強基聯盟23屆新高三摸底大聯考

數學（文科）

考生注意：

1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘.

2.答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內項目填寫清楚.

3.考生作答時，請將答案答在答題卡上，選擇題每小題選出答案后，用2B鉛

筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水

簽字筆在答題卡上各題的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效，在

試題卷、草稿紙上作答無效.

4.本命題范圍：人教版必修5,選修1-1,選修1-2,選修4-4,選修4-5.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項

中，只有一項是符合題目要求的.

I.甲、乙、丙、丁四位同學分別對一組變量進行線性相關試驗，并分別計算出相關指數

R2,則線性相關程度最高的是（）

甲乙丙J-

R120.870.910.580.83

A.甲B.乙C.丙D.T

【答案】B

【解析】

【分析】利用相關指數R?的性質，通過比較四位同學的R2,即可得到線性相關程度最高

的同學

【詳解】R2越接近于I,兩個變量的線性相關程度越高.

0.91>0.87>0.83>0.58,則線性相關程度最高的是乙

故選：B.

1,

2.已知命題p：HxeH,使得e*+x+],則「〃為（）

1,1,

A.VxGR>e'<—x~+x+1B.VxGR,e'<-x~+x+1

22

1,1,

C./?（e><—x~+x+lD.HXG7?,eA<—x+x+l

22

【答案】A

【解析】

【分析】根據命題的否定即可求解.

【詳解】解：根據命題的否定可知，力為VxeR,ex<-x2+x+l.

2

故選：A.

3.若復數：z=i（3-2i）（i是虛數單位），則z=（）

A.—2+3iB.2+3iC.3+2iD.3一2i

【答案】B

【解析】

【分析】根據復數的乘法，可直接得出結果.

【詳解】z=i（3-2i）=3i-2i2=2+3i

故選：B

4.下面幾種推理是類比推理的是（）

A.由“周長為定值的長方形中，正方形的面積最大”，推測“在表面積為定值的長方體中，

正方體的體積最大”

B.三角形中大角對大邊，若AABC中，ZABC>ZBAC,則AC>8C

C.由F+23=32,「+23+33=62,…，得到『+23+33+型+53+63=2『

D.一切偶數都能被2整除，22°22是偶數，所以22儂能被2整除

【答案】A

【解析】

【分析】由類比推理、演繹推理、歸納推理的定義依次判斷即可.

【詳解】對于A,由平面圖形的性質推測出空間幾何體的性質，為類比推理，A正確；

對于B,為演繹推理，B錯誤：對于C,為歸納推理，C錯誤；對于D,為演繹推理，D錯

誤.

故選：A.

5.在等差數列｛4｝中，％+%+。9=72,則4=（）

A.12B.18C.24I）.36

【答案】C

【解析】

【分析】設等差數列｛凡｝的公差為d，利用等差數列的通項公式結合已知條件可求得4

的值.

【詳解】設等差數列｛%｝的公差為d,

則％+%+%=(4+d)+(4+6d)+(q+8d)=3(q+54)=34=72,

因此，4=24.

故選：C

&是“lna<ln〃”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】根據必要不充分條件的定義及對數的定義即可判斷.

【詳解】解：由lna<ln/?,可得0<。<》，所以)時，所以必要性成立；

當Ji時，在a<Z?<0的情況下，Inaclnb不成立，所以充分性不成立.

故")</”是"Ina<Inb”的必要不充分條件.

故選:B.

7.曲線y=xe'+2x—2在x=0處的切線方程是()

A.3x+j+2=0B.2x+y+2=0

C.2x-y-2=0D.3x-y-2=0

【答案】D

【解析】

(分析】利用導數的幾何意義去求曲線y=xe'+2x-2在x=0處的切線方程

【詳解】y=xex+2x-2,則y'=(x+l)e'+2,

當x=0時，y=-2,弁=3,

所以切線方程為y-(-2)=3x,即3》一y-2=().

故選：D.

