2024屆河南省開封市高二數學第二學期期末質量檢測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．過拋物線的焦點F的直線交拋物線于A、B兩點，若，則（）A． B．1 C． D．22．已知拋物線的焦點為，準線為，是上一點，是直線與的一個交點，若，則（）A．8 B．4 C．6 D．33．已知雙曲線：與雙曲線：，給出下列說法，其中錯誤的是（）A．它們的焦距相等 B．它們的焦點在同一個圓上C．它們的漸近線方程相同 D．它們的離心率相等4．已知的展開式中沒有項，，則的值可以是（）A．5 B．6 C．7 D．85．給出命題①零向量的長度為零，方向是任意的．②若，都是單位向量，則．③向量與向量相等．④若非零向量與是共線向量，則A，B，C，D四點共線．以上命題中，正確命題序號是（）A．① B．② C．①和③ D．①和④6．給定下列兩個命題：①“”為真是“”為真的充分不必要條件；②“，都有”的否定是“，使得”，其中說法正確的是（）A．①真②假 B．①假②真 C．①和②都為假 D．①和②都為真7．從中不放回地依次取個數，事件表示“第次取到的是奇數”，事件表示“第次取到的是奇數”，則（）A．B．C．D．8．某學校為解決教師的停車問題，在校內規劃了一塊場地，劃出一排12個停車位置，今有8輛不同的車需要停放，若要求剩余的4個空車位連在一起，則不同的停車方法有()A．種 B．種 C．種 D．種9．已知，用數學歸納法證明時，從假設推證成立時，需在左邊的表達式上多加的項數為（）A． B． C． D．110．下列四個不等式：①；②；③；④，其中恒成立的個數是()A．1 B．2 C．3 D．411．中，，且，點滿足，則A． B． C． D．12．已知變量，滿足回歸方程，其散點圖如圖所示，則（）A．， B．，C．， D．，二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若滿足約束條件，則的最大值是_____．14．兩名狙擊手在一次射擊比賽中，狙擊手甲得1分、2分、3分的概率分別為0.4，0.1，0.5；狙擊手乙得1分、2分、3分的概率分別為0.1，0.6，0.3，那么兩名狙擊手獲勝希望大的是_________．15．某同學同時擲兩顆骰子，得到點數分別為a，b，則雙曲線的離心率的概率是______．16．由曲線,直線及軸所圍成的平面圖形的面積為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知復數（a，），（c，）.（1）當，，，時，求，，；（2）根據（1）的計算結果猜想與的關系，并證明該關系的一般性18．（12分）為了實現綠色發展，避免能源浪費，某市計劃對居民用電實行階梯收費.階梯電價原則上以住宅（一套住宅為一戶）的月用電量為基準定價，具體劃分標準如表：階梯級別第一階梯電量第二階梯電量第三階梯電量月用電量范圍（單位：kW?h）(0,200](200,400](400,+∞]從本市隨機抽取了100戶，統計了今年6月份的用電量，這100戶中用電量為第一階梯的有20戶，第二階梯的有60戶，第三階梯的有20戶.（1）現從這100戶中任意選取2戶，求至少1戶用電量為第二階梯的概率；（2）以這100戶作為樣本估計全市居民的用電情況，從全市隨機抽取3戶，X表示用電量為第二階梯的戶數，求X的概率分布列和數學期望.19．（12分）若存在常數（），使得對定義域內的任意，（），都有成立，則稱函數在其定義域上是“利普希茲條件函數”.（1）判斷函數是否是“利普希茲條件函數”，若是，請證明，若不是，請說明理由；（2）若函數（）是“利普希茲條件函數”，求常數的最小值；（3）若（）是周期為2的“利普希茲條件函數”，證明：對任意的實數，，都有.20．（12分）在直角坐標系xOy中，以原點O為極點，以x軸非負半軸為極軸，與直角坐標系xOy取相同的長度單位，建立極坐標系．設曲線C的參數方程為(θ為參數)，直線l的極坐標方程為ρcos＝2.(1)寫出曲線C的普通方程和直線l的直角坐標方程；(2)求曲線C上的點到直線l的最大距離．21．（12分）設分別為橢圓的左、右焦點，點為橢圓的左頂點，點為橢圓的上頂點，且.（1）若橢圓的離心率為，求橢圓的方程；（2）設為橢圓上一點，且在第一象限內，直線與軸相交于點，若以為直徑的圓經過點，證明：點在直線上.22．（10分）如圖，是圓柱的底面直徑且，是圓柱的母線且，點是圓柱底面面圓周上的點.（1）求證：平面；（2）當三棱錐體積最大時，求二面角的大小；（結果用反三角函數值表示）（3）若，是的中點，點在線段上，求的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

