2023年江西省贛州市普通高校對口單招數

學自考真題(含答案)

學校:班級:姓名:考號:

一、單選題(10題)

1.如下圖所示，轉盤上有8個面積相等的扇形，轉動轉盤，則轉盤停止

轉動時，指針落在陰影部分的概率為()

A.l/8B.1/4C.3/8D.1/2

2.若等差數列｛a“中，ai=2,a5=6,則公差d等于()

A.3B.2C.1D.0

3.一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體可以是0

/\/\

A.棱柱B.棱臺C.圓柱D.圓臺

4.h，12,13是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是()

A.L_LL「hW/h

B.l,±l2,V/13,1^13

C.L/ZV/WJ,h共面

D.L,b,h共點L,12,b共面

5集合n,2,?共有()個子集。

A.7B.8C.6D.5

若cosa<0，tana<0,則a是

6.

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

7.若f(x)=l/logi/2(2x+l),則f(x)的定義域為()

A.(-1/2,0)B.(-l/2,+oo)C.(-l/2,0)U(0,+oo)D.(-l/2,2)

8.下列函數中，既是奇函數又是增函數的是

1

J'=__K

A.

1

y-_

x

B.

v=Zr1

C.

D.y=3x

9.直線以他互相平行的一個充分條件為（）

A.以昌都平行于同一個平面

B.心與同一平面所成角相等

C.4平行于4所在平面

D.VJ都垂直于同一平面

10.設集合4=卜k是等腰二角形）,5=,則（）

A.A,B的都是有限集B.A,B的都是無限集C.A是有限集，B是無限

集D.B是有限集，A是無限集

二、填空題（10題）

/2e*-3.*V3?

11.已知函數'■”--則f（f（3））=.

12.已知數列｛aQ是各項都是正數的等比數列，其中a2=2,34=8,則數

列｛a“的前n項和Sn=.

-函數f（-V）=3sin4、的最小正周期為

14.若f(x)=2x3+l,則f(l)=o

15.到x軸的距離等于3的點的軌跡方程是.

16.如圖所示的程序框圖中，輸出的S的值為

17.拋物線2y=x的焦點坐標是.

18.已知函數f(x)=ax3的圖象過點(-1,4),則2=

19.算式虎飛)"飛"的值是

20.雙曲線x2/4-y2/3=l的離心率為

三、計算題(5題)

21.某小組有6名男生與4名女生，任選3個人去參觀某展覽，求

(1)3個人都是男生的概率；

(2)至少有兩個男生的概率.

22.從含有2件次品的7件產品中，任取2件產品，求以下事件的概率.

⑴恰有2件次品的概率Pi；

⑵恰有1件次品的概率P2.

1

f(x)+3f(—)=x.

23.已知函數f(x)的定義域為{x|xH0},且滿足x

(1)求函數f(x)的解析式；

(2)判斷函數f(x)的奇偶性，并簡單說明理由.

1—X

己知函f(x)=loga------，(a>0且a*)

24.1+x

(1)求函數f(x)的定義域；

(2)判斷函數f(x)的奇偶性，并說明理由。

25.設函數f(x)既是R上的減函數，也是R上的奇函數，且f(l)=2.

(1)求f(-l)的值；

(2)若f(t2-3t+l)>-2,求t的取值范圍.

四、簡答題(10題)

ax2+1

f(x)=

26.設函數bx+c是奇函數(a,b,cez)且f(1)=2,f(2)<

3.

(1)求a,b,c的值;

(2)當x<0時，判斷f(x)的單調性并加以證明.

27.已知集合尸=山"),。=若F=求x,y的值

X31

--4*V3=1

28.拋物線的頂點在原點，焦點為橢圓5'的左焦點，過點M(-

1,-1)引拋物線的弦使M為弦的中點，求弦長

21

29.由三個正數組成的等比數列，他們的倒數和是正，求這三個數

30.己知邊長為a的正方形ABCD,PA_L底面ABCD,PA=a,求證,

PC_LBD

31.某籃球運動員進行投籃測驗，每次投中的概率是0.9,假設每次投籃

之間沒有影響

(1)求該運動員投籃三次都投中的概率

(2)求該運動員投籃三次至少一次投中的概率

Jl-co$a

+smaJ-------

32.已知a是第二象限內的角,Vl+cosa

1+sin26

sm6+cos6

33.求證8+cos6

34.點A是BCD所在平面外的一點，且AB=AC,BAC=BCD=90。,

BDC=60°,平面ABC_L平面BCD。

(1)求證平面ABD_L平面ACD；

(2)求二面角A-BD-C的正切值。

A

D

-2ae信、國為

35.已知cos=%,1-，,，求cos，、「’的值.

