

11

的），由此可以求出與（45+45X3+20）對應的分率。

2、根據已知一個數的幾分之幾或百分之幾是多少，求這個數，

用除法解答。

（45+45X3+20）+（1-25%~25%X3）=120（件）

例題3：

一堆圍棋子黑白兩種顏色，拿走15枚白棋子后，白子占總數的

40%；再拿走49枚黑棋子后，白子占總數的75%,則原來這堆棋子

一共有多少枚？

解：

1、本題考察的是百分數應用題的相關知識，解決本題的關鍵是

當一種棋子變化時，抓住另一種棋子的數量不變，統一不變量的份

數，進而解決問題。

2、由條件可知，當拿走49枚黑子時，此時白子的數量沒有變

化，那么拿走49枚黑子前，黑子與白子的數量比為（1-40%）：

40%=3：2=9：6,拿走49枚黑子后，黑子與白子的數量比為（「

75%）：75%=1：3=2：6,所以拿走的49枚黑子相當于9-2=7

（份），故每一份是49+7=7（枚）棋子

3、拿走49枚棋子之前，黑子有7X9=63（枚），白子有7X

6=42（枚）。

4、再往前推，由“拿走15枚白棋子”可知，黑子的數量沒有

變化，所以原來黑子有63枚，白子有42+15=57（枚），那么原來

這堆棋子一共有63+57=120（枚）棋子。

方陣問題

【含義】

將若干人或物依一定條件排成正方形(簡稱方陣)，根據已知

條件求總人數或總物數，這類問題就叫做方陣問題。

【數量關系】

(1)方陣每邊人數與四周人數的關系：四周人數=(每邊人數

-1)X4每邊人數=四周人數+4+1

(2)方陣總人數的求法：

實心方陣：總人數=每邊人數又每邊人數

空心方陣：總人數=外每邊的人數平方一內每邊的人數平方內

每邊人數=外每邊人數一層數X2

(3)若將空心方陣分成四個相等的矩形計算，貝IJ：總人數=

(每邊人數一層數)義層數X4

【解題思路和方法】

方陣問題有實心與空心兩種。實心方陣的求法是以每邊的數自

乘；空心方陣的變化較多，其解答方法應根據具體情況確定。

例題1：

一學校參加運動會團體操比賽的運動員排成了一個正方形隊

列。如果要使這個正方形隊列減少一行和一列，則要減少23人。那

么參加團體操表演的運動員一共有多少人？

解：

1、要知道參加表演的運動員共有多少人，只需要找到最外層每

邊有多少人即可。

2、一個正方形隊列，減去一行和一列，就是去掉了兩條邊上的

人數，其中頂點上的人數計算了兩次，所以減少的人數=每邊的人數

X2-lo所以開始每邊有（23+1）4-2=12（人），參加表演的有12

X12=144（人）□

例題2：

歡歡用圍棋子圍成一個三層空心方陣，最外一層每邊有圍棋子

16枚，歡歡擺這個方陣共用了多少枚圍棋子？

解法1:

1、本題考查的空心方陣，根據四周的枚數和每邊上的枚數之間

的關系，算出每一層的棋子數。

2、方陣每向里一層，每邊的枚數就減少2枚。知道最外一層每

邊放16枚，就可求出第二層及第三層每邊枚數，知道各層每邊的枚

數，就可以求出各層的總數。最外一層的棋子的枚數：（16-1）X

4=60（枚），第二層棋子的枚數：（16-2-1）X4=52（枚），第三

層棋子的枚數：（16-2-2-1）X4=1IX4=44（枚），擺這個方陣共

用了60+52+44=156（枚）棋子。

解法2:若將空心方陣分成四個相等的矩形計算，則：總人數

=（每邊人數一層數）X層數X4。則：（16-3）X3X4=156（枚）

例題3：

一個實心方陣由81人組成，這個方陣的最外層有多少人?

解：

方陣的行數和列數相同，9X9=81,所以這是一個9行9列的方

陣。最外層人數與一邊人數的關系：一邊人數義4-4=一層人數。所

以最外層的人數是9義4-4=32（人）。

牛吃草問題

【含義】

“牛吃草”問題是大科學家牛頓提出的問題，也叫“牛頓問

題”。這類問題的特點在于要考慮草邊吃邊長這個因素。

【數量關系】

草總量=原有草量+草每天生長量X天數

【解題思路和方法】

解這類題的關鍵是求出草每天的生長量。

例題1:

這是一片新鮮的牧場，現有400份草，每天都均勻地生長6份

草。若一開始放26頭奶牛，每頭奶牛每天吃1份草。這片牧場的草

夠奶牛吃多少天？

解：

1、本題考查的是牛吃草的問題，解決本題的關鍵是要求出每天

新增加的草量，在所求的問題中，讓幾頭牛專吃新長出的草，其余

的牛吃原有的草。

2、由題目可知：原有的草量+新長的草量=總的草量。

奶牛除了要吃掉原有的草，也要吃掉新長的草。原有的草量是

不變的。每天新長的草量是勻速的，每天都長6份，每頭奶牛每天

吃1份，新長的草剛好夠6頭奶牛吃的量，那么剩下的20頭奶牛吃

的就是原有的草，每天吃20份，4004-20=20（天），夠吃20天。

例題2：

一水庫原有存水量一定，河水每天均勻入庫。5臺抽水機連續

20天可抽干；6臺同樣的抽水機連續15天可抽干。若要求6天抽

干，需要多少臺同樣的抽水機？

解：

設每臺抽水機每天可抽1份水。

5臺抽水機20天抽水:5X20=100（份）

6臺抽水機15天抽水：6X15=90（份）

每天入庫的水量：（100-90）;（20-15）=2（份）

原有的存水量：100-20X2=60（份）

需抽水機臺數：604-6+2=12（臺）

答：要求6天抽干，需要12臺同樣的抽水機。

例題3：

某車站在檢票前若干分鐘就開始排隊，每分鐘來的旅客人數一

樣多。從開始檢票到等候檢票的隊伍消失，同時開4個檢票口需30

分鐘，同時開5個檢票口需20分鐘。如果同時打開7個檢票口，那

么需多少分鐘？

解：

1、本題考查的是牛吃草的問題，“旅客”相當于“草”，檢票

口相當于“?！薄?/p>

2、由題目可知，旅客總數由兩部分組成：一部分是開始檢票前

已經排隊的原有旅客，另一部分是開始檢票后新來的旅客。設1個

檢票口1分鐘檢票的人數為1份。那么4個檢票口30分鐘檢票

4X30=120（份），5個檢票口20分鐘檢票5X20=100（份），多花

了10分鐘多檢了120-100=20（份），那么每分鐘新增顧客數量為

204-10=2（份）。那么原有顧客總量為：120-30X2=60（份）。同

時打開7個檢票口，我們可以讓2個檢票口專門通過新來的顧客，

其余的5個檢票口通過原來的顧客，需要60+5=12（分鐘）。

雞兔同籠問題

【含義】

這是古典的算術問題。已知籠子里雞、兔共有多少只頭和多少

只腳，求雞、兔各有多少只的問題，叫做第一雞兔同籠問題。已知

雞兔的總數和雞腳與兔腳的差，求雞、兔各是多少的問題叫做第二

雞兔同籠問題。

【數量關系】

第一雞兔同籠問題：假設全都是雞，則有兔數=（實際腳數一

2X雞兔總數）子（4-2）假設全都是兔，則有雞數=（4X雞兔總

數一實際腳數）+（4-2）

第二雞兔同籠問題：假設全是雞，則有兔數=（2義雞兔總數一

雞與兔腳之差）+（4+2）假設全是兔，則有雞數=（4義雞兔總數

+雞與兔腳之差）+（4+2）

【解題思路和方法】

解此類題目一般都用假設法，可以先假設都是雞，也可以假設

都是兔。如果先假設都是雞，然后以兔換雞；如果先假設都是兔，

然后以雞換兔。這類問題也叫置換問題。通過先假設，再置換，使

問題得到解決。

例題1：雞和兔在一個籠子里，共有35個頭，94只腳，那么雞

有多少只，兔有多少只？

假設籠子里全部都是雞，每只雞有2只腳，那么一共應該有35

X2=70（只）腳，而實際有94只腳，這多出來的腳就是把兔子當作

雞多出來的，每只兔子比雞多2只腳，一共多了94-70=24（只），

則兔子有24+2=12（只），那么雞有35-12=23（只）。

例題2：動物園里有鴕鳥和長頸鹿共70只，其中鴕鳥的腳比長

頸鹿多80只，那么鴕鳥有多少只，長頸鹿有多少只？

解：

假設全部都是鴕鳥，則一共有70X2=140（只）腳，此時長頸

鹿的腳數是0,鴕鳥腳比長頸鹿腳多140只，而實際上鴕鳥的腳比

長頸鹿多80只，因此鴕鳥腳與長頸鹿腳的差數多了140-80=60

（只），這是因為把其中的長頸鹿換成了鴕鳥。把每一只長頸鹿換

成鴕鳥，鴕鳥的腳數將增加2只，長頸鹿的腳數減少4只，那么鴕

鳥腳數與長頸鹿腳數的差就增加了6只，所以換成鴕鳥的長頸鹿有

604-6=10（只），鴕鳥有70-10=60（只）。

例題3：李阿姨的農場里養了一批雞和兔，共有144條腿，如

果雞數和兔數互換，那么共有腿156條。雞和兔一共有多少只？

解：

根據題意可得：前后雞的總只數=前后兔的總只數。把1只雞和

1只兔子看做一組，共有6條腿。前后雞和兔的總腿數有

144+156=300（條），所以共有300+6=50（組）,也就是雞和兔的

總只數有50只。

抽屜問題

【含義】

在數學問題中有一類與“存在性”有關的問題，如367個人中

至少有兩個人是同一天過生日，這類問題在生活中非常常見，它所

依據的理論，我們稱之為“抽屜原理”。抽屜原理又名狄利克雷原

則，是符合某種條件的對象存在性問題有力工具。

【數量關系】

基本的抽屜原則是：如果把n+1個物體（也叫元素）放到n個

抽屜中，那么至少有一個抽屜中放著2個或更多的物體（元素）。

抽屜原則可以推廣為：如果有m個抽屜，元素的個數是抽屜個

數的k倍多一些，那么至少有一個抽屜要放（k+1）個或更多的元

素。

【解題思路和方法】

目前,處理抽屜原理問題最基本和常用的方法是運用“最不利原

則”，構造“最不利”“點最背”的情形。

例題1：不透明的箱子中有紅、黃、藍、綠四種顏色的球各20

個，一次至少摸出多少個球才能保證摸出兩個相同顏色的球？

解：

解決這個問題要考慮最不利的情況，因為有4種顏色，想要摸

出兩個相同顏色的球。那么最不利的情況就是，每種顏色的各摸出

一個，這時再摸一個球，一定與前幾個球有顏色相同的。因此至少

要摸4+1=5（個）球。

例題2：袋子中有2個紅球，3個黃球，4個藍球，5個綠球，

一次至少摸出多少