根據拋物線的定義，結合，求出A的坐標，然后求出AF的方程求出B點的橫坐標即可得到結論．【題目詳解】拋物線的焦點F（1，0），準線方程為，設A（x，y），則，故x=4，此時y=4，即A（4，4），則直線AF的方程為，即，代入得，解得x=4（舍）或，則，故選：C．【題目點撥】本題主要考查拋物線的弦長的計算，根據拋物線的定義是解決本題的關鍵．一般和拋物線有關的小題，可以應用結論來處理；平時練習時應多注意拋物線的結論的總結和應用。尤其和焦半徑聯系的題目，一般都和定義有關，實現點點距和點線距的轉化。2、D【解題分析】

設點、，由，可計算出點的橫坐標的值，再利用拋物線的定義可求出.【題目詳解】設點、，易知點，，，，解得，因此，，故選D.【題目點撥】本題考查拋物線的定義，解題的關鍵在于利用向量共線求出相應點的坐標，考查計算能力，屬于中等題．3、D【解題分析】由題知．則兩雙曲線的焦距相等且，焦點都在圓的圓上，其實為圓與坐標軸交點．漸近線方程都為，由于實軸長度不同故離心率不同．故本題答案選，4、C【解題分析】

將條件轉化為的展開式中不含常數項，不含項，不含項，然后寫出的展開式的通項，即可分析出答案.【題目詳解】因為的展開式中沒有項，所以的展開式中不含常數項，不含項，不含項的展開式的通項為：所以當取時，方程無解檢驗可得故選：C【題目點撥】本題考查的是二項式定理的知識，在解決二項式展開式的指定項有關的問題的時候，一般先寫出展開式的通項.5、A【解題分析】

根據零向量和單位向量的定義，易知①正確②錯誤，由向量的表示方法可知③錯誤，由共線向量的定義和四點共線的意義可判斷④錯誤【題目詳解】根據零向量的定義可知①正確；根據單位向量的定義，單位向量的模相等，但方向可不同，故兩個單位向量不一定相等，故②錯誤；與向量互為相反向量，故③錯誤；若與是共線向量，那么可以在一條直線上，也可以不在一條直線上，只要它們的方向相同或相反即可，故④錯誤，故選A.【題目點撥】向量中有一些容易混淆的概念，如共線向量，它指兩個向量方向相同或相反，這兩個向量對應的起點和終點可以不在一條直線上，實際上共線向量就是平行向量．6、D【解題分析】

由充分條件和必要條件的定義對①進行判斷，由全稱命題的否定是特稱命題對②進行判斷，從而得到答案。【題目詳解】對①，“”為真，則命題，都真，“”為真，則命題，至少一個為真，所以“”為真是“”為真的充分不必要條件，①為真命題；對②，全稱命題的否定是特稱命題，所以“，都有”的否定是“，使得”，②為真命題；故答案選D【題目點撥】本題考查命題真假的判定，屬于基礎題。7、D【解題分析】試題分析：由題意，，∴，故選D．考點：條件概率與獨立事件．8、A【解題分析】根據題意，要求有4個空車位連在一起，則將4個空車位看成一個整體，將這個整體與8輛不同的車全排列,有種不同的排法，即有種不同的停車方法；故選A.點睛：（1）解排列組合問題要遵循兩個原則：①按元素(或位置)的性質進行分類；②按事情發生的過程進行分步．具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)．（2）不同元素的分配問題，往往是先分組再分配．在分組時，通常有三種類型：①不均勻分組；②均勻分組；③部分均勻分組．注意各種分組類型中，不同分組方法的求解．9、B【解題分析】

分別計算和時的項數，相減得到答案.【題目詳解】時，，共有項.時，，共有項.需在左邊的表達式上多加的項數為：故答案選B【題目點撥】本題考查了數學歸納法，意在考查學生的計算能力.10、C【解題分析】

依次判斷每個選項的正誤，得到答案.【題目詳解】①，當時等號成立，正確②，時不成立，錯誤③，時等號成立.正確④，時等號成立，正確故答案選C【題目點撥】本題考查了不等式性質，絕對值不等式，均值不等式，綜合性較強，是不等式的常考題型.11、D【解題分析】分析：以點為原點，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立平面直角坐標系，求得點的坐標，利用向量的坐標運算即可求解．詳解：由題意，以點為原點，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立平面直角坐標系，則，設點，則，又由，所以，即，所以，所以，故選D．點睛：本題主要考查了向量的坐標表示與向量的坐標運算問題，其中恰當的建立直角坐標系，求得向量的坐標，利用向量的數量積的運算公式求解是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，以及推理與計算能力．12、D【解題分析】