五、解答題(10題)

36.已知橢圓C的對稱中心為原點O,焦點在x軸上，左右焦點分別為

Fi和F2,且|FR|=2,點(1,3/2)在該橢圓上.

(1)求橢圓C的方程；

⑵過Fi的直線L與橢圓C相交于A,B兩點，以F2為圓心"’為半徑

的圓與直線L相切，求4AF2B的面積.

已知cosa=—，且ae(一J，0)，求tan2a

37.32

38.已知橢圓C的重心在坐標原點，兩個焦點的坐標分別為R(4,0),

F2(-4,0),且橢圓C上任一點到兩焦點的距離和等于10.求：

⑴橢圓C的標準方程；

(2)設橢圓C上一點M使得直線FiM與直線F2M垂直，求點M的坐

標.

39.

已知S,是等差數列｛4｝的前〃項和，且q=-L.*=15.

《1)求心；(2)令以=2%("=1.2,3.|.),計算々也和4,由此推測數列竹“｝

是等差數列還是等比數列，證明你的結論.

n

40.已知等差數列⑶｝的公差為2,其前n項和Sn=pn+2n,neN

(1)^<P的值及an;

(2)在等比數列｛bn｝中,b3=ai,b4=a2+4,若｛、｝的前n項和為Tn,求

證：數列｛Tn+1/6｝為等比數列.

41.已知f(x)=x3+3ax2+bx+a2(a>1)^￡x=—1時有極值0.

⑴求常數a,b的值；

(2)求f(x)的單調區間.

42.已知函數f(x)=sinx+cosx,x￡R.

⑴求函數f(x)的最小正周期和最大值；

(2)函數y=f(x)的圖象可由y=sinx的圖象經過怎樣的變換得到？

43.已知橢圓C:x2/a2+y2/b2=l(a>b>0)的兩焦點分別FiE點P在橢圓C

上，且NPF2FI=90°,|PFI|=6,|PF2|=2.

(1)求橢圓C的方程；

(2)是否存在直線L與橢圓C相交于A、B兩點，且使線段AB的中點

恰為圓M:x2+y2+4x-2y=0的圓心，如果存在，求直線1的方程；如果不

存在，請說明理由.

.已知函致/(x)=Lr_al—+?,Ae[1.6],a&R,

x

(I)若。=1,試劌新并證時后敦/(X)的單翦住；

cnjia(iA)M.求史數的最大值的泉泛式，i/s).

44.€

45.如圖，在三棱錐A-BCD中，AB_L平面BCD,BC_LBD,BC=3,

BD=4,直線AD與平面BCD所成的角為45。點E,F分別是AC,AD

的中點.

⑴求證:EF//平面BCD;

(2)求三棱錐A-BCD的體積.

六、單選題（0題）

在平行四邊形八BCD中.M為（7）中點.杵/A

461寸，，".叼〃的值為（

A.1/4B.1/3C.1/2D.1

參考答案

1.D

本題考查幾何概型概率的計算。陰影部分的面積為圓面的一半，由幾

何概型可知P=l/2o

2.C

等差數列的性質.a5=ai+4d=2+4d=6,d=l.

3.D

空間幾何體的三視圖.從俯視圖可看出該幾何體上下底面為半徑不等的

圓，正視圖與側視圖為等腰梯形，故此幾何體為圓臺.

4.B

判斷直線與直線，直線與平面的位置關系.A項還有異面或者相交，

C、D不一定.

5.B

6.B

7.C

函數的定義域現I/2（2X+1）和,所以2x+l>0,2x+"l.所以x￡（-l/2,0）U

（0,+co）.

8.D

9.D

根據直線與平面垂直的性質定理，D正確。

10.B

由于等腰三角形和(0,1)之間的實數均有無限個，因此A,B均為無限

集。

11.2e-3.函數值的計算.由題意得，f(3)=log3(9-6)=l,所以f(f(3))=f⑴=2e-

3.

等比數列前〃項和公

式.設等比數列儲”｝的苜項為1>0),公比

aI(J=2

為q(q>0),由題意得因為5>0.g

ciiq'—8

>0,所以5=1，9=2,所以數列儲“)的前”項

和S.=等二工

i2.2n-i-q

13.71/2

14.3

f(1)=2+1=3.

15.y=±3,點到x軸的距離就是其縱坐標，因此軌跡方程為丫=±3。

16.11/12

流程圖的運算.分析程序中各變量、各語句的作用，再根據流程圖所示

的順序，可知：該程序的作用是累加并輸出S=l/2+l/4+l/6的值，由于

1/2+1/4+1/6=11/12故答案為：11/12

17.

(8,0),因為p=l/4,所以焦點坐標為

18.-2函數值的計算.由函數f(x)=ax3-2x過點(-1,4),得4=a(-l>-2x(-

1),解得a=-2.

