北京西城長安中學2024屆高二數學第二學期期末學業質量監測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在同一坐標系中，將曲線變為曲線的伸縮變換公式是（）A． B． C． D．2．如圖所示為底面積為2的某三棱錐的三視圖，則該三棱錐的側面積為（）A． B．C． D．3．如圖，在長方體中，若，，則異面直線和所成角的余弦值為（）A． B． C． D．4．若cos(α+π4)=1A．718 B．23 C．4-5．下列函數中，既是偶函數又在上單調遞增的是（）A． B．C． D．6．若是小于的正整數，則等于（）A． B． C． D．7．在平面直角坐標系中，設點，定義，其中為坐標原點，對于下列結論：符合的點的軌跡圍成的圖形面積為8；設點是直線：上任意一點，則；設點是直線：上任意一點，則使得“最小的點有無數個”的充要條件是；設點是橢圓上任意一點，則．其中正確的結論序號為A． B． C． D．8．《九章算術》中有這樣一個問題：今有竹九節，欲均減容之（其意為：使容量均勻遞減），上三節容四升，下三節容二升，中三節容幾何？（）A．二升 B．三升 C．四升 D．五升9．已知隨機變量滿足，則下列選項正確的是（）A． B．C． D．10．已知某一隨機變量ξ的概率分布列如圖所示，且E(ξ)＝6.3，則a的值為()ξ4a9P0.50.1bA．5 B．6 C．7 D．811．已知橢圓的兩個焦點為,且,弦過點,則的周長為()A． B． C． D．12．將紅、黑、藍、黃4個不同的小球放入3個不同的盒子，每個盒子至少放一個球，且紅球和藍球不能放在同一個盒子，則不同的放法的種數為（）A．18B．24C．30D．36二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數是上的增函數，則實數的數值范圍為________.14．從長度分別為的四條線段中，任取三條的不同取法共有種，在這些取法中，以取出的三條線段為邊可組成的三角形的個數為，則等于____________.15．中，角的對邊分別是，已知，則_______.16．現有個大人，個小孩站一排進行合影.若每個小孩旁邊不能沒有大人，則不同的合影方法有__________種．（用數字作答）三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設實數滿足，實數滿足.（1）若，且為真，求實數的取值范圍；（2）若其中且是的充分不必要條件，求實數的取值范圍.18．（12分）某班從6名班干部中（其中男生4人，女生2人），任選3人參加學校的義務勞動．（1）設所選3人中女生人數為ξ，求ξ的分布列；（2）求男生甲或女生乙被選中的概率．19．（12分）的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知.（1）求角C；（2）若，，求的周長.20．（12分）已知函數().(Ⅰ)若在處的切線過點，求的值；(Ⅱ)若恰有兩個極值點，().(ⅰ)求的取值范圍；(ⅱ)求證：.21．（12分）某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費，需了解年宣傳費x（單位：千元）對年銷售量y（單位：t）和年利潤z（單位：千元）的影響，對近8年的年宣傳費和年銷售量（=1,2，···，8）數據作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統計量的值.

46.6

563

6.8

289.8

1.6

1469

108.8

表中，=（Ⅰ）根據散點圖判斷，y=a+bx與y=c+d哪一個適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）（Ⅱ）根據（Ⅰ）的判斷結果及表中數據，建立y關于x的回歸方程；（Ⅲ）已知這種產品的年利潤z與x、y的關系為z=0.2y-x.根據（Ⅱ）的結果回答下列問題：（ⅰ）年宣傳費x=49時，年銷售量及年利潤的預報值是多少？（ⅱ）年宣傳費x為何值時，年利潤的預報值最大？附：對于一組數據,，……，,其回歸線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：22．（10分）選修4-5：不等式選講已知函數．(1)解不等式；(2)若函數的最小值為，且，求的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

根據新舊兩個坐標的對應關系，求得伸縮變換的公式.【題目詳解】舊的，新的，故，故選C.【題目點撥】本小題主要考查曲線的伸縮變換公式，屬于基礎題，解題關鍵是區分清楚新舊兩個坐標的對應關系.2、B【解題分析】

由三視圖可以看出有多個直角，將該三棱錐放入正方體中，依次求各面面積即可【題目詳解】由三視圖可知該幾何體是三棱錐（放在棱長為2的正方體中），則側面是邊長為的等邊三角形，面積為；側面和都是直角三角形，面積均為，因此，此幾何體的側面積為，故選B【題目點撥】本題考查三視圖、幾何體側面積，將棱錐放入棱柱中分析是解題的關鍵.3、D【解題分析】