由散點圖知變量負相關，回歸直線方程的斜率小于1；回歸直線在y軸上的截距大于1．可得答案.【題目詳解】由散點圖可知，變量之間具有負相關關系．

回歸直線的方程的斜率．

回歸直線在軸上的截距是正數．

故選：D【題目點撥】本題考查了散點圖與線性回歸方程的應用問題，是基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解題分析】

由約束條件作出可行域，化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優解，把最優解的坐標代入目標函數得答案．【題目詳解】解：作出約束條件表示的可行域如圖，化目標函數z＝x+2y為，聯立，解得A（1，2），由圖可知，當直線z＝x+2y過點（1，2）時，z取得最大值1．故答案為1．【題目點撥】本題考查線性規劃問題，考查數形結合的數學思想以及運算求解能力，是中檔題．14、乙【解題分析】分析：由題意分別求解數學期望即可確定獲勝希望大的狙擊手.詳解：由題意，狙擊手甲得分的數學期望為，狙擊手乙得分的數學期望為，由于乙的數學期望大于甲的數學期望，故兩名狙擊手獲勝希望大的是乙.點睛：本題主要考查離散型隨機變量數學期望的求解及其應用等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.15、【解題分析】

基本事件總數，由雙曲線的離心率，得，利用列舉法求出雙曲線的離心率包含的基本事件有6個，由此能求出雙曲線的離心率的概率．【題目詳解】某同學同時擲兩顆骰子，得到點數分別為a，b，基本事件總數，雙曲線的離心率，，解得，雙曲線的離心率包含的基本事件有：，，，，(1，，，共6個，則雙曲線的離心率的概率是．故答案為．【題目點撥】本題考查概率的求法，考查古典概型、列舉法、雙曲線性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．對于古典概型，要求事件總數是可數的，滿足條件的事件個數可數，使得滿足條件的事件個數除以總的事件個數即可.16、【解題分析】試題分析：由定積分知考點：定積分及其幾何意義三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），，（2）猜想，見解析【解題分析】

（1）由復數模的定義計算模，對，可先求出，再計算模；（2）由（1）猜測，用復數的一般形式進行證明即可．【題目詳解】（1）由題知，，所以所以（2）猜想證明：因為，，所以因為，所以，所以猜想成立.【題目點撥】本題考查復數的簡單運算和合情推理，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想，導向對發展數學抽象、邏輯推理、數學運算等核心素養的關注.18、（1）P(A)=139165【解題分析】分析：（1）設“從100戶中任意抽取2戶，至少1戶月用電量為第二階梯”為事件A，利用對立事件可求P(A).（2）從全市任取1戶，抽到用電量為第二階梯的概率P=6則X～B(3,35)，即可求出詳解：（1）設“從100戶中任意抽取2戶，至少1戶月用電量為第二階梯”為事件A，則P(A)=1-C（2）從全市任取1戶，抽到用電量為第二階梯的概率P=6所以X～B(3,35)X的分布列為X0123P(X=k)8365427E(X)=3×3點睛：本題考查離散型隨機變量分布列及其期望的求法，考查古典概型，屬基礎題.19、（1）不是；詳見解析（2）；（3）證明見解析.【解題分析】

（1）利用特殊值,即可驗證是不是“利普希茲條件函數”.（2）分離參數,將不等式變為關于,的不等式,結合定義域即可求得常數的最小值;（3）設出的最大值和最小值,根據一個周期內必有最大值與最小值,結合與1的大小關系,及“利普希茲條件函數”的性質即可證明式子成立.【題目詳解】（1）函數不是“利普希茲條件函數”證明:函數的定義域為令則所以不滿足所以函數不是“利普希茲條件函數”（2）若函數（）是“利普希茲條件函數”則對定義域內任意,（）,均有即設則,即因為所以所以滿足的的最小值為（3）證明:設的最大值為,最小值為在一個周期內,函數值必能取到最大值與最小值設因為函數（）是周期為2的“利普希茲條件函數”則若,則成立若,可設,則所以成立綜上可知,對任意實數,都成立原式得證.【題目點撥】本題考查了函數新定義及抽象函數性質的應用,對題意正確理解并分析解決問題的方法是關鍵,屬于難題.20、（1）（2）【解題分析】

試題分析：（1）利用兩角差的余弦公式及極坐標與直角坐標的互化公式可得直線l的普通方程；利用同角三角函數的基本關系，消去θ可得曲線C的普通方程．（2）由點到直線的距離公式、兩角和的正弦公式，及正弦函數的有界性求得點P到直線l的距離的最大值．試題解析：⑴由得，∴由得⑵在