1

11/1\3

162+(-)-o2--=4+9-2=11

19.11,因為3，所

以值為Ho

篦=4,6=/+/=7,=77,e=-

互立“

2O.e=2雙曲線的定義.因為一萬.

21.

解：(1)3個人都是男生的選法：Cl

任意3個人的選法：

C1

3個人都是男生的概率：Pn=Fl=%

(2)兩個男生一個女生的選法：C：C；

2cl2

66=

至少有兩個男生的概率P=C3~3

22.

I；；2：?］有2件次品.5件合格品

3)恰有2件次品的概率為

片=2=上

C；21

(2)恰有1件次品的概率為

P?=GCio

C；21

23.

(i)依題意有

/(x)+3/(l)=x

X

足)+3/(x)」

XX

解方程組可得:

3—X’

/(x)=^.

8x

(2)函數/(x)為奇函數

???函數/(x)的定義域為卜卜00｝關于原點對稱,且

“3=立3—(—才X)=一3—式x2一⑸、

函數/(x)為奇函數

24.

解：(1)由題意可知：---->0,解得：-1<.V<1?

1+x

函數/(X)的定義域為xe(-l,1)

(2)函數/(x)是奇函數，理由如下：

/(-x)=電TV；=噫；-=一蜒。1-=一/㈤，

1+(-X)l-x1+X

.4.函數/(X)為奇函數

25.解：

(1)因為f(x)=在R上是奇函數

所以f卜x)=-f(x),f(-1)=-f⑴=-2

(2)f(t2-3t+1)>-2=f(-1)

因為2)=在R上是減函數,t2-3t+1<-1

所以1<t<2

26.

:函陽(x)=竽二也是奇函數/(x)=-/(-x)

ax2+1_ax2+1

-bx-￥cbx+c.,.得2c=0.,.得c=0

又「由f(1)=2.,.得b

"<32

又Yf(2)<3；.b.?.得0<b<2

八、x3+l

/(x)=----

Vbez.\b=l.*/x

(2)設一ivxivxzv。

=(^-^)(1--)

?/X2>X1：.x2-1>Vr>0/（x2）-/（X1）<0

若近<右<7時/后）?/a】）〉o

故當XV-1時為增函數；當一isxvo為減函數

27.

解："=Q

ly=x，

x/ii9

29.設等比數列的三個正數為1,a,aq

—+a+o^=t2li—+-+-=—

由題意得gaaa4\6

解得，a=4,q=l或q=4

解得這三個數為1,4,16或16,4,1

30.證明：連接AC

PAJ_平面ABCD,PC是斜線，BD1AC

PC1BD(三垂線定理)

31.(1)P=0.9x0.9x0.9=0.729

(2)p=1-0.1x0.1x0.1=0.999

32.

小?(1-sina)(1-cosa)

解:原式=cosa-----；~~—；----；-+sina

(14sma)(1-sma)cosi)(l-cosa)

=coso-1l_sina」+sjna」_.cosaa是第一象限角

|cosa||sinaI

33.

證明:左邊=l+2sm6"g=sin6+cos。=右邊

sindcosd

等式成立

34.分析：本題考查面面垂直的證明，考查二面角的正切值的求法。

(1)推導出CDLAB,AB±AC,由此能證明平面ABD,平面

ACDo

(2)取BC中點O,以O為原點，過O作CD的平行線為x軸，OC

為y軸，0A為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角

A-BD-C的正切值。

解答：

證明：（1）?.?面ABCJ_底面BCD,ZBCD=90°,面ABCfl面

BCD=BC,y

.?.CD_L平面ABC,ACD±AB,

VZBAC=90°,AAB±AC,

VACACD=C,

平面ABD，平面ACDo

解：（II）取BC中點O,I?面ABC_L底面BCD,NBAC=90。，

AB=AC,

.\AO±BC,.'.AO,平面BDC,

以O為原點，過O作CD的平行線為x軸，OC為y軸，OA為z軸,

建立空間直角坐標系，

A(0,0,x/2a),B(0,-y/2a,0),D&a,0),

o

AB=(0,-y/2a,->/2a),啟=y/2a.-&a),

o

設平面ABD的法向量盛=(x,y,z),

?AB=—x/^ay—\/2az=07~

則__>「,取y=1,得打=(-述，1,-1),

~n?AD=+\/2ay—\/2az—0

J

平面BDC的法向量有=(00,1),

設二面角A-BD-C的平面角為仇

|m?'n|1jj-2v/7cL

貝！|cose=H--------=——,sin0=,/I-(——)——,tan0=v/7.

\m\?|n|2vy2\/22y/2

二面角A-BD-C的正切值為0.

35.

cosa=-paGsina=y

，乃、n..n

：.cos(a+—)=cosacos-----sinasin—

666

y/3413百+4

———X—=------

25210

36.