連結，可證明是平行四邊形，則，故的余弦值即為異面直線和所成角的余弦值，利用余弦定理可得結果.【題目詳解】連結，由題得，故是平行四邊形，，則的余弦值即為所求，由，可得，，故有，解得，故選D.【題目點撥】本題考查異面直線的夾角的余弦值和余弦定理，常見的方法是平移直線，讓兩條直線在同一平面中，再求夾角的余弦值.4、C【解題分析】分析：利用同角三角函數的基本關系式sin(π4+α)詳解：因為cos(則0<π4+α<則sin[(故選C.點睛：本題主要考查了同角三角函數的基本關系式，以及兩角差的正弦函數公式的應用，其中熟記三角恒等變換的公式是化簡求值的關鍵，著重考查了推理與運算能力.5、B【解題分析】

根據基本初等函數的單調性和奇偶性，逐一分析四個函數在上的單調性和奇偶性，逐一比照后可得答案.【題目詳解】對于A:是奇函數，對于B:為偶函數，且在上單調遞增；對于C:為偶函數，但在上單調遞減；對于D:是減函數；所以本題答案為B.【題目點撥】本題主要考查函數的奇偶性與單調性，屬于中檔題.判斷函數的奇偶性首先要看函數的定義域是否關于原點對稱，如果不對稱，既不是奇函數又不是偶函數，如果對稱常見方法有：（1）直接法，（正為偶函數，負為減函數）；（2）和差法，（和為零奇函數，差為零偶函數）；（3）作商法，（1為偶函數，-1為奇函數）.6、D【解題分析】

利用排列數的定義可得出正確選項.【題目詳解】，由排列數的定義可得.故選：D.【題目點撥】本題考查排列數的表示，解題的關鍵就是依據排列數的定義將代數式表示為階乘的形式，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.7、D【解題分析】

根據新定義由，討論、的取值，畫出分段函數的圖象，求出面積即可；運用絕對值的含義和一次函數的單調性，可得的最小值；根據等于1或都能推出最小的點有無數個可判斷其錯誤；把的坐標用參數表示，然后利用輔助角公式求得的最大值說明命題正確．【題目詳解】由，根據新定義得：，由方程表示的圖形關于軸對稱和原點對稱，且，畫出圖象如圖所示：四邊形為邊長是的正方形，面積等于8，故正確；為直線上任一點，可得，可得，當時，；當時，；當時，可得，綜上可得的最小值為1，故正確；，當時，，滿足題意；而，當時，，滿足題意，即都能“使最小的點有無數個”，不正確；點是橢圓上任意一點，因為求最大值，所以可設，，，，，，正確．則正確的結論有：、、，故選D．【題目點撥】此題考查學生理解及運用新定義的能力，考查了數形結合的數學思想，是中檔題．新定義題型的特點是：通過給出一個新概念，或約定一種新運算，或給出幾個新模型來創設全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎上，依據題目提供的信息，聯系所學的知識和方法，實現信息的遷移，達到靈活解題的目的.遇到新定義問題，應耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗證、運算，使問題得以解決.8、B【解題分析】

由題意可得，上、中、下三節的容量成等差數列．再利用等差數列的性質，求出中三節容量，即可得到答案．【題目詳解】由題意，上、中、下三節的容量成等差數列，上三節容四升，下三節容二升，則中三節容量為，故選B．【題目點撥】本題主要考查了等差數列的性質的應用，其中解答中熟記等差數列的等差中項公式是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題．9、B【解題分析】

利用期望與方差性質求解即可．【題目詳解】；．故，．故選．【題目點撥】考查期望與方差的性質，考查學生的計算能力．10、C【解題分析】分析：先根據分布列概率和為1得到b的值，再根據E(X)=6.3得到a的值.詳解：根據分布列的性質得0.5+0.1+b=1,所以b=0.4.因為E(X)=6.3，所以4×0.5+0.1×a+9×0.4=6.3，所以a=7.故答案為C.點睛：（1）本題主要考查分布列的性質和隨機變量的期望的計算，意在考查學生對這些知識的掌握水平.(2)分布列的兩個性質：①，；②.11、D【解題分析】

求得橢圓的a，b，c，由橢圓的定義可得△ABF2的周長為|AB|+|AF2|+|BF2|=4a，計算即可得到所求值．【題目詳解】由題意可得橢圓+=1的b=5，c=4，a==，由橢圓的定義可得|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a，即有△ABF2的周長為|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=4．故選D．【題目點撥】本題考查三角形的周長的求法，注意運用橢圓的定義和方程，定義法解題是關鍵，屬于基礎題．12、C【解題分析】解：由題意知4個小球有2個放在一個盒子里的種數是C4把這兩個作為一個元素同另外兩個元素在三個位置排列，有A3而紅球和藍球恰好放在同一個盒子里有A3∴編號為紅球和藍球不放到同一個盒子里的種數是C42二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解題分析】

