小學六年級上冊數學奧數知識點講解第8課《應用同余解題》試題附答案

第八講應用同余解題

在五年級我們已初步學習了同余的有關知識.同余在解答競賽題中有著廣

泛的應用.在這一講中，我們將深入理解同余的概念和性質，悟出它的一些運

用技巧和方法.

例1躲以5余1,b|^以5余4,如果3a2>b,那么3a-b|^以5余幾？

例2若a為自然數，證明10|（停網一王叫.

例3計算機錄入員平均每分鐘可以輸入72個漢字，輸入一篇有通為

個漢字的文章所用的分鐘數恰好是整數，求五位數赤

例4n=\1919191、9一…191，9,求n被9除后所得商的個位數是幾?

1919個1919

例5設2n+l是質數,證明:菖不，…，也被2n+l除所得的余數各不相

例6已知：a=19191919-1919,

*■一一一，

1919個1919

問：賒以13所得余數是幾？

例7求被3除余2,被5除余3,被滁余5的最小三位數.

例8給出12個彼此不同的兩位數，證明：由它們中一定可以選出兩個數,

它們的差是兩個相同數字組成的兩位數.

例9試證不小于5的質數的平方與1的差必能被24整除.

證明：:質數中僅有一個偶數2,

例10任給七個不同的整數，證明其中必有兩個數，其和或差是10的倍數.

答案

第八講應用同余解題

在五年級我們己初步學習了同余的有關知識.同余在解答競賽題中有著廣

泛的應用.在這一講中，我們將深入理解同余的概念和性質，悟出它的一些運

用技巧和方法.

例1賒以5余1,瞬以5余4,如果3a>b,那么3a一瞬以5余幾？

分析與余數有關的問題考慮用同余式可以使解題簡便.

解：.八曰1(mod5),

3a=3(mod5),

或者3a鼻8(mod5).(1)

又；b=4(mod5),(2)

???⑴-(2)得：

3a-b=8-4=4(mod5).

因此，3a-嘛以5余4.

例2若a為自然數，證明10|(a1985-a1949).

分析如果換一種方式表達，所要證明的即是要證王咫與小火個位數字相

同.用對于模10兩數同余來解，可以使解題過程簡化.

證明：?.?ai985=a4x4%-ima(modlO),

a190=a4X497-l=a(mod10),

a19￡5-a1515=a-a=0(mod10).

即10|(a19￡5—a1919).

說明：這里用到一個事實：對于任何自然數a,a：與a的個位數字相同.

例3計算機錄入員平均每分鐘可以輸入72個漢字，輸入一篇有語

個漢字的文章所用的分鐘數恰好是整數，求五位數而藥.

分析這道題實質是求一個能被72整除的五位數礪

ft?：,.-72=8X9,又72|礪7，

由能被8、9整除的特征，得

x+6+7+9+y=0(mod9)(1)

"7004-90+y=0(mod8).(2)

由(2)得y=2(mod8)

因0<y<9且、是整數

/.y=2.

把y=2代入(1)得

x+6+7+9+2=0(mod9)

.,.x=3(mod9).

由x是一位整數得：x=3.

，所求五位數是36792.

例4n=19191919-1919,求n被9除后所得商的個位數是幾?

1919個1919

分析①設『9=商?"和那么9|(n-r),根據L「=商義9,以及nr

的個位數字，可推算出商的個位數字.

②抓住“一個整數與它的各位數字之和對于模9同余”這性質，可以很快

的化大數為小數.

解：Vn=19191919-1919^1919X(1+9+1+9)=1919X20=2X2三

1919.1919'

4(mod9),

.'.9|(n-4),即n-4=9X商，

又：n-4的個位數字是5,

丁.n被躲所得的商的個位數字是5.

例5設2n+l是質數，證明：2J…，廬被2n+l除所得的余數各不相

同.

分析這道題肯定不可能通過各數被2n+l除去求余數.那么我們可以考慮

從反面入手，假設存在兩個相同的余數的話，就會發生矛盾.而中間的推導是

步步有根據的，所以發生矛盾的原因是假設不合理.從而說明假設不成立，因

此原來的結論是正確的.