(1＞設精畫方程為1+3-1?用蓮意

ao

2c-2a,=4.

1,9.

可知—十——■6*-3..*.廉HlC的方程

a1461

<r*=1.

a1?b'+cf

為仁+

力43

以F2為圓心為半徑的圓的方程為(x-l)22+y2=2①當直線11^軸

時，與圓不相切，不符合題意.②當直線1與x不垂直時，設直線的方

程為y=k(x+l),由圓心到直線的距離等

T小林梅，-22J"=±1..?.乙y=±(>+

VFTF

D代人■圜方*得：7/+幻一8?。姬Atr,?

8R

yi)?B(xf)則+1】——x?一亍

RIAB=|——ifl-y又直線/弓

HF,相切.所以AkAEB的囪楓竽x

r-1272

42-

38.

jr2V2

(1)2a=1=5,c=4,~-H---=

259

1.

(2)設M(jr,y),FlM=(jr—4,y),FiM=(/+

4,y),；.事/?戶2法=Z2—16+/=0又,:工z

+yz=16".16—V廣？1.281

25+勺=】，7=讀”士

土工;第，工=±?..?.M（士乎,士力，共

416444

4種.

39.

（1）設數歹I」｛a｝的公差為d，那么5a+：?5?4d=15.

把a>1代入上式，得d=2.

因此，a=-1+2（n_l）=2n-3.

（2）根據/>“=2"，，得b=:，b=2.b=8.

由此推測｛b｝是等比數列.

證明如下：

由（1）得，a-a=2.所以仁=2"-"f=2'=4（常數）,

lfn

因此數列｛b｝是等比數列.

40.

(1)S“="ai+n^~2~=na?+n(n

—l)=〃'+(ai—1)〃?又S.=p〃2+2〃.〃6N

*,；?/>=l,a[-1=2.ai=3.a.=3+(〃-1)

?2,；?a.=3+(〃-1)X2=2〃+1.

(2)?/63=a1=3,1=?2+4=9,：?q=3?/.6W

=b、qi=3X3"T=3"T".6I==

J

-J-d-3')

T.十4--

_3________3,-1.,13'.6

~1—3.1

T/1十W

0

3?

K1

=+7=3(”)2)????數列(T?+正)為等比

V。

~r

敗列.

41.(l)f(x)=3x2+6ax+b,由題知:

r(-1)n。/3—6a+6-0…(1)

=*|聯

f(~~1)—0]—1+3o—6+&，=0…《2》

伊=1一《=2.

立⑴.⑵<?{(自去)或|

[6=3(6=9

&-9.

<2)*(1)可知f(x)-3x?+121+仇孫=一】.

小一-3.當/(工)>0時.Xv—3或1>一1；當

八上》V0時?一3VTV-I的單啊增

K間為《―8.-3),(-l.+o).單兩減區間為

(-3?-1).

42.(1)函數f(x)=sinx+cosx=&sin(x+7r/4),...Kx)的最小正周期是2兀，最

大值是屈

(2)將y=sinx的圖象向左平行移動兀/4個單位，得到sin(x+7t/4)的圖

象，再將尸sin(x+jr/4)的圖象上每-點的縱坐標伸長到原來的成■倍，

橫坐標不變，所得圖象即為函數y=f(x)的圖象.

43.

(I)由橢網的定義得?2a=|PF,|+

PF2|=6+2=8.a=4又/PF;F,=90°.

.,.(2c)!=|PFj|1-|PF,|,=32,c,-8,A6,-

v2

a2一0?-16—8=8：?楠C的方程+=1?

Ioo

(2)答：存在.假設存在直線I滿足題設條件.：

圓M：/+v+4工-2y=0二圓心M(-2.D不

在工軸上二直線/_!_□■軸44然不滿足條件.當直

線/與1軸不垂位時,設直線/的方程為3—1=

y-1=k(x4-2)

/(工+2).由y消去y得(2-+

--4--=1

1168

2

l)j+44(24+1)1+2(24+1>—16=0.AR

16A“2*+1尸4(2**+1)[2(2*4-1)1—16]=

96*'-32A+56>0恒成立.設A(x,,*)、

B(N2?》/)二*+工2=一蛙播:線段AB

LRU十］

的中點恰為圓M：x2+V+4z—2y=0的圓心

+12o.4A(2A+1)

2

2k2+A=2/+1,，&=1故直線/的方程為y-

1=1?(h+2),即工一y+3=0.

44.

⑴劌翩：若。=1,后數/(工)在［1.6］上是增超數.

「、9

證時：擊〃=1時，/(.v)=.r一一，

x

點區可［1,6］上任意占，%,這士《占，

,「9999

/（$）一/（K）=（占-------）—（A---）=（%—工）一（------）

F-xi-3*2

（.一&）（3+6）八

=-----=----=---V”