浙江省杭州市浙大附中2024屆數學高二第二學期期末調研試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，在空間直角坐標系中有直三棱柱,且，則直線與直線夾角的余弦值為（）A． B． C． D．2．方程表示焦點在軸上的橢圓，則的取值范圍是（）A． B． C． D．3．下列說法正確的是（）A．若為真命題，則為真命題B．命題“若，則”的否命題是真命題C．命題“函數的值域是”的逆否命題是真命題D．命題“，關于的不等式有解”，則為“，關于的不等式無解”4．將名教師，名學生分成個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，每個小組由名教師和名學生組成，不同的安排方案共有（）A．種 B．種 C．種 D．種5．在同一坐標系中，將曲線變為曲線的伸縮變換公式是（）A． B． C． D．6．用數學歸納法證明：，第二步證明由到時，左邊應加（）A． B． C． D．7．從1、2、3、4、5、6中任取兩個數，事件：取到兩數之和為偶數，事件：取到兩數均為偶數，則（）A． B． C． D．8．已知，是橢圓的兩個焦點，是上的一點，若，且，則的離心率為A． B． C． D．9．橢圓的左焦點為，若關于直線的對稱點是橢圓上的點，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．10．設曲線及直線所圍成的封閉圖形為區域，不等式組所確定的區域為，在區域內隨機取一點，則該點恰好在區域內的概率為（）A． B． C． D．11．函數f(x)=|x|-ln|x|，若[f(x)]2-mf(x)+3=0有A．(23,4) B．(2,4) C．(2,212．在二維空間中，圓的一維測度（周長）l=2πr，二維測度（面積）S=πr2；在三維空間中，球的二維測度（表面積）S=4πr2，三維測度（體積）V=4A．4πr4 B．3πr4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若一個圓錐的側面展開圖是面積為的半圓面，則該圓錐的底面半徑為_______.14．已知為等邊三角形，為坐標原點，在拋物線上，則的周長為_____．15．若對于任意實數x，都有，則的值為_________.16．有4個不同的小球，全部放入4個不同的盒子內，恰好有兩個盒子不放球的不同放法的總數為____________________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知圓O:x2+y2=4，橢圓C:x24+y2=1，A為橢圓右頂點．過原點O且異于坐標軸的直線與橢圓C交于B,C兩點，直線AB與圓O的另一交點為P，直線PD（1）求k1（2）記直線PQ,BC的斜率分別為kPQ,kBC，是否存在常數λ，使得（3）求證：直線AC必過點Q．18．（12分）已知函數.（1）討論在上的單調性；（2）若，，求正數的取值范圍.19．（12分）如圖，在四面體中，，.（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）若，，四面體的體積為2，求二面角的余弦值.20．（12分）為調查某小區居民的“幸福度”．現從所有居民中隨機抽取16名，如圖所示的莖葉圖記錄了他們的幸福度分數（以小數點前的一位數字為莖，小數點后的一位數字為葉），若幸福度分數不低于8.5分，則稱該人的幸福度為“幸福”．（1）求從這16人中隨機選取3人，至少有2人為“幸福”的概率；（2）以這16人的樣本數據來估計整個小區的總體數據,若從該小區（人數很多）任選3人，記表示抽到“幸福”的人數，求的分布列及數學期望和方差．21．（12分）已知函數fx（1）當a=2，求函數fx（2）若函數fx22．（10分）己知函數.（1）當時，求函數的圖象在處的切線方程；（2）求函數的單調區間；（3）是否存在整數使得函數的極大值大于零，若存在，求的最小整數值，若不存在，說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

設CA＝2，則C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1)，可得＝(－2,2,1)，＝(0,2，－1)，由向量的夾角公式得cos〈，〉＝2、A【解題分析】

將橢圓方程化為標準方程，根據題中條件列出關于的不等式，解出該不等式可得出實數的取值范圍.【題目詳解】橢圓的標準方程為，由于該方程表示焦點在軸上的橢圓，則，解得，因此，實數的取值范圍是，故選A.【題目點撥】本題考查橢圓的標準方程，考查根據方程判斷出焦點的位置，解題時要將橢圓方程化為標準形式，結合條件列出不等式進行求解，考查運算求解能力，屬于中等題.3、C【解題分析】

采用命題的基本判斷法進行判斷，條件能推出結論為真，推不出為假【題目詳解】A.若為真命題，則中有一個為真命題即可滿足，但推不出為真命題，A錯B.命題“若，則”的否命題是：“若，則”，當時，不滿足，B錯C.原命題與逆否命題真假性相同，的取值大于零，所以值域為，C為真命題D.命題“，關于的不等式有解”，則為“，關于的不等式無解”，D錯答案選C【題目點撥】四種常見命題需要熟悉基本改寫方式，原命題與逆否命題為真，逆命題與否命題為真，原命題與逆命題或否命題真假性無法判斷，需改寫之后再進行判斷，命題的否定為只否定結論，全稱改存在，存在改全稱4、A【解題分析】試題分析：第一步，為甲地選一名老師，有種選法；第二步，為甲地選兩個學生，有種選法；第三步，為乙地選名教師和名學生，有種選法，故不同的安排方案共有種，故選A．考點：排列組合的應用．5、C【解題分析】

