[練案65]第四講隨機事件的概率A組基礎鞏固一、單選題1．(2019·湖北十市聯考)從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內任取2個球，那么互斥而不對立的兩個事件是(D)A．“至少有一個黑球”與“都是黑球”B．“至少有一個黑球”與“都是紅球”C．“至少有一個黑球”與“至少有一個紅球”D．“恰有一個黑球”與“恰有兩個黑球”[解析]A中的兩個事件是包含關系，不是互斥事件；B中的兩個事件是對立事件；C中的兩個事件都包含“一個黑球一個紅球”的事件，不是互斥關系；D中的兩個事件是互斥而不對立的關系．2．(2019·江西模擬)集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，從A，B中各任意取一個數，則這兩數之和等于4的概率是(C)A．eq\f(2,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,6)[解析]從A、B中各取一個數有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)共6種情況，其中和為4的有(2,2)，(3,1)，共2種情況，所求概率P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，選C.3．甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是eq\f(1,2)，甲獲勝的概率是eq\f(1,3)，則甲不輸的概率為(A)A．eq\f(5,6) B．eq\f(2,5)C．eq\f(1,6) D．eq\f(1,3)[解析]由題意得，甲不輸的概率為eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＝eq\f(5,6).4．(2019·山東濱州)若以連續擲兩次骰子分別得到的點數m、n作為點P的橫、縱坐標，則點P(m，n)落在直線x＋y＝4下方的概率為(C)A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,12) D．eq\f(1,9)[解析]試驗是連續擲兩次骰子，故共包含6×6＝36個基本事件．事件“點P(m，n)落在x＋y＝4下方”，包含(1,1)，(1,2)，(2,1)共3個基本事件，故P＝eq\f(3,36)＝eq\f(1,12).5．(2020·安徽模擬)若某公司從五位大學畢業生甲、乙、丙、丁、戊中錄用三人，這五人被錄用的機會均等，則甲或乙被錄用的概率為(D)A．eq\f(2,3) B．eq\f(2,5)C．eq\f(3,5) D．eq\f(9,10)[解析]事件“甲或乙被錄用”的對立事件是“甲和乙都未被錄用”，從五位學生中選三人的基本事件個數為10，“甲和乙都未被錄用”只有1種情況，根據古典概型和對立事件的概率公式可得，甲或乙被錄用的概率P＝1－eq\f(1,10)＝eq\f(9,10).6．在一次班級聚會上，某班到會的女同學比男同學多6人，從這些同學中隨機挑選一人表演節目．若選到女同學的概率為eq\f(2,3)，則這班參加聚會的同學的人數為(B)A．12 B．18C．24 D．32[解析]設女同學有x人，則該班到會的共有(2x－6)人，所以eq\f(x,2x－6)＝eq\f(2,3)，得x＝12，故該班參加聚會的同學有18人．故選B.7．(2019·赤峰模擬)先后拋擲硬幣三次，則至少一次正面朝上的概率是(D)A．eq\f(1,8) B．eq\f(3,8)C．eq\f(5,8) D．eq\f(7,8)[解析]至少一次正面朝上的對立事件的概率為eq\f(1,8)，故P＝1－eq\f(1,8)＝eq\f(7,8).8．袋中共有6個除了顏色外完全相同的球，其中有1個紅球、2個白球和3個黑球．從袋中任取兩球，兩球顏色為一白一黑的概率等于(B)A．eq\f(1,5) B．eq\f(2,5)C．eq\f(3,5) D．eq\f(4,5)[解析]P＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,3),C\o\al(2,6))＝eq\f(2,5).二、多選題9．若干個人站成排，其中不是互斥事件的是(BCD)A．“甲站排頭”與“乙站排頭”B．“甲站排頭”與“乙不站排尾”C．“甲站排頭”與“乙站排尾”D．“甲不站排頭”與“乙不站排尾”[解析]排頭只能有一人，因此“甲站排頭”與“乙站排頭”互斥，而B、C、D中，甲、乙站位不一定在同一位置，可以同時發生，因此它們都不互斥，故選BCD.10．