8.已知i為虛數單位，若匕處(/〃eR)是實數，則|〃z+2i|=()

A.2B.-2C.亞D.-75

【答案】C

【解析】

【分析】先對復數一「（meR）化簡，然后由其為實數可求出m,從而可求出加+2i|

1—i

(l+mi)(l+i)\-m1+m

------------------+-------i.

(l-i)(l+i)22

1+nq\1+m

因為-----是實數，所以——=0,解得加=一1,

1-i2

所以帆+2i|=|—l+2i|=6.

故選：C

9.在平面直角坐標系中，已知直線4：Ax+4y+G=0,/2：4x+82y+G=0,若

/114,則44+4與=°?類比可得在空間直角坐標系中，平面?+2y+2z-4=o與

平面3x+5y+az+l=0垂直，則實數a的值為（）

106

A.-2B.---C.--D.-5

35

【答案】A

【解析】

【分析】根據平面線線垂直性質類比空間面面垂直的性質進行求解即可.

【詳解】類比可得，若平面Ax+4y+Gz+A=0與平面42%+與丁+。22+。2=0垂

直，

則A4+B]B,+C[C,=0，

所以由平面分+2y+2z-4=0與平面3x+5y+az+l=0垂直可得3a+2x5+2a=0,

解得“=-2.

故選：A

2

10.已知點尸是雙曲線》2-21=1右焦點，點P是雙曲線上在第一象限內的一點，且

8

尸尸與x軸垂直，點Q是雙曲線漸近線上的動點，則|PQ|的最小值為（）

A.272+-B.2^2----

3C1-呼

1+誕

3

【答案】B

【解析】

【分析】由雙曲線的方程可得點尸坐標及漸近線方程，進而求得點尸坐標，利用點到直線

的距離公式即可求解.

【詳解】解：由雙曲線方程可得，點F坐標為（3,0）,將x=3代入雙曲線方程，得

y=±8,

由于點尸在第一象限，所以點P坐標為（3,8）,

雙曲線的漸近線方程為2缶土y=0,點P到雙曲線的漸近線的距離為.

3

Q是雙曲線漸近線上的動點，所以|PQ|的最小值為包|二^=2啦-|.

故選：B.

11.對于一個數的三次方，我們可以分解為若干個數字的和：13=1.23=3+5，

33=7+9+11，43=13+15+17+19，…，根據上述規律，25,的分解式中等號右邊的

所有數中最大的數為（）

A.325B.323C.649D.647

【答案】C

【解析】

【分析】直接由題目所給數據總結規律，按照規律即可求解.

【詳解】觀察可知，等號右邊的所有數中最大的數依次為1,5,11,19,滿足

12,22+1,32+2,42+3,

由規律可知，25,的分解式中等號右邊的所有數中最大的數為252+24=649.

故選：C.

2222

12.已知橢圓G：0+方=1（。＞匕＞0）和雙曲線。2：2r=1（加＞0,〃＞0）有共

同的焦點片，尸2，P是它們在第一象限的交點，當/"P鳥=60。時，C與G的離心率互

為倒數，則雙曲線G的離心率是（）

A.V2B.V3C.2D.y/5

【答案】B

【解析】

【分析】由橢圓的定義和雙曲線的定義結合余弦定理得

4c2=（?+m）'+（a—m）'—2（?+m）（a—m）cos60°,化簡后兩邊同除以不，得

,13

4=/+/,再由e?=1可求出02

【詳解】設C,C2的離心率分別為6,4焦距為2c,

因為|P制+|P段=2?,|尸制-歸聞=2〃?，

所以歸制=。+〃2,儼閭=4一〃,2

由余弦定理，得忻用2=忸用，|「入『一2|以訃歸國cosNFJPE,

即4c2=(a+m)-+^a—m)~-2(tz+m)(a—m)cos60°,

“13

化簡，得4c2="+3m2,兩邊同除以。2,得4=方+丁.

G02

,23

又e?=l,所以4=紇+二

€2

又《2>1,所以弓=6.