根據新舊兩個坐標的對應關系，求得伸縮變換的公式.【題目詳解】舊的，新的，故，故選C.【題目點撥】本小題主要考查曲線的伸縮變換公式，屬于基礎題，解題關鍵是區分清楚新舊兩個坐標的對應關系.6、D【解題分析】

當成立，當時，寫出對應的關系式，觀察計算即可得答案.【題目詳解】在第二步證明時，假設時成立，即左側，則成立時，左側，左邊增加的項數是，故選：D．【題目點撥】本題考查數學歸納法，考查到成立時左邊項數的變化情況，考查理解與應用的能力，屬于中檔題．7、D【解題分析】

根據條件概率公式可得解.【題目詳解】事件分為兩種情況：兩個均為奇數和兩個數均為偶數，所以，，由條件概率可得：，故選D.【題目點撥】本題考查條件概率，屬于基礎題.8、D【解題分析】分析：設，則根據平面幾何知識可求，再結合橢圓定義可求離心率.詳解：在中，設，則，又由橢圓定義可知則離心率，故選D.點睛：橢圓定義的應用主要有兩個方面：一是判斷平面內動點與兩定點的軌跡是否為橢圓，二是利用定義求焦點三角形的周長、面積、橢圓的弦長及最值和離心率問題等；“焦點三角形”是橢圓問題中的常考知識點，在解決這類問題時經常會用到正弦定理，余弦定理以及橢圓的定義.9、A【解題分析】

利用點關于直線的對稱點，且A在橢圓上，得，即得橢圓C的離心率；【題目詳解】∵點關于直線的對稱點A為，且A在橢圓上，即，∴，∴橢圓C的離心率．故選A．【題目點撥】本題主要考查橢圓的離心率，屬于基礎題．10、C【解題分析】分析：求出兩個區域的面積，由幾何概型概率公式計算可得.詳解：由題意，，∴，故選C.點睛：以面積為測度的幾何概型問題是幾何概型的主要問題，而積分的重要作用正是計算曲邊梯形的面積，這類問題巧妙且自然地將新課標新增內容——幾何概型與定積分結合在一起，是近幾年各地高考及模擬中的熱點題型．預計對此類問題的考查會加大力度．11、A【解題分析】

方程有8個不相等的實數根指存在8個不同x的值；根據函數f(x)的圖象，可知方程[f(x)]2-mf(x)+3=0必存在2個大于1【題目詳解】∵f(x)=∵f(-x)=f(x)，∴函數f(x)為偶函數，利用導數可畫出其函數圖象（如圖所示），若[f(x)]2-mf(x)+3=0有8個不相等的實數根?關于∴Δ=【題目點撥】與復合函數有關的函數或方程問題，要會運用整體思想看問題；本題就是把所求方程看成是關于f(x)的一元二次方程，再利用二次函數根的分布求m的范圍.12、B【解題分析】

根據所給的示例及類比推理的規則得出，高維度的測度的導數是低一維的測度，從而得到W'【題目詳解】由題知，S'=l,V'=S所以W=3πr4，故選【題目點撥】本題主要考查學生的歸納和類比推理能力。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解題分析】

先根據側面展開是面積為的半圓算出圓錐的母線，再根據側面展開半圓的弧長即底面圓的周長求解.【題目詳解】如圖所示：設圓錐的半徑為r，高為h，母線長為l，因為圓錐的側面展開圖是半徑為l，面積為的半圓面，所以，解得，因為側面展開半圓的弧長即底面圓的周長，所以，故圓錐的底面半徑.【題目點撥】本題考查圓錐的表面積的相關計算.主要依據側面展開的扇形的弧長即底面圓的半徑，扇形的弧長和面積計算公式.14、【解題分析】

設，，，，由于，可得．代入化簡可得：．由拋物線對稱性，知點、關于軸對稱．不妨設直線的方程為：，與拋物線方程聯立解出即可得出．【題目詳解】解：設，，，，，．又，，，即．又、與同號，．，即．由拋物線對稱性，知點、關于軸對稱．不妨設直線的方程為：，聯立，解得．的周長．故答案為：．【題目點撥】本題考查了拋物線的標準方程及其性質、直線與拋物線相交問題、等邊三角形的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．15、【解題分析】

根據題意，分析可得，求出其展開式，可得為其展開式中含項的系數，由二項式定理求出項，分析可得答案．【題目詳解】解：根據題意，，其展開式的通項為，又由，則為其展開式中含項的系數，令可得：；即；故答案為：．【題目點撥】本題考查二項式定理的應用，注意二項式定理的形式，屬于基礎題．16、84【解題分析】

四個不同的球全部放入4個不同的盒子內，恰有兩個盒子不放球的不同放法的求法，分為兩步來求解，先把四個球分為兩組，再取兩個盒子，作全排列，由于四個球分兩組有兩種分法，一種是2，2，另一種是3，1，故此題分為兩類來求解，再求出它們的和，即可得到答案【題目詳解】四個球分為兩組有兩種分法，（2，2），（3，1）