不透明的口袋內裝有紅色、綠色和藍色卡片各2張，一次任意取出2張卡片，則與事件“2張卡片都為紅色”互斥而非對立的事件是(ABD)A．2張卡片都不是紅色B．2張卡片恰有一張紅色C．2張卡片至少有一張紅色D．2張卡片都為綠色[解析]從6張卡片中一次取出2張卡片的所有情況有“2張都為紅色”“2張都為綠色”“2張都為藍色”“1張紅色1張綠色”“1張紅色1張藍色”“1張綠色1張藍色”，在選項給出的四個事件中與“2張卡片都為紅色”互斥而非對立的事件有“2張卡片都不是紅色”“2張卡片恰有一張紅色”“2張卡片都為綠色”，其中“2張卡片至少有一張紅色”包含事件“2張卡片都為紅色”，二者并非互斥事件．故選ABD.11．(原創)下列結論不正確的是(ABCD)A．任意事件A發生的概率P(A)滿足0<P(A)<1B．概率為0的事件是不可能事件C．若A，B為互斥事件，則A的對立事件與B的對立事件一定互斥D．若P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，則事件A、B互斥[解析]事件A發生的概率P(A)滿足0≤P(A)≤1，A錯；在半徑為R的圓內任取一點，取到圓心的概率為0，但不是不可能事件，B錯；記擲一只骰子出現1點為事件A，出現2點為事件B，顯然A、B互斥，而eq\o(A,\s\up6(－))與eq\o(B,\s\up6(－))不互斥，C錯；事件A：在實數集中任取x，x≥0，事件B：在實數集中任取y，y≤0，顯然P(A)＋P(B)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝1＝P(A∪B)，而A、B不互斥，D錯；故選ABCD.三、填空題12．袋中共有6個除了顏色外完全相同的球，其中有1個紅球，2個白球和3個黑球．從袋中任取兩球，兩球顏色不同的概率為eq\f(11,15).[解析]記取出的兩球顏色不同為事件A，則P(A)＝eq\f(C\o\al(1,1)C\o\al(1,2)＋C\o\al(1,2)C\o\al(1,3)＋C\o\al(1,1)C\o\al(1,3),C\o\al(2,6))＝eq\f(11,15)(或P(A)＝1－P(A)＝1－eq\f(C\o\al(2,2)＋C\o\al(2,3),C\o\al(2,6))＝eq\f(11,15))．13．(2019·浙江模擬)從裝有3個紅球、2個白球的袋中任取3個球，則所取的3個球中至少有1個白球的概率是eq\f(9,10).[解析]所取3個球中至少有1個白球的取法可分為互斥的兩類：兩紅一白有6種取法；一紅兩白有3種取法，而從5個球中任取3個球的取法共有10種，所以所求概率為eq\f(9,10).另解：記取出的3個球中至少有一個白球為事件A，則P(A)＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝1－eq\f(1,10)＝eq\f(9,10).14．(2019·石家莊模擬)從一副混合后的撲克牌(52張，不含大小王)中，隨機抽取1張，事件A為“抽到紅桃K”，事件B為“抽得黑桃”．則P(A∪B)＝eq\f(7,26)(結果用最簡分數表示)．[解析]因為P(A)＝eq\f(1,52)，P(B)＝eq\f(13,52)，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,52)＋eq\f(13,52)＝eq\f(14,52)＝eq\f(7,26).故填eq\f(7,26).四、解答題15．(2020·湖南益陽、湘潭統測)為了了解某校學生課外時間的分配情況，擬采用分層抽樣的方法從該校的高一、高二、高三這三個年級中共抽取5個班進行調查，已知該校的高一、高二、高三這三個年級分別有18、6、6個班級．(1)求分別從高一、高二、高三這三個年級中抽取的班級個數；(2)若從抽取的5個班級中隨機抽取2個班級進行調查結果的對比，求這2個班級中至少有1個班級來自高一年級的概率．[解析](1)班級總數為18＋6＋6＝30，樣本容量與總體中的個體數比為eq\f(5,30)＝eq\f(1,6)，所以從高一、高二、高三這三個年級中分別抽取的班級個數為3,1,1.(2)從5個班級中隨機抽取2個班級共有Ceq\o\al(2,5)＝10種抽法，抽取的兩個班級中至少有一個班級來自高一年級的抽法有Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)＝9種抽法．