故選：B

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.若函數/(幻=]—/⑴了2_1,則/⑴的值為.

【答案】:

【解析】

【分析】由賦值法求解

【詳解】/'(乃=/一2礦⑴，令x=l得/'⑴=1—2/'⑴，得/⑴=；,

故答案為：!

3

'%>1

14.已知實數x,y滿足約束條件<x+y<2,則2x+y的最小值是..

x—3y<0

7

【答案】-

3

【解析】

【分析】作出不等式組的可行域，再令z=2x+y,得到y=-2x+z,做出直線

y=-2x,向上平移到點即可得出2x+y的最小值.

x>\

【詳解】作出滿足約束條件，x+y<2,的可行域如圖陰影部分所示：

x-3y<0

令z=2x+y,得到y=-2x+z,做出直線y=-2x,

x=l（

向上平移到點A,即《「八解得：4%，

九一3y=0I3）

7

所以2x+y有最小值為y.

7

故答案為：一.

3

15.在各項均為正數的等比數列｛《,｝中，若為=4,則4+為+%的最小值為.

【答案】12

【解析】

【分析】由題意得4>0，根據等比數列的性質=a；和基本不等式

a6+a^>2544即得.

【詳解】由題意得4>0,?.?｛%｝是等比數列，.?.4/=%2=16,

又Q4,+[22向]=2，話=8,當且僅當4=/=4時，等號成立，

。6+%+。8的最小值為12.

故答案為：12.

16.關于x的方程/+方一匕=o,有下列四個命題：甲：x=5是方程的一個根；乙：

x=3是方程的一個根；丙：該方程兩根異號；丁：該方程兩根之和為4.若四個命題中只

有一個假命題，則假命題是.

【答案】乙

【解析】

【分析】因為四個命題中只有一個假命題，所以分別分析甲、乙、丙、丁其中一個是假命

題的情況即可得出答案.

【詳解】若甲是假命題，則乙丙丁是真命題，則x=3是方程/+"一。=0的一個根，由

于兩根之和為4,則另一根為1,兩根同號、與丙是真命題矛盾，不滿足題意；

若乙是假命題，則甲丙丁是真命題，則x=5是方程V+田:一匕=。的一個根，由于兩根之

和為4,則該方程的另一根為-1,兩根異號，滿足題意；

若丙是假命題，則甲乙丁是真命題，則方程/+奴一。=0的兩根為3和5,兩根之和為

8,與丁是真命題矛盾，不滿足題意；

若丁是假命題，則甲乙丙是真命題，則方程f+以一2=0的兩根為3和5,兩根同號，與

丙是真命題矛盾，不滿足題意.

綜上所述，乙命題為假命題.

故答案為：乙.

三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題

為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據要求作

答.

(-)必考題：共60分.

17.為推動實施健康中國戰略，樹立國家大衛生、大健康觀念，手機APP也推出了多款健

康運動軟件，如“微信運動”，某運動品牌公司280名員工均在微信好友群中參與了“微信運

動”，且公司每月進行一次評比，對該月內每日運動都達到10000步及以上的員工授予該月

“運動達人”稱號，其余員工均稱為“參與者為了進一步了解員工們的運動情況，選取了

員工們在3月份的運動數據進行分析，統計結果如下：

運動達人參與者合計

男員工120160

女員工40

合計280

(1)請補充完2x2列聯表；

(2)根據2x2列聯表判斷是否有90%的把握認為獲得“運動達人”稱號與性別有關?

n(ad-bc\

參考公式：K?=其中n=a-\-h+c+d.

(a+O)(c+d)(a+c)(O+d)

臨界值表:

2

P(K>k0)0.150.100.050.01

即2.0722.7063.8416.635

【答案】（1）表格見解析

（2）沒有90%的把握認為獲得“運動達人”稱號與性別有關

【解析】

【分析】（1）根據題干所給數據完善列聯表；

（2）計算出卡方，即可判斷；

【小問1詳解】

解：依題意可得2x2列聯表如下：

運動達人參與者合計

男員工12040160

女員工8040120

合計20080280

【小問2詳解】解：由列聯表可得K?=28。。2吆。心必）=2333<2706，

200x80x160x120

所以沒有90%的把握認為獲得“運動達人”稱號與性別有關.