證明：假設有兩個數a、b,(a盧b,設b<a,且14a4n,l(b4n),它們

的平方上b：被2n+l除余數相同.

那么，由同余定義得水一后三0(mod(2n+1)).

即(a+b)(a-b)=0(mod(2n+1)),由于2n+1是質數.

a+b=0(mod(2n+1))或a-b^O(mod(2n+1)).

由于a+b,a-通小于2n+l且大于零，

可知，a+b與2n+l互質，a~b也與2n+1互質.

即a+b與a-嘛不能被2n+1整除.

產生矛盾，..?原題得證.

說明：這里用到一個重要的事實：如果A+BmO(modp),p是質數，那

么A或B中至少有一個模p為零.p是質數這一條件不能少，否則不能成

立.例如2裝0(mod6),3^0(mod6),而2X3三0(mod6).

例6己知：a=19191919-1919,

___________________________________>

1919個1919

問：賒以13所得余數是幾？

解：用試除方法可知：13|191919.

V1919X2=3838,而3|3837,

.".13|1919-1900,

\___________________t

3837個19

a-1919-1900=19,

'3837”個19

即1919個“1919”有3838個“19”，三組三組取走“19”后還剩下一組.

a=19(mod13).

a—6(mod13).

即躲以13余數是6.

例7求被3除余2,被5除余3,被7除余5的最小三位數.

解:設x為所求數，

由題意

x=2（mod3）,（1）

<x—3（mod5）,（2）

x=5（mod7）,（3）

（3）即x=7k+5（k是整數）.代入（2）得

7k+5=3（mod5）,

2k=3（mod5）,

2k—8（mod5）.

k=4（mod5）,即k=5m+4（m是整數）.

.,.x=7k+5=7（5m+4）+5=35m+33,

上式代入（1）得：

35m+33=2（mod3）,

m=1（mod3）,即m=3t+l（凝整數）.

/.x=35m+33=35（3t+1）+33=105t+68,

當t=l時，x=173.

???所求的最小三位數為173.

例8給出12個彼此不同的兩位數，證明：由它們中一定可以選出兩個數，

它們的差是兩個相同數字組成的兩位數.

分析證這道題要考慮到以下三點.

①兩位數的數碼相同時，它一定能被11整除.

②遇到數是任意的，需排個序，這樣討論表述起來比較方便.

③用12個數中最大的數依次地分別減去其余11個數可得到11個差.若差中

有相同數碼組成的兩位數，問題得證；若差中沒有合條件的兩位數，這時這11

個（差）數各自除以11,所得余數只可能在“，2,3,10｝中，必有兩

個差數的余數相同，考慮用余數造抽屜解題.

證明：設12個兩位數從小到大排列為：

10<al<a2<---<all<al2<99,

用al2分別減去其余的數，得差：

bl=al2-al,b2=al2~a2,…，bll=al2~all.

①若上面11個差中有某個差b工能被11整除，即11|(al2-ai),那么己證

出數al2與aI的差bi是兩個相同數碼組成的兩位數.

②若這11個差均不能被11整除，則按不能被11整除的余數造10個抽屜，余

數相同者歸入同一抽屜，根據抽屜原理，11個差數中，一定存在兩數bm、bn對

于模11同除,即：bm-bn=0(mod11),

即(al2-am)—(al2—an)=0(mod11),

即an—am=0(mod11),

即11I(an-am),

即差an-am是一個由相同數碼組成的兩位數.綜合(1)、(2)問題得

證.

說明：這道題的證明用到了將數按被11除的余數分類的思想.

一般地，任何一個整數a被自然數賒，余數只可能是0,1,2,…，n-1這

n種情況，這樣我們可以利用余數將整數分為幾類，如：整數按除以2余1還是

0,分為奇數和偶數.

又如，整數除以3,余數只能是0,1,2這三種情況，我們可以把所有整數

按除以3后的條數分三類，即3k,3k+1,3k+2,隹會).

這種利用余數分類思想，是重要的數學思想方法，它可以使研究問題時搜

索的范圍大大縮小.

例9試證不小于5的質數的平方與1的差必能被24整除.

證明：:質數中僅有一個偶數2,

二不小于5的質數是奇數.