故所求概率P＝eq\f(9,10).16．某險種的基本保費為a(單位：元)，繼續購買該險種的投保人稱為續保人，續保人本年度的保費與其上年度出險次數的關聯如下：上年度出險次數01234≥5保費0.85a1.251.51.752隨機調查了該險種的200名續保人在一年內的出險情況，得到如下統計表：出險次數01234≥5頻數605030302010(1)記A為事件：“一續保人本年度的保費不高于基本保費”，求P(A)的估計值；(2)記B為事件：“一續保人本年度的保費高于基本保費但不高于基本保費的160%”，求P(B)的估計值；(3)求續保人本年度平均保費的估計值．[解析](1)事件A發生當且僅當一年內出險次數小于2.由所給數據知，一年內出險次數小于2的頻率為eq\f(60＋50,200)＝0.55，故P(A)的估計值為0.55.(2)事件B發生當且僅當一年內出險次數大于1且小于4.由所給數據知，一年內出險次數大于1且小于4的頻率為eq\f(30＋30,200)＝0.3，故P(B)的估計值為0.3.(3)由所給數據得保費0.85a1.251.51.752頻率0.300.250.150.150.100.05調查的200名續保人的平均保費為0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋因此，續保人本年度平均保費的估計值為1.1925aB組能力提升1．(2017·北京春考)在“二十四節氣入選非遺”宣傳活動中，從甲、乙、丙三位同學中任選兩人介紹一年中時令、氣候、物候等方面的變化規律，那么甲同學被選中的概率為(D)A．1 B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)[解析]從甲、乙、丙三位同學中任選兩人有以下三種情況：(甲，乙)，(甲、丙)，(乙、丙)，其中含有甲的有兩種，所以甲同學被選中的概率為eq\f(2,3)，故選D.2．(2020·廣東湛江調研)從只讀過《飄》的2名同學和只讀過《紅樓夢》的3名同學中任取2人在班內進行讀后分享，則選中的2人都讀過《紅樓夢》的概率為(D)A．0.6 B．0.5C．0.4 D．0.3[解析]P＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))＝eq\f(3,10).3．(2019·江西宜春中學二模)五個人圍坐在一張圓桌旁，每個人面前放著完全相同的硬幣，所有人同時翻轉自己的硬幣．若硬幣正面向上，則這個人站起來；若硬幣正面朝下，則這個人繼續坐著．那么，沒有相鄰的兩個人站起來的概率為(C)A．eq\f(1,2) B．eq\f(15,32)C．eq\f(11,32) D．eq\f(5,16)[解析]設五個人的編號分別為1,2,3,4,5，由題意，所有事件共有25＝32種，沒有相鄰的兩個人站起來的基本事件有(1)，(2)，(3)，(4)，(5)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，(2,5)，(3,5)以及沒有人站起來，共11種情況，所以沒有相鄰的兩個人站起來的概率為eq\f(11,32)，故選C.4．(2019·湖南五十校聯考)齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬，田忌的中等馬優于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬，田忌的下等馬劣于齊王的下等馬．現從雙方的馬匹中隨機各選一匹進行一場比賽，則田忌的馬獲勝的概率為(A)A．eq\f(1,3) B．eq\f(4,9)C．eq\f(5,9) D．eq\f(2,3)[解析]記齊王的三匹馬分別為a1，a2，a3，田忌的三匹馬分別為b1，b2，b3，齊王與田忌賽馬，其情況有(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，b3)共9種；其中田忌的馬獲勝的情況有(a2，b1)，(a3，b1)，(a3，b2)共3種．則田忌的馬獲勝的概率為eq\f(3,9)＝eq\f(1,3)，故選A.5．(2017·課標全國Ⅲ)某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完．根據往年銷售經驗，每天需求量與當天最高氣溫(單位：℃)有關．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區間[20,25)，需求量為