若兩組每組有兩個球，不同的分法有種，恰有兩個盒子不放球的不同放法是3×A42=36種

若兩組一組為3，一組為1個球，不同分法有C43=4種恰有兩個盒子不放球的不同放法是4×A42=48種

綜上恰有兩個盒子不放球的不同放法是36+48=84種即答案為84.【題目點撥】題考查察排列、組合的實際應用，解題的關鍵是理解事件“四個不同的球全部放入4個不同的盒子內，恰有兩個盒子不放球”，宜先將四個球分為兩組，再放入，分步求不同的放法種數三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）k1k2【解題分析】試題分析：（1）設，則，代入橢圓方程，運用直線的斜率公式，化簡即可得到所求值；（2）聯立直線的方程和圓方程，求得的坐標；聯立直線的方程和橢圓方程，求得的坐標，再求直線，和直線的斜率，即可得到結論；試題解析：（1）設，則，所以（2）聯立y=k1(x-2)解得xP聯立得(1+4k1解得，所以kBC=y所以kPQ=52k考點：橢圓的簡單性質．【方法點晴】本題考查橢圓的方程和性質，在（1）中，設出點坐標，利用對稱性得到點坐標，表達出斜率，利用點在橢圓上，整體代換的思想求出結果；考查直線方程和橢圓方程聯立，求得交點，考查直線方程和圓方程聯立，求得交點,直線的斜率和方程的運用，就化簡整理的運算能力，對運算能力要求較高，屬于中檔題．18、（1）見解析；（2）【解題分析】分析：（1）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間即可；（2）求出f（x）的最大值，得到關于a的函數，結合函數的單調性求出a的范圍即可．詳解：（1），當時，，在上單調遞減；當時，若，；若，．∴在上單調遞減，在上單調遞增．當時，，在上單調遞減；當時，若，；若，，∴在上單調遞減，在上單調遞增．綜上可知，當時，在上單調遞減；當時，在上單調遞減，在上單調遞增；當時，在上單調遞減，在上單調遞增．（2）∵，∴當時，；當時，．∴．∵，，∴，即，設，，當時，；當時，，∴，∴．點睛：這個題目考查的是利用導數研究函數的單調性，用導數解決恒成立求參的問題；對于函數恒成立或者有解求參的問題，常用方法有：變量分離，參變分離，轉化為函數最值問題；或者直接求函數最值，使得函數最值大于或者小于0；或者分離成兩個函數，使得一個函數恒大于或小于另一個函數.19、(1)證明見解析.(2).【解題分析】分析：（1）作Rt△斜邊上的高，連結，易證平面，從而得證；（2）由四面體的體積為2，，得，所以平面，以，，為，，軸建立空間直角坐標系，利用面的法向量求解二面角的余弦值即可.詳解：解法一：（1）如圖，作Rt△斜邊上的高，連結．因為，，所以Rt△≌Rt△．可得．所以平面，于是．（2）在Rt△中，因為，，所以，，，△的面積．因為平面，四面體的體積，所以，，，所以平面．以，，為，，軸建立空間直角坐標系．則，，，，，，．設是平面的法向量，則，即，可取．設是平面的法向量，則，即，可取．因為，二面角的平面角為鈍角，所以二面角的余弦值為解法二：（1）因為，，所以Rt△≌Rt△．可得．設中點為，連結，，則，，所以平面，，于是．（2）在Rt△中，因為，，所以△面積為．設到平面距離為，因為四面體的體積，所以．在平面內過作，垂足為，因為，，所以．由點到平面距離定義知平面．因為，所以．因為，，所以，，所以，即二面角的余弦值為．點睛：本題主要考查空間位置關系的證明和空間角的計算，意在考查學生立體幾何和空間向量的基礎知識的掌握能力和基本的運算能力.證明位置關系和求空間的角都有兩種方法，一是幾何的方法，一是向量的方法，各有特色，要根據具體情況靈活選擇，提高解析效率.20、（1）；（2）的分布列見解析；數學期望為；方差為【解題分析】

首先由莖葉圖統計出“幸福”的人數和其他人數，再計算概率．由莖葉圖知任選一人，該人幸福度為“幸福”的概率為，知道在該小區中任選一人該人幸福度為“幸福”的概率為，再計算即可．【題目詳解】(1)由莖葉圖可知，抽取的16人中“幸福”的人數有12人，其他的有4人；記“從這16人中隨機選取3人，至少有2人是“幸福”，”為事件.由題意得(2)由莖葉圖知任選一人，該人幸福度為“幸福”的概率為，的可能取值為0,1,2,3,顯然則；；；；所以的分布列為0123【題目點撥】本題考查莖葉圖、樣本估計總體、分布列、數學期望，屬于基礎題．21、（1）見解析；(2)0,2【解題分析】

（1）代入a的值，求出函數的單調區間，從而求出函數的極值即可；（2）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間，結合函數的零點個數確定a的范圍即可．【題目詳解】（1）當a=2時，f'x=2x-列表：x011f—0+f↘極小值f↗所以，當x=1時，fx有極小值f1=