2024屆北師大長春附屬學校高二數學第二學期期末學業水平測試模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，線段AB=8，點C在線段AB上，且AC=2，P為線段CB上一動點，點A繞著C旋轉后與點B繞點P旋轉后重合于點D，設CP=x，△CPD的面積為f（x）．求f（x）的最大值（）．A．B．2C．3 D．2．若雙曲線（，）的一條漸近線被圓所截得的弦長為2，則的離心率為（）A．2 B． C． D．3．設集合A＝{1，2，3，4}，B＝{﹣4，﹣3，1}，則A∩B＝（）A．{1，﹣3} B．{1，﹣4} C．{3} D．{1}4．在滿分為15分的中招信息技術考試中，初三學生的分數，若某班共有54名學生，則這個班的學生該科考試中13分以上的人數大約為（）（附：）A．6 B．7 C．9 D．105．函數在處的切線方程是()A． B． C． D．6．已知雙曲線的右焦點為F2，若C的左支上存在點M，使得直線bx﹣ay＝0是線段MF2的垂直平分線，則C的離心率為（）A． B．2 C． D．57．甲乙丙丁四名學生報名參加四項體育比賽，每人只報一項，記事件“四名同學所報比賽各不相同”，事件“甲同學單獨報一項比賽”，則()A． B． C． D．8．在極坐標系中，點關于極點的對稱點為A． B． C． D．9．設命題，則為（）A． B．C． D．10．用數學歸納法證明“”,從“到”左端需增乘的代數式為()A． B． C． D．11．用數學歸納法證明：“”，由到時，等式左邊需要添加的項是（）A． B．C． D．12．甲罐中有個紅球，個白球和個黑球，乙罐中有個紅球，個白球和個黑球，先從甲罐中隨機取出一個球放入乙罐，分別以，，表示由甲罐取出的球是紅球、白球和黑球的事件，再從乙罐中隨機取出一個球，以表示由乙罐取出的球是紅球的事件，下列結論中不正確的是（）A．事件與事件不相互獨立 B．、、是兩兩互斥的事件C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數，對任意，恒有，則的最小值為________.14．在的二項式中，常數項等于_______（結果用數值表示）.15．直線與拋物線圍成的封閉圖形的面積等于___________.16．用反證法證明命題“如果，那么”時，應假設__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標平面內，直線l過點P(1，1)，且傾斜角α＝.以坐標原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，已知圓C的極坐標方程為ρ＝4sinθ.(1)求圓C的直角坐標方程；(2)設直線l與圓C交于A，B兩點，求|PA|·|PB|的值．18．（12分）在中，角的對邊分別為，已知．（1）求角的大小；（2）若，求的面積的最大值．19．（12分）從某班6名學生（其中男生4人，女生2人）中任選3人參加學校組織的社會實踐活動．設所選3人中女生人數為，求的數學期望.20．（12分）在直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數）．在極坐標系（與直角坐標系取相同的長度單位，且以原點O為極點，以軸正半軸為極軸)中，圓的方程為.（1）求圓的直角坐標方程和的普通方程；（2）設圓與直線交于點，若點的坐標為，求.21．（12分）已知圓心為的圓，滿足下列條件：圓心位于軸正半軸上，與直線相切，且被軸截得的弦長為，圓的面積小于13.（1）求圓的標準方程：（2）設過點的直線與圓交于不同的兩點，，以，為鄰邊作平行四邊形.是否存在這樣的直線，使得直線與恰好平行？如果存在，求出的方程：如果不存在，請說明理由.22．（10分）在平面直角坐標系中，已知曲線的參數方程為（為參數）.以直角坐標系原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為.點為曲線上的動點，求點到直線距離的最大