又不小于5的自然數按除以6所得的余數可分為嗟：6n,6n+l,6n+2,6n

+3,6n+4,6n+5,（n是自然數），

其中6n,6n+2,6n+褚6是偶數，又3|6n+3.

,不小于5的質數只可能是6n+1,6n+5.

又自然數除以6余數是5的這類數換一記法是：6n-l,

（不小于5的質數）2-1=（6n±1）2-1

=36n:±12n=12n（3n±1）,

這里n與（3n士1）奇偶性不同，其中定有一個偶數，

：.2|n（3n±1）,

24|12n（3n±1）.

結論成立.

說明：按同余類造抽屜是解競賽題的常用方法.

例10任給七個不同的整數，證明其中必有兩個數，其和或差是10的倍數.

分析首先考慮什么樣的兩個整數的和或差可以被10整除.設兩個整數a、

b,若a^b（mod10）,則10|（a-b）；若a—r（mod10）,而b—10—r

（mod10）,則10|（a+b）,只有這兩種情況.但是如果按整數除以10的余

數造抽屜，就有十個抽屜，對于已知條件中給定的七個數無法應用抽屜原理，

所以要考慮如何造六個抽屜.根據首先考慮的兩個整數被10除的兩種情況，可

以把余數之和等于10的并成一類，這樣分為：10k、10k±1,10k±2,10k

±3,10k±4,10k±5六類，恰好構造六個抽屜，再應用抽屜原理可解此題.

證明：根據整數n^r（mod10）構造六個抽屜如下:

r=0的數；r=5的數；r=l或9的數；r=2或8的數;r=3或7的數；r=4或6

的數.

這樣任給定的七個整數按照除以10的余數r,放入六個抽屜中，必有一個抽

屜中至少有兩個數.這兩數的和或差必是10的倍數.

六年級奧數上冊：第八講應用同余解題習題

習題八

1.甲、乙兩校聯合組織學生乘車去春游，每輛車可以乘36人，兩校各自

坐滿若干輛車后，甲校余下的13人與乙校余下的人恰好又坐滿一輛車.春游中

甲校的每位同學分別與乙校的每位同學合一張影留念.如果每卷膠卷可拍36張

照片，問：拍完最后一張照片后，相機里的膠卷還可以拍幾張？（提示：這題

相當于：甲數除以36余13,乙數除以36余23,若甲、乙之積除以36的余數為

r,求36-r=?）.

2.求1993：”-7的余數.

3.求證：31Mo+4；”：=0（mod5）.

4.能被33整除的六位數15環有多少個？

5.求滿足除以5余2,除以7余4,除以11余3的最小三位數.

6.70個數排成一行，除了兩頭的兩個數以外，每個數的三倍恰好等于它

兩邊兩個數函和.這一行最左邊的jl個數是：0,1,3,8,21,….問最右邊

的一個數被6除的余數是幾？（提示：計算數列的各項除以6的余數，找規律）

7.任意選出6個不同的自然數，證明其中總有兩個數，它們的差是5的倍

數.

習題八解答

1.25張.

2.解11993=5(mod7)；

1993-954=5-M<(mod7).

由上表可知5-7的余數以6為周期循環，

1994=2(mod6),

.-.1993:55i—5;5K=5:—4(mod7),

即1993、馀以7的余數是4.

3.證明：3:=4(mod5),3;=1(mod5),4gl(mod5)

而2000=4X500,1993=4X498+1,

.,.3MM=(3。^=pM=l(mod5),

4依=(*)磁X4=l住X4=4(mod5),

3WOO+4:55：=1+4—0(mod5).

4.三個：196911,199914,192918.

5.解法同例7,所求數為102.

6.4.

7.把自然數按被5除的余數分為五類，構成五個抽屜.則根據抽屜原理可

證至少有一個抽屜里至少有選定的6個自然數中的2個數，而同抽屜中的兩個數

之差顯然是5的倍數.

附：奧數技巧分享

分享四個奧數小技巧。希望孩子早進步哦。

技巧1：培養孩子數字感

要想入門奧數，很大一部分程度上靠的就是孩子的數字感，那么我們應該如何培養孩子的數

字感呢？最簡單的方法，就是讓孩子去超市購物，自己