根據在上的單調性列不等式組，解不等式組求得的取值范圍.【題目詳解】依題意可知且，所以.由于在上遞增，所以即，解得.故答案為：【題目點撥】本小題主要考查根據分段函數單調性求參數的取值范圍，屬于中檔題.14、【解題分析】

分別求出即可．【題目詳解】從4條長度不同的線段中任取3條，共有4種取法，即，可組成三角形的只有一種，因此，∴．故答案為：．【題目點撥】本題考查事件的概念，求事件的個數．解題時可用列舉法列出任取3條線段的所有可能以及滿足組成三角形的個數，從而得，．列舉法是我們常用的方法．能組成三角形的判定關鍵是兩個較小的線段長之和大于最長的線段長度．15、【解題分析】

化簡已知等式可得sinC＝1，又a＝b，由余弦定理可得：cosC＝sinC，利用兩角差的正弦函數公式可求sin（C）＝0，結合范圍C∈（，），可求C的值．【題目詳解】∵c2＝2b2（1﹣sinC），∴可得：sinC＝1，又∵a＝b，由余弦定理可得：cosC1sinC，∴sinC﹣cosC＝0，可得：sin（C）＝0，∵C∈（0，π），可得：C∈（，），∴C0，可得：C．故答案為【題目點撥】本題主要考查了余弦定理，兩角差的正弦函數公式，正弦函數的圖象和性質在解三角形中的應用，考查了轉化思想和數形結合思想的應用，屬于基礎題．16、【解題分析】分析：根據題意可得可以小孩為對象進行分類討論：第一類：2個小孩在一起，第二類小孩都不相鄰.分別計算求和即可得出結論。詳解：根據題意可得可以小孩為對象進行分類討論：第一類：2個小孩在一起:,第二類：小孩都不在一起：，故不同的合影方法有216+144=360種，故答案為360點睛：考查計數原理和排列組合的綜合，對于此類題首先要把題意分析清楚，分清楚所討論的類別，再根據討論情況逐一求解即可，注意計算的準確性.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】

（1）解一元二次不等式求得中的取值范圍，解絕對值不等式求得中的取值范圍，根據為真，即都為真命題，求得的取值范圍.（2）解一元二次不等式求得中的取值范圍，根據是的充分不必要條件列不等式組，解不等式組求得實數的取值范圍.【題目詳解】對于：由得，解（1）當時，對于：，解得，由于為真，所以都為真命題，所以解得，所以實數的取值范圍是.（2）當時，對于：，解得.由于是的充分不必要條件，所以是的必要不充分條件，所以，解得.所以實數的取值范圍是.【題目點撥】本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查根據含有邏輯連接詞命題真假性求參數的取值范圍，考查根據充分、必要條件求參數的取值范圍，屬于中檔題.18、（1）詳見解析；（2）．【解題分析】

試題分析：（1）根據題意，所選3人中女生人數的所有可能取值為0,1,2三種，，，，寫出分布列即可；（2）從6名班干部中任選3人共用種選法，若男生甲被選中，則有種，若女生乙被選中，則有種，男生甲被選中的時候包含女生乙被選中，女生乙被選中的時候也包含男生甲被選中的情況，所有男生甲或女生乙被選中的種數應為，設男生甲或女生乙被選中為事件A，則事件A的概率為．或者也可以求出男生甲和女生乙都不被選中的種數為種，概率為，根據對立事件的概率，可知男生甲或女生乙被選中的概率為．試題解析：（1）ξ的所有可能取值為0,1,2依題意得ξ

0

1

2

P

所以ξ的分布列為（2）設“甲、乙都不被選中”為事件C則P（C）＝所求概率為1－＝考點：1.離散型隨機變量分布列；2.隨機事件的概率．19、（1）（2）【解題分析】

試題分析：（1）根據正弦定理把化成，利用和角公式可得從而求得角；（2）根據三角形的面積和角的值求得，由余弦定理求得邊得到的周長.試題解析：（1）由已知可得（2）又，的周長為考點：正余弦定理解三角形.20、(Ⅰ)(Ⅱ)(ⅰ)(ⅱ)見證明【解題分析】

(Ⅰ)對函數進行求導，然后求出在處的切線的斜率，求出切線方程，把點代入切線方程中，求出的值；(Ⅱ)(ⅰ)，，，分類討論函數的單調性；當時，可以判斷函數沒有極值，不符合題意；當時，可以證明出函數有兩個極值點，，故可以求出的取值范圍；由(ⅰ)知在上單調遞減，，且，由得，，又，.法一：先證明（）成立，應用這個不等式，利用放縮法可以證明出成立；法二：令()，求導，利用單調性也可以證明出成立.【題目詳解】解:(Ⅰ)，又在處的切線方程為，即切線過點，(Ⅱ)(ⅰ)，，，當時，，在上單調遞增，無極值，