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】試題分析：利用三角形的構成條件，建立不等式，可求x的取值范圍；三角形的周長是一個定值8，故其面積可用海倫公式表示出來，再利用基本不等式，即可求f（x）的最大值．解：（1）由題意，DC=2，CP=x，DP=6-x，根據三角形的構成條件可得x+6-x＞2,2+6-x＞x,2+x＞6-x，解得2＜x＜4；三角形的周長是一個定值8，故其面積可用海倫公式表示出來，即f（x）=當且僅當4-x=-2+x，即x=3時，f（x）的最大值為,故選A.考點：函數類型點評：本題考查根據實際問題選擇函數類型，本題中求函數解析式用到了海倫公式，2、A【解題分析】由幾何關系可得，雙曲線的漸近線方程為，圓心到漸近線距離為，則點到直線的距離為，即，整理可得，雙曲線的離心率．故選A．點睛:雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據一個條件得到關于a，b，c的齊次式，結合b2＝c2－a2轉化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉化為關于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．3、D【解題分析】

利用集合的交集的運算，即可求解．【題目詳解】由題意，集合，所以，故選D．【題目點撥】本題主要考查了集合交集的運算，其中解答中熟記集合的交集運算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．4、C【解題分析】

分析：現利用正態分布的意義和原則結合正態分布曲線的對稱性，計算大于的概率，即可求解得到其人數．詳解：因為其中數學考試成績服從正態分布，因為，即根據正態分布圖象的對稱性，可得，所以這個班級中數學考試成績在分以上的人數大約為人，故選C．點睛：本題主要考查了隨機變量的概率分布中正態分布的意義和應用，其中熟記正態分布圖象的對稱性是解答的關鍵，著重考查了轉化與化歸思想方法的應用，屬于基礎題．5、A【解題分析】

求導函數，切點切線的斜率，求出切點的坐標，即可得到切線方程．【題目詳解】求曲線y＝exlnx導函數，可得f′（x）＝exlnx∴f′（1）＝e，∵f（1）＝0，∴切點（1，0）．∴函數f（x）＝exlnx在點（1，f（1））處的切線方程是：y﹣0＝e（x﹣1），即y＝e（x﹣1）故選：A．【題目點撥】本題考查導數的幾何意義，考查學生的計算能力，屬于基本知識的考查．6、C【解題分析】

設P為直線與的交點，則OP為的中位線，求得到漸近線的距離為b，運用中位線定理和雙曲線的定義，以及離心率的公式，計算可得所求值．【題目詳解】，直線是線段的垂直平分線，可得到漸近線的距離為，且，，，可得，即為，即，可得．故選C．【題目點撥】本題考查雙曲線的定義、方程和性質，考查三角形的中位線定理，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題．7、D【解題分析】

求出，根據條件概率公式即可得解.【題目詳解】由題：，.故選：D【題目點撥】此題考查求條件概率，關鍵在于準確求出AB的概率和B的概率，根據條件概率公式計算求解.8、C【解題分析】分析：在極坐標系中，關于極點的對稱點為詳解：∵關于極點的對稱點為，

∴關于極點的對稱點為．

故選：C．點睛：本題考查一個點關于極點的對稱點的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意極坐標性質的合理運用．9、D【解題分析】分析：根據全稱命題的否定解答.詳解：由全稱命題的否定得為：，故答案為D.點睛：（1）本題主要考查全稱命題的否定，意在考查學生對這些知識的掌握水平.(2)全稱命題：,全稱命題的否定（）：.10、B【解題分析】

分別求出時左端的表達式，和時左端的表達式，比較可得“從到”左端需增乘的代數式.【題目詳解】由題意知，當時，有，當時，等式的左邊為，所以左邊要增乘的代數式為.故選：.【題目點撥】本題主要考查的是歸納推理，需要結合數學歸納法進行求解，熟知數學歸納法的步驟，最關鍵的是從到，考查學生仔細觀察的能力，是中檔題.11、D【解題分析】

寫出時，左邊最后一項，時，左邊最后一項，由此即可得到結論【題目詳解】解：∵時，左邊最后一項為，時，左邊最后一項為，∴從到，等式左邊需要添加的項為一項為故選：D．【題目點撥】本題考查數學歸納法的概念，考查學生分析解決問題的能力，屬于基礎題．12、D【解題分析】分析：由題意，，是兩兩互斥事件，條件概率公式求出，，對照選項即可求出答案.詳解：由題意，，是兩兩互斥事件，,,,,而.所以D不正確.故選：D.點睛：本題考查相互獨立事件，解題的關鍵是理解題設中的各個事件，且熟練掌握相互獨立事件的概率簡潔公式，條件概率的求法，本題較復雜，正確理解事件的內蘊是解題的關鍵.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】∵，∴，∴當時，單調遞減；當時，單調遞增。∴當時，有最大值，且。又，∴。由題意得等價于。∴的最小值為。答案：14、140【解題分析】