18.如圖，在平面四邊形A8CZ）中，若A8=6,BC=10,CD=12,NABC=120。，

ZACB=ZACD.

（1）求cosZBCD的值；

（2）求AO的長度.

71

【答案】⑴7

（2）AD=2百

【解析】

【分析】（1）在AABC中，由余弦定理得AC=14,由正弦定理得sinN8CA=3?，再

14

根據二倍角公式求解即可得cosNBC￡>=—；

98

13

(2)結合(1)得cosNBC4=一,進而在八48中，根據余弦定理得AO=2近.

14

【小問1詳解】

解：在AABC中，因為AB=6,BC=10,NA5C=120°,

由余弦定理，nT#AC2=AB2+5C2-2xABxBCxcosZABC=196，

所以AC=14.

ABAC

又由正弦定理可得

sinZBCAsinZABC

w、一AB-sinl20。3K

所以smZBCA=---------------=——.

AC14

,71

所以cosZBCD=l-2sin2ZBCA=—

98

【小問2詳解】

解：由(1),因為NBC4為銳角，可得cosNBCA=一sir?NBC4=」.

14

在/\ACD中，根據余弦定理，可得AD2=AC2+CD2-2ACCD-cosZBCA

=142+122-2xl4xl2x—=28,

14

所以AO=2jy.

19.已知函數/("=?3―灰2_9*_]在》=_]處取得極值4

(1)求a,方的值；

(2)若存在xe[2,4],使34—%2之/(力成立，求實數義的取值范圍.

【答案】(1)a=l,b=3

(2)H，7]

【解析】

【分析】(1)利用題給條件列出關于“，匕的方程組，解之并進行檢驗后即可求得。，匕的

值；

(2)利用題給條件列出關于實數X的不等式，解之即得實數4的取值范圍.

【小問1詳解】

/(x)=ar3-fex2-9x-l,則f'(x)=3ax2-2bx-9.

因為函數/(司=加一展2-9X-1在尤=一1處取得極值4,

Q=1

所以3。+2/?-9=0,—。―/7+9—1=4,解得《

b=3

此時/'（x）=3%2-6x-9=3（x+l）（x-3）.

易知/（x）在（YO,-1）上單調遞增，在（-1,3）上單調遞減，在（3,+8）上單調遞增，

則》=-1是函數/（X）的極大值點，符合題意.故。=1,b=3.

【小問2詳解】

若存在xe[2,4],使3%—力2/（力成立，則“一萬對了⑴焉.

由（1）得，/（x）=x3-3x2-9x-\,

且〃x）在[2,3）上單調遞減，在（3,4]上單調遞增，

所以=/G）=27—27—27—1=一28,

所以32—幾2之一28，即兄2一32—28W0,解得一44/1<7，

所以實數2的取值范圍是[T,7].

20.網購是現代年輕人重要的購物方式，截止：2021年12月，我國網絡購物用戶規模達

8.42億，較2020年12月增長5968萬，占網民整體的81.6%.某電商對其旗下的一家專營

店近五年來每年的利潤額外（單位：萬元）與時間第4年進行了統計得如下數據：

412345

2.63.14.56.88.0

（1）依據表中給出的數據，是否可用線性回歸模型擬合y與/的關系？請計算相關系數r

并加以說明（計算結果精確到0.01）.（若“20.75,則線性相關程度很高，可用線性回歸

模型擬合）

（2）試用最小二乘法求出利潤y與時間r的回歸方程，并預測當，=7時的利潤額.

力（4-?。▂-y）為的-兩

右=『--------------------------，a^y-bT.

刀-〃尸

/=]/=!

2

參考數據：j>/=89.5,回,Jy（y,-y）=A/21.86,

；=Iviy篇

5/218.6?14.785.