寫出二項展開式的通項，由的指數為0求得r值，則答案可求．【題目詳解】由得由6-3r=0，得r=1．

∴常數項等于,故答案為140.【題目點撥】本題考查了二項式系數的性質，關鍵是對二項展開式通項的記憶與運用，是基礎題．15、【解題分析】直線與拋物線的交點坐標為，據此可得：直線與拋物線圍成的封閉圖形的面積等于:.16、【解題分析】

由反證法的定義得應假設：【題目詳解】由反證法的定義得應假設：故答案為：【題目點撥】本題主要考查反證法的證明過程，意在考查學生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）x2＋y2－4y＝0.（2）2【解題分析】試題分析：（1）根據將圓C的極坐標方程化為直角坐標方程（2）設直線參數方程，與圓方程聯立，根據參數幾何意義以及韋達定理得|PA|·|PB|＝|t1t2|＝2.試題解析：(1)∵ρ＝4sinθ，∴ρ2＝4ρsinθ，則x2＋y2－4y＝0，即圓C的直角坐標方程為x2＋y2－4y＝0.(2)由題意，得直線l的參數方程為(t為參數)．將該方程代入圓C的方程x2＋y2－4y＝0，得＋－4＝0，即t2＝2，∴t1＝，t2＝－.即|PA|·|PB|＝|t1t2|＝2.18、（1）；（2）【解題分析】

（1）利用正弦定理將邊化角和誘導公式可化簡邊角關系式，求得，根據可求得結果；（2）利用余弦定理得到，利用基本不等式可求得，代入三角形面積公式即可求得面積的最大值.【題目詳解】（1）由正弦定理可得：即：，即（2）由余弦定理可知：又（當且僅當時取等號）即的最大值為：【題目點撥】本題考查解三角形的相關知識，涉及到利用正弦定理化簡邊角關系式、余弦定理的應用、三角形面積最值的求解等知識；化簡邊角關系式的關鍵是能夠根據邊齊次的特點，利用正弦定理將邊角關系式轉化為三角恒等變換的化簡問題.19、【解題分析】

的可能值為，計算概率得到分布列，再計算數學期望得到答案.【題目詳解】的可能值為，則；；.故分布列為：故.【題目點撥】本題考查了概率的計算，分布列，數學期望，意在考查學生的計算能力和應用能力.20、（1）；；（2）【解題分析】

（1）的普通方程消參，圓的直角坐標方程利用公式化簡。（2）聯立方程利用韋達定理解出，，再帶入即可。【題目詳解】(1)(2)將代入得，點都在點下方。【題目點撥】極坐標與直角坐標方程互化公式涉及弦長一般利用參數t的幾何意義解題，屬于基礎題21、(1).(2)不存在這樣的直線.【解題分析】

試題分析：（I）用待定系數法即可求得圓C的標準方程；（Ⅱ）首先考慮斜率不存在的情況.當斜率存在時，設直線l：y=kx+3，A(x1，y1)，B(x2，y2).l與圓C相交于不同的兩點，那么Δ>0.由題設及韋達定理可得k與x1、x2之間關系式，進而求出k的值.若k的值滿足Δ>0，則存在；若k的值不滿足Δ>0，則不存在.試題解析：（I）設圓C：(x-a)2+y2=R2(a>0)，由題意知解得a=1或a=，又∵S=πR2<13，∴a=1，∴圓C的標準方程為：(x-1)2+y2=1．（Ⅱ）當斜率不存在時，直線l為：x=0不滿足題意．當斜率存在時，設直線l：y=kx+3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，又∵l與圓C相交于不同的兩點，聯立消去y得：(1+k2)x2+(6k-2)x+