【答案】（1）0.98,y與f的線性相關程度很高，可以用線性回歸模型擬合.

（2）夕=1.45，+0.65,10.8萬元.

【解析】

【分析】（1）先利用公式計算出相關系數r,再按要求進行比較，進而得到結果；

（2）先利用公式求得從a-得到利潤y與時間/的回歸方程，進而預測當，=7時的利潤

額.

【小問1詳解】

由題表，T=gx(l+2+3+4+5)=3,y=^x(2.6+3.1+4.5+6.8+8.0)=5

因6b=89.5,快一7丫=回,JE(x-y)2=V2h86-

5

14.514.5

所以「=卜、卜，x0.98>0.75

V218.614.785

Vz=iV/=i

故y與r的線性相關程度很高，可以用線性回歸模型擬合.

【小問2詳解】

5

,2注一51145A_

b=y--------=--=1.45,a=y-bT=5-1.45x3=0.65,

刀-5尸10

i=\

所以9=1.45/+0.65.當方=7時，$=1.45x7+0.65=10.8.

預測該專營店在t=7時的利潤為10.8萬元.

21.已知拋物線C：、2=2，%（0>0）的焦點為尸，直線y=2x—2被拋物線C截得的弦

長為5.

（1）求拋物線C的方程；

（2）已知點A,8是拋物線C上異于原點O的不同動點，且直線和直線的斜率之

和為-2,過點尸作直線AB的垂線，垂足為“，是否存在定點P,使得線段P"的長度為

定值？若存在，求出點P的坐標及線段PH的長；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）y2=4x

⑵存在，嗚，T），Y

【解析】

【分析】（1）設直線y=2x-2與拋物線交于加（司,乂），N（%,〉2）兩點，兩方程聯

立，得

利用韋達定理代入|MN|=-=5，可得答案；

<2\/2\

（2）設直線A8的方程為％=緲+匕A，B區,以，直線AB的方程與拋

[r471r4y

k4-k=上L+-=-2

物線方程聯立，利用韋達定理代入°入以一區甚一可得。=2相，從而得到

直線AB恒過定點。（0,-2）,利用FHLDH得點”在以線段。尸為直徑的圓上，取。F

的中點尸，得|P”|=g|DF上手，可得存在定點尸，求得線段P4的長度.

【小問1詳解】

設直線"2%-2與拋物線C丁=2〃尢交于用（4乂），N（%,%）兩點.

聯立<；；_2px，得2f-（4+p）x+2=0,

因為〃>0,所以八=（4+〃）2-16=〃2+8〃>0恒成立，

4+p

\+x2=,無也=1，

2

所以\MN\=Vl+2|x,-x2|=逐J（X[+*2）2-4%]%2=,J[+"=5,

解得p=2（p=T0舍去）.

所以拋物線C的方程為y2=4x.

【小問2詳解】

由題意分析可知，直線AB的斜率不為0,

不妨設直線AB的方程為x=A半，為，B2,為，

I4）I4

y2=4x

聯立《得y20一4m丁-4/=0,

x=my+t

△=16m2+16/>0，即/7?+1>（）,

y3+y4=4m,y3y4=-4t,

y3y4_44_4（y+y）_16/n

k+k-----f----------T-------------3-----4---------

KOAT八08

￥￡%%為%—4f

44

所以，=2w，所以直線AS的方程為X=m)，+2〃z,即％=〃?(、+2),

所以直線AB恒過定點1)(0,-2),

因為尸(1,0),FH±AB，即￡WZ)〃，

所以點，在以線段。尸為直徑的圓上，

取OF的中點P,則P(；,-1),

|P//|=1|￡>F|=|XV12+22

所以存在定點P，使得線段尸”的長度為定值，點P的坐標為

線段P”的長度為更.

2

(二)選考題：共10分.請考生在第22、23兩題中任選一題作答.如果多做，則

按所做的第一題計分.

選修4-4：坐標系與參數方程

x=1+cosa

22.在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為〈°.(